第一篇：用放縮法證明與數(shù)列和有關(guān)的不等式
用放縮法證明與數(shù)列和有關(guān)的不等式
湖北省天門(mén)中學(xué)薛德斌
數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點(diǎn)，這類問(wèn)題能有效地考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)列與不等式知識(shí)解決問(wèn)題的能力．本文介紹一類與數(shù)列和有關(guān)的不等式問(wèn)題，解決這類問(wèn)題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和．
一．先求和后放縮
例1．正數(shù)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)的和Sn，滿足2Sn?an?1，試求：
（1）數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn?11，數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)的和為Bn，求證：Bn? 2anan?
1解：（1）由已知得4Sn?(an?1)2，n?2時(shí)，4Sn?1?(an?1?1)2，作差得：
22所以(an?an?1)(an?an?1?2)?0，又因?yàn)?an?為正數(shù)數(shù)4an?an?2an?an?1?2an?1，列，所以an?an?1?2，即?an?是公差為2的等差數(shù)列，由2S1?a1?1，得a1?1，所以an?2n?1
（2）bn?11111??(?)，所以 anan?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
Bn?111111111(1?????)??? 23352n?12n?122(2n?1)
2注：一般先分析數(shù)列的通項(xiàng)公式．如果此數(shù)列的前n項(xiàng)和能直接求和或者通過(guò)變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來(lái)證明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比數(shù)列（這里所謂的差比數(shù)列，即指數(shù)列{an}滿足條件an?1?an?f?n?）求和或者利用分組、裂項(xiàng)、倒序相加等方法來(lái)求和．
二．先放縮再求和
1．放縮后成等差數(shù)列，再求和
例2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an?an?2Sn.2an2?an?12(1)求證：Sn?；
4(2)
????
解：（1）在條件中，令n?1，得a1?a1?2S1?2a1，?a1?0?a1?1，又由條件
22an?an?2Sn有an?1?an?1?2Sn?1，上述兩式相減，注意到an?1?Sn?1?Sn得
(an?1?an)(an?1?an?1)?0?an?0?an?1?an?0∴an?1?an?
1所以，an?1?1?(n?1)?n，Sn?
n(n?1)
n(n?1)1n2?(n?1)2an?an?1
所以Sn? ???
2224
（2）因?yàn)閚?
n(n?1)?n?1，所以
n2
?
n(n?1)n?1，所以 ?
S1?S2??Sn?n2?3n22
Sn?1?12
1?22?3n(n?1)23n?1
????? ????
222222
S2??Sn?
12?22???
n2?n(n?1)22
?Sn2
??
；S1?
2．放縮后成等比數(shù)列，再求和
例3．（1）設(shè)a，n∈N*，a≥2，證明：a2n?(?a)n?(a?1)?an；
（2）等比數(shù)列{an}中，a1??，前n項(xiàng)的和為An，且A7，A9，A8成等差數(shù)列．設(shè)
a1bn?n，數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和為Bn，證明：Bn＜．
31?an
解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an≥a，于是，a
2n
?(?a)n?an(an?1)?(a?1)?an．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a－1≥1，且an≥a2，于是
a2n?(?a)n?an(an?1)?(a2?1)?an?(a?1)(a?1)?an?(a?1)?an．
（2）∵A9?A7?a8?a9，A8?A9??a9，a8?a9??a9，∴公比q?
a91
??．a(chǎn)82
∴an?(?)． bn?
n
1n11?(?)n
?
．?nnn
4?(?2)3?2
(1?2)
1111?1(1?1)?1．∴Bn?b1?b2??bn???????
13?23?22333?2n32n1?2
3．放縮后為差比數(shù)列，再求和
例4．已知數(shù)列{an}滿足：a1?1，an?1?(1?
n)an(n?1,2,3?)．求證： 2n
an?1?an?3?
n?1
n?1
n)an，所以an?1與an同號(hào)，又因?yàn)閍1?1?0，所以an?0，n2
證明：因?yàn)閍n?1?(1?即an?1?an?
n
an?0，即an?1?an．所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，所以an?a1?1，2nnn12n?1
即an?1?an?nan?n，累加得：an?a1??2???n?1．
22222
12n?1112n?1
令Sn??2???n?1，所以Sn?2?3???n，兩式相減得：
2222222
11111n?1n?1n?1Sn??2?3???n?1?n，所以Sn?2?n?1，所以an?3?n?1，22222222
n?1
故得an?1?an?3?n?1．
4．放縮后為裂項(xiàng)相消，再求和
例5．在m（m≥2）個(gè)不同數(shù)的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m時(shí)Pi＞Pj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與Pj構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).記排列(n?1)n(n?1)?321的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)a1?1，排列321的逆序數(shù)
a3?6．
（1）求a4、a5，并寫(xiě)出an的表達(dá)式；（2）令bn?
ana
?n?1，證明2n?b1?b2??bn?2n?3，n=1,2,….an?1an
n(n?1)
.2解（1）由已知得a4?10,a5?15，an?n?(n?1)???2?1?
（2）因?yàn)閎n?
anann?2nn?2
?n?1???2??2,n?1,2,?，an?1ann?2nn?2n
所以b1?b2???bn?2n.nn?222??2??,n?1,2,?，n?2nnn?2
11111
1)] 所以b1?b2???bn?2n?2[(?)?(?)???(?
1324nn?2
22??2n?3.=2n?3?
n?1n?2
又因?yàn)閎n?
綜上，2n?b1?b2??bn?2n?3,n?1,2,?.注：常用放縮的結(jié)論：（1）
1111111
???2???(k?2)kk?1k(k?1)kk(k?1)k?1k
2k?k?1
?1k?
2k?k?1
?2（1k?1
?1k)(k?2)
（2）．2（1k
?
1k?1)?
在解題時(shí)朝著什么方向進(jìn)行放縮，是解題的關(guān)鍵，一般要看證明的結(jié)果是什么形式．如例２要證明的結(jié)論
n2?3n22、n(n?1)22
為等差數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為等差數(shù)
11)?為等比數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通n
n?1
項(xiàng)放縮為等比數(shù)列，再求和即可；如例4要證明的結(jié)論3?n?1為差比數(shù)列求和結(jié)果的類
22?型，則把通項(xiàng)放縮為差比數(shù)列，再求和即可；如例5要證明的結(jié)論2n?3?為n?1n?2
列，再求和即可；如例3要證明的結(jié)論(1?
裂項(xiàng)相消求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為相鄰兩項(xiàng)或相隔一項(xiàng)的差，再求和即可．
雖然證明與數(shù)列和有關(guān)的不等式問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中比較困難的問(wèn)題，但是我們通過(guò)仔細(xì)分析它的條件與要證明的結(jié)論之間的內(nèi)在關(guān)系，先確定能不能直接求和，若不能直接求和則要考慮把通項(xiàng)朝什么方向進(jìn)行放縮．如果我們平時(shí)能多觀測(cè)要證明結(jié)論的特征與數(shù)列求和之間的關(guān)系，則仍然容易找到解決這類問(wèn)題的突破口．
《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2007年第8期刊號(hào)ISSN 1007—1830
第二篇：放縮法證明數(shù)列不等式
放縮法證明數(shù)列不等式
基礎(chǔ)知識(shí)回顧:
放縮的技巧與方法：
（1）常見(jiàn)的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：
① 等差數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）
② 等比數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差錯(cuò)誤！未找到引用源。等比”的形式
④ 裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)
（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：
① 在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過(guò)程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手
② 在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方向，這將決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮小（應(yīng)與所證的不等號(hào)同方向）
③ 在放縮時(shí)，對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見(jiàn)的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。
④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過(guò)”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng)，其余項(xiàng)放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個(gè)方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。
（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：
① 裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)）
② 等比數(shù)列：所面對(duì)的問(wèn)題通常為“錯(cuò)誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，如果題目條件無(wú)法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再與原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較，看不等號(hào)的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項(xiàng)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。，即通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。
注：此方法會(huì)存在風(fēng)險(xiǎn)，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)影響
（4）與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問(wèn)題：
① 此類問(wèn)題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對(duì)遞推公式進(jìn)行變形
② 在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問(wèn)題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯(cuò)誤！未找到引用源。或錯(cuò)誤！未找到引用源。（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過(guò)“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:
類型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。）．
（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍．
例2.記錯(cuò)誤！未找到引用源。.對(duì)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。和錯(cuò)誤！未找到引用源。的子集錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。；若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。.例如：錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.錯(cuò)誤！未找到引用源。
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）對(duì)任意正整數(shù)，若，求證：；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.類型
二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式 例3.設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。）．
例4.已知錯(cuò)誤！未找到引用源。是數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和，且對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用源。，有錯(cuò)誤！未找到引用源。.其中錯(cuò)誤！未找到引用源。為實(shí)數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)；
②是否存在這樣的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，① 判定錯(cuò)誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；
②設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍.方法、規(guī)律歸納: 常見(jiàn)的放縮變形：
（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。，（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。
注：對(duì)于錯(cuò)誤！未找到引用源。還可放縮為：錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯(cuò)誤！未找到引用源。（4）錯(cuò)誤！未找到引用源。
錯(cuò)誤！未找到引用源。可推廣為：錯(cuò)誤！未找到引用源。
錯(cuò)誤！未找到引用源。實(shí)戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無(wú)錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。記數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。
（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)錯(cuò)誤！未找到引用源。；
（2）求錯(cuò)誤！未找到引用源。；
（3）問(wèn)是否存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立？說(shuō)明理由.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。．
⑴ 求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；
⑵ 設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍；
⑶ 設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)的和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，試求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見(jiàn)解析⑵錯(cuò)誤！未找到引用源。⑶錯(cuò)誤！未找到引用源。
3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．?dāng)?shù)列
滿足（1）求數(shù)列（2）若和，且． 的通項(xiàng)公式；，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，（，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在正整數(shù)，使，請(qǐng)說(shuō)明理由．）成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，4．已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。．
（1）求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在自然數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得對(duì)于任意錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值；
（3）若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。．
5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，且滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)．
（1）是否存在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。？若存在，寫(xiě)出一個(gè)滿足要求的數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由．（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。．
（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證：當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。．
6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試】已知兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列
分別滿足，其中（1）若數(shù)列（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和分別為的通項(xiàng)公式；，使得，稱數(shù)列
.都為遞增數(shù)列，求數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點(diǎn)數(shù)列”，求 為“墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列
為“墜點(diǎn)數(shù)列”.為“墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說(shuō)明理由.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，并說(shuō)明理由；
（2）求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。；
（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值.8．記等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；
（2）若 錯(cuò)誤！未找到引用源。，對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用源。，均有錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯(cuò)誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合；
（3）記錯(cuò)誤！未找到引用源。，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯(cuò)誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中n∈N*．
（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；
（2）若存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
10．已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。．
（1）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；
②在錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值．
放縮法證明數(shù)列不等式
基礎(chǔ)知識(shí)回顧:
放縮的技巧與方法：
（1）常見(jiàn)的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：
① 等差數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）
② 等比數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差錯(cuò)誤！未找到引用源。等比”的形式
④ 裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)
（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：
① 在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過(guò)程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手
② 在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方向，這將決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮小（應(yīng)與所證的不等號(hào)同方向）
③ 在放縮時(shí)，對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見(jiàn)的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。
④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過(guò)”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng)，其余項(xiàng)放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個(gè)方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。
（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：
① 裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)）
② 等比數(shù)列：所面對(duì)的問(wèn)題通常為“錯(cuò)誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，如果題目條件無(wú)法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再與原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較，看不等號(hào)的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項(xiàng)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。，即通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。注：此方法會(huì)存在風(fēng)險(xiǎn)，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)影響
（4）與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問(wèn)題：
① 此類問(wèn)題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對(duì)遞推公式進(jìn)行變形
② 在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問(wèn)題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯(cuò)誤！未找到引用源。或錯(cuò)誤！未找到引用源。（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過(guò)“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:
類型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。）．
（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍．
【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。
（2）由（1）知，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，則有錯(cuò)誤！未找到引用源。，而錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，故錯(cuò)誤！未找到引用源。，解得錯(cuò)誤！未找到引用源。，再將錯(cuò)誤！未找到引用源。代入錯(cuò)誤！未找到引用源。，得錯(cuò)誤！未找到引用源。，例2.記錯(cuò)誤！未找到引用源。.對(duì)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。和錯(cuò)誤！未找到引用源。的子集錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。；若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。.例如：錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.錯(cuò)誤！未找到引用源。
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）對(duì)任意正整數(shù)，若，求證：；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）詳見(jiàn)解析（3）詳見(jiàn)解析 【解析】
試題分析：（1）根據(jù)及時(shí)定義，列出等量關(guān)系，解出首項(xiàng)，寫(xiě)出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)子集關(guān)系，進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；（3）利用等比數(shù)列和與項(xiàng)的大小關(guān)系，確定所定義和的大小關(guān)系：設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。因此由錯(cuò)誤！未找到引用源。，因此錯(cuò)誤！未找到引用源。中最大項(xiàng)必在A中，由（2）得錯(cuò)誤！未找到引用源。.試題解析：（1）由已知得錯(cuò)誤！未找到引用源。.于是當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.又錯(cuò)誤！未找到引用源。，故錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。.所以數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（2）因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。.因此，錯(cuò)誤！未找到引用源。.綜合①②③得，錯(cuò)誤！未找到引用源。.類型
二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式 例3.設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。）． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析．
故錯(cuò)誤！未找到引用源。，則有：錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。例4.已知錯(cuò)誤！未找到引用源。是數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和，且對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用源。，有錯(cuò)誤！未找到引用源。.其中錯(cuò)誤！未找到引用源。為實(shí)數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)；
②是否存在這樣的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，① 判定錯(cuò)誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；
②設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍.【答案】（1）①錯(cuò)誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是以錯(cuò)誤！未找到引用源。為首項(xiàng)，錯(cuò)誤！未找到引用源。為公比的等比數(shù)列，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，不是等比數(shù)列；②錯(cuò)誤！未找到引用源。．
方法、規(guī)律歸納: 常見(jiàn)的放縮變形：
（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。，（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。
注：對(duì)于錯(cuò)誤！未找到引用源。還可放縮為：錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯(cuò)誤！未找到引用源。（4）錯(cuò)誤！未找到引用源。
錯(cuò)誤！未找到引用源。可推廣為：錯(cuò)誤！未找到引用源。
錯(cuò)誤！未找到引用源。實(shí)戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無(wú)錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。記數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。
（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)錯(cuò)誤！未找到引用源。；
（2）求錯(cuò)誤！未找到引用源。；
（3）問(wèn)是否存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立？說(shuō)明理由.【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見(jiàn)解析
（3）假設(shè)存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以只要錯(cuò)誤！未找到引用源。
即只要滿足 ①：錯(cuò)誤！未找到引用源。，和②：錯(cuò)誤！未找到引用源。，對(duì)于①只要錯(cuò)誤！未找到引用源。就可以； 對(duì)于②，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為奇數(shù)時(shí)，滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，不成立，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。令錯(cuò)誤！未找到引用源。，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。
即錯(cuò)誤！未找到引用源。，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，②式成立，即當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。成立.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。．
⑴ 求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；
⑵ 設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍；
⑶ 設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)的和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，試求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見(jiàn)解析⑵錯(cuò)誤！未找到引用源。⑶錯(cuò)誤！未找到引用源。
要使錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，只要使錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，即使錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。為正偶數(shù)恒成立，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，故實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍是錯(cuò)誤！未找到引用源。； ⑶由⑴得錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。
錯(cuò)誤！未找到引用源。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，因此數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值為錯(cuò)誤！未找到引用源。．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的判定與證明，其中證明（1）的關(guān)鍵是分析得到錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。的關(guān)系式．
3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列滿足，且
． 的前項(xiàng)和為，滿足，．?dāng)?shù)列（1）求數(shù)列（2）若和的通項(xiàng)公式；，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，（，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在正整數(shù)，使，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）（2））成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，（3）不存在
（2）由（1）得于是所以，兩式相減得所以由（1）得因?yàn)閷?duì) 即所以恒成立，都有，，恒成立，記所以因?yàn)閺亩鴶?shù)列于是，為遞增數(shù)列，所以當(dāng)．
（），使
成等差數(shù)列，則，時(shí)取最小值，（3）假設(shè)存在正整數(shù)即，若為偶數(shù)，則若為奇數(shù)，設(shè)于是當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，上式不成立.，則，與
矛盾；，即，此時(shí)
4．已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。．
（1）求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在自然數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得對(duì)于任意錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值；
（3）若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。．
【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）存在，錯(cuò)誤！未找到引用源。；（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：
（1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{bn}的通項(xiàng)公式．（2）bn=2n．假設(shè)存在自然數(shù)m，滿足條件，先求出錯(cuò)誤！未找到引用源。，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成錯(cuò)誤！未找到引用源。可求得錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍；（3）分n是奇數(shù)、n是偶數(shù)兩種情況求出Tn，然后寫(xiě)成分段函數(shù)的形式。
試題解析：（1）由錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。． 又錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，上式成立，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為奇數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。； 當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.因此錯(cuò)誤！未找到引用源。．
點(diǎn)睛：數(shù)列求和時(shí)，要根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的特點(diǎn)選擇不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組求和等。
5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，且滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)．
（1）是否存在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。？若存在，寫(xiě)出一個(gè)滿足要求的數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由．
（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。．
（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證：當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。． 【答案】（1）不存在，理由見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析
當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，兩式相減得錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，綜上，錯(cuò)誤！未找到引用源。．
6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試】已知兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和分別為（1）若數(shù)列.分別滿足，其中，設(shè)數(shù)列都為遞增數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點(diǎn)數(shù)列”，求 為“墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列，使得，稱數(shù)列為“墜點(diǎn)數(shù)列”.為“墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）
.（2）①，② 6.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，并說(shuō)明理由；
（2）求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。；
（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）見(jiàn)解析（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。.（2）因?yàn)榧襄e(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。而言，存在錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。，又因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，同理可得錯(cuò)誤！未找到引用源。，將上述不等式相加得： 錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）由（2）可知錯(cuò)誤！未找到引用源。，又錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，構(gòu)成數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。，經(jīng)檢驗(yàn)錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，故錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值為錯(cuò)誤！未找到引用源。.點(diǎn)睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。求解第一問(wèn)時(shí)，直接運(yùn)用題設(shè)條件中所提供的條件信息進(jìn)行驗(yàn)證即可；解答第二問(wèn)時(shí)，先運(yùn)用題設(shè)條件中定義的信息可得錯(cuò)誤！未找到引用源。，同理可得錯(cuò)誤！未找到引用源。，再將上述不等式相加得： 錯(cuò)誤！未找到引用源。即可獲證錯(cuò)誤！未找到引用源。；證明第三問(wèn)時(shí)，充分借助（2）的結(jié)論可知錯(cuò)誤！未找到引用源。，又錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。可得錯(cuò)誤！未找到引用源。，因此構(gòu)成數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。，經(jīng)檢驗(yàn)錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，進(jìn)而求出錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值為錯(cuò)誤！未找到引用源。.8．記等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；
（2）若 錯(cuò)誤！未找到引用源。，對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用源。，均有錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯(cuò)誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合；
（3）記錯(cuò)誤！未找到引用源。，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）見(jiàn)解析
解：（1）設(shè)等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。，從而錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列.（2）因?yàn)榈娜我獾腻e(cuò)誤！未找到引用源。都是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，又錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，顯然，錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足條件，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。不是整數(shù)，綜上所述，正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）設(shè)等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比大于錯(cuò)誤！未找到引用源。，首項(xiàng)大于錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，記公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。.以下證明： 錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。為正整數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。為減函數(shù)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，綜上，錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。
錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯(cuò)誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中n∈N*．
（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；
（2）若存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 【答案】（1）cn＝1．（2）見(jiàn)解析.10．已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。．
（1）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式； ②在錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值．
【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。
（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。，在錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，故有錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，
第三篇：放縮法證明數(shù)列不等式
放縮法證明不等式
1、設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)的和Sn?
43an?
13?
2n
n?
1?
3(n?1,2,3,?)
n
（Ⅰ）求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an；（Ⅱ）設(shè)Tn?
an?4?2
n
n
2Sn
(n?1,2,3,?)，證明：?Ti?
i?1
解：易求
Sn?Tn?
（其中n為正整數(shù)）
n
n
432
n
an??
n
13?
?2
n?1
??
?
4n
?23
n
??
?2
n?1
?
?
?2
n?1
?1??2?1?
n
Sn
?2
n?1
?1??2?1?
?
1?1?
??n?n?1
?
2?2?12?1?
所以：
?
i?1
Ti?
313?1?
??1?n?1??2?2?12?1?22、求證：（1）
1?1?法1：數(shù)歸（兩邊都可以）
法2：放縮裂項(xiàng) 法3：定積分放縮（2）
22??
?n?N)
?
???
1n1n
?
31n?
11n
法1：放縮一：
?
n(n?1)
??
(n?2)
Sn?
??
?
??1n
1n
?(1336
?
?
?
?
52)?（15
??
1653
?
?
???
1n?1
?
1n)
＝1?
1336
121400?
??1??1
121400
?1?
23893600(1
?1?
24003600
.放縮二：
1n
1n?1
?
(n?1)(n?1)
?
2n?1
?
n?1),(n?2)
Sn??54
?
?
??
1n
?（11
?
2)?
111111111(?????????)22435n?2nn?1n?1
?
1111151115
(???)??(?)?.223nn?142233
放縮三：
1n
?
1n?
?(n?
112)(n?
12)
?（1n?
?
1n?
12)?2（12n?1
?
12n?1),(n?1)
Sn?
?
?
??
1n
?1?2（13
?
?
?
???
12n?1
?
12n?1)?1?2（13
?
12n?1)?
法2：數(shù)歸——加強(qiáng)命題：常用的放縮公式：
1n(n?1)
2n?
n?1?
1n
???
1n
?
?
1n
?
1n(n?1)1n
；n?
n?1?2n?n?
n?1；
???n
n?
2n?1；
ab
?
a?mb?m
(b?a?0,m?0)
1k
?
k(k?1)(k?1)?
1n?11k(k?1)
?
?1?11*
?(k?2,k?N)??
2?k(k?1)k(k?1)?
1n?k?
n?kn1k!?
?
1n?2
?...?
?
kn?11
(k?3)
(k?2)
；2?12
n?1n
k!k(k?1)(k?2)
n
an?
例3：已知：
?1
(n?N
?)，求證：?ai?
i?1
n2
?
法1：均值不等式：即證
?
?
715n2
?...?
2?12
n?1
n
?1
?
?
n2
也即：
?
?
715
?...?
2?12
n
n?1
n
?1
?
而
:
?
?
715
?...?
2?12
n?1
?1
?n
???
法2：放縮后裂項(xiàng)求和
an?
2?1212
n?1n
?1?（?
2?12(2?1
?
n
n)1
?
?
?
n?1
=
?1
?
?
2?1(2
n?1
n
?1)(2?1)
n
=
?
2?1
n
n?1
?1)
法3：數(shù)歸，但是直接去證是不行的，要轉(zhuǎn)化為一個(gè)加強(qiáng)命題
4．定義數(shù)列如下：a1?2,an?1?an?an?1,n?N
?
證明：（1）對(duì)于n?N恒有an?1?an成立。
2?
?
（2）當(dāng)n?2且n?N，有an?1?anan?1?a2a1?1成立。
（3）1?
2006
?
1a1
?
1a2
???
1a2006
?1。
解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。
（2）由an?1?an?an?1得：an?1?1?an(an?1)?an?1?an?1(an?1?1)……
a2?1?a1(a1?1)以上各式兩邊分別相乘得：
an?1?1?anan?1?a2a1(a1?1)，又a1?2?an?1?anan?1?a2a1?1（3）要證不等式1?
2006
?
1a1
?
1a2
???
1a2006
?1，可先設(shè)法求和：
1a1
?
1a2
???
a2006，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。
?an?1?1?an(an?1)
?
1an?1?11an1a1
?
1an?1
?
1an
??
1an?11a2
?
1an?1?11a2006
?????
?（1a1?11
?
1a2?11)?（1a2?1
?
1a3?1)???（1a2006?1
?
1a2007?1)
?
a1?1
?
a2007?11
?1?
a1a2?a2006
?1
又a1a2?a2006?a1
2006
?2
2006
?1?
1a1a2?a2006
?1?
2006
?原不等式得證。
5．已知數(shù)列?an?中an?
i
i
n
nn
2?1，求證：?ai(ai?1)?3.i?1
方法一：ai(ai?1)?
n
i
2?12?1
?
i
i
i
(2?1)(2?2)
?
i
i?1
i?1
(2?1)(2?1)
?
i?1
?1
?
12?1
i
.?
?
i?1
ai(ai?1)?
(2?1)
?（12?1
?
12?1)?（12?1
?
12?1)???（12
n?1
?1
?
12?1
n)?3?
12?1
n
?3.方法二：
ai(ai?1)?
i
i
(2?1)
?
i
12?2?
i
?
12?2
i
?
122?
i
?
2?2
i
i?1
.(i?2)
n
?
?
i?1
ai(ai?1)?2?
?
???
n?1
?2?(1?
12)?3?n?1
n?1
?3.n
法3：數(shù)歸證?
?
i?1
ai(ai?1)?3?
12?1
n
?3.（即轉(zhuǎn)化為證明加強(qiáng)命題）
6、已知函數(shù)f?x??ln?1?x??x，數(shù)列?an?滿足：
a1?
2,ln2?lnan?1?an?1an?f
?an?1an?．
（1）求證：ln?1?x??x；（2）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；
（3）求證不等式：a1?a2???an?n?ln2?ln?n?2?． 解：（1）f?x??ln?1?x??x，f'?x??
11?x
?1??
x1?x，當(dāng)?1?x?0時(shí)，f'?x??0，即y?f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x?0時(shí)，f'?x??0，即y?f(x)是單
調(diào)遞減函數(shù)．
所以f'?0??0，即x?0是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)
f?x??ln?1?x??x?f?0??0?ln?1?x??x，當(dāng)x?0時(shí)取到等號(hào)．（2）法1：數(shù)學(xué)歸納法（先猜想，再證明）
法2：由ln2?lnan?1?an?1an?f?an?1an?得2an?1?an?1an?1，an?1?
12?an，an?1?1?
12?an
?1?
an?12?an，1an?1?
1?
1an?1
?1，即數(shù)列?
?
?1
??2，公差為?1，是等差數(shù)列，首項(xiàng)為?
a?11?an?1?
nn?1
∴
an?1
??n?1?an?
．
（3）法1：
a1?a2???an?1?
11?1
?1?
12?1
???1?
11??1
?n???????
23n?1n?1??
又∵x?0時(shí)，有x?ln?1?x?，令x?
1n?1?1?2
?0，則
1?n?2?
?ln?1??ln ?n?1n?1?n?1?1
∴n??
?
3???
345n?1n?2???
?n?ln?ln?ln???ln?ln??? n?1?234nn?1??n?
2?n?2
?n?l?n??
n?1?2
?n??ln?
?
?343
???ln?2
n? ?nl?
∴a1?a2???an?n?ln2?ln?n?2? ． 法2：積分法要證原命題，即證：?
?1?2
?
??ln(n?2)?ln2 n?1?1
????
11??1???????3n?1??2
?1?2
n?2
?
1x
dx?lnx
n?22
法3：數(shù)歸證明：?7.1、（1）求證：2
n
?
???
?
??ln(n?2)?ln2 n?1?
?
?2n?1(n?2,n?N)
nn?1n01
法1：2?Cn?Cn?...?Cn?Cn；
法2：數(shù)學(xué)歸納法 法3：函數(shù)法（求導(dǎo)）
8.若n?N，證明：()+()+…+（n
n
*
n
n
n?1n)+（n
nn)?
n
ee?1
提示:借助e?1?x證明
x
第四篇：放縮法與數(shù)列不等式的證明
2017高三復(fù)習(xí)靈中黃老師的專題
放縮法證明數(shù)列不等式
編號(hào)：001 引子：放縮法證明數(shù)列不等式歷來(lái)是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，在高考數(shù)列試題中經(jīng)常扮演壓軸的角色。由于放縮法靈活多變，技巧性要求較高，所謂“放大一點(diǎn)點(diǎn)太大，縮小一點(diǎn)點(diǎn)太小”。為了揭開(kāi)放縮法的神秘面紗，黃老師特開(kāi)設(shè)這一專題，帶領(lǐng)大家走近“放縮法”。一．放縮法證明不等式的理論依據(jù)： １．不等式的傳遞性：
２．同向不等式的可加性：
３．同向的正數(shù)不等式的可乘性：
二．常見(jiàn)的數(shù)列求和的方法及公式特點(diǎn)： １．等差數(shù)列的和;an?_____sn?______(n?N?)２．等比數(shù)列的和：an?k?qn,sn?３．錯(cuò)位相減法：等差×等比
４．裂項(xiàng)相消法：若an?an?1?d(d為常數(shù)）在三.常見(jiàn)題型分析：
１．放縮目標(biāo)模型：可求和 １．１等差模型
1111?(?)(n?N?)
an?an?1dan?1ana1(1?qn)（q?1）(n?N?)1?qn(n?1)n(n?2)?1?2?2?3?...?n(n?1)?例１.（１９８５全國(guó)卷）求證：(n?N?)22
n(n?1)n(n?3)?1?2?2?3?...?n(n?1)?變式：(n?N?)22
１.２等比模型
1111例２.求證：?2?3?....?n?1(n?N?)2222
變式.求證：1?12?1?11223?1?......?2n?1?1(n?N?2?1)
例３.（２０１４全國(guó)卷Ⅱ１?an?滿足a1?1,an?1?3an?1,1）證明：???a1?n?2??是等比數(shù)列.并求?an?的通項(xiàng)公式 2）證明：1a?113a?.......??12an2
變式：求證：12?1?12?1?115223?1?......?2n?1?3(n?N?)
例４.（２００２全國(guó)卷理２２題７題）第２問(wèn)已知數(shù)已知數(shù)列
列（（）?an?滿足an?1?an2?nan?1,n?1,2,3.......當(dāng)a1?3時(shí)，證明對(duì)所有的n?1,n?N?(1）an?n?2（2）證明：1a1?1a?.......?1?11?2?1an?12
１.３錯(cuò)位相減模型
例５.求證：12?1?23n22?2?23?3?.......?2n?n?2(n?N?)
１.４裂項(xiàng)相消模型
例2(2013廣東文19第(3)問(wèn))求證：11?3?13?5?15?7???11(2n?1)(2n?1)?2
11111例６.證明：?n?12?n?122?32?......?n2?n(n?N?)
(n?N?)
111變式１.證明：1?2?2?......?2?2(n?N?)
變式２.證明：
變式３.證明：
變式４.證明：
變式５.證明：
23n 1?111722?32?......?n2?4(n?N?)1?12?115232?......?n2?4(n?N?)?12?13?......?1n?2n(n?N?)?11132?52?......?(2n?1)2?32
1115?變式６.證明：1?2?2?......?235(2n?1)4
常見(jiàn)的放縮技巧總結(jié)：
第五篇：用放縮法證明不等式
用放縮法證明不等式
蔣文利飛翔的青蛙
所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對(duì)照證題目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放大和縮小的過(guò)程，在使用放縮法證題時(shí)要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨(dú)用來(lái)證明不等式，也可以是其他方法證題時(shí)的一個(gè)重要步驟。下面舉例談?wù)勥\(yùn)用放縮法證題的常見(jiàn)題型。
一.“添舍”放縮
通過(guò)對(duì)不等式的一邊進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)以達(dá)到解題目的，這是常規(guī)思路。
例1.設(shè)a，b為不相等的兩正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2，求證1＜a＋b＜4。
3證明：由題設(shè)得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b），而（a＋b）＝a＋b＋ab＜a＋b＋
＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜
例2.已知a、b、c不全為零，求證：
a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ac?a2＞3（a?b?c）21422132（a＋b），即（a4444，故有1＜a＋b＜。3
3證明：因?yàn)閍2?ab?b2?
同理b2?bc?c2＞b?c，2（a?b23）?b2＞42（a?b2）2?a?bb≥a?，22c2?ac?a2＞c?a。
23（a?b?c）2所以a2?ab?b2?
二.分式放縮 b2?bc?c2?c2?ac?a2＞
一個(gè)分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達(dá)到證題目的。
例3.已知a、b、c為三角形的三邊，求證：1＜abc＋＋＜2。b?ca?ca?b
證明：由于a、b、c為正數(shù)，所以baab＞＞，b?ca?b?ca?ca?b?c
cc
＞a?ba?b?c，所以
abcabc
＋＋＞＋＋＝1，又a，b，c為三角形的b?ca?ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋ca?b
邊，故b+c＞a，則
c2c，＜
a?ba?b?c
a2a2b
為真分?jǐn)?shù)，則a＜，同理b＜，b?ca?b?ca?ca?b?cb?c
故
abc2a2b2c
＋＋＜＋＋?2.b?ca?ca?b?ca?b?ca?b?ca?b
abc
＋＋＜2。b?ca?ca?b
綜合得1＜
三.裂項(xiàng)放縮
若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來(lái)解題。例4.已知n∈N*，求1?
1n
??
1n
2n?
n
?
???
1n
＜2n。
證明：因?yàn)?＜
n?n?13?
?2（n?n?1），則1???
＜1?2（2?1）?2（2）???2（n?n?1）?2n?1＜2n，證畢。
例
n(n?1)2
5.?an?
已知
(n?1)2
n?N
*
且
an?
?2?2?3???n(n?1)，求證：
對(duì)所有正整數(shù)n都成立。
n
證明：因?yàn)閚(n?1)?又n(n?1)?
1?22
?n，所以an?1?2???n?
n(n?1)，n(n?1)
?2?32，n(n?1)
2n?12
(n?1)
所以an?立。
?????????，綜合知結(jié)論成四.公式放縮
利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡(jiǎn)解。
例6.已知函數(shù)f(x)?證明：由題意知
f(n)?
nn?1
?2?12?1
nn
2?12?1
x
x，證明：對(duì)于n?N*且n?3都有f(n)?
nn?1。
?
nn?1
?(1?
22?1
n)?(1?
1n?1)?
1n?1
?
22?1
n
?
2?(2n?1)(n?1)(2?1)
n
n
又因?yàn)閚?N*且n?3，所以只須證2n?2n?1，又因?yàn)椋琻
?(1?1)
n
?Cn
?Cn?Cn
???Cn
n?1
?Cn
n
?1?n?
n(n?1)
???n?1?2n?1
所
以f(n)?
nn?1。
例7.已知f(x)??x2，求證：當(dāng)a?b時(shí)f（a）?f（b）?a?b。證
f（a）?f（b）?
1?a2?
?b2?
明
a2?b2?a
：
?
?b
?
a?ba?b?a
b2
?1?
?
a?ba?ba?b
?
(a?b)a?b
a?b
?a?b證畢。
五.換元放縮
對(duì)于不等式的某個(gè)部分進(jìn)行換元，可顯露問(wèn)題的本質(zhì)，然后隨機(jī)進(jìn)行放縮，可達(dá)解題目的。
例8.已知a?b?c，求證
1a?b
?
1b?c
?
1c?a
?0。
證明：因?yàn)閍?b?c，所以可設(shè)a?c?t，b?c?u(t?u?0)，所以t?u?0則
1a?b
?
1b?c
?
1c?a
?
1t?u
?1u?1t?1u?1t?t?utu
?0，即
1a?b
?
1b?c
?
1c?a
?0。
例9.已知a，b，c為△ABC的三條邊，且有a2?b2?c2，當(dāng)n?N*且n?3時(shí)，求證：an?bn?cn。
證明：由于a2?b2?c2，可設(shè)a=csina，b=ccosa（a為銳角），因?yàn)??sina?1，0?cosa?1，則當(dāng)n?3時(shí)，sinna?sin2a，cosna?cos2a，所以an?bn?cn(sinna?cosna)?cn(sin2a?cos2a)?cn。
六.單調(diào)函數(shù)放縮
根據(jù)題目特征，通過(guò)構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)進(jìn)行放縮求解。例10.已知a，b∈R，求證
x1?x
a?b1?a?b
?
a1?a
?
b1?b。
證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)?
f(x1)?f(x2)?
x11?x1
?
(x?0)，首先判斷其單調(diào)性，設(shè)0?x1?x2，因?yàn)?/p>
x21?x2
?
x1?x2(1?x1)(1?x2)
?0，所以f?x1??f?x2?，所以f(x)在[0,??]上是增函數(shù)，取x1?a?b，x2?a?b，顯然滿足0?x1?x2，所以f(a?b)?f(|a|?|b|)，即
|a?b|1?|a?b|
?
|a|?|b|1?|a|?|b|
?
|a|1?|a|?|b|
?
|b|1?|a|?|b|
?
|a|1?|a|
?
|b|1?|b|
。證畢。
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