第一篇：利用放縮法證明不等式舉例

利用放縮法證明不等式舉例

高考中利用放縮方法證明不等式，文科涉及較少，但理科卻常常出現，且多是在壓軸題中出現。放縮法證明不等式有法可依，但具體到題，又常常沒有定法，它綜合性強，形式復雜，運算要求高，往往能考查考生思維的嚴密性，深刻性以及提取和處理信息的能力，較好地體現高考的甄別功能。本文旨在歸納幾種常見的放縮法證明不等式的方法，以冀起到舉一反三，拋磚引玉的作用。

一、放縮后轉化為等比數列。

例1.{bn}滿足：b1?1,bn?1?bn?(n?2)bn?

3（1）用數學歸納法證明：bn?n

（2）Tn?

解：(1)略

(2)?bn?1?3?bn(bn?n)?2(bn?3)

又?bn?n

?bn?1?3?2(bn?3)，n?N

迭乘得：bn?3?

2?n?1211111???...?，求證：Tn? 3?b13?b23?b33?bn2*(b1?3)?2n?1 11?n?1,n?N* bn?32

?Tn?1111111 ???...????234n?1n?12222222

2點評：把握“bn?3”這一特征對“bn?1?bn?(n?2)bn?3”進行變形，然后去

掉一個正項，這是不等式證明放縮的常用手法。這道題如果放縮后裂項或者用數學歸納法，似乎是不可能的,為什么？值得體味！

二、放縮后裂項迭加

例2．數列{an}，an?(?1)

求證：s2n?n?11，其前n項和為sn

n

2解：s2n?1?

令bn?11111 ???...??2342n?12n1，{bn}的前n項和為Tn 2n(2n?1)

1111?(?)2n(2n?2)4n?1n當n?2時，bn?

?s2n?Tn?

?111111111111???(?)?(?)?...?(?)

212304344564n?1n71 ??104n2

點評:本題是放縮后迭加。放縮的方法是加上或減去一個常數，也是常用的放縮手法。值得注意的是若從第二項開始放大，得不到證題結論，前三項不變，從第四項開始放大，命題才得證，這就需要嘗試和創新的精神。

例3.已知函數f(x)?ax?b?c(a?0)的圖象在(1,f(1))處的切線方程為 x

y?x?

1（1）用a表示出b,c

（2）若f(x)?lnx在[1,??)上恒成立，求a的取值范圍

（3）證明：1?

解：（1）（2）略

（3）由（II）知：當a?111n ??...??ln(n?1)?23n2(n?1)1時,有f(x)?lnx(x?1)2

111令a?,有f(x)?(x?)?lnx(x?1).22x

11且當x?1時,(x?)?lnx.2x

k?1??11k?1k111令x?,有ln?[?]?[(1?)?(1?)], kk2kk?12kk?1

111即ln(k?1)?lnk?(?),k?1,2,3,?,n.2kk?1

將上述n個不等式依次相加得

ln(n?1)?

整理得 11111?(????)?, 223n2(n?1)

1?111n?????ln(n?1)?.23n2(n?1)

點評：本題是2010湖北高考理科第21題。近年，以函數為背景建立一個不等關系，然后對變量進行代換、變形，形成裂項迭加的樣式，證明不等式，這是一種趨勢，應特別關注。當然，此題還可考慮用數學歸納法，但仍需用第二問的結論。

三、放縮后迭乘

例4

．a1?1,an?1?1(1?4an?n?N*).16

（1）求a2,a3

（2）

令bn?{bn}的通項公式

（3）已知f(n)?6an?1?3an，求證：f(1)f(2)f(3)...f(n)?

解：（1）（2）略 1 2

21n1n1()?()? 3423

13231?f(n)?n?n?2?n?n?1?1?n 42424

111211(1?n)(1?n?1)1?n?n?2n?11?n1?1?n???11141?n?11?n?11?n?1444

11?n?f(n)?1?n?14

11111?1?21?n1?n?...??1?f(1)f(2)...f(n)?1?11?11?122

n?144由（2）得an?

點評：裂項迭加，是項項相互抵消，而迭乘是項項約分，其原理是一樣的，都似多米諾骨牌效應。只是求n項和時用迭加，求n項乘時用迭乘。

第二篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

不等式是數學的基本內容之一，它是研究許多數學分支的重要工具，在數學中有重要的地位，也是高中數學的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數學基礎知識的掌握程度，而且是衡量學生數學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因導果。

2.分析法：執果索因。基本步驟：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項，如

(2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結構，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數列不等式，關鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當的數學思維能力和一定的解題智慧。

數學題目是無限的，但數學的思想和方法卻是有限的。我們只要學好了有關的基礎知識，掌握了必要的數學思想和方法，就能順利地應對那無限的題目。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。關鍵是你有沒有培養起良好的數學思維習慣，有沒有掌握正確的數學解題方法。當然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節省時間，這一點在考試時間有限時顯得很重要;二是利用做題來鞏固、記憶所學的定義、定理、法則、公式，形成良性循環。

解題需要豐富的知識，更需要自信心。沒有自信就會畏難，就會放棄;有了自信，才能勇往直前，才不會輕言放棄，才會加倍努力地學習，才有希望攻克難關，迎來屬于自己的春天。

第三篇：放縮法證明不等式

主備人：審核：包科領導：年級組長：使用時間：

放縮法證明不等式

【教學目標】

1.了解放縮法的概念；理解用放縮法證明不等式的方法和步驟。

2.能夠利用放縮法證明簡單的不等式。

【重點、難點】

重點：放縮法證明不等式。

難點：放縮法證明不等式。

【學法指導】

1.據學習目標，自學課本內容，限時獨立完成導學案；

2.紅筆勾出疑難點，提交小組討論；

3.預習p18—p19,【自主探究】

1，放縮法：證明命題時，有時可以通過縮小（或）分式的分母（或），或通過放大（或縮小）被減式（或）來證明不等式，這種證明不

等式的方法稱為放縮法。

2，放縮時常使用的方法：①舍去或加上一些項，即多項式加上一些正的值，多項式的值變大，或多項式減上一些正的值，多項式的值變小。如t2?2?t2,t2?2?t2等。

②將分子或分母放大（或縮小）：分母變大，分式值減小，分母變小，分

式值增大。

如當(k?N,k?1)1111，22kkk(k?1)k(k?1)，③利用平均值不等式，④利用函數單調性放縮。

【合作探究】

證明下列不等式

(1)

(2)，已知a>0，用放縮法證明不等式:loga

(a?1)1111??...??2(n?N?)2222123nloga(a?1)?1

(3)已知x＞0, y>0，z>0求證

?x?y?z

（4）已知n?

N?，求證：1

【鞏固提高】

已知a,b,c,d都是正數，s?

【能力提升】

求證: ?...?abcd???求證:1

1?a?b?a

1?a?b

1?b

本節小結：

第四篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

在學習不等式時，放縮法是證明不等式的重要方法之一，在證明的過程如何合理放縮，是證明的關鍵所在。現例析如下，供大家討論。例1：設a、b、c是三角形的邊長，求證

abc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c證明：由不等式的對稱性，不妨設a≥b≥c，則b?c?a≤c?a?b≤a?b?c

且2c?a?b≤0，2a?b?c≥0

∴

? ∴abcabc???3??1??1??1

b?c?ac?a?ba?b?cb?c?ac?a?ba?b?c2a?b?c2b?a?c2c?a?b2a?b?c2b?c?a2c?a?b≥?????0

b?c?ac?a?ba?b?cc?a?bc?a?bc?a?babc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c2b?a?c無法放縮。所以在運用放

c?a?b[評析]：本題中為什么要將b?c?a與a?b?c都放縮為c?a?b呢？這是因為2c?a?b≤0，2a?b?c≥0，而2b?a?c無法判斷符號，因此縮法時要注意放縮能否實現及放縮的跨度。

例2：設a、b、c是三角形的邊長，求證

abc(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2≥ b?cc?aa?b1 [(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]

3證明：由不等式的對稱性，不防設a≥b≥c，則3a?b?c?0,3b?c?a≥b?c?c?c?a?

b?c?a?0

左式－右式?3a?b?c3b?c?a3c?a?b(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2 b?ca?ca?b3b?c?a3c?a?b(c?a)2?(a?b)2 a?ba?b2(b?c?a)3b?c?a3c?a?b(a?b)2?(a?b)2?(a?b)2≥0 a?ba?ba?b ≥ ≥[評析]：本題中放縮法的第一步“縮”了兩個式了，有了一定的難度。由例

1、例2也可知運用放縮法前先要觀察目標式子的符號。

例3：設a、b、c?R?且abc?1求證

111≤1 ??1?a?b1?b?c1?c?a證明：設a?x3,b?y3,c?z3.且 x、y、z?R?.由題意得：xyz?1。

∴1?a?b?xyz?x3?y3

∴x3?y3?(x2y?xy2)?x2(x?y)?y2(y?x)?(x?y)2(x?y)≥0 ∴x3?y3≥x2y?xy2

∴1?a?b?xyz?x3?y3≥xyz?xy(x?y)?xy(x?y?z)

∴

1z1?≤

xy(x?y?z)x?y?z1?a?byx11≤，≤ ∴命題得證.x?y?zx?y?z1?b?c1?c?a同理：由對稱性可得[評析]：本題運用了排序不等式進行放縮，后用對稱性。

39例4：設a、b、c≥0，且a?b?c?3，求證a2?b2?c2?abc≥

22證明：不妨設a≤b≤c，則a≤1?又∵(44。∴a??0。33a?b23?a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a?)≥(3?a)2(a?)。2223833∴左邊?(a?b?c)2?2(ab?bc?ca)?abc

23434 ?9?2a(b?c)?bc(a?)≥9?2a(3?a)?(3?a)2(a?)

2383

341633?9?(3?a)[(3?a)(a?)?a]?9?(3?a)[a2?a?4]?9?(?a3?2a2?a?12)83388?99393?a(a2?2a?1)??a(a?1)2≥

2282893 ∴a2?b2?c2?abc≥

22[評析]：本題運用對稱性確定符號，在使用基本不等式可以避開討論。

例5：設a、b、c?R?，p?R，求證：

abc(ap?bp?cp)≥ap?2(?a?b?c)?bp?2(a?b?c)?cp?2(a?b?c)

證明：不妨設a≥b≥c＞0，于是

左邊－右邊?ap?1(bc?a2?ab?ca)?bp?1(ca?b2?bc?ab)?cp?1(ab?c2?ca?bc)

?ap?1(a?b)[(a?b)?(b?c)]?bp?1(a?b)(b?c)?cp?1[(a?b)?(b?c)](b?c)?ap?1(a?b)2?(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1(b?c)2

≥(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)如果p?1≥0，那么ap?1?bp?1≥0；如果p?1＜0，那么cp?1?bp?1≥0，故有(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)≥0，從而原不等式得證.例6：設0≤a≤b≤c≤1，求證：

abc???(1?a)(1?b)(1?c)≤1

b?c?1c?a?1a?b?1abca?b?c≤，再證明以 ??b?c?1c?a?1a?b?1a?b?1證明：設0≤a≤b≤c≤1，于是有下簡單不等式

a?b?ca?b?1c?1?(1?a)(1?b)(1?c)≤1，因為左邊???(1?a)(1?b)(1?c)

a?b?1a?b?1a?b?1

?1?1?c[1?(1?a?b)(1?a)(1?b)]，再注意(1?a?b)(1?a)(1?b)≤(1?a?b?ab)

a?b?1(1?a)(1?b)?(1?a)(1?b)(1?a)(1?b)?(1?a2)(1?b2)≤1得證.在用放縮法證明不等式A≤B，我們找一個(或多個)中間量C作比較，即若能斷定A ≤C與C≤B同時成立，那么A≤B顯然正確。所謂的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所謂的“縮”即由B縮到C，再把C縮到A。同時在放縮時必須時刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及。

第五篇：放縮法證明不等式例證

例談“放縮法”證明不等式的基本策略

江蘇省蘇州市木瀆第二高級中學母建軍 21510

1近年來在高考解答題中，常滲透不等式證明的內容，而不等式的證明是高中數學中的一個難點，它可以考察學生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。特別值得一提的是，高考中可以用“放縮法”證明不等式的頻率很高，它是思考不等關系的樸素思想和基本出發點, 有極大的遷移性, 對它的運用往往能體現出創造性。“放縮法”它可以和很多知識內容結合，對應變能力有較高的要求。因為放縮必須有目標，而且要恰到好處，目標往往要從證明的結論考察，放縮時要注意適度，否則就不能同向傳遞。下面結合一些高考試題，例談“放縮”的基本策略，期望對讀者能有所幫助。

1、添加或舍棄一些正項（或負項）

例

1、已知an?2?1(n?N).求證：n*an1a1a2????...?n(n?N*).23a2a3an?

1ak2k?11111111?k?1??????.,k?1,2,...,n, 證明： ?ak?12?122(2k?1?1)23.2k?2k?2232k

?aa1a2n1111n11n1??...?n??(?2?...?n)??(1?n)??, a2a3an?1232222322

3an1aan???1?2?...?n?(n?N*).23a2a3an?1

2若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。由于證明不等式的需要，有時需要舍去或添加一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的。本題在放縮時就舍去了2k?2，從而是使和式得到化簡.2、先放縮再求和（或先求和再放縮）

例

2、函數f（x）=4x

1?4x，求證：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+12n?11?(n?N*).2證明：由f(n)= 4n

1?4n=1-11?1? nn1?42?2

2?21得f（1）+f（2）+…+f（n）>1??1?

12?22???1?1

2?2n

111111?n?(1?????n?1)?n?n?1?(n?N*).424222

此題不等式左邊不易求和,此時根據不等式右邊特征, 先將分子變為常數，再對分母進

行放縮，從而對左邊可以進行求和.若分子, 分母如果同時存在變量時, 要設法使其中之一變為常量，分式的放縮對于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。

3、先放縮，后裂項（或先裂項再放縮）

例

3、已知an=n，求證：∑ 證明：∑

k=

1nn

nk=1ak

k

n

＜3．

(k－1)k(k＋1)

=1?k?2n

ak

2=∑

k=

1n

＜1＋∑

k=2

＜１＋∑

k=2

(k－1)(k＋1)（k＋1 ＋k

－1)

=1＋ ∑（k=2

n

－)

(k－1)

(k＋1)

1=1＋1＋－ ＜2＋＜3．

(n＋1)2

2本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項，最后又放縮，有的放矢，直達目標.4、放大或縮小“因式”；

n

1.例

4、已知數列{an}滿足an?1?a,0?a1?,求證：?(ak?ak?1)ak?2?322k?

1n

證明 ?0?a1?

n

11112,an?1?an,?a2?a12?,a3??.?當k?1時,0?ak?2?a3?, 2416161n11??(ak?ak?1)?(a1?an?1)?.16k?116

32??(ak?ak?1)ak?2

k?1

本題通過對因式ak?2放大，而得到一個容易求和的式子

5、逐項放大或縮小

?(a

k?

1n

k

?ak?1)，最終得出證明.n(n?1)(n?1)

2?an?例

5、設an??2?2?3??4???n(n?1)求證 22122n?1

2證明：∵ n(n?1)?n?nn(n?1)?(n?)?

2n?

1n(n?1)(n?1)21?3???(2n?1)

∴ 1?2?3???n?an?，∴

?an?

222

2n?1

本題利用n??，對an中每項都進行了放縮，從而得到可以求和的∴ n?

n(n?1)?

數列，達到化簡的目的。

6、固定一部分項，放縮另外的項； 例

6、求證：

11117?????? 2222123n

4證明：?

1???

2nn(n?1)n?1n

?

1111111115117??????1??(?????)??(?)?.22222123n223n?1n42n4

此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。

7、利用基本不等式放縮

例

7、已知an?5n?

4?1對任何正整數m，n都成立.?1，只要證

5amn?1?aman?因為 amn?5mn?4，aman?(5m?4)(5n?4)?25mn?20(m?n)?16，故只要證

5(5mn?4)?1?25mn?20(m?n)?16? 即只要證

20m?20n?37?

因為am?an?5m?5n?8?5m?5n?8?(15m?15n?29)?20m?20n?37，所以命題得證.本題通過化簡整理之后，再利用基本不等式由am?an放大即可.8、先適當組合, 排序, 再逐項比較或放縮

例

8、.已知i，m、n是正整數，且1＜i≤m＜n.(1)證明：nAim＜mAin；(2)證明：(1+m)＞(1+n)

i

i

n

m

證明：(1)對于1＜i≤m，且Aim =m·…·(m－i+1)，Aimmm?1Aimnn?1m?i?1n?i?

1，?????,同理?????ii

mmmnnnmn

由于m＜n，對于整數k=1，2，…，i－1，有

n?km?k，?

nm

AinAim

所以i?i,即miAin?niAim

nm

(2)由二項式定理有：

2n2n

(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn，由(1)知

mAin

i

＞nAim

i

(1＜i≤m＜n)，而

Cim

∴miCin＞niCim(1＜m＜n)

AimiAin

= ,Cn?i!i!

00222211

∴m0C0n=nCn=1，mCn=nCm=m·n，mCn＞nCm，…，mmm+1m?1mmCmCn＞0，…，mnCnn＞nCm，mn＞0，2n222n1mm∴1+C1nm+Cnm+…+Cnm＞1+Cmn+Cmn+…+Cmn，即(1+m)n＞(1+n)m成立.以上介紹了用“放縮法”證明不等式的幾種常用策略，解題的關鍵在于根據問題的特征選擇恰當的方法，有時還需要幾種方法融為一體。在證明過程中，適當地進行放縮，可以化繁為簡、化難為易，達到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現放縮后得不出結論或得到相反的現象。因此，使用放縮法時，如何確定放縮目標尤為重要。要想正確確定放縮目標，就必須根據欲證結論，抓住題目的特點。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。希望大家能夠進一步的了解放縮法的作用，掌握基本的放縮方法和放縮調整手段.