第一篇：放縮法是不等式證明中一種常用的方法

放縮法是不等式證明中一種常用的方法，也是一種非常重要的方法。在證明過程中，適當地進行放縮，可以化繁為簡、化難為易，達到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現放縮之后得不出結論或得出相反結論的現象。因此，使用放縮法時，如何確定放縮目標尤為重要。要想正確確定放縮目標，就必須根據欲證結論，抓住題目的特點。下面舉幾個例子說明這個問題。

例 1已知,求證：

分析 由把可想到二項式系數的和為，由可想到二項式定理，利用放縮法構造出二項式定理公式，從而得出結論。轉化成證明設且。

對任意，有

將上述各式疊加：

例 2 求證：

分析左式是n個因式連乘的形式，應把各因式化為分式，通過放縮，使之能交替消項，達到化簡的目的。由于右式是，因此所放縮后的因式應與有關。證明

例

分析左式很難求和，可將右式拆成n項相加的形式，然后證明右式各項分別大于左式各項，疊加得出結論。

證明

總之，如何確定放縮的尺度，是應用放縮法證明中最關鍵、最難把握的問題。但是，只要抓住了欲證命題的特點，勤于觀察和思考，許多問題都能迎刃而解。

第二篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

在學習不等式時，放縮法是證明不等式的重要方法之一，在證明的過程如何合理放縮，是證明的關鍵所在。現例析如下，供大家討論。例1：設a、b、c是三角形的邊長，求證

abc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c證明：由不等式的對稱性，不妨設a≥b≥c，則b?c?a≤c?a?b≤a?b?c

且2c?a?b≤0，2a?b?c≥0

∴

? ∴abcabc???3??1??1??1

b?c?ac?a?ba?b?cb?c?ac?a?ba?b?c2a?b?c2b?a?c2c?a?b2a?b?c2b?c?a2c?a?b≥?????0

b?c?ac?a?ba?b?cc?a?bc?a?bc?a?babc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c2b?a?c無法放縮。所以在運用放

c?a?b[評析]：本題中為什么要將b?c?a與a?b?c都放縮為c?a?b呢？這是因為2c?a?b≤0，2a?b?c≥0，而2b?a?c無法判斷符號，因此縮法時要注意放縮能否實現及放縮的跨度。

例2：設a、b、c是三角形的邊長，求證

abc(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2≥ b?cc?aa?b1 [(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]

3證明：由不等式的對稱性，不防設a≥b≥c，則3a?b?c?0,3b?c?a≥b?c?c?c?a?

b?c?a?0

左式－右式?3a?b?c3b?c?a3c?a?b(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2 b?ca?ca?b3b?c?a3c?a?b(c?a)2?(a?b)2 a?ba?b2(b?c?a)3b?c?a3c?a?b(a?b)2?(a?b)2?(a?b)2≥0 a?ba?ba?b ≥ ≥[評析]：本題中放縮法的第一步“縮”了兩個式了，有了一定的難度。由例

1、例2也可知運用放縮法前先要觀察目標式子的符號。

例3：設a、b、c?R?且abc?1求證

111≤1 ??1?a?b1?b?c1?c?a證明：設a?x3,b?y3,c?z3.且 x、y、z?R?.由題意得：xyz?1。

∴1?a?b?xyz?x3?y3

∴x3?y3?(x2y?xy2)?x2(x?y)?y2(y?x)?(x?y)2(x?y)≥0 ∴x3?y3≥x2y?xy2

∴1?a?b?xyz?x3?y3≥xyz?xy(x?y)?xy(x?y?z)

∴

1z1?≤

xy(x?y?z)x?y?z1?a?byx11≤，≤ ∴命題得證.x?y?zx?y?z1?b?c1?c?a同理：由對稱性可得[評析]：本題運用了排序不等式進行放縮，后用對稱性。

39例4：設a、b、c≥0，且a?b?c?3，求證a2?b2?c2?abc≥

22證明：不妨設a≤b≤c，則a≤1?又∵(44。∴a??0。33a?b23?a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a?)≥(3?a)2(a?)。2223833∴左邊?(a?b?c)2?2(ab?bc?ca)?abc

23434 ?9?2a(b?c)?bc(a?)≥9?2a(3?a)?(3?a)2(a?)

2383

341633?9?(3?a)[(3?a)(a?)?a]?9?(3?a)[a2?a?4]?9?(?a3?2a2?a?12)83388?99393?a(a2?2a?1)??a(a?1)2≥

2282893 ∴a2?b2?c2?abc≥

22[評析]：本題運用對稱性確定符號，在使用基本不等式可以避開討論。

例5：設a、b、c?R?，p?R，求證：

abc(ap?bp?cp)≥ap?2(?a?b?c)?bp?2(a?b?c)?cp?2(a?b?c)

證明：不妨設a≥b≥c＞0，于是

左邊－右邊?ap?1(bc?a2?ab?ca)?bp?1(ca?b2?bc?ab)?cp?1(ab?c2?ca?bc)

?ap?1(a?b)[(a?b)?(b?c)]?bp?1(a?b)(b?c)?cp?1[(a?b)?(b?c)](b?c)?ap?1(a?b)2?(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1(b?c)2

≥(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)如果p?1≥0，那么ap?1?bp?1≥0；如果p?1＜0，那么cp?1?bp?1≥0，故有(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)≥0，從而原不等式得證.例6：設0≤a≤b≤c≤1，求證：

abc???(1?a)(1?b)(1?c)≤1

b?c?1c?a?1a?b?1abca?b?c≤，再證明以 ??b?c?1c?a?1a?b?1a?b?1證明：設0≤a≤b≤c≤1，于是有下簡單不等式

a?b?ca?b?1c?1?(1?a)(1?b)(1?c)≤1，因為左邊???(1?a)(1?b)(1?c)

a?b?1a?b?1a?b?1

?1?1?c[1?(1?a?b)(1?a)(1?b)]，再注意(1?a?b)(1?a)(1?b)≤(1?a?b?ab)

a?b?1(1?a)(1?b)?(1?a)(1?b)(1?a)(1?b)?(1?a2)(1?b2)≤1得證.在用放縮法證明不等式A≤B，我們找一個(或多個)中間量C作比較，即若能斷定A ≤C與C≤B同時成立，那么A≤B顯然正確。所謂的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所謂的“縮”即由B縮到C，再把C縮到A。同時在放縮時必須時刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及。

第三篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

不等式是數學的基本內容之一，它是研究許多數學分支的重要工具，在數學中有重要的地位，也是高中數學的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數學基礎知識的掌握程度，而且是衡量學生數學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因導果。

2.分析法：執果索因。基本步驟：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項，如

(2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結構，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數列不等式，關鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當的數學思維能力和一定的解題智慧。

數學題目是無限的，但數學的思想和方法卻是有限的。我們只要學好了有關的基礎知識，掌握了必要的數學思想和方法，就能順利地應對那無限的題目。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。關鍵是你有沒有培養起良好的數學思維習慣，有沒有掌握正確的數學解題方法。當然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節省時間，這一點在考試時間有限時顯得很重要;二是利用做題來鞏固、記憶所學的定義、定理、法則、公式，形成良性循環。

解題需要豐富的知識，更需要自信心。沒有自信就會畏難，就會放棄;有了自信，才能勇往直前，才不會輕言放棄，才會加倍努力地學習，才有希望攻克難關，迎來屬于自己的春天。

第四篇：放縮法證明不等式

主備人：審核：包科領導：年級組長：使用時間：

放縮法證明不等式

【教學目標】

1.了解放縮法的概念；理解用放縮法證明不等式的方法和步驟。

2.能夠利用放縮法證明簡單的不等式。

【重點、難點】

重點：放縮法證明不等式。

難點：放縮法證明不等式。

【學法指導】

1.據學習目標，自學課本內容，限時獨立完成導學案；

2.紅筆勾出疑難點，提交小組討論；

3.預習p18—p19,【自主探究】

1，放縮法：證明命題時，有時可以通過縮小（或）分式的分母（或），或通過放大（或縮小）被減式（或）來證明不等式，這種證明不

等式的方法稱為放縮法。

2，放縮時常使用的方法：①舍去或加上一些項，即多項式加上一些正的值，多項式的值變大，或多項式減上一些正的值，多項式的值變小。如t2?2?t2,t2?2?t2等。

②將分子或分母放大（或縮小）：分母變大，分式值減小，分母變小，分

式值增大。

如當(k?N,k?1)1111，22kkk(k?1)k(k?1)，③利用平均值不等式，④利用函數單調性放縮。

【合作探究】

證明下列不等式

(1)

(2)，已知a>0，用放縮法證明不等式:loga

(a?1)1111??...??2(n?N?)2222123nloga(a?1)?1

(3)已知x＞0, y>0，z>0求證

?x?y?z

（4）已知n?

N?，求證：1

【鞏固提高】

已知a,b,c,d都是正數，s?

【能力提升】

求證: ?...?abcd???求證:1

1?a?b?a

1?a?b

1?b

本節小結：

第五篇：放縮法證明數列不等式

放縮法證明數列不等式

基礎知識回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見的數列求和方法和通項公式特點：

① 等差數列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。的一次函數或常值函數）

② 等比數列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。的指數類函數）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數列的每一項裂項之后正負能夠相消，進而在求和后式子中僅剩有限項

（2）與求和相關的不等式的放縮技巧：

① 在數列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數列的通項公式入手

② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮小（應與所證的不等號同方向）

③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數列的通項公式靠攏，常見的是向等比數列與可裂項相消的數列進行靠攏。

④ 若放縮后求和發現放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調：看能否讓數列中的一些項不動，其余項放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進行設計，選擇放縮程度更小的方式再進行嘗試。

（3）放縮構造裂項相消數列與等比數列的技巧：

① 裂項相消：在放縮時，所構造的通項公式要具備“依項同構”的特點，即作差的兩項可視為同一數列的相鄰兩項（或等距離間隔項）

② 等比數列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。常數”的形式，所構造的等比數列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現出放縮的目標，則可從所證不等式的常數入手，常數可視為錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構造出等比數列的首項與公比，進而得出等比數列的通項公式，再與原通項公式進行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數錯誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數列的首項為錯誤！未找到引用源。，公比為錯誤！未找到引用源。，即通項公式為錯誤！未找到引用源。

注：此方法會存在風險，所猜出的等比數列未必能達到放縮效果，所以是否選擇利用等比數列進行放縮，受數列通項公式的結構影響

（4）與數列中的項相關的不等式問題：

① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進行變形

② 在有些關于項的不等式證明中，可向求和問題進行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源。或錯誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側均為正數），然后通過“累加”或“累乘”達到一側為錯誤！未找到引用源。，另一側為求和的結果，進而完成證明 應用舉例:

類型一：與前n項和相關的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學高三摸底考試】已知數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。為常數，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。）．

（1）求錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）設錯誤！未找到引用源。，若數列錯誤！未找到引用源。為等比數列，求錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的取值范圍．

例2.記錯誤！未找到引用源。.對數列錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.現設錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數列，且當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。

（1）求數列的通項公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數，若，求證：；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設，求證：.類型

二、與通項運算相關的不等式 例3.設函數錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）．

例4.已知錯誤！未找到引用源。是數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。，有錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。為實數，且錯誤！未找到引用源。.（1）當錯誤！未找到引用源。時，①求數列錯誤！未找到引用源。的通項；

②是否存在這樣的正整數錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成等比數列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當錯誤！未找到引用源。時，設錯誤！未找到引用源。，① 判定錯誤！未找到引用源。是否為等比數列；

②設錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。的取值范圍.方法、規律歸納: 常見的放縮變形：

（1）錯誤！未找到引用源。，（2）錯誤！未找到引用源。

注：對于錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。可推廣為：錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。實戰演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學期期中】已知數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。記數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。

（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。為等比數列，并求其通項錯誤！未找到引用源。；

（2）求錯誤！未找到引用源。；

（3）問是否存在正整數錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立？說明理由.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學期武進區高中數學期中試卷】在數列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數列錯誤！未找到引用源。為等差數列；

⑵ 設錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若當錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。，試求數列錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學期期中考試】已知數列的前項和為，滿足，．數列

滿足（1）求數列（2）若和，且． 的通項公式；，數列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數的取值范圍；

（3）是否存在正整數，使，請說明理由．）成等差數列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，4．已知數列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。，其中，錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．

（1）求數列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）是否存在自然數錯誤！未找到引用源。，使得對于任意錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。，求數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。．

5．【江蘇省啟東中學2018屆高三上學期第一次月考】設數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且滿足錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。為常數．

（1）是否存在數列錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數列；若不存在，說明理由．（2）當錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。．

（3）當錯誤！未找到引用源。時，求證：當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學2018屆高三上學期開學考試】已知兩個無窮數列

分別滿足，其中（1）若數列（2）若數列①若數列②若數列，設數列的前項和分別為的通項公式；，使得，稱數列

.都為遞增數列，求數列滿足：存在唯一的正整數“墜點數列”，求 為“墜點數列”，數列

為“墜點數列”.為“墜點數列”，是否存在正整數，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.7．【江蘇省南京師范大學附屬中學2017屆高三高考模擬一】已知數集錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數集錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。是否具有性質錯誤！未找到引用源。，并說明理由；

（2）求證： 錯誤！未找到引用源。；

（2）若錯誤！未找到引用源。，求錯誤！未找到引用源。的最小值.8．記等差數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。是等差數列；

（2）若 錯誤！未找到引用源。，對任意錯誤！未找到引用源。，均有錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。的等差數列，求使錯誤！未找到引用源。為整數的正整數錯誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯誤！未找到引用源。，求證： 錯誤！未找到引用源。.9．已知數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數列{an}是公差為2的等差數列，求數列{cn}的通項公式；

（2）若存在實數λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數列{an}是等差數列．

10．已知各項不為零的數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。．

（1）若錯誤！未找到引用源。成等比數列，求實數錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。成等差數列，①求數列錯誤！未找到引用源。的通項公式；

②在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數列，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的最大值．

放縮法證明數列不等式

基礎知識回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見的數列求和方法和通項公式特點：

① 等差數列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。的一次函數或常值函數）

② 等比數列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。的指數類函數）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數列的每一項裂項之后正負能夠相消，進而在求和后式子中僅剩有限項

（2）與求和相關的不等式的放縮技巧：

① 在數列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數列的通項公式入手

② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮小（應與所證的不等號同方向）

③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數列的通項公式靠攏，常見的是向等比數列與可裂項相消的數列進行靠攏。

④ 若放縮后求和發現放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調：看能否讓數列中的一些項不動，其余項放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進行設計，選擇放縮程度更小的方式再進行嘗試。

（3）放縮構造裂項相消數列與等比數列的技巧：

① 裂項相消：在放縮時，所構造的通項公式要具備“依項同構”的特點，即作差的兩項可視為同一數列的相鄰兩項（或等距離間隔項）

② 等比數列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。常數”的形式，所構造的等比數列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現出放縮的目標，則可從所證不等式的常數入手，常數可視為錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構造出等比數列的首項與公比，進而得出等比數列的通項公式，再與原通項公式進行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數錯誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數列的首項為錯誤！未找到引用源。，公比為錯誤！未找到引用源。，即通項公式為錯誤！未找到引用源。注：此方法會存在風險，所猜出的等比數列未必能達到放縮效果，所以是否選擇利用等比數列進行放縮，受數列通項公式的結構影響

（4）與數列中的項相關的不等式問題：

① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進行變形

② 在有些關于項的不等式證明中，可向求和問題進行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源。或錯誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側均為正數），然后通過“累加”或“累乘”達到一側為錯誤！未找到引用源。，另一側為求和的結果，進而完成證明 應用舉例:

類型一：與前n項和相關的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學高三摸底考試】已知數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。為常數，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。）．

（1）求錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）設錯誤！未找到引用源。，若數列錯誤！未找到引用源。為等比數列，求錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的取值范圍．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。

（2）由（1）知，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，若數列錯誤！未找到引用源。為等比數列，則有錯誤！未找到引用源。，而錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。，解得錯誤！未找到引用源。，再將錯誤！未找到引用源。代入錯誤！未找到引用源。，得錯誤！未找到引用源。，例2.記錯誤！未找到引用源。.對數列錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.現設錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數列，且當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。

（1）求數列的通項公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數，若，求證：；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設，求證：.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）詳見解析（3）詳見解析 【解析】

試題分析：（1）根據及時定義，列出等量關系，解出首項，寫出通項公式；（2）根據子集關系，進行放縮，轉化為等比數列求和；（3）利用等比數列和與項的大小關系，確定所定義和的大小關系：設錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。因此由錯誤！未找到引用源。，因此錯誤！未找到引用源。中最大項必在A中，由（2）得錯誤！未找到引用源。.試題解析：（1）由已知得錯誤！未找到引用源。.于是當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.又錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。.所以數列錯誤！未找到引用源。的通項公式為錯誤！未找到引用源。.（2）因為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。.因此，錯誤！未找到引用源。.綜合①②③得，錯誤！未找到引用源。.類型

二、與通項運算相關的不等式 例3.設函數錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）． 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．

故錯誤！未找到引用源。，則有：錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。例4.已知錯誤！未找到引用源。是數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。，有錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。為實數，且錯誤！未找到引用源。.（1）當錯誤！未找到引用源。時，①求數列錯誤！未找到引用源。的通項；

②是否存在這樣的正整數錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成等比數列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當錯誤！未找到引用源。時，設錯誤！未找到引用源。，① 判定錯誤！未找到引用源。是否為等比數列；

②設錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。的取值范圍.【答案】（1）①錯誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。時，數列錯誤！未找到引用源。是以錯誤！未找到引用源。為首項，錯誤！未找到引用源。為公比的等比數列，當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，不是等比數列；②錯誤！未找到引用源。．

方法、規律歸納: 常見的放縮變形：

（1）錯誤！未找到引用源。，（2）錯誤！未找到引用源。

注：對于錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。可推廣為：錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。實戰演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學期期中】已知數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。記數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。

（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。為等比數列，并求其通項錯誤！未找到引用源。；

（2）求錯誤！未找到引用源。；

（3）問是否存在正整數錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立？說明理由.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）當錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見解析

（3）假設存在正整數錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立，因為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，所以只要錯誤！未找到引用源。

即只要滿足 ①：錯誤！未找到引用源。，和②：錯誤！未找到引用源。，對于①只要錯誤！未找到引用源。就可以； 對于②，當錯誤！未找到引用源。為奇數時，滿足錯誤！未找到引用源。，不成立，當錯誤！未找到引用源。為偶數時，滿足錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。令錯誤！未找到引用源。，因為錯誤！未找到引用源。

即錯誤！未找到引用源。，且當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，所以當錯誤！未找到引用源。為偶數時，②式成立，即當錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。成立.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學期武進區高中數學期中試卷】在數列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數列錯誤！未找到引用源。為等差數列；

⑵ 設錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若當錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。，試求數列錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。

要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數恒成立，只要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數恒成立，即使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。為正偶數恒成立，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，故實數錯誤！未找到引用源。的取值范圍是錯誤！未找到引用源。； ⑶由⑴得錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，設錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，因此數列錯誤！未找到引用源。的最大值為錯誤！未找到引用源。．

【點睛】本題考查數列與不等式的綜合應用，涉及等差數列的判定與證明，其中證明（1）的關鍵是分析得到錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。的關系式．

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學期期中考試】已知數列滿足，且

． 的前項和為，滿足，．數列（1）求數列（2）若和的通項公式；，數列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數的取值范圍；

（3）是否存在正整數，使，請說明理由．

【答案】（1）（2））成等差數列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，（3）不存在

（2）由（1）得于是所以，兩式相減得所以由（1）得因為對 即所以恒成立，都有，，恒成立，記所以因為從而數列于是，為遞增數列，所以當．

（），使

成等差數列，則，時取最小值，（3）假設存在正整數即，若為偶數，則若為奇數，設于是當時，為奇數，而為偶數，上式不成立.，則，與

矛盾；，即，此時

4．已知數列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。，其中，錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．

（1）求數列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）是否存在自然數錯誤！未找到引用源。，使得對于任意錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。，求數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。；（2）存在，錯誤！未找到引用源。；（3）錯誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：

（1）根據題設條件用累乘法能夠求出數列{an}的通項公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項為2，公比為2的等比數列，由此能求出{bn}的通項公式．（2）bn=2n．假設存在自然數m，滿足條件，先求出錯誤！未找到引用源。，將問題轉化成錯誤！未找到引用源。可求得錯誤！未找到引用源。的取值范圍；（3）分n是奇數、n是偶數兩種情況求出Tn，然后寫成分段函數的形式。

試題解析：（1）由錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。． 又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.當錯誤！未找到引用源。時，上式成立，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。是首項為2，公比為2的等比數列，故錯誤！未找到引用源。.（3）當錯誤！未找到引用源。為奇數時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。； 當錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.因此錯誤！未找到引用源。．

點睛：數列求和時，要根據數列項的特點選擇不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組求和等。

5．【江蘇省啟東中學2018屆高三上學期第一次月考】設數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且滿足錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。為常數．

（1）是否存在數列錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數列；若不存在，說明理由．

（2）當錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。．

（3）當錯誤！未找到引用源。時，求證：當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。． 【答案】（1）不存在，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析

當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，兩式相減得錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，綜上，錯誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學2018屆高三上學期開學考試】已知兩個無窮數列的前項和分別為（1）若數列.分別滿足，其中，設數列都為遞增數列，求數列的通項公式；（2）若數列①若數列②若數列滿足：存在唯一的正整數“墜點數列”，求 為“墜點數列”，數列，使得，稱數列為“墜點數列”.為“墜點數列”，是否存在正整數，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.【答案】（1）

.（2）①，② 6.7．【江蘇省南京師范大學附屬中學2017屆高三高考模擬一】已知數集錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數集錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。是否具有性質錯誤！未找到引用源。，并說明理由；

（2）求證： 錯誤！未找到引用源。；

（2）若錯誤！未找到引用源。，求錯誤！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）見解析（3）錯誤！未找到引用源。.（2）因為集合錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。，所以對錯誤！未找到引用源。而言，存在錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。，又因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，同理可得錯誤！未找到引用源。，將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。.（3）由（2）可知錯誤！未找到引用源。，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，構成數集錯誤！未找到引用源。，經檢驗錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。.點睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。求解第一問時，直接運用題設條件中所提供的條件信息進行驗證即可；解答第二問時，先運用題設條件中定義的信息可得錯誤！未找到引用源。，同理可得錯誤！未找到引用源。，再將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。即可獲證錯誤！未找到引用源。；證明第三問時，充分借助（2）的結論可知錯誤！未找到引用源。，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。可得錯誤！未找到引用源。，因此構成數集錯誤！未找到引用源。，經檢驗錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。，進而求出錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。.8．記等差數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。是等差數列；

（2）若 錯誤！未找到引用源。，對任意錯誤！未找到引用源。，均有錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。的等差數列，求使錯誤！未找到引用源。為整數的正整數錯誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯誤！未找到引用源。，求證： 錯誤！未找到引用源。.【答案】（1）見解析（2）錯誤！未找到引用源。（3）見解析

解：（1）設等差數列錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。，從而錯誤！未找到引用源。，所以當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即數列錯誤！未找到引用源。是等差數列.（2）因為的任意的錯誤！未找到引用源。都是公差為錯誤！未找到引用源。，的等差數列，所以錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。，的等差數列，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，顯然，錯誤！未找到引用源。滿足條件，當錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。不是整數，綜上所述，正整數錯誤！未找到引用源。的取值集合為錯誤！未找到引用源。.（3）設等差數列錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，即數列錯誤！未找到引用源。是公比大于錯誤！未找到引用源。，首項大于錯誤！未找到引用源。的等比數列，記公比為錯誤！未找到引用源。.以下證明： 錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。為正整數，且錯誤！未找到引用源。，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，當錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。為減函數，錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，綜上，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。.9．已知數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數列{an}是公差為2的等差數列，求數列{cn}的通項公式；

（2）若存在實數λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數列{an}是等差數列． 【答案】（1）cn＝1．（2）見解析.10．已知各項不為零的數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。．

（1）若錯誤！未找到引用源。成等比數列，求實數錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。成等差數列，①求數列錯誤！未找到引用源。的通項公式； ②在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數列，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的最大值．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。

（3）錯誤！未找到引用源。，在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數，組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數列，故有錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，