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第一篇：論文-放縮法證明數(shù)列不等式的基本策略

放縮法證明數(shù)列不等式的基本策略

廣外外校姜海濤

放縮法證明數(shù)列不等式是高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對不等式的局部進(jìn)行合理的放大和縮小從而向結(jié)論轉(zhuǎn)化，其難度在于放縮的合理和適度。證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧從而充滿思考性和挑戰(zhàn)性。為了幫助更多的學(xué)生突破這一難點(diǎn)，我們從以下幾個(gè)方面對放縮法證明數(shù)列不等式的基本策略進(jìn)行分析。

一、常見的放縮方法

常見的放縮方法法有：

1.“添舍”放縮：對不等式一邊添項(xiàng)或舍項(xiàng)以達(dá)到放大和縮小的效果；

2.分式放縮：分別放縮分子、分母或者同時(shí)放縮分子分母以達(dá)到放縮的效果；

3.利用重要的不等式或結(jié)論放縮：把欲證不等式變形構(gòu)造，然后利用已知的公式或恒不等式進(jìn)行放縮，例如均值不等式、柯西不等式、絕對值不等式、二項(xiàng)式定理、貝努力公式、真分?jǐn)?shù)性質(zhì)等。

4.單調(diào)性放縮：挖掘不等式的結(jié)構(gòu)特征和函數(shù)內(nèi)涵來構(gòu)造單調(diào)數(shù)列或單調(diào)函數(shù)，利用單調(diào)性、值域產(chǎn)生的不等關(guān)系進(jìn)行放縮。

二、常見的放縮控制

當(dāng)我們選擇了正確的放縮方法后，卻往往會(huì)在放縮的過程中不知不覺間失控，導(dǎo)致放縮的過大或過小，達(dá)不到欲證的目標(biāo)。那么如何控制好放縮的尺度呢？

例1．求證：11117?????? 122232n2

4分析1：不等式左邊不能直接求和，我們希望通過合適的放縮后可以求和。1111 ???(n?2)”的方法向右端放大，n2n(n?1)(n?1)n

11111117111?1?(?)?(?)???(?)?2??2? 則左邊?1????1223n?1nn41?22?3(n?1)?n若采取“

很明顯，放得有點(diǎn)大了，導(dǎo)致傳遞性失敗，不等式鏈中斷，放縮失敗。那怎么辦呢？

1．調(diào)整放縮的“量”的大小

分析2：分析1中“放”的有點(diǎn)過大，因?yàn)??1，放大了11?11，?所以可以2221?2432?318

通過調(diào)整放大的“量”來控制放縮的效果。在減少1，即11分母減少了n，我們可以把分母只?n2n(n?1)11111??(?)n?2），這樣放的量就少了。22nn?12n?1n?

***17?)?=1+(1???)?<1+(1?)= 證明：左邊<1??(?)?(?)?(?)+??(2132435n?1n?122nn?1224

2．調(diào)整放縮的“項(xiàng)”的起點(diǎn)

分析3：分析1中從第二項(xiàng)開始放縮，放的最終有點(diǎn)大?？梢哉{(diào)整放縮的項(xiàng)數(shù)，從第三項(xiàng)開始放縮。證明：左邊?1??11111717111?1??(?)???(?)???? ??423n?1n4n442?3(n?1)?n

由此可見，調(diào)整成功。顯然從第三項(xiàng)開始放縮所得的結(jié)果比從第二項(xiàng)開始放縮所得的結(jié)果又更小些。以此類推，當(dāng)放縮的項(xiàng)數(shù)越少，放縮后的結(jié)果就會(huì)越來越精細(xì)，越來越逼近目標(biāo)。

除此之外，還可以調(diào)整放縮的次數(shù)，通過多次放縮的調(diào)整來達(dá)到效果；有時(shí)也可以根據(jù)欲證式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把相鄰的項(xiàng)分組捆綁后進(jìn)行放縮，也可以達(dá)到控制放縮合理和尺度的效果。

三、常見的問題類型

數(shù)列型不等式的一邊常與求和有關(guān)，所以可以通過放縮后求和(或求和后放縮)來達(dá)到欲證的目標(biāo)。一.放縮與“公式法求和”

選擇恰當(dāng)?shù)姆趴s方法，通過“通項(xiàng)”的適度放縮使之轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，從而利用求和達(dá)到簡化．．．．證題的目的。

n(n?1)(n?1)

2?sn?例2

．設(shè)Sn? 22

分析：此數(shù)列通項(xiàng)為ak?因?yàn)閗?k?

k(k?1),k?1,2,?n.k?(k?1)

1，?k?k(k?1)?k? 22

k(k?1)?

n(n?1)(n?1)21

?sn???k?Sn??(k?)，即 222k?1k?1

例3．求證：

1111

??????2 1!2!3!n!

?k?1,k?1,2,?,n.k!2

分析：通項(xiàng)k!?k(k?1)??2?1?2?2?2?1?2k?1,?

11?()n

11111111?2?(1)n?1?2???????0?1?2???k?1?

11!2!3!n!22222

1?2

例4．已知an?2n?1，證明：

an1a1a2n

?????n? 23a2a3an?12

aakn2k?12k?11

分析：通項(xiàng)?k?1?k?1?，?k?，不等式右邊得證。

ak?12?12?22k?1ak?12

akak?1

11?

2?11111111?1? ?k?1???????kkkk

11223?2?(2?2)23?2?023?22?1

2(2k?)4(2k?)

2k?

ak11n1111n11n1

????(?)??(???)??(1?)??，不等式左邊得證。k12nn

a22323233?22222k?1k?1k?1

二.放縮與“裂項(xiàng)法求和”

在例1中，不等式的左邊無法求和，但通過放縮產(chǎn)生裂項(xiàng)相消的求和效果后，使問題解決。例2的右

邊也是利用放縮產(chǎn)生了裂項(xiàng)的效果，然后求和。下面我們再通過幾道例題的證明體會(huì)裂項(xiàng)求和效果的運(yùn)用。例5.求證：2(n?1?1)?

3???

?2n

分析：?

2k?k

2k?k?1

?2(k?k?1),(k?2)

k?1

1k?

?1?2[(2?)?(3?2)??(n?n?1)]?1?2(?1?n)?2n?1?2n 2k?k

2k?k?1

?2(k?1?k)

k?1

?2[(2?)?(?2)??(n?1?n)]?2(?1?n?1)?2(n?1?1)

1n111

例6.已知an?(),bn??,證明：?bk?2n?

31?an1?an?13k?1

分析：bn?

111?n

?1?

3n3n?13n?1?13n?1?1?111?n?n?1?n?n?1?2?n?n?1 13?13?13?13?13?13?1

3n?1

11?3n3n?1

111111111

??bk?2n?[(?1?2)?(?2?3)???(?n?n?1)]?2n?(??n?1)?2n?

333333333k?1?bn?2?

例7.已知f(1)?2,f(n?1)?f(n)?f(n),求證：

k?1

f(k)?12

分析：?f(n?1)?f(n)[f(n)?1],?

1111

???,f(n?1)f(n)[f(n)?1]f(n)f(n)?1

111，??

f(n)?1f(n)f(n?1)

k?1

111111111

?[?]?[?]??[?]??

f(k)?1f(1)f(2)f(2)f(3)f(n)f(n?1)f(1)f(n?1)

由已知可得f(n)?0, ?

三.放縮與“并項(xiàng)法求和” 例8.已知an?

k?1

f(k)?1f(1)2

2n?21117[2?(?1)n?1],n?1,證明：對任意整數(shù)m?4,有????? 3a4a5am8

n?1

分析：通項(xiàng)中含有(?1)，把

?整體捆綁同時(shí)結(jié)合奇偶性進(jìn)行適度放縮。anan?1

1131132n?1?2n?232n?1?2n?2

證明：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，??[?]??

anan?122n?2?12n?1?1222n?3?2n?1?2n?2?1222n?3

即當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)m為偶數(shù)且m>4時(shí)：

11311??(n?2?n?1)，且a4?2, anan?1222

11111111131111??????(?)??(?)??(3?4???m?3?m?2)a4a5ama4a5a6am?1am222222

13111317

?(1?m?4)??? 22422482

當(dāng)m為奇數(shù)且m>4時(shí)：?m?1為偶數(shù)，11111117

??????????? a4a5ama4a5amam?18

綜上可知，對于任意整數(shù)m>4，都有

1117

????? a4a5am8

例9.求證1?

11111n

?????n?n?1?(n?2,n?N)23422?12

分析：尋求合適的處理手法，可以通過分組“捆綁”進(jìn)行放縮。左邊=1?

11111111111111?(?)?(???)?(????)???(n?1??n?n)***?12?12

?1?

=1?

11111111111111?(?)?(???)?(????)???(n??n?n)***222

11111n?????(共n個(gè))?1? 222222

四．利用遞推關(guān)系式放縮

利用遞推關(guān)系式產(chǎn)生的不等關(guān)系，在很多題目中可以起到很好的放縮效果。例10.已知a1?3,ak?2ak?1?1(k?2),求證：

1111

????? 1?a11?a21?an2

分析：根據(jù)欲證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過遞推關(guān)系式構(gòu)造關(guān)于1?ak的不等式

?ak?2ak?1?1,?ak?1?2(ak?1?1)且a1?1?4?ak?1?

ak?1ak-1?1a?111k?1

?（）???2（?a1?1）?2?2??2?4?2k?1?

ak?12ak-1?1ak-2?1a1?1

12131n?1111

?左邊?（）?（）???（）?1-n)?

222222

例11.已知an?2n?1，證明：

1112

????? a2a3an?13

分析：?an?2n?1?2n?2?2(2n?1?1)?2an?1，?

?2(n?2)且a1?1,a2?3, an?1

?n?3時(shí)，an?

左邊?

anan?1a11???3?a2?2n?2?3，??3?()n?2

an2an?1an?2a2

1111212

[1??()2???()n?1]?(1?n)? 3222332

五．構(gòu)造和數(shù)列后進(jìn)行放縮

如果數(shù)列不等式?jīng)]有直接的求和的形式，很多時(shí)候可以間接的構(gòu)造和數(shù)列，然后進(jìn)行放縮處理。例12.已知

nan?11111

?????[log2n]，正數(shù)列?an?滿足a1?b?0,an?(n?2)23n2n?an?1

(n?2)

2?b[log2n]的遞推關(guān)系式，然后利用“累加法”把欲證的不等式轉(zhuǎn)化為和數(shù)列的形式 an

證明：an?

分析：根據(jù)已知構(gòu)造關(guān)于

?0?an?

nan?1111111，???，???(n?2)

anan?1nanan?1nn?an?1

111111111111

?n?2?(?)?(?)???(?)???????

ananan?1an?1an?2a2a1a1nn?12b

2b1112?b[log2n]

?[log2n]???0，?an?

2?b[lo2gn]an2b2b

n?N，定義數(shù)列:，，{x}x?0x?f(x)n1n?1n2

x?2

例13.已知函數(shù)f(x)?

若0?xk?

11(k?2,3,4,?)，證明:對任意m?N*都有:xm?k?xk?.k?123?

4分析：利用遞推式構(gòu)造關(guān)于xk?1?xk的不等式，利用“絕對值不等式”把xm?k?xk放縮為和數(shù)列的形式

由x1?0得x2?

114, x3?，當(dāng)k?2時(shí),?0?xk?,229

xk?xk?1xk?xk?1xk?xk?1xk2?xk2?111

???2?2∴xk?1?xk?2 2

44xk?2xk?1?2(xk?2)(xk?1?2)

∴xk?1?xk?

xk?1?xk

xk?xk?1xk?1?xk?2

xk?xk?1

???

?x3?x2?()k?2x3?x2?()k?2?

x3?x24418

x4?x3

對?m?N,xm?k?xk?(xm?k?xm?k?1)?(xm?k?1?xm?k?2)???(xk?1?xk)

?xm?k?xm?k?1?xm?k?1?xm?k?2???xk?1?xk ?

1?111?

?????m?k?3m?k?4k?2?18?444?

()k?2(1?m)1?8?(1)k?1??1?1??8?(1)k?1?1?(1)k?1?1???m?k?1

***3?4??1?4

上面介紹的數(shù)列不等式主要與“求和”的形式有關(guān)。如果不等式的一邊與求和沒有直接的關(guān)系，也可以辨析題目的結(jié)構(gòu)特征選擇合適的方法進(jìn)行處理，譬如“構(gòu)造單調(diào)數(shù)列”放縮；構(gòu)造“二項(xiàng)展開式”放縮；

對不等式的局部換元，然后再謀求放縮等。限于篇幅所限，本文就不做闡述了。

總之，運(yùn)用放縮法進(jìn)行數(shù)列不等式的證明，要認(rèn)真分析條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，明確方向，防止盲目放縮。同時(shí)還要多總結(jié)、多思考，多掌握一些常用的放縮技巧，以提高分析問題和解決問題的能力。

第二篇：放縮法證明數(shù)列不等式

放縮法證明數(shù)列不等式

基礎(chǔ)知識回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：

① 等差數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）

② 等比數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差錯(cuò)誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差，且原數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)

（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：

① 在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手

② 在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項(xiàng)公式是放大還是縮小（應(yīng)與所證的不等號同方向）

③ 在放縮時(shí)，對通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。

④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng)，其余項(xiàng)放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個(gè)方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。

（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：

① 裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)）

② 等比數(shù)列：所面對的問題通常為“錯(cuò)誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再與原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項(xiàng)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。，即通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。

注：此方法會(huì)存在風(fēng)險(xiǎn)，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)影響

（4）與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問題：

① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進(jìn)行變形

② 在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯(cuò)誤！未找到引用源。或錯(cuò)誤！未找到引用源。（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明應(yīng)用舉例:

類型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。）．

（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。對任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍．

例2.記錯(cuò)誤！未找到引用源。.對數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。和錯(cuò)誤！未找到引用源。的子集錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。；若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。.例如：錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.錯(cuò)誤！未找到引用源。

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.類型

二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式例3.設(shè)函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。）．

例4.已知錯(cuò)誤！未找到引用源。是數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和，且對任意錯(cuò)誤！未找到引用源。，有錯(cuò)誤！未找到引用源。.其中錯(cuò)誤！未找到引用源。為實(shí)數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)；

②是否存在這樣的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，① 判定錯(cuò)誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；

②設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。對錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍.方法、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：

（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。，（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。

注：對于錯(cuò)誤！未找到引用源。還可放縮為：錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯(cuò)誤！未找到引用源。（4）錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源?？赏茝V為：錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。實(shí)戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。記數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。

（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（2）求錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（3）問是否存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立？說明理由.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；

⑵ 設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)的和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，試求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯(cuò)誤！未找到引用源。⑶錯(cuò)誤！未找到引用源。

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．?dāng)?shù)列

滿足（1）求數(shù)列（2）若和，且．的通項(xiàng)公式；，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意的，（，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使，請說明理由．）成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，4．已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（1）求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在自然數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得對于任意錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。．

5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，且滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)．

（1）是否存在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個(gè)滿足要求的數(shù)列；若不存在，說明理由．（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證：錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證：當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知兩個(gè)無窮數(shù)列

分別滿足，其中（1）若數(shù)列（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和分別為的通項(xiàng)公式；，使得，稱數(shù)列

.都為遞增數(shù)列，求數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點(diǎn)數(shù)列”，求為“墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列

為“墜點(diǎn)數(shù)列”.為“墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。對任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，并說明理由；

（2）求證：錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值.8．記等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；

（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。，對任意錯(cuò)誤！未找到引用源。，均有錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯(cuò)誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯(cuò)誤！未找到引用源。，求證：錯(cuò)誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯(cuò)誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；

（2）若存在實(shí)數(shù)λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

10．已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（1）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

②在錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。對任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值．

放縮法證明數(shù)列不等式

基礎(chǔ)知識回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：

（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：

① 在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手

② 在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項(xiàng)公式是放大還是縮小（應(yīng)與所證的不等號同方向）

（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：

（4）與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問題：

① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進(jìn)行變形

② 在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯(cuò)誤！未找到引用源?；蝈e(cuò)誤！未找到引用源。（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯(cuò)誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明應(yīng)用舉例:

（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。

（2）由（1）知，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，則有錯(cuò)誤！未找到引用源。，而錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，故錯(cuò)誤！未找到引用源。，解得錯(cuò)誤！未找到引用源。，再將錯(cuò)誤！未找到引用源。代入錯(cuò)誤！未找到引用源。，得錯(cuò)誤！未找到引用源。，例2.記錯(cuò)誤！未找到引用源。.對數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。和錯(cuò)誤！未找到引用源。的子集錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。；若錯(cuò)誤！未找到引用源。，定義錯(cuò)誤！未找到引用源。.例如：錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.錯(cuò)誤！未找到引用源。

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）詳見解析（3）詳見解析【解析】

試題分析：（1）根據(jù)及時(shí)定義，列出等量關(guān)系，解出首項(xiàng)，寫出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)子集關(guān)系，進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；（3）利用等比數(shù)列和與項(xiàng)的大小關(guān)系，確定所定義和的大小關(guān)系：設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。因此由錯(cuò)誤！未找到引用源。，因此錯(cuò)誤！未找到引用源。中最大項(xiàng)必在A中，由（2）得錯(cuò)誤！未找到引用源。.試題解析：（1）由已知得錯(cuò)誤！未找到引用源。.于是當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。.又錯(cuò)誤！未找到引用源。，故錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。.所以數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（2）因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。.因此，錯(cuò)誤！未找到引用源。.綜合①②③得，錯(cuò)誤！未找到引用源。.類型

故錯(cuò)誤！未找到引用源。，則有：錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。例4.已知錯(cuò)誤！未找到引用源。是數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和，且對任意錯(cuò)誤！未找到引用源。，有錯(cuò)誤！未找到引用源。.其中錯(cuò)誤！未找到引用源。為實(shí)數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)；

②設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，若錯(cuò)誤！未找到引用源。對錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍.【答案】（1）①錯(cuò)誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是以錯(cuò)誤！未找到引用源。為首項(xiàng)，錯(cuò)誤！未找到引用源。為公比的等比數(shù)列，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，不是等比數(shù)列；②錯(cuò)誤！未找到引用源。．

方法、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：

（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。，（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源?？赏茝V為：錯(cuò)誤！未找到引用源。

（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（2）求錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（3）問是否存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立？說明理由.【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見解析

（3）假設(shè)存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以只要錯(cuò)誤！未找到引用源。

即只要滿足 ①：錯(cuò)誤！未找到引用源。，和②：錯(cuò)誤！未找到引用源。，對于①只要錯(cuò)誤！未找到引用源。就可以；對于②，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為奇數(shù)時(shí)，滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，不成立，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。令錯(cuò)誤！未找到引用源。，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。

即錯(cuò)誤！未找到引用源。，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，②式成立，即當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。成立.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；

要使錯(cuò)誤！未找到引用源。對錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，只要使錯(cuò)誤！未找到引用源。對錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，即使錯(cuò)誤！未找到引用源。對錯(cuò)誤！未找到引用源。為正偶數(shù)恒成立，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，故實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍是錯(cuò)誤！未找到引用源。； ⑶由⑴得錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，因此數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值為錯(cuò)誤！未找到引用源。．

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的判定與證明，其中證明（1）的關(guān)鍵是分析得到錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。的關(guān)系式．

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列滿足，且

．的前項(xiàng)和為，滿足，．?dāng)?shù)列（1）求數(shù)列（2）若和的通項(xiàng)公式；，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意的，（，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使，請說明理由．

【答案】（1）（2））成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，（3）不存在

（2）由（1）得于是所以，兩式相減得所以由（1）得因?yàn)閷?即所以恒成立，都有，，恒成立，記所以因?yàn)閺亩鴶?shù)列于是，為遞增數(shù)列，所以當(dāng)．

（），使

成等差數(shù)列，則，時(shí)取最小值，（3）假設(shè)存在正整數(shù)即，若為偶數(shù)，則若為奇數(shù)，設(shè)于是當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，上式不成立.，則，與

矛盾；，即，此時(shí)

4．已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中，錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（1）求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；

【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）存在，錯(cuò)誤！未找到引用源。；（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。．【解析】試題分析：

（1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{bn}的通項(xiàng)公式．（2）bn=2n．假設(shè)存在自然數(shù)m，滿足條件，先求出錯(cuò)誤！未找到引用源。，將問題轉(zhuǎn)化成錯(cuò)誤！未找到引用源?？汕蟮缅e(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍；（3）分n是奇數(shù)、n是偶數(shù)兩種情況求出Tn，然后寫成分段函數(shù)的形式。

試題解析：（1）由錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。．又錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，上式成立，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為奇數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。；當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.因此錯(cuò)誤！未找到引用源。．

點(diǎn)睛：數(shù)列求和時(shí)，要根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的特點(diǎn)選擇不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組求和等。

（1）是否存在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個(gè)滿足要求的數(shù)列；若不存在，說明理由．

（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證：錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證：當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。．【答案】（1）不存在，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析

當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，兩式相減得錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，綜上，錯(cuò)誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知兩個(gè)無窮數(shù)列的前項(xiàng)和分別為（1）若數(shù)列.分別滿足，其中，設(shè)數(shù)列都為遞增數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點(diǎn)數(shù)列”，求為“墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列，使得，稱數(shù)列為“墜點(diǎn)數(shù)列”.為“墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.【答案】（1）

.（2）①，② 6.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。對任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，并說明理由；

（2）求證：錯(cuò)誤！未找到引用源。；

（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。，求錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）見解析（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。.（2）因?yàn)榧襄e(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以對錯(cuò)誤！未找到引用源。而言，存在錯(cuò)誤！未找到引用源。，使得錯(cuò)誤！未找到引用源。，又因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，同理可得錯(cuò)誤！未找到引用源。，將上述不等式相加得：錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）由（2）可知錯(cuò)誤！未找到引用源。，又錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，構(gòu)成數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。，經(jīng)檢驗(yàn)錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，故錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值為錯(cuò)誤！未找到引用源。.點(diǎn)睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。求解第一問時(shí)，直接運(yùn)用題設(shè)條件中所提供的條件信息進(jìn)行驗(yàn)證即可；解答第二問時(shí)，先運(yùn)用題設(shè)條件中定義的信息可得錯(cuò)誤！未找到引用源。，同理可得錯(cuò)誤！未找到引用源。，再將上述不等式相加得：錯(cuò)誤！未找到引用源。即可獲證錯(cuò)誤！未找到引用源。；證明第三問時(shí)，充分借助（2）的結(jié)論可知錯(cuò)誤！未找到引用源。，又錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源?？傻缅e(cuò)誤！未找到引用源。，因此構(gòu)成數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。，經(jīng)檢驗(yàn)錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。，進(jìn)而求出錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值為錯(cuò)誤！未找到引用源。.8．記等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；

（3）記錯(cuò)誤！未找到引用源。，求證：錯(cuò)誤！未找到引用源。.【答案】（1）見解析（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）見解析

解：（1）設(shè)等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。，從而錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列.（2）因?yàn)榈娜我獾腻e(cuò)誤！未找到引用源。都是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，又錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，顯然，錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足條件，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。不是整數(shù)，綜上所述，正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）設(shè)等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比大于錯(cuò)誤！未找到引用源。，首項(xiàng)大于錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，記公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。.以下證明：錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。為正整數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。為減函數(shù)，錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以錯(cuò)誤！未找到引用源。，綜上，錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯(cuò)誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；

（2）若存在實(shí)數(shù)λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．【答案】（1）cn＝1．（2）見解析.10．已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。，且錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。．

（1）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式； ②在錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。對任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值．

【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。

（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。，在錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，故有錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。，

第三篇：放縮法證明數(shù)列不等式

放縮法證明不等式

1、設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)的和Sn?

43an?

13?

3(n?1,2,3,?)

（Ⅰ）求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an；（Ⅱ）設(shè)Tn?

an?4?2

2Sn

(n?1,2,3,?)，證明：?Ti?

i?1

解：易求

Sn?Tn?

（其中n為正整數(shù)）

432

an??

13?

n?1

?23

n?1

?1??2?1?

n?1

?1??2?1?

1?1?

??n?n?1

2?2?12?1?

所以：

i?1

Ti?

313?1?

??1?n?1??2?2?12?1?22、求證：（1）

1?1?法1：數(shù)歸（兩邊都可以）

法2：放縮裂項(xiàng) 法3：定積分放縮（2）

22??

?n?N)

???

1n1n

31n?

11n

法1：放縮一：

n(n?1)

(n?2)

Sn?

??1n

?(1336

52)?（15

1653

???

1n?1

1n)

＝1?

1336

121400?

??1??1

121400

?1?

23893600(1

?1?

24003600

.放縮二：

1n?1

(n?1)(n?1)

2n?1

n?1),(n?2)

Sn??54

?（11

2)?

111111111(?????????)22435n?2nn?1n?1

1111151115

(???)??(?)?.223nn?142233

放縮三：

1n?

?(n?

112)(n?

12)

?（1n?

1n?

12)?2（12n?1

12n?1),(n?1)

Sn?

?1?2（13

???

12n?1

12n?1)?1?2（13

12n?1)?

法2：數(shù)歸——加強(qiáng)命題：常用的放縮公式：

1n(n?1)

2n?

n?1?

???

1n(n?1)1n

；n?

n?1?2n?n?

n?1；

???n

2n?1；

a?mb?m

(b?a?0,m?0)

k(k?1)(k?1)?

1n?11k(k?1)

?1?11*

?(k?2,k?N)??

2?k(k?1)k(k?1)?

1n?k?

n?kn1k!?

1n?2

?...?

kn?11

(k?3)

(k?2)

；2?12

n?1n

k!k(k?1)(k?2)

an?

例3：已知：

(n?N

?)，求證：?ai?

i?1

法1：均值不等式：即證

715n2

?...?

2?12

n?1

也即：

715

?...?

2?12

n?1

而

715

?...?

2?12

n?1

???

法2：放縮后裂項(xiàng)求和

an?

2?1212

n?1n

?1?（?

2?12(2?1

n)1

n?1

2?1(2

n?1

?1)(2?1)

2?1

n?1

?1)

法3：數(shù)歸，但是直接去證是不行的，要轉(zhuǎn)化為一個(gè)加強(qiáng)命題

4．定義數(shù)列如下：a1?2,an?1?an?an?1,n?N

證明：（1）對于n?N恒有an?1?an成立。

（2）當(dāng)n?2且n?N，有an?1?anan?1?a2a1?1成立。

（3）1?

2006

1a1

1a2

???

1a2006

?1。

解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。

（2）由an?1?an?an?1得：an?1?1?an(an?1)?an?1?an?1(an?1?1)……

a2?1?a1(a1?1)以上各式兩邊分別相乘得：

an?1?1?anan?1?a2a1(a1?1)，又a1?2?an?1?anan?1?a2a1?1（3）要證不等式1?

2006

1a1

1a2

???

1a2006

?1，可先設(shè)法求和：

1a1

1a2

???

a2006，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。

?an?1?1?an(an?1)

1an?1?11an1a1

1an?1

1an

1an?11a2

1an?1?11a2006

?????

?（1a1?11

1a2?11)?（1a2?1

1a3?1)???（1a2006?1

1a2007?1)

a1?1

a2007?11

?1?

a1a2?a2006

又a1a2?a2006?a1

2006

?1?

1a1a2?a2006

?1?

2006

?原不等式得證。

5．已知數(shù)列?an?中an?

2?1，求證：?ai(ai?1)?3.i?1

方法一：ai(ai?1)?

2?12?1

(2?1)(2?2)

i?1

(2?1)(2?1)

i?1

12?1

i?1

ai(ai?1)?

(2?1)

?（12?1

12?1)?（12?1

12?1)???（12

n?1

12?1

n)?3?

12?1

?3.方法二：

ai(ai?1)?

(2?1)

12?2?

12?2

122?

2?2

i?1

.(i?2)

i?1

ai(ai?1)?2?

???

n?1

?2?(1?

12)?3?n?1

n?1

?3.n

法3：數(shù)歸證?

i?1

ai(ai?1)?3?

12?1

?3.（即轉(zhuǎn)化為證明加強(qiáng)命題）

6、已知函數(shù)f?x??ln?1?x??x，數(shù)列?an?滿足：

a1?

2,ln2?lnan?1?an?1an?f

?an?1an?．

（1）求證：ln?1?x??x；（2）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

（3）求證不等式：a1?a2???an?n?ln2?ln?n?2?．解：（1）f?x??ln?1?x??x，f'?x??

11?x

?1??

x1?x，當(dāng)?1?x?0時(shí)，f'?x??0，即y?f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x?0時(shí)，f'?x??0，即y?f(x)是單

調(diào)遞減函數(shù)．

所以f'?0??0，即x?0是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)

f?x??ln?1?x??x?f?0??0?ln?1?x??x，當(dāng)x?0時(shí)取到等號．（2）法1：數(shù)學(xué)歸納法（先猜想，再證明）

法2：由ln2?lnan?1?an?1an?f?an?1an?得2an?1?an?1an?1，an?1?

12?an，an?1?1?

12?an

?1?

an?12?an，1an?1?

1an?1

?1，即數(shù)列?

??2，公差為?1，是等差數(shù)列，首項(xiàng)為?

a?11?an?1?

nn?1

∴

an?1

??n?1?an?

．

（3）法1：

a1?a2???an?1?

11?1

?1?

12?1

???1?

11??1

?n???????

23n?1n?1??

又∵x?0時(shí)，有x?ln?1?x?，令x?

1n?1?1?2

?0，則

1?n?2?

?ln?1??ln ?n?1n?1?n?1?1

∴n??

3???

345n?1n?2???

?n?ln?ln?ln???ln?ln??? n?1?234nn?1??n?

2?n?2

?n?l?n??

n?1?2

?n??ln?

?343

???ln?2

n? ?nl?

∴a1?a2???an?n?ln2?ln?n?2? ．法2：積分法要證原命題，即證：?

?1?2

??ln(n?2)?ln2 n?1?1

????

11??1???????3n?1??2

?1?2

n?2

dx?lnx

n?22

法3：數(shù)歸證明：?7.1、（1）求證：2

???

??ln(n?2)?ln2 n?1?

?2n?1(n?2,n?N)

nn?1n01

法1：2?Cn?Cn?...?Cn?Cn；

法2：數(shù)學(xué)歸納法法3：函數(shù)法（求導(dǎo)）

8.若n?N，證明：()+()+…+（n

n?1n)+（n

nn)?

ee?1

提示:借助e?1?x證明

第四篇：放縮法證明數(shù)列不等式經(jīng)典例題

放縮法證明數(shù)列不等式

主要放縮技能： 1.1111111???2??? nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n

114411????2(?)

22n4n?1(2n?1)(2n?1)2n?12n?1n2?4

2.???? ????2)

? ??

? 4.2n2n2n?1115.n ????(2?1)2(2n?1)(2n?2)(2n?1)(2n?1?1)2n?1?12n?16.n?22(n?1)?n11??? n(n?1)?2n?1n(n?1)?2n?1n?2n(n?1)?2n?1

x2?x?n*c?(n?N)例1.設(shè)函數(shù)y?的最小值為，最大值為，且abnnn2x?1

（1）求cn；（2）證明：

例2.證明：16?1?

例3.已知正項(xiàng)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)的和為sn，且an?

2（1）求證：數(shù)列sn是等差數(shù)列； 11117?????? 444c14c2c3cn4????17 1?2sn，n?N*； an??

（2）解關(guān)于數(shù)列n的不等式：an?1?(sn?1?sn)?4n?8

（3）記bn?2sn,Tn?331111?Tn??????

?，證明：1 2b1b2b3bn

例4.已知數(shù)列?an?滿足：?n?2?an?an?1； ?是公差為1的等差數(shù)列，且an?1?nn??

（1）求an；（2

????2 例5.在數(shù)列?an?中，已知a1?2,an?1an?2an?an?1；

（1）求an；（2）證明：a1(a1?1)?a2(a2?1)?a3(a3?1)???an(an?1)?3

2n?1an例6.數(shù)列?an?滿足：a1?2,an?1?； n(n?)an?22

5112n

（1）設(shè)bn?，求bn；（2）記cn?，求證：?c1?c2?c3???cn? 162n(n?1)an?1an

例7.已知正項(xiàng)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)的和為sn滿足：sn?1,6sn?(an?1)(an?2)；

（1）求an；

（2）設(shè)數(shù)列?bn?滿足an(2n?1)?1,并記Tn?b1?b2?b3???bn，b

求證：3Tn?1?log2n

(a?3)（函數(shù)的單調(diào)性，貝努力不等式，構(gòu)造，數(shù)學(xué)歸納法）

例8.已知正項(xiàng)數(shù)列?an?滿足：a1?1,nan?1(n?1)an??1，anan?1

記b1?a1,bn?n[a1?

（1）求an；

（2）證明：(1?

2111????](n?2)。222a2a3an?11111)(1?)(1?)?(1?)?4 b1b2b3bn4

第五篇：放縮法與數(shù)列不等式的證明

2017高三復(fù)習(xí)靈中黃老師的專題

放縮法證明數(shù)列不等式

編號：001 引子：放縮法證明數(shù)列不等式歷來是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，在高考數(shù)列試題中經(jīng)常扮演壓軸的角色。由于放縮法靈活多變，技巧性要求較高，所謂“放大一點(diǎn)點(diǎn)太大，縮小一點(diǎn)點(diǎn)太小”。為了揭開放縮法的神秘面紗，黃老師特開設(shè)這一專題，帶領(lǐng)大家走近“放縮法”。一．放縮法證明不等式的理論依據(jù)：１．不等式的傳遞性：

２．同向不等式的可加性：

３．同向的正數(shù)不等式的可乘性：

二．常見的數(shù)列求和的方法及公式特點(diǎn)：１．等差數(shù)列的和;an?_____sn?______(n?N?)２．等比數(shù)列的和：an?k?qn,sn?３．錯(cuò)位相減法：等差×等比

４．裂項(xiàng)相消法：若an?an?1?d(d為常數(shù)）在三.常見題型分析：

１．放縮目標(biāo)模型：可求和１．１等差模型

1111?(?)(n?N?)

an?an?1dan?1ana1(1?qn)（q?1）(n?N?)1?qn(n?1)n(n?2)?1?2?2?3?...?n(n?1)?例１.（１９８５全國卷）求證：(n?N?)22

n(n?1)n(n?3)?1?2?2?3?...?n(n?1)?變式：(n?N?)22

１.２等比模型

1111例２.求證：?2?3?....?n?1(n?N?)2222

變式.求證：1?12?1?11223?1?......?2n?1?1(n?N?2?1)

例３.（２０１４全國卷Ⅱ１?an?滿足a1?1,an?1?3an?1,1）證明：???a1?n?2??是等比數(shù)列.并求?an?的通項(xiàng)公式 2）證明：1a?113a?.......??12an2

變式：求證：12?1?12?1?115223?1?......?2n?1?3(n?N?)

例４.（２００２全國卷理２２題７題）第２問已知數(shù)已知數(shù)列

列（（）?an?滿足an?1?an2?nan?1,n?1,2,3.......當(dāng)a1?3時(shí)，證明對所有的n?1,n?N?(1）an?n?2（2）證明：1a1?1a?.......?1?11?2?1an?12

１.３錯(cuò)位相減模型

例５.求證：12?1?23n22?2?23?3?.......?2n?n?2(n?N?)

１.４裂項(xiàng)相消模型

例2(2013廣東文19第(3)問)求證：11?3?13?5?15?7???11(2n?1)(2n?1)?2

11111例６.證明：?n?12?n?122?32?......?n2?n(n?N?)

(n?N?)

111變式１.證明：1?2?2?......?2?2(n?N?)

變式２.證明：

變式３.證明：

變式４.證明：

變式５.證明：

23n 1?111722?32?......?n2?4(n?N?)1?12?115232?......?n2?4(n?N?)?12?13?......?1n?2n(n?N?)?11132?52?......?(2n?1)2?32

1115?變式６.證明：1?2?2?......?235(2n?1)4

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論文-放縮法證明數(shù)列不等式的基本策略

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