第一篇：放縮法證明不等式例證
例談“放縮法”證明不等式的基本策略
江蘇省蘇州市木瀆第二高級中學(xué)母建軍 21510
1近年來在高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，而不等式的證明是高中數(shù)學(xué)中的一個難點，它可以考察學(xué)生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。特別值得一提的是，高考中可以用“放縮法”證明不等式的頻率很高，它是思考不等關(guān)系的樸素思想和基本出發(fā)點, 有極大的遷移性, 對它的運用往往能體現(xiàn)出創(chuàng)造性。“放縮法”它可以和很多知識內(nèi)容結(jié)合，對應(yīng)變能力有較高的要求。因為放縮必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考察，放縮時要注意適度，否則就不能同向傳遞。下面結(jié)合一些高考試題，例談“放縮”的基本策略，期望對讀者能有所幫助。
1、添加或舍棄一些正項（或負(fù)項）
例
1、已知an?2?1(n?N).求證：n*an1a1a2????...?n(n?N*).23a2a3an?
1ak2k?11111111?k?1??????.,k?1,2,...,n, 證明： ?ak?12?122(2k?1?1)23.2k?2k?2232k
?aa1a2n1111n11n1??...?n??(?2?...?n)??(1?n)??, a2a3an?1232222322
3an1aan???1?2?...?n?(n?N*).23a2a3an?1
2若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負(fù)的值，多項式的值變小。由于證明不等式的需要，有時需要舍去或添加一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達(dá)到證明的目的。本題在放縮時就舍去了2k?2，從而是使和式得到化簡.2、先放縮再求和（或先求和再放縮）
例
2、函數(shù)f（x）=4x
1?4x，求證：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+12n?11?(n?N*).2證明：由f(n)= 4n
1?4n=1-11?1? nn1?42?2
2?21得f（1）+f（2）+…+f（n）>1??1?
12?22???1?1
2?2n
111111?n?(1?????n?1)?n?n?1?(n?N*).424222
此題不等式左邊不易求和,此時根據(jù)不等式右邊特征, 先將分子變?yōu)槌?shù)，再對分母進(jìn)
行放縮，從而對左邊可以進(jìn)行求和.若分子, 分母如果同時存在變量時, 要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ浚质降姆趴s對于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。
3、先放縮，后裂項（或先裂項再放縮）
例
3、已知an=n，求證：∑ 證明：∑
k=
1nn
nk=1ak
k
n
＜3．
(k－1)k(k＋1)
=1?k?2n
ak
2=∑
k=
1n
＜1＋∑
k=2
＜１＋∑
k=2
(k－1)(k＋1)（k＋1 ＋k
－1)
=1＋ ∑（k=2
n
－)
(k－1)
(k＋1)
1=1＋1＋－ ＜2＋＜3．
(n＋1)2
2本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項，最后又放縮，有的放矢，直達(dá)目標(biāo).4、放大或縮小“因式”；
n
1.例
4、已知數(shù)列{an}滿足an?1?a,0?a1?,求證：?(ak?ak?1)ak?2?322k?
1n
證明 ?0?a1?
n
11112,an?1?an,?a2?a12?,a3??.?當(dāng)k?1時,0?ak?2?a3?, 2416161n11??(ak?ak?1)?(a1?an?1)?.16k?116
32??(ak?ak?1)ak?2
k?1
本題通過對因式ak?2放大，而得到一個容易求和的式子
5、逐項放大或縮小
?(a
k?
1n
k
?ak?1)，最終得出證明.n(n?1)(n?1)
2?an?例
5、設(shè)an??2?2?3??4???n(n?1)求證 22122n?1
2證明：∵ n(n?1)?n?nn(n?1)?(n?)?
2n?
1n(n?1)(n?1)21?3???(2n?1)
∴ 1?2?3???n?an?，∴
?an?
222
2n?1
本題利用n??，對an中每項都進(jìn)行了放縮，從而得到可以求和的∴ n?
n(n?1)?
數(shù)列，達(dá)到化簡的目的。
6、固定一部分項，放縮另外的項； 例
6、求證：
11117?????? 2222123n
4證明：?
1???
2nn(n?1)n?1n
?
1111111115117??????1??(?????)??(?)?.22222123n223n?1n42n4
此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據(jù)具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。
7、利用基本不等式放縮
例
7、已知an?5n?
4?1對任何正整數(shù)m，n都成立.?1，只要證
5amn?1?aman?因為 amn?5mn?4，aman?(5m?4)(5n?4)?25mn?20(m?n)?16，故只要證
5(5mn?4)?1?25mn?20(m?n)?16? 即只要證
20m?20n?37?
因為am?an?5m?5n?8?5m?5n?8?(15m?15n?29)?20m?20n?37，所以命題得證.本題通過化簡整理之后，再利用基本不等式由am?an放大即可.8、先適當(dāng)組合, 排序, 再逐項比較或放縮
例
8、.已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.(1)證明：nAim＜mAin；(2)證明：(1+m)＞(1+n)
i
i
n
m
證明：(1)對于1＜i≤m，且Aim =m·…·(m－i+1)，Aimmm?1Aimnn?1m?i?1n?i?
1，?????,同理?????ii
mmmnnnmn
由于m＜n，對于整數(shù)k=1，2，…，i－1，有
n?km?k，?
nm
AinAim
所以i?i,即miAin?niAim
nm
(2)由二項式定理有：
2n2n
(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn，由(1)知
mAin
i
＞nAim
i
(1＜i≤m＜n)，而
Cim
∴miCin＞niCim(1＜m＜n)
AimiAin
= ,Cn?i!i!
00222211
∴m0C0n=nCn=1，mCn=nCm=m·n，mCn＞nCm，…，mmm+1m?1mmCmCn＞0，…，mnCnn＞nCm，mn＞0，2n222n1mm∴1+C1nm+Cnm+…+Cnm＞1+Cmn+Cmn+…+Cmn，即(1+m)n＞(1+n)m成立.以上介紹了用“放縮法”證明不等式的幾種常用策略，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)問題的特征選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ袝r還需要幾種方法融為一體。在證明過程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化繁為簡、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮后得不出結(jié)論或得到相反的現(xiàn)象。因此，使用放縮法時，如何確定放縮目標(biāo)尤為重要。要想正確確定放縮目標(biāo)，就必須根據(jù)欲證結(jié)論，抓住題目的特點。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據(jù)不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。希望大家能夠進(jìn)一步的了解放縮法的作用，掌握基本的放縮方法和放縮調(diào)整手段.
第二篇：放縮法證明不等式
放縮法證明不等式
不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。
一、不等式的初等證明方法
1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>
2.分析法：執(zhí)果索因。基本步驟：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。
(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。
3.反證法：正難則反。
4.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：
(1)添加或舍去一些項，如
(2)利用基本不等式，如：
(3)將分子或分母放大(或縮小)：
5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題
化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。
二、部分方法的例題
1.換元法
換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。
2.放縮法
欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。
注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。
數(shù)學(xué)題目是無限的，但數(shù)學(xué)的思想和方法卻是有限的。我們只要學(xué)好了有關(guān)的基礎(chǔ)知識，掌握了必要的數(shù)學(xué)思想和方法，就能順利地應(yīng)對那無限的題目。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。關(guān)鍵是你有沒有培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，有沒有掌握正確的數(shù)學(xué)解題方法。當(dāng)然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節(jié)省時間，這一點在考試時間有限時顯得很重要;二是利用做題來鞏固、記憶所學(xué)的定義、定理、法則、公式，形成良性循環(huán)。
解題需要豐富的知識，更需要自信心。沒有自信就會畏難，就會放棄;有了自信，才能勇往直前，才不會輕言放棄，才會加倍努力地學(xué)習(xí)，才有希望攻克難關(guān)，迎來屬于自己的春天。
第三篇：放縮法證明不等式
主備人：審核：包科領(lǐng)導(dǎo)：年級組長：使用時間：
放縮法證明不等式
【教學(xué)目標(biāo)】
1.了解放縮法的概念；理解用放縮法證明不等式的方法和步驟。
2.能夠利用放縮法證明簡單的不等式。
【重點、難點】
重點：放縮法證明不等式。
難點：放縮法證明不等式。
【學(xué)法指導(dǎo)】
1.據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)，自學(xué)課本內(nèi)容，限時獨立完成導(dǎo)學(xué)案；
2.紅筆勾出疑難點，提交小組討論；
3.預(yù)習(xí)p18—p19,【自主探究】
1，放縮法：證明命題時，有時可以通過縮小（或）分式的分母（或），或通過放大（或縮小）被減式（或）來證明不等式，這種證明不
等式的方法稱為放縮法。
2，放縮時常使用的方法：①舍去或加上一些項，即多項式加上一些正的值，多項式的值變大，或多項式減上一些正的值，多項式的值變小。如t2?2?t2,t2?2?t2等。
②將分子或分母放大（或縮小）：分母變大，分式值減小，分母變小，分
式值增大。
如當(dāng)(k?N,k?1)1111，22kkk(k?1)k(k?1)，③利用平均值不等式，④利用函數(shù)單調(diào)性放縮。
【合作探究】
證明下列不等式
(1)
(2)，已知a>0，用放縮法證明不等式:loga
(a?1)1111??...??2(n?N?)2222123nloga(a?1)?1
(3)已知x＞0, y>0，z>0求證
?x?y?z
（4）已知n?
N?，求證：1
【鞏固提高】
已知a,b,c,d都是正數(shù)，s?
【能力提升】
求證: ?...?abcd???求證:1 1?a?b?a 1?a?b 1?b 本節(jié)小結(jié)： 放縮法證明不等式 在學(xué)習(xí)不等式時，放縮法是證明不等式的重要方法之一，在證明的過程如何合理放縮，是證明的關(guān)鍵所在。現(xiàn)例析如下，供大家討論。例1：設(shè)a、b、c是三角形的邊長，求證 abc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c證明：由不等式的對稱性，不妨設(shè)a≥b≥c，則b?c?a≤c?a?b≤a?b?c 且2c?a?b≤0，2a?b?c≥0 ∴ ? ∴abcabc???3??1??1??1 b?c?ac?a?ba?b?cb?c?ac?a?ba?b?c2a?b?c2b?a?c2c?a?b2a?b?c2b?c?a2c?a?b≥?????0 b?c?ac?a?ba?b?cc?a?bc?a?bc?a?babc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c2b?a?c無法放縮。所以在運用放 c?a?b[評析]：本題中為什么要將b?c?a與a?b?c都放縮為c?a?b呢？這是因為2c?a?b≤0，2a?b?c≥0，而2b?a?c無法判斷符號，因此縮法時要注意放縮能否實現(xiàn)及放縮的跨度。 例2：設(shè)a、b、c是三角形的邊長，求證 abc(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2≥ b?cc?aa?b1 [(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2] 3證明：由不等式的對稱性，不防設(shè)a≥b≥c，則3a?b?c?0,3b?c?a≥b?c?c?c?a? b?c?a?0 左式－右式?3a?b?c3b?c?a3c?a?b(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2 b?ca?ca?b3b?c?a3c?a?b(c?a)2?(a?b)2 a?ba?b2(b?c?a)3b?c?a3c?a?b(a?b)2?(a?b)2?(a?b)2≥0 a?ba?ba?b ≥ ≥[評析]：本題中放縮法的第一步“縮”了兩個式了，有了一定的難度。由例 1、例2也可知運用放縮法前先要觀察目標(biāo)式子的符號。 例3：設(shè)a、b、c?R?且abc?1求證 111≤1 ??1?a?b1?b?c1?c?a證明：設(shè)a?x3,b?y3,c?z3.且 x、y、z?R?.由題意得：xyz?1。 ∴1?a?b?xyz?x3?y3 ∴x3?y3?(x2y?xy2)?x2(x?y)?y2(y?x)?(x?y)2(x?y)≥0 ∴x3?y3≥x2y?xy2 ∴1?a?b?xyz?x3?y3≥xyz?xy(x?y)?xy(x?y?z) ∴ 1z1?≤ xy(x?y?z)x?y?z1?a?byx11≤，≤ ∴命題得證.x?y?zx?y?z1?b?c1?c?a同理：由對稱性可得[評析]：本題運用了排序不等式進(jìn)行放縮，后用對稱性。 39例4：設(shè)a、b、c≥0，且a?b?c?3，求證a2?b2?c2?abc≥ 22證明：不妨設(shè)a≤b≤c，則a≤1?又∵(44。∴a??0。33a?b23?a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a?)≥(3?a)2(a?)。2223833∴左邊?(a?b?c)2?2(ab?bc?ca)?abc 23434 ?9?2a(b?c)?bc(a?)≥9?2a(3?a)?(3?a)2(a?) 2383 341633?9?(3?a)[(3?a)(a?)?a]?9?(3?a)[a2?a?4]?9?(?a3?2a2?a?12)83388?99393?a(a2?2a?1)??a(a?1)2≥ 2282893 ∴a2?b2?c2?abc≥ 22[評析]：本題運用對稱性確定符號，在使用基本不等式可以避開討論。 例5：設(shè)a、b、c?R?，p?R，求證： abc(ap?bp?cp)≥ap?2(?a?b?c)?bp?2(a?b?c)?cp?2(a?b?c) 證明：不妨設(shè)a≥b≥c＞0，于是 左邊－右邊?ap?1(bc?a2?ab?ca)?bp?1(ca?b2?bc?ab)?cp?1(ab?c2?ca?bc) ?ap?1(a?b)[(a?b)?(b?c)]?bp?1(a?b)(b?c)?cp?1[(a?b)?(b?c)](b?c)?ap?1(a?b)2?(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1(b?c)2 ≥(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)如果p?1≥0，那么ap?1?bp?1≥0；如果p?1＜0，那么cp?1?bp?1≥0，故有(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)≥0，從而原不等式得證.例6：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，求證： abc???(1?a)(1?b)(1?c)≤1 b?c?1c?a?1a?b?1abca?b?c≤，再證明以 ??b?c?1c?a?1a?b?1a?b?1證明：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，于是有下簡單不等式 a?b?ca?b?1c?1?(1?a)(1?b)(1?c)≤1，因為左邊???(1?a)(1?b)(1?c) a?b?1a?b?1a?b?1 ?1?1?c[1?(1?a?b)(1?a)(1?b)]，再注意(1?a?b)(1?a)(1?b)≤(1?a?b?ab) a?b?1(1?a)(1?b)?(1?a)(1?b)(1?a)(1?b)?(1?a2)(1?b2)≤1得證.在用放縮法證明不等式A≤B，我們找一個(或多個)中間量C作比較，即若能斷定A ≤C與C≤B同時成立，那么A≤B顯然正確。所謂的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所謂的“縮”即由B縮到C，再把C縮到A。同時在放縮時必須時刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及。 放縮法證明數(shù)列不等式 基礎(chǔ)知識回顧: 放縮的技巧與方法： （1）常見的數(shù)列求和方法和通項公式特點： ① 等差數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)） ② 等比數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。等比”的形式 ④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數(shù)列的每一項裂項之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項 （2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧： ① 在數(shù)列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項公式入手 ② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮小（應(yīng)與所證的不等號同方向） ③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數(shù)列的通項公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。 ④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項不動，其余項放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。 （3）放縮構(gòu)造裂項相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧： ① 裂項相消：在放縮時，所構(gòu)造的通項公式要具備“依項同構(gòu)”的特點，即作差的兩項可視為同一數(shù)列的相鄰兩項（或等距離間隔項） ② 等比數(shù)列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項公式，再與原通項公式進(jìn)行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項為錯誤！未找到引用源。，公比為錯誤！未找到引用源。，即通項公式為錯誤！未找到引用源。 注：此方法會存在風(fēng)險，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)影響 （4）與數(shù)列中的項相關(guān)的不等式問題： ① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進(jìn)行變形 ② 在有些關(guān)于項的不等式證明中，可向求和問題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源。或錯誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例: 類型一：與前n項和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。）． （1）求錯誤！未找到引用源。的通項公式； （2）設(shè)錯誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍． 例2.記錯誤！未找到引用源。.對數(shù)列錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。 （1）求數(shù)列的通項公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.類型 二、與通項運算相關(guān)的不等式 例3.設(shè)函數(shù)錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）． 例4.已知錯誤！未找到引用源。是數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。，有錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。為實數(shù)，且錯誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項； ②是否存在這樣的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，設(shè)錯誤！未找到引用源。，① 判定錯誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列； ②設(shè)錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。的取值范圍.方法、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形： （1）錯誤！未找到引用源。，（2）錯誤！未找到引用源。 注：對于錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。 錯誤！未找到引用源。可推廣為：錯誤！未找到引用源。 錯誤！未找到引用源。實戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。記數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。 （1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項錯誤！未找到引用源。； （2）求錯誤！未找到引用源。； （3）問是否存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立？說明理由.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。． ⑴ 求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等差數(shù)列； ⑵ 設(shè)錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若當(dāng)錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍； ⑶ 設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。，試求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。 3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列的前項和為，滿足，．?dāng)?shù)列 滿足（1）求數(shù)列（2）若和，且． 的通項公式；，數(shù)列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數(shù)的取值范圍； （3）是否存在正整數(shù)，使，請說明理由．）成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，4．已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。，其中，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。． （1）求數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的通項公式； （2）是否存在自然數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得對于任意錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。的最小值； （3）若數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。，求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。． 5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且滿足錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。為常數(shù)． （1）是否存在數(shù)列錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數(shù)列；若不存在，說明理由．（2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。． （3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，求證：當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。． 6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知兩個無窮數(shù)列 分別滿足，其中（1）若數(shù)列（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項和分別為的通項公式；，使得，稱數(shù)列 .都為遞增數(shù)列，求數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點數(shù)列”，求 為“墜點數(shù)列”，數(shù)列 為“墜點數(shù)列”.為“墜點數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，并說明理由； （2）求證： 錯誤！未找到引用源。； （2）若錯誤！未找到引用源。，求錯誤！未找到引用源。的最小值.8．記等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列； （2）若 錯誤！未找到引用源。，對任意錯誤！未找到引用源。，均有錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值集合； （3）記錯誤！未找到引用源。，求證： 錯誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯誤！未找到引用源。，其中n∈N*． （1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項公式； （2）若存在實數(shù)λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 10．已知各項不為零的數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。． （1）若錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項公式； ②在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的最大值． 放縮法證明數(shù)列不等式 基礎(chǔ)知識回顧: 放縮的技巧與方法： （1）常見的數(shù)列求和方法和通項公式特點： ① 等差數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)） ② 等比數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。等比”的形式 ④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數(shù)列的每一項裂項之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項 （2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧： ① 在數(shù)列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項公式入手 ② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮小（應(yīng)與所證的不等號同方向） ③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數(shù)列的通項公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。 ④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項不動，其余項放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。 （3）放縮構(gòu)造裂項相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧： ① 裂項相消：在放縮時，所構(gòu)造的通項公式要具備“依項同構(gòu)”的特點，即作差的兩項可視為同一數(shù)列的相鄰兩項（或等距離間隔項） ② 等比數(shù)列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項公式，再與原通項公式進(jìn)行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數(shù)錯誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數(shù)列的首項為錯誤！未找到引用源。，公比為錯誤！未找到引用源。，即通項公式為錯誤！未找到引用源。注：此方法會存在風(fēng)險，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)影響 （4）與數(shù)列中的項相關(guān)的不等式問題： ① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進(jìn)行變形 ② 在有些關(guān)于項的不等式證明中，可向求和問題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源。或錯誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯誤！未找到引用源。，另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例: 類型一：與前n項和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。）． （1）求錯誤！未找到引用源。的通項公式； （2）設(shè)錯誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍． 【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。 （2）由（1）知，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，若數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，則有錯誤！未找到引用源。，而錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。，解得錯誤！未找到引用源。，再將錯誤！未找到引用源。代入錯誤！未找到引用源。，得錯誤！未找到引用源。，例2.記錯誤！未找到引用源。.對數(shù)列錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。 （1）求數(shù)列的通項公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）詳見解析（3）詳見解析 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)及時定義，列出等量關(guān)系，解出首項，寫出通項公式；（2）根據(jù)子集關(guān)系，進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；（3）利用等比數(shù)列和與項的大小關(guān)系，確定所定義和的大小關(guān)系：設(shè)錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。因此由錯誤！未找到引用源。，因此錯誤！未找到引用源。中最大項必在A中，由（2）得錯誤！未找到引用源。.試題解析：（1）由已知得錯誤！未找到引用源。.于是當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.又錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。.所以數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項公式為錯誤！未找到引用源。.（2）因為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。.因此，錯誤！未找到引用源。.綜合①②③得，錯誤！未找到引用源。.類型 二、與通項運算相關(guān)的不等式 例3.設(shè)函數(shù)錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）． 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析． 故錯誤！未找到引用源。，則有：錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。例4.已知錯誤！未找到引用源。是數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。，有錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。為實數(shù)，且錯誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項； ②是否存在這樣的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，設(shè)錯誤！未找到引用源。，① 判定錯誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列； ②設(shè)錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。的取值范圍.【答案】（1）①錯誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當(dāng)錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。時，數(shù)列錯誤！未找到引用源。是以錯誤！未找到引用源。為首項，錯誤！未找到引用源。為公比的等比數(shù)列，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，不是等比數(shù)列；②錯誤！未找到引用源。． 方法、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形： （1）錯誤！未找到引用源。，（2）錯誤！未找到引用源。 注：對于錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數(shù)：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。 錯誤！未找到引用源。可推廣為：錯誤！未找到引用源。 錯誤！未找到引用源。實戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。記數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。 （1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項錯誤！未找到引用源。； （2）求錯誤！未找到引用源。； （3）問是否存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立？說明理由.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見解析 （3）假設(shè)存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立，因為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，所以只要錯誤！未找到引用源。 即只要滿足 ①：錯誤！未找到引用源。，和②：錯誤！未找到引用源。，對于①只要錯誤！未找到引用源。就可以； 對于②，當(dāng)錯誤！未找到引用源。為奇數(shù)時，滿足錯誤！未找到引用源。，不成立，當(dāng)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，滿足錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。令錯誤！未找到引用源。，因為錯誤！未找到引用源。 即錯誤！未找到引用源。，且當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，所以當(dāng)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，②式成立，即當(dāng)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。成立.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。． ⑴ 求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。為等差數(shù)列； ⑵ 設(shè)錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若當(dāng)錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍； ⑶ 設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。，試求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。 要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，只要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，即使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。為正偶數(shù)恒成立，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，故實數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值范圍是錯誤！未找到引用源。； ⑶由⑴得錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，設(shè)錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。 錯誤！未找到引用源。當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，因此數(shù)列錯誤！未找到引用源。的最大值為錯誤！未找到引用源。． 【點睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的判定與證明，其中證明（1）的關(guān)鍵是分析得到錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。的關(guān)系式． 3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列滿足，且 ． 的前項和為，滿足，．?dāng)?shù)列（1）求數(shù)列（2）若和的通項公式；，數(shù)列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數(shù)的取值范圍； （3）是否存在正整數(shù)，使，請說明理由． 【答案】（1）（2））成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，（3）不存在 （2）由（1）得于是所以，兩式相減得所以由（1）得因為對 即所以恒成立，都有，，恒成立，記所以因為從而數(shù)列于是，為遞增數(shù)列，所以當(dāng)． （），使 成等差數(shù)列，則，時取最小值，（3）假設(shè)存在正整數(shù)即，若為偶數(shù)，則若為奇數(shù)，設(shè)于是當(dāng)時，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，上式不成立.，則，與 矛盾；，即，此時 4．已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。，其中，錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。，數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。． （1）求數(shù)列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的通項公式； （2）是否存在自然數(shù)錯誤！未找到引用源。，使得對于任意錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。的最小值； （3）若數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。，求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。． 【答案】（1）錯誤！未找到引用源。；（2）存在，錯誤！未找到引用源。；（3）錯誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析： （1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{bn}的通項公式．（2）bn=2n．假設(shè)存在自然數(shù)m，滿足條件，先求出錯誤！未找到引用源。，將問題轉(zhuǎn)化成錯誤！未找到引用源。可求得錯誤！未找到引用源。的取值范圍；（3）分n是奇數(shù)、n是偶數(shù)兩種情況求出Tn，然后寫成分段函數(shù)的形式。 試題解析：（1）由錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。． 又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，上式成立，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故錯誤！未找到引用源。.（3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。為奇數(shù)時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。； 當(dāng)錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.因此錯誤！未找到引用源。． 點睛：數(shù)列求和時，要根據(jù)數(shù)列項的特點選擇不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組求和等。 5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且滿足錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。為常數(shù)． （1）是否存在數(shù)列錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數(shù)列；若不存在，說明理由． （2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。． （3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，求證：當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。． 【答案】（1）不存在，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析 當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，兩式相減得錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，綜上，錯誤！未找到引用源。． 6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知兩個無窮數(shù)列的前項和分別為（1）若數(shù)列.分別滿足，其中，設(shè)數(shù)列都為遞增數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“墜點數(shù)列”，求 為“墜點數(shù)列”，數(shù)列，使得，稱數(shù)列為“墜點數(shù)列”.為“墜點數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.【答案】（1） .（2）①，② 6.7．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，并說明理由； （2）求證： 錯誤！未找到引用源。； （2）若錯誤！未找到引用源。，求錯誤！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）見解析（3）錯誤！未找到引用源。.（2）因為集合錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，所以對錯誤！未找到引用源。而言，存在錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。，又因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，同理可得錯誤！未找到引用源。，將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。.（3）由（2）可知錯誤！未找到引用源。，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，構(gòu)成數(shù)集錯誤！未找到引用源。，經(jīng)檢驗錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。.點睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。求解第一問時，直接運用題設(shè)條件中所提供的條件信息進(jìn)行驗證即可；解答第二問時，先運用題設(shè)條件中定義的信息可得錯誤！未找到引用源。，同理可得錯誤！未找到引用源。，再將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。即可獲證錯誤！未找到引用源。；證明第三問時，充分借助（2）的結(jié)論可知錯誤！未找到引用源。，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。可得錯誤！未找到引用源。，因此構(gòu)成數(shù)集錯誤！未找到引用源。，經(jīng)檢驗錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。，進(jìn)而求出錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。.8．記等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列； （2）若 錯誤！未找到引用源。，對任意錯誤！未找到引用源。，均有錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值集合； （3）記錯誤！未找到引用源。，求證： 錯誤！未找到引用源。.【答案】（1）見解析（2）錯誤！未找到引用源。（3）見解析 解：（1）設(shè)等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。，從而錯誤！未找到引用源。，所以當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列.（2）因為的任意的錯誤！未找到引用源。都是公差為錯誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，所以錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，顯然，錯誤！未找到引用源。滿足條件，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。不是整數(shù)，綜上所述，正整數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值集合為錯誤！未找到引用源。.（3）設(shè)等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯誤！未找到引用源。是公比大于錯誤！未找到引用源。，首項大于錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，記公比為錯誤！未找到引用源。.以下證明： 錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。為正整數(shù)，且錯誤！未找到引用源。，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。為減函數(shù)，錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，綜上，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。 錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯誤！未找到引用源。，其中n∈N*． （1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{cn}的通項公式； （2）若存在實數(shù)λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 【答案】（1）cn＝1．（2）見解析.10．已知各項不為零的數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。． （1）若錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項公式； ②在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的最大值． 【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。 （3）錯誤！未找到引用源。，在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，故有錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，第四篇：放縮法證明不等式
第五篇：放縮法證明數(shù)列不等式
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