第一篇：二項分布的期望與方差的證明

二項分布的期望與方差的證明

二項分布是概率統計里面常見的分布，是指相互獨立事件n次試驗發生x次的概率分布，比較常見的例子。種子萌發試驗，有n顆種子，每顆種子萌發的概率是p，發芽了x顆的概率就服從二項分布。

如果還是迷茫，就聽我說說故事，在古代，大概明末清初的時候，瑞士有個家族，叫伯努利家族，出了很多數學家，有一位叫詹姆斯·伯努利(James Bernoulli)的，比較喜歡做試驗，他的試驗有特點，是一系列的試驗，沒發生就是失敗，而且每次的成功概率都是p，若果失敗了就是q=(1-p)，只有這兩種情況，后來人們給了這除了成功就是失敗的性質一個比較抽象的名稱，叫相互對立事件。在這些試驗中，每次得出的結果與其他次試驗都不發生關系，同樣人們也給了這種不發生關系的性質一個比較抽象的名稱，叫相互獨立事件，同時把這種試驗叫做伯努利試驗。在n次伯努利試驗中，發生x次的概率滿足二項分布。

如果令q=(1-p)，那么很容易得出發生x次的概率為C{x，n}*p^x*q^(n-x)，因為決定該分布的只有n、p，所以為了簡單起見，人們把x服從n，p的二項分布記做x～B(n，p)。

現在的目標是計算二項分布的期望和方差，在網上尋找二項分布的期望和方差大都給一個結果，np、npq，很難找到它是怎么來的。好不容易查到，還是花錢才能看的，就那幾步過程，有必要藏著蓋著嗎？今天我把過程寫出來，讓大家都了解了解，都是原創，互相學習，希望支持。

首先，不厭其煩地說一下期望與方差的關系，以便清晰思路。期望用E表示，方差用D表示，一般把自變量記做ξ，如果對于結果為ξ的概率為Pξ那么，其期望為Eξ=∑ξ*Pξ，方差為Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ，另外還有一個常見的量叫做標準差，一般用σ表示，σξ=√Dξ，根據方差的概念，可知： Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ

=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ

=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)

=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ 因為∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ 所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2 而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2 下面計算數學期望, Eξ=∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=∑{ξ =0，n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)

=∑{ξ =1，n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)

=n*p*(p+q)^(n-1)=n*p

如果要計算方差，根據公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2可得出結果，過程如下，Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2

=∑{ξ =0，n}ξ^2*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)－ n*p*∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}ξ*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－ n*p*∑{ξ =1，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*(C{ξ-1，n-1}－C{ξ，n}＋C{ξ，n}*q)

=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*[C{ξ，n}*q－(C{ξ，n}－C{ξ-1，n-1})]

=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n}*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n-1}]

=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-1-ξ)!]

=n*p*[∑{ξ =1，n}n*q*C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－ ∑{ξ =1，n-1}(n-1)*q*C{ξ-1，n-2}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ-1)]

=n*p*[n*q*(p+q)^(n-1)－(n-1)*q*(p+q)^(n-2)]

=n*p*[n*q－(n-1)*q]

=n*p*q

以上就是二項分布的期望與方差的證明，過程比較簡單，就是一個思路，要想更深入的領悟，就須要自己親自地證明一遍了，也許你的方法將會更簡單……

第二篇：二項分布的期望和方差的詳細證明

二項分布的期望的方差的證明

山西大學附屬中學韓永權

離散型隨機變量的二項分布:

在一次隨機試驗中，某事件可能發生也可能不發生，在n次獨立重復試驗中這個事件發生的次數ξ是一個隨機變量．如果在一次試驗中某事件發生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率是Pn(??k)?Cnkpkqn?k，（k?0,1,2n q?1?p）

稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數，并記Cnkpkqn?k＝b(k；n，p)．求證：服從二項分布的隨機變量?的期望E??np.kk?1證明如下：預備公式：kcn?ncn?1

00n?10n?220n?2k?1k?1(n?1)?(n?k)n?1n?10(p?q)n?1?(cn?c1?cn?...?cnq?...?cnq)?1pqn?1pq?1pq?1p?1p

kkkkn?k因為p(??k)?cnp(1?p)n?k?cnpq,00n1n?122n?2kkn?kn0n所以 E??0?cnpq?1?c1??2?cnpq?...?k?cnpq?...?ncnpq npq

00n?110n?220n?2k?1k?1(n?1)?(n?k)n?1n?10=np(cnpq?cpq?cpq?...?cpq?...?cq)?1n?1n?1n?1n?1p

=np(p?q)n?1?np

所以E??np

方法二：

證明：若 X~B(n,p)，則X表示n重貝努里試驗中的“成功” 次數，現在我們來求X的數學期望。

若設Xi???1如第i次試驗成功i?1,2,?0如第i次試驗失敗n

則X?X1?X2?...?Xn，因為 P(Xi?1)?P，P(Xi?0)?1?P?q

所以E(Xi)?0?q?1?p?p，則E(X)?E[?Xi]??E(Xi)?np

i?1i?1nn

可見，服從參數為n和p的二項分布的隨機變量X的數學期望是np 需要指出，不是所有的隨機變量都存在數學期望。求證：服從二項分布的隨機變量?的方差公式D??npq(q?1?p)

?1k?2預備公式：k2Cnk?nCnk?1?n(n?1)Cn?2

kk?1k?1k2Cn?knCn)?1]Cn?1?n[(k?1?1

k?1k?12kk?1k?2k?1k?2?nCn)Cn?1?n(k?1)Cn?1?nCn?1?n(n?1?2 ?kCn?nCn?1?n(n?1)Cn?2

22方法一：證明：D??E??(E?)

iin?iE???i2Cnpq 2

i?0

nnn

?Cpq1

nn?1??nC

i?2

ni?1n?1pqin?ii?2in?i??n(n?1)Cn ?2pqi?2

?npqn?1?np?C

i?1i?1n?1pqi?1n?i?npCq0n?1n?1?n(n?1)p2?Ci?2ni?2n?2pi?2qn?i

?npqn?1?np(p?q)n?1?npqn?1?n(n?1)p2(p?q)n?2

?npqn?1?np?npqn?1?n(n?1)p2?np?n2p2?np2?np(1?p)?n2p2?npq?n2p2

22由公式D(X)?E(X2)?[E(X)]2知，D??E??(E?)

?npq?n2p2?(np)2?np(1?p)

方法二： 設?~B(n,p), 則X表示n重貝努里試驗中的“成功” 次數。

若設Xi??

n?1如第i次試驗成功i?1,2,?0如第i次試驗失敗n 則????i是n次試驗中“成功”的次數，E(?i)?0?q?1?p?p，i?1

故 D(?i)?E(?i2)?[E(?i)]2?p?p2?p(1?p)，i?1,2，n 由于?1,?2,...,?n相互獨立，于是

nD(?)??D(?i)?np(1?p)i?1

第三篇：樣本方差證明

一弛，你好！

樣本方差有2種表達方式：

S2

n1n??(Xi?)2-----（1）ni?1

1n

Sn?1?(Xi?)2-----（2）?n?1i?12

從理論上說這2種定義都是可行的，現實生活中更經常使用方程（2），是因為方程（2）是總體方差真實值?2的無偏估計量，而（1）是有偏估計量。無偏性在應用中非常重要，估計量只有無偏才能保證在樣本數目足夠大時無限趨近于真實值，估計才有意義。證明方程（2）的無偏性如下，思路是對估計量求期望，看是否等于總體方差：

n1E(Sn?1)?E[(Xi?)2]?n?1i?1

n1?E{?[(Xi??)?(??)]2}n?1i?1

nn12?E{?[(Xi??)?2?(Xi??)(??)?n(??)2}n?1i?1i?12

n1?{?E(Xi??)2?2nE(??)2?nE(??)2}n?1i?1

n1?{?E(Xi??)2?nE(??)2}n?1i?1

?212?{n??n()}n?1n

??2

證畢。

如果有問題，可隨時聯系我。

祝好！

陳謝晟

第四篇：n次方差的證明

n次方差公式的證明方法

n次方差公式：

an?bn?(a?b)(an?1?an?2b?an?3b2???abn?2?bn?1)，n?N?

證法一：

an?bn?an?an?1b?an?1b?an?2b2?an?2b2?.....?abn?1?bn

?an?1(a?b)?an?2b(a?b)?.....?bn?1(a?b)?(a?b)(a

證法二： n?1?an?2b?.....?bn?1)

?b?設等比數列?an?的通項公式為an???，則其前n項和為：

?a?

n??b?n?b??b???1????b?1????23n?1na?b?b??b???a?????a???b(an?bn)?b??b?????????......?????????nba?a??a?a?ba(a?b)?a??a?1?a23n?1n n??a(a?b)bbbbb????????故：an?bn?????????......???????b?a??a????a?a??a??n ?(a?b)?an?1?an?2b?an?3b2?......?abn?2?bn?1?

第五篇：隨機變量的均值與方差的計算公式的證明

隨機變量的均值與方差的計算公式的證明

姜堰市勵才實驗學校姜近芳

組合數有很多奇妙的性質,筆者試用這些性質證明了隨機變量的均值與方差的兩組計算公式。

預備知識: 1.kCn?k?n?1?!?nCk?1 k?n!?n?n?1k?1!?n?k!k!?n?k!

k?1k?1k?1k?1k?2k2.k2Cn=nkCn?1?nCn?1?n?k?1?Cn?1=nCn?1?n?n?1?Cn?2

3.N個球中有M個紅色的,其余均為白色的,從中取出n個球,不同的取法有: 0n1n?12n?2ln?ln?n,M??.CMCN?M?CMCN?M?CMCN?M???CMCN?M?CN?l?min

公式證明:

1.X～B?n,p??1?E?X??np.?2?V?X??np?1?p?.證明:E?X??x1p1?x2p2?x3p3???xnpn

001?0?Cnp?1?p??Cnp?1?p?n

0?nCn1?p??1p?n?122?2Cnp?1?p?n?2n?2nn???nCnp ?n?112?Cn1?p??1p?n?1n???Cn?1p ?

?np??1?p??p?

?np.n?1

V?X???x1???p1??x2???p2????xn???pn 222

?x1p1?x2p2?x3p3???xnpn

?2??x1p1?x2p2?x3p3???xnpn?

??22222?p1?p2?p3???pn?

n?122?22Cnp?1?p?

n?1n?2nn???n2Cnp?2?2??2 n?1n?1 ???Cn?1p

n?3n?2n?2???Cn??2 ?2p1?Cnp?1?p?0?npCn1?p??1??1?Cn1?p??1p?n?2n?2?0?n?n?1?p2Cn1?p??2??1?Cn1?p??2p??

?np??1?p??p?

?np?1?p?.n?1?n?n?1?p2??1?p??p?n?2?n2p2

2.X～H?n,M,N??1?E?X? =nMnM?N?M??N?n?.?2?V?X??.NN2N?1證明:E?X??x1p1?x2p2?x3p3???xnpn?l?min?n,M???10n1n?12n?2ln?l0?CC?CC?2CC???lCCMN?MMN?MMN?MMN?M nCN??

?M0n?11n?2l?1n?lCC?CC???CCM?1N?MM?1N?MM?1N?M nCN??

?

=Mn?1?CN?1 nCNnM.N

222V?X???x1???p1??x2???p2????xn???pn

2222?x1p1?x2p2?x3p3???xnpn

?2??x1p1?x2p2?x3p3???xnpn?

??2?p1?p2?p3???pn?

?120n21n?122n?22ln?l20?CC?1?CC?2CC???lCC?? MN?MMN?MMN?MMN?MnCN??

=10n?11n?2l?1n?l〔MCM?1CN?M?CM?1CN?M???CM?1CN?M? nCN??

M?M?1?CM?2CN?M?CM?2CN?M???CM?2CN?M〕?? 0n?21n?3l?2n?l2??

1?nM?n?1n?2?nM?CN???MM?1C??? ?1N?2NCN????2

nMn?n?1??nM???M?M?1????? NNN?1?N?2?

nM?N?M??N?n?.N2N?1