第一篇：n次方差的證明

n次方差公式的證明方法

n次方差公式：

an?bn?(a?b)(an?1?an?2b?an?3b2???abn?2?bn?1)，n?N?

證法一：

an?bn?an?an?1b?an?1b?an?2b2?an?2b2?.....?abn?1?bn

?an?1(a?b)?an?2b(a?b)?.....?bn?1(a?b)?(a?b)(a

證法二： n?1?an?2b?.....?bn?1)

?b?設等比數列?an?的通項公式為an???，則其前n項和為：

?a?

n??b?n?b??b???1????b?1????23n?1na?b?b??b???a?????a???b(an?bn)?b??b?????????......?????????nba?a??a?a?ba(a?b)?a??a?1?a23n?1n n??a(a?b)bbbbb????????故：an?bn?????????......???????b?a??a????a?a??a??n ?(a?b)?an?1?an?2b?an?3b2?......?abn?2?bn?1?

第二篇：樣本方差證明

一弛，你好！

樣本方差有2種表達方式：

S2

n1n??(Xi?)2-----（1）ni?1

1n

Sn?1?(Xi?)2-----（2）?n?1i?12

從理論上說這2種定義都是可行的，現實生活中更經常使用方程（2），是因為方程（2）是總體方差真實值?2的無偏估計量，而（1）是有偏估計量。無偏性在應用中非常重要，估計量只有無偏才能保證在樣本數目足夠大時無限趨近于真實值，估計才有意義。證明方程（2）的無偏性如下，思路是對估計量求期望，看是否等于總體方差：

n1E(Sn?1)?E[(Xi?)2]?n?1i?1

n1?E{?[(Xi??)?(??)]2}n?1i?1

nn12?E{?[(Xi??)?2?(Xi??)(??)?n(??)2}n?1i?1i?12

n1?{?E(Xi??)2?2nE(??)2?nE(??)2}n?1i?1

n1?{?E(Xi??)2?nE(??)2}n?1i?1

?212?{n??n()}n?1n

??2

證畢。

如果有問題，可隨時聯系我。

祝好！

陳謝晟

第三篇：二項分布的期望與方差的證明

二項分布的期望與方差的證明

二項分布是概率統計里面常見的分布，是指相互獨立事件n次試驗發生x次的概率分布，比較常見的例子。種子萌發試驗，有n顆種子，每顆種子萌發的概率是p，發芽了x顆的概率就服從二項分布。

如果還是迷茫，就聽我說說故事，在古代，大概明末清初的時候，瑞士有個家族，叫伯努利家族，出了很多數學家，有一位叫詹姆斯·伯努利(James Bernoulli)的，比較喜歡做試驗，他的試驗有特點，是一系列的試驗，沒發生就是失敗，而且每次的成功概率都是p，若果失敗了就是q=(1-p)，只有這兩種情況，后來人們給了這除了成功就是失敗的性質一個比較抽象的名稱，叫相互對立事件。在這些試驗中，每次得出的結果與其他次試驗都不發生關系，同樣人們也給了這種不發生關系的性質一個比較抽象的名稱，叫相互獨立事件，同時把這種試驗叫做伯努利試驗。在n次伯努利試驗中，發生x次的概率滿足二項分布。

如果令q=(1-p)，那么很容易得出發生x次的概率為C{x，n}*p^x*q^(n-x)，因為決定該分布的只有n、p，所以為了簡單起見，人們把x服從n，p的二項分布記做x～B(n，p)。

現在的目標是計算二項分布的期望和方差，在網上尋找二項分布的期望和方差大都給一個結果，np、npq，很難找到它是怎么來的。好不容易查到，還是花錢才能看的，就那幾步過程，有必要藏著蓋著嗎？今天我把過程寫出來，讓大家都了解了解，都是原創，互相學習，希望支持。

首先，不厭其煩地說一下期望與方差的關系，以便清晰思路。期望用E表示，方差用D表示，一般把自變量記做ξ，如果對于結果為ξ的概率為Pξ那么，其期望為Eξ=∑ξ*Pξ，方差為Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ，另外還有一個常見的量叫做標準差，一般用σ表示，σξ=√Dξ，根據方差的概念，可知： Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ

=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ

=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)

=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ 因為∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ 所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2 而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2 下面計算數學期望, Eξ=∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=∑{ξ =0，n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)

=∑{ξ =1，n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)

=n*p*(p+q)^(n-1)=n*p

如果要計算方差，根據公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2可得出結果，過程如下，Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2

=∑{ξ =0，n}ξ^2*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)－ n*p*∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}ξ*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－ n*p*∑{ξ =1，n}ξ*C{ξ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*(C{ξ-1，n-1}－C{ξ，n}＋C{ξ，n}*q)

=n*p*∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*[C{ξ，n}*q－(C{ξ，n}－C{ξ-1，n-1})]

=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n}*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ，n-1}]

=n*p*[∑{ξ =1，n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*q－∑{ξ =1，n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-1-ξ)!]

=n*p*[∑{ξ =1，n}n*q*C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)－ ∑{ξ =1，n-1}(n-1)*q*C{ξ-1，n-2}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ-1)]

=n*p*[n*q*(p+q)^(n-1)－(n-1)*q*(p+q)^(n-2)]

=n*p*[n*q－(n-1)*q]

=n*p*q

以上就是二項分布的期望與方差的證明，過程比較簡單，就是一個思路，要想更深入的領悟，就須要自己親自地證明一遍了，也許你的方法將會更簡單……

第四篇：方差 教案設計

方差 教案設計

教學設計示例1 第一課時 素質教育目標(一)知識教學點

使學生了解方差、標準差的意義，會計算一組數據的方差與標準差.(二)能力訓練點 1.培養學生的計算能力.2.培養學生觀察問題、分析問題的能力，培養學生的發散思維能力.(三)德育滲透點

1.培養學生認真、耐心、細致的學習態度和學習習慣.2.滲透數學來源于實踐，又反過來作用于實踐的觀點.(四)美育滲透點

通過本節課的教學，滲透了數學知識的抽象美及反映在圖像上的形象美，激發學生對美好事物的追求，岣哐???STRONG數學美的鑒賞力.重點難點疑點及解決辦法 1.教學重點：方差概念.2.教學難點 ：方差概念.3.教學疑點：學生不易理解為什么要用方差去描述一組數據

第 1 頁 的波動大小，為什么不可以用各數據與其平均數的差的來和來衡量這組數據的波動大小呢?為什么對各數據與其平均數的差不取其絕對值，而將其平方呢?對這些問題教師在剖析方差定義時要講清楚.4.解決辦法：教師要講清方差，標準差的意義，即它們都是用來描述一組數據波動情況的特征數，常用來比較兩組數據的波動大小，我們所研究的僅是這兩組數據的個數相等，平均數相等或比較接近時的情況.教學步驟(一)明確目標

前面我們學習了平均數、眾數及中位數，它們都是描述一組數據的集中趨勢的量，這節課我們將進一步學習衡量樣本(或一組數據)和總體的另一類特征數方差、標準差及其計算.這種開門見山式引入課題，能迅速將學生的注意力集中起來，進入新課講解.(二)整體感知

對于一組數據來說，我們除了關心它的集中趨勢以外，還關心它的波動大小.衡量這個波動大小的最常用的特征數，就是方差和標準差.(三)教學過程

1.請同學們看下面的問題：(用幻燈出示)

第 2 頁 兩臺機床同時生產直徑是40毫米的零件，為了檢驗產品質量，從產品中各抽出10件進行測量，記錄

教師引導學生做出表格，觀察表里的數據和圖，提出問題：怎樣能說明在使所生產的10個零件的直徑符合規定方面，哪個機床做得好呢? 對于這個問題，學生會馬上想到計算它們的平均數.教師可把學生分成兩級分別計算這兩組數據的平均數.(請兩名同學到黑板計算)計算的結果說明兩組數據的平均數都等于規定尺寸40毫米.這時教師引導學生思考，這能說明兩個機床做的一樣好嗎?不能!我們再觀察上圖(給學生充分的時間觀察，找出左右兩圖的區別)從圖中看到，機床甲生產的零件的直徑與規定尺寸偏差較大，偏離40毫米線較多;機床乙生產的零件的直徑與規定尺寸偏差較小，比較集中在40毫米線的附近.這 說明，在使所生產的10個零件的直徑符合規定方面，機床乙比機床甲要好.教師說明：從上面看到，對于一組數據，除需要了解它們的平均水平外，還常常需要了解它們的波動大小(即偏離平均數的大小).通過引例的學習，使學生理解為什么要研究數據波動的大小，為提出方差概念做好了準 備.第 3 頁 2.方差概念

教師講解，為了描述一組數據的波動大小，可以采用不止一種辦法，例如，可以先求得各個數據與這組數據的平均數的差的絕對值，再取其平均數，用這個平均數來衡量這組數據的波動大小，通常，采用的是下面的做法：

設在一組數據 中，各數據與它們的平均數 的差的平方分別是，那么我們用它們的平均數，即用

來衡量這組數據的波動大小，并把它叫做這組數據的方差.一組數據方差越大，說明這組數據波動越大.教師要剖析公式中每一個元素的意義，以便學生理解和掌握.在學生理解方差概念時，可能會提出疑問：為什么要這樣定義方差?(教師說明，在表示各數據與其平均數的倔離程度時，為了防止正偏差與負偏差的相互抵消)為什么對各數據與其平均數的差不取其絕對值，而要將它們平方?(教師說明，這主要是因為在很多問題里，含有絕對值的式子不便于運算，且在衡量一組數據波動大小的功能上，方差更強些)為什么要除以數據個數n?(是為了消除數據個數的影響).在學生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通過計算機床甲、乙兩組數據的方差，再根據理論說明哪個機床做得更好.教師范解

從 知道，機床甲生產的10個零件直徑比機床乙生產的10

第 4 頁 個零件直徑波動要大.這樣做使學生深刻體會到數學來源于實踐，又反過來作用實踐，不僅使學生對學習數學產生濃厚的興趣，而且培養了學生應用數學的意識.3.例1(用幻燈出示)已知兩組數據： 甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7 乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1 分別計算這兩組數據的方差.讓學生自己動手計算，求平均數時激發學生用簡化公式計算，找一名好學生到黑板計算.解：根據公式②(取)，有

從 知道，乙組數據比甲組數據波動大.4.標準差概念

在有些情況下，需要用到方差的算術平方根

并把它叫做這組數據的標準差.它也是一個用來衡量一組數據的波動大小的重要的量.教師引導學生分析方差與標準差的區別與聯系：

計算標準差要比計算方差多開一次平方，但它的度量單位與原數據一致，有時用它比較方便.課堂練習教材P165中(1)、(2)(四)總結、擴展

知識小結：通過這節課的學習，使我們知道了對于一組數據，第 5 頁 有時只知道它的平均數還不夠，還需要知道它的波動大小;而描述一組數據的波動大小的量不止一種，最常用的是方差和標準差.方差與標準差這兩個概念既有聯系又有區別.方法小結：求一組數據方差的方法;先求平均數，再利用③求方差，求一組數據標準差的方法：先求這組數據的方差，然后再求方差的算術平方根.布置作業

教材P173中1，2(1)(2)板書設計 14.3 方差(一)方差公式③ 引例 例1 標準差公式④ 教學設計示例2

一、教學目的

1.使學生了解方差、標準差的意義，會計算一組數據的方差與標準差.2.使學生了解樣本方差、樣本標準差、總體方差的意義.二、教學重點、難點

重點：方差、標準差、樣本方差、樣本標準差、總體方差的意義.難點：樣本方差、樣本標準差的計算.三、教學過程

第 6 頁 復習提問

計算一組數據的平均數有哪些方法? 引入新課

在很多實際問題中，只知道一組數據的平均數是不夠的，還需要知道這組數據的波動大小.如何了解數據的波動大小?這正是我們要解決的問題.新課

引例 兩臺機床同時生產直徑是40毫米的零件.為了檢驗產品質量，從產品中抽出10件進行測量，結果如下(單位：毫米)：

表中數據表成如下形式：

可在此處讓學生用公式②分別計算這兩組數據的平均數(還可提問學生a取什么值最好，這樣學生能在教師的啟發下得到a=40最合適).當學生算出如下平均數：

讓學生思考，兩組數據的平均數都等于規定尺寸40毫米時，甲、乙兩機床性能是否都一樣好?提出問題讓學生議議后，再引導學生看圖1，讓學生認識到機床甲生產的零件的直徑與規定尺寸編差較大，偏離40毫米線較多;機床乙生產的零件的直徑與規定尺寸的偏差較小，比較集中在40毫米線的附近.這說明，在使所生產的10個零件的直徑符合規定方面，機床乙比機床甲要好.這反映出，對一組數據，除需要了解它們的平均水平以外，第 7 頁 還常常需要了解它們的波動大小(即偏離平均數的大小).在此處要告訴學生：描述一組數據的波動大小，可以采用不止一種辦法.本課介紹方差即是一種方法.即：

來衡量這組數據的波動大小，并把它叫做這組數據的方差.要強調一組數據方差越大，說明這組數據波動越大.條件許可時，還可介紹③式可表示為：

接下來可以請兩個學生計算引例中機床甲、乙兩組數據的方差.從0.0260.008可以比較出，機床甲生產的10個零件直徑比機床乙生產的10個零件直徑波動要大.(接下來教師再給出如下例題.)例1 已知兩組數據： 分別計算這兩組數據的方差.講此例后，要強調求解步驟為：

(1)求平均數;(2)求方差;(3)比較方差得出結論.此后接前面問題說，用來衡量一組數據的波動的方法還可用一組數據的標準差，即

公式④(即標準差)也是用來衡量一組數據波動大小的重要的量.在本節引例中，兩組數據的標準差，可讓學生算一下，得出： 說明：計算標準差要比計算方差多開一次平方，但它的度量單位與原數據一致，有時用它比較方便.第 8 頁 小結

1.本課學了計算一組數據的方差的公式③.2.本課在方差的基礎上又學了計算一組數據的標準差的公式④.練習：選用課本練習題.作業 ：選用課本習題.四、教學注意問題

要注意通過例題講好求方差題目的解題格式.教學設計示例3

一、教學目的

1.使學生進一步理解方差、標準差的意義.2.使學生掌握利用簡化公式計算一組數據的方差的方法.3.使學生會根據同類問題兩組數據的方差(或標準差)比較兩組數據的波動情況.二、教學重點、難點

重點：簡化計算一組數據的方差公式.難點：利用方差(或標準差)比較兩組數據的波動情況.三、教學過程 復習提問

1.什么是一組數據的方差、標準差? 2.一組數據的方差和標準差應如何計算? 引入新課

第 9 頁 我們看到，用公式③計算一組數據的方差比較麻煩.那么，有否較簡便的計算方法呢? 新課

教師應在黑板上進行如下推導：

推導上述公式后，可讓學生仿①～④四個公式的方法歸納推理出如下結論：

一般地，如果一組數據的個數是n，那么它們的方差可以用下面的公式計算：

在這時，教師要強調：當一組數據中的數較小時，用公式⑤計算方差比公式③計算少了求各數據與平均數的差一步，因此比較方便.例2 計算下面數據的方差(結果保留到小數點后第1位)： 3-1 2 1-3 3 教師可讓學生共同來完成此例.接下來教師按教材指出，當一組數據較大時，可按下述公式計算方差：

其中x1=x1-a，x2=x2-a，xn=xn-a，x1，x2，xn是原已知的n個數據，a是接近這組數據的平均數的一個常數.為使學生對公式⑥加深印象，可讓學生用公式⑥解下例.例3 甲、乙兩個小組各10名學生的英語口語測驗成績如下(單位：分)：

哪個小組學生的成績比較整齊?

第 10 頁 解后，指出解題步驟有如下三步：(3)代入公式⑥計算方差并比較得解.小結

1.本課介紹了當一組數據中的數值較小時，用以計算方差的簡化計算公式⑤.2.本課又學習了當一組數據中的數值較大時，用以計算方差的簡化公式⑥.練習：選用課本練習題.作業 ：選用課本習題.補充作業

2.甲、乙兩組數據的方差之和為13，標準差之和為5，且甲的波動比乙的波動大，求它們各自的標準差.(答案：S甲=3，S乙=2.)3.在某次數學考試中，甲、乙兩校各8個班，不及格的人數分別如下：

分別計算這兩組數據的平均數與方差.四、教學注意問題

要注意給學生講如下三點：

1.方差與標準差是衡量樣本和總體波動大小的特征數.2.用簡化計算公式求方差較為方便.3.對同類問題的兩組數據，方差小的波動小、方差大的波動大

第 11 頁

第 12 頁

第五篇：計量經濟學隨機項方差無偏估計量的證明

?i，是完全可以計因為，樣本殘差可以看作是總體隨機項的估計量，而樣本殘差?i?yi?y

算的，因此，可以用樣本殘差的方差來估計總體隨機項的方差。

我們目的是得到?的無偏估計量，因此，我們需要確定樣本殘差平方和的自由度fe，使得

???i??2?

???2（3.4.3）E?

??fe??

由于?0，所以，上式等價于

??i2?

???2（3.4.4）E?

?f??e?

可以證明fe?n?2，其中n是樣本容量。下面給出證明：