第一篇：談數列與高次不等式的證明

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談數列與高次不等式的證明

作者：蔡漢書

來源：《讀寫算》2012年第95期

關于高次不等式的證明，除了常用的數學歸納法之外，還有利用均值不等式，利用二項式定理，利用等比數列求和公式等方法.本文就以上方法以外再介紹一種新的不等式的證明方法--構造單調數列法.例1 已知，且，求證 ：

證明 設數列 的通項公式為.

第二篇：數列與不等式證明專題

數列與不等式證明專題

復習建議：

1．“巧用性質、減少運算量”在等差、等比數列的計算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標意識”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運用條件，又要時刻注意題的目標，往往能取得與“巧用性質”解題相同的效果2．歸納——猜想——證明體現由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證思想．學習這部分知識，對培養學生的邏輯思維能力，計算能力，熟悉歸納、演繹的論證方法，提高分析、綜合、抽象、概括等思維能力，都有重大意義．

3．解答數列與函數的綜合問題要善于綜合運用函數方程思想、化歸轉化思想等數學思想以及特例分析法，一般遞推法，數列求和及求通項等方法來分析、解決問題．

4．數列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識以及數形結合得到數列的通項公式，然后再利用數列知識和方法求解． 證明方法：（1）先放縮后求和；（2）先求和后放縮(3)靈活運用 例1．數列?a

2n?n?滿足a1?1,a2?2,an?2?(1?cos2)asin2n?

n?2,n?1,2,3,?.(Ⅰ)求a3,a4,并求數列?an?的通項公式；(Ⅱ)設ba2n?

1n?

a,Sn?b1?b2???bn.證明：當n?6S?2?1n2n

n.分析：本題給出數列相鄰兩項的遞推關系，且要對n分奇偶性。

解:(Ⅰ)因為acos

2?

1?1,a2?2,所以a3?(1?2)a1?sin2

?

?a1?1?2,a4?(1?cos2?)a2?sin2??2a2?4.一般地，當n?2k?1(k?N*)時，a2

k?1)?2k?1?[1?cos

(22]a?sin22k?1

2k?12

? ＝a2k?1?1，即a2k?1?a2k?1?1.所以數列?a2k?1?是首項為

1、公差為1的等差數列，因此a2k?1?k.當n?2k(k?N*)時，a2k?2k?2?(1?cos

22)a2k?

2k?sin2

2?2a2k.所以數列?a2k?是首項為

2、公比為2的等比數列，因此a2k?2k.?故數列?a?n?1n?的通項公式為an??

2,n?2k?1(k?N*),?n?22,n?2k(k?N*).(Ⅱ)由(Ⅰ)知，ba2n?1n?a?n

12?3n2,Sn??23???n,①2n22222

12S12?23n

n?222?24???2

n?1② 1①-②得，1[1?(1)2]2S1111nn?2?22?23???2n?2n?1??n1n1?2n?1?1?2n?2n?1.2所以S1nn?2

n?2?2n?1?2n?2?2

n.要證明當n?6時，S1n(n?2)

n?2?n成立，只需證明當n?6時，2n

?1成立.證法一

(1)當n = 6時，6?(6?2)26?4864?

34?1成立.(2)假設當n?k(k?6)時不等式成立，即k(k?2)

k

?1.則當n=k+1時，(k?1)(k?3)k(k?2)(k?1)(k?2k?1?2k?3)2k(k?2)?(k?1)(k?3)

(k?2)?2k

?1.由(1)、(2)所述，當n≥6時，n(n?1)2

2?1.即當n≥6時，Sn?2?

1n

.證法二令cn(n?2)n?

22(n?6)，則c(n?1)(n?3)n(n?2)3?n2

n?1?cn?2n?1?22?2

n?1?0.所以當n?6時，c6?8n?1?cn.因此當n?6時，cn?c6?64?

34?1.于是當n?6時，n(n?2)22?1.綜上所述，當n?6時，Sn

?2?1

n

.點評：本題奇偶分類要仔細，第（2）問證明時可采用分析法。

例題2.已知?為銳角，且tan??

2?1，函數f(x)?x2tan2??x?sin(2??

?

4)，數列{an}的首項a1?

2,an?1?f(an).(1)求函數f(x)的表達式；⑵ 求證：an?1?an；

⑶ 求證：

1?11?a?1???1?2(n?2,n?N*)11?a21?an

分析：本題是借助函數給出遞推關系，第（2）問的不等式利用了函數的性質，第（3）問是轉化成可以裂項的形式，這是證明數列中的不等式的另一種出路。

解：⑴tan2??

??2tan?2(?1)2

又∵?為銳角 ∴2?? ∴sin(2??)?1∴f(x)?x?x??1

441?tan2?1?(2?1)2

∴a2,a3,?an都大于0∴an?0∴an?1?an2

∴

則S?

1111121212111?(????)??(S?)S????? a22a2a3ana2an?13an?13a22an?1

⑵

an?1?an?an∵a1?

點評：數列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了，而且不容易把握，對于這樣的題要多探索，多角度的思考問題。

⑶

1an?1

?

1111

???2

an?anan(1?an)an1?an111

??1?ananan?1

例題4.已知函數f(x)?x?ln?1?x?,數列?an?滿足0?a1?1,∴

111111111111

???????????????2?

an?1?f?an?;數列?bn?滿足b1?,bn?1?(n?1)bn, n?N*.求證:

1?a11?a21?ana1a2a2a3anan?1a1an?1an?1

∵a?(12)2?12?34, a?(34)2?3

234

?1 ,又∵n?2an?1?an∴an?1?a3?1

∴1?

2?

1a?2∴1?

1n1?a?1???1

?2

?1

11?a21?an

點評：把復雜的問題轉化成清晰的問題是數學中的重要思想，本題中的第（3）問不等式的證明更具有一般性。

例題3.已知數列?aa?

n?滿足a1?1,n?1?2an?1?n?N?

（Ⅰ）求數列?an?的通項公式；（Ⅱ）若數列?b?1n?滿足4b1?14b24

b3?1

?4bn?1?(an?1)bn，證明：?bn?是等差數列；

（Ⅲ）證明：

1?1a???1?2?n?N?a? 23an?13

分析：本例（1）通過把遞推關系式轉化成等比型的數列；第（2）關鍵在于找出連續三項間的關系；第（3）問關鍵在如何放縮 解：（1）?an?1?2an?1，?an?1?1?2(an?1)

故數列{an?1}是首項為2，公比為2的等比數列。?ann?1?2n，an?2?1

（2）?4

b1?14

b2?14

b3?1

?4bn?1?(an?1)bn，?4

(b1?b2???bn?n)

?2nbn

2(b1?b2???bn)?2n?nbn①2(b1?b2???bn?bn?1)?2(n?1)?(n?1)bn?1②

②—①得2bn?1

?2?(n?1)bn?1?nbn，即nbn?2?(n?1)bn?1③?(n?1)bn?1?2?nbn?2④ ④—③得2nbn?1

?nbn?nbn?1，即2bn?1?bn?bn?1所以數列{bn}是等差數列

（3）?

1a?1111

2n?1?1?2n?1?2?

設S

?

1n2an?a?1???1，2a3an?1

（Ⅰ）0?a（Ⅱ）aa2nn?1?an?1;n?1?2;

（Ⅲ）若a1?2

則當n≥2時,bn?an?n!.分析：第（1）問是和自然數有關的命題，可考慮用數學歸納法證明；第（2）問可利用函數的單調性；第（3）問進行放縮。解：(Ⅰ)先用數學歸納法證明0?an?1,n?N*.（1）當n=1時,由已知得結論成立;（2）假設當n=k時,結論成立,即0?ak?1.則當n=k+1時,因為0

1x?1?xx?1

?0,所以f(x)在(0,1)上是增函數.又f(x)在?0,1?上連續,所以f(0)

?1, 得an?1?an?an?ln?1?an??an??ln(1?an)?0,從而an?1?an.綜上可知0?an?1

?an?1.(Ⅱ)構造函數g(x)=

x2

x2x2

-f(x)=

?ln(1?x)?x, 0g(0)=0.因為0?aa2nn?1,所以g?an??0,即2?f?aa2

nn?>0,從而an?1?2

.(Ⅲ)因為

b12b1b

n?11?,n?1?2(n?1)bn,所以bn?0,n?1b?n,所以bba2nbn?1bnn?

b??2?b1

1?n?n!————①由(Ⅱ)an?1?,知:an?1?an,n?1bn?2b122an2

所以

ana?a3?na?a1a2?n?1 ,因為aa=

a2aa1?, n≥2, 0?an?1?an?1.1

1a2n?12222

a2?a2

所以

a1a2?an?1?aan

1<

n?

2221<2

n?12n

=

2n

————②由①② 兩式可知:

bn?an?n!.點評：本題是數列、超越函數、導數的學歸納法的知識交匯題，屬于難題，復習時應引起注意。

例題5.已知函數f(x)=5?2x

16?8x，設正項數列?an?滿足a1=l，an?1?f?an?．

(1)試比較a

5n與

4的大小，并說明理由；

(2)設數列?b5n

nn?滿足bn=4－an，記Sn=?bi．證明：當n≥2時,Sn＜(2－1)．

i?

14分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。

解：(1)a2ann?1

?

5?16?8a，因為a所以a7

31?1,2?,a3?4

.（2）因為an?0,an?1?0,所以16?8an?0,0?an?2.n8a55?2a48(a55

n5n?n?1?)3an?554?16?8a?4?32(2?a??,因為2?an?0,所以an?1?與a?同號，nn)22?an

4n

4因為a51?4??14?0，a5555

2?4?0,a3?4?0,?，an?4?0,即an?4

.（3）當n?2時，b531n?4?an?2?2?a?(5?a31

31n?1)???bn?1???bn?1?2bn?1，n?1422?an?122?5

所以bn

?2?bn?1?22?bn?2???2n?1b31?2n?，13?n

(1?2n)

所以Sn?b1?b2???bn?

4?12???????1?

?2??

?1?2?1

(2n?1)

點評：本題是函數、不等式的綜合題，是高考的難點熱點。

例題6.已知數列?a*

n?中，a1?1，nan?1?2(a1?a2?...?an)?n?N?

．

（1）求a2,a3,a4；（2）求數列?an?的通項an；（3）設數列{b1n}滿足b1?

2,b12

n?1?abn?bn，求證：bn?1(n?k)k

分析：條件中有類似于前n項和的形式出現，提示我們應該考慮an＝Sn－Sn－1(n≥2)

解：（1）a2?2,a3?3,a4?4（2）nan?1?2(a1?a2?...?an)①

(n?1)an?2(a1?a2?...?an?1)②①—②得nan?1?(n?1)an?2an

即：nan?1

?(n?1)a?1n?1aa3ann，ana?所以aa223n

n?1a...?1...1

?n(n?2)

nna12an?112n?所以a*n

?n(n?N)

（3）由（2）得：b1

?12,b12

n?1?k

bn?bn?bn?bn?1?...?b1?0，所以{bn}是單調遞增數列，故要證：bn?1(n?k)只需證bk?1

若k

?1，則b12?1顯然成立;若k?2，則b?1211?

n?1kbn?bn?k

bnbn?1?bn 所以

1b?1??1,因此：1?(1?1)?...?(1?1)?1??k?1?2?

k?1

n?1bnkbkbkbk?1b2b1b1kk所以bk

?

k

k?1

?1,所以bn?1(n?k)點評：與數列相關的不等式證明通常需要“放縮”，而放縮的“度”尤為關鍵，本題中

1b?(1?1)?...?(1?1)?1,這種拆分方法是數學中較高要求的變形.kbkbk?1b2b1b1

例題7.已知不等式

12?13???1n?1

[log2n],其中n為不大于2的整數，[log2n]表示不超過log2n的最大整數。設數列?a1

n?的各項為正且滿足a1?b(b?0),anan?n?

n?a(n?2,3,4?)，證明：

n?1

an?

2b

2?b[log，n?3,4,5?

2n]

分析：由條件an?111111n

?

nan?a得：

n?1

a??1

?nan?1n

a??n(n?2)

nan?1

11a?

?

1n?1

an?2

n?1

??

a?1?1以上各式兩邊分別相加得： 2a121a?1?1?1???1?1?1?1?1???1

?1?1[log2n](n?3)na1nn?12anbnn?12

b2

=

2?b[log2n]2b? a2b

n?2?b[logn]

(n?3)

2本題由題設條件直接進行放縮，然后求和，命題即得以證明。

例題8.已知數列{an}的前n項和Sn滿足：Sn?2an?(?1)n，n?1（1）寫出數列{an}的前三項a1，a2，a5；（2）求數列{an}的通項公式；

（3）證明：對任意的整數m?4，有1117

a?????

4a5am8

分析：⑴由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2； ⑵由已知得：an

?Sn?Sn?1?2an?(?1)n?2an?1?(?1)n?1（n>1）

化簡得：an?1anan?1anan?1n

?2an?1?2(?1)

(?1)n??2(?1)n?1?2,(?1)n?23??2[(?1)

n?1

?2

3] 故數列{

an2(?1)n?3}是以?a1?23為首項, 公比為?2的等比數列.故an21

(?1)

n

?3?(?3)(?2)n?1∴a?23[2n?2?(?1)n]∴數列{a2

n

n}的通項公式為：an?3

[2n?2?(?1)n].⑶觀察要證的不等式，左邊很復雜，先要設法對左邊的項進行適當的放縮，使之能夠求和。而左邊=

1a?1a???1?3[111

22?1?23?1???2m?2?(?1)

m]，如果我們把上式中的分母中的?1去掉，就可利45am2用等比數列的前n項公式求和，由于-1與1交錯出現，容易想到將式中兩項兩項地合并起來一起進行放縮，嘗試知：

11111

22?1?123?1?122?1

23，23?1?24?1?23?24，因此，可將

?1

保留，再將后面的項兩兩組合后放縮，即可求和。這里需要對m進行分類討論，（1）當m為偶數(m?4)時，1a?1???1a?1?(1?1)???(1?1)?1?3(1113?4???m?2)4a5ma4a5a6am?1am

22222

?

13112?2?4(1?137

m?4)?2?8?8（2）當m是奇數(m?4)時，m?1為偶數，1a?1???1?1?1a?1???1?1?7 4a5ama45a6amam?18

所以對任意整數m?4，有

a?a???

?7。本題的關鍵是并項后進行適當的放縮。45am8

例題9.定義數列如下：a2

?1?2,an?1?an?an?1,n?N

證明：（1）對于n?N?

恒有a?

n?1?an成立。（2）當n?2且n?N，有an?1?anan?1?a2a1?1成立。（3）1?

112a?12006

?

a???1

?1。12a2006

分析：（1）用數學歸納法易證。

（2）由a2

n?1?an?an?1得：an?1?1?an(an?1)

?an?1?an?1(an?1?1)??a2?1?a1(a1?1)

以上各式兩邊分別相乘得：an?1?1?anan?1?a2a1(a1?1)，又a1?2

?an?1?anan?1?a2a1?1

（3）要證不等式1?

11122006

?

a????1?1，可先設法求和：1?1???，1a2a2006a1a2a2006

再進行適當的放縮。?a111n?1?1?an(an?1)?

aa?a?1?1?

a n?1?1

?

n?1nanan?1n?1?1

?

1111a?????(?1)?(1?1)???(1?1)1a2a2006a1?1a2?1a2?1a3?1a2006?1a2007?1?

1a1?a?1?

?11?2007?1

aa 12?a2006又a?a2006

1a2?a20061

?22006?1?

1a?1?1

2006?原不等式得證。

1a2?a20062

點評：本題的關鍵是根據題設條件裂項求和。

第三篇：數列不等式推理與證明

2012年數學一輪復習精品試題第六、七模塊 數列、不等式、推

理與證明

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．在等比數列{aa

2n}中，若a3a5a7a9a11＝243，則a的值為()1

1A．9B．1

C．2D．

32．在等比數列{aaa

n}中，an>an7·a11＝6，a4＋a14＝5，則＋1，且a等于()16

A.23B.32

C16D．－563．在數列{aa－n}中，a1＝1，當n≥2時，an＝1＋aa

n－1n＝()

A.1

nB．n

C.1nD．n2

4．已知0

B．成等比數列

C．各項倒數成等差數列

D．各項倒數成等比數列

5．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數列{an}的通項公式是()

n-

1A．an＝2n－1B．a?n?1?

n??n??

C．an＝n2D．an＝n)

n2-6n

6．已知正項數列{an}的前n項的乘積等于Tn＝?的前n項和Sn中的最大值是()

A．S6

B．S

5?1?

??4?

(n∈N*)，bn＝log2an，則數列{bn}

7．已知a，b∈R，且a>b，則下列不等式中恒成立的是()

?1??1?

A．a>bB.??

?2??2?

ab

C．lg(a－b)>0

aD.b

8．設a>0，b>0，則以下不等式中不恒成立的是()11?

A．(a＋b)??ab?≥

4B．a3＋b3≥2ab2 D.|a－b|ab

C．a2＋b2＋2≥2a＋2b

9．當點M(x，y)在如圖所示的三角形ABC內(含邊界)運動時，目標函數z＝kx＋y取得最大值的一個最優解為(1,2)，則實數k的取值范圍是（）

A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．[－1,1]

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,1)

??lg|x|(x<0)10．設函數f(x)＝?x，若f(x0)>0，則x0的取值范圍是()

?2－1(x≥0)?

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)

C．(－1,0)∪(0,1)D．(－1,0)∪(0，＋∞)

a2＋b

211．已知a>b>0，ab＝1，則的最小值是()

a－bA．2C．2D．1

12．下面四個結論中，正確的是()

A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n＝1,2，…)當n＝1時，恒為1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn1(n＝1,2…)當n＝1時，恒為1＋k

－

1111111

C．式子＋＋…＋n＝1,2，…)當n＝1時，恒為

1231232n＋1

111111

D．設f(n)＝n∈N*)，則f(k＋1)＝f(k)＋n＋1n＋23n＋13k＋23k＋33k＋4

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上． 13．已知Sn是等差數列{an}(n∈N*)的前n項和，且S6>S7>S5，有下列四個命題：(1)d<0；(2)S11>0；(3)S12<0；(4)數列{Sn}中的最大項為S11，其中正確命題的序號是________．

14．在數列{an}中，如果對任意n∈N*都有數列，k稱為公差比．現給出下列命題：

(1)等差比數列的公差比一定不為0；(2)等差數列一定是等差比數列；

(3)若an＝－3n＋2，則數列{an}是等差比數列；(4)若等比數列是等差比數列，則其公比等于公差比． 其中正確的命題的序號為________． ＝q，(4)正確． 15．不等式

ax的解集為{x|x<1或x>2}，那么a的值為________． x－

1an＋2－an＋1

k(k為常數)，則稱{an}為等差比

an＋1－an

x≥0??

16．已知點P(x，y)滿足條件?y≤x

??2x＋y＋k≤0k＝________.(k為常數)，若z＝x＋3y的最大值為8，則

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．(10分)(2011·天津市質檢)已知等差數列{an}的前三項為a－1，4,2a，記前n項和為Sn.(1)設Sk＝2550，求a和k的值；

S(2)設bn，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．

n

18．(12分)已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，首項為a1，且2，an，Sn成等差數列．

(1)求數列{an}的通項公式；

b(2)若bn＝log2an，cn＝，求數列{cn}的前n項和Tn.an

2bx

19．(12分)已知函數f(x)(x∈R)滿足f(x)，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的實

ax－1數x只有一個．

(1)求函數f(x)的表達式；

21(2)若數列{an}滿足a1＝an＋1＝f(an)，bn＝1，n∈N*，證明數列{bn}是等比數列，3an

并求出{bn}的通項公式；

(3)在(2)的條件下，證明：a1b1＋a2b2＋…＋anbn<1(n∈N*)．

2x??

20．(12分)已知集合A＝?x?x－21?，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}

?

?

?

(1)求集合A，B；

(2)若B?A，求m的取值范圍．

2a2

21．(12分)解關于x的不等式：x|x－a|≤(a>0)．

922．(12分)某工廠生產甲、乙兩種產品，每生產一噸產品所消耗的電能和煤、所需工人人數以及所得產值如表所示：

160千度，消耗煤不得超過150噸，怎樣安排甲、乙這兩種產品的生產數量，才能使每天所得的產值最大，最大產值是多少．

第四篇：數列不等式的證明

數列和式不等式的證明策略

羅紅波洪湖二中高三

（九）班周二第三節（11月13日）

數列和式不等式的證明經常在試卷壓軸題中出現，在思維能力和方法上要求很高，難度很大，往往讓人束手無策，其實，這類不等式的證明，是有一定的規律的，利用S1

n?

a1?q

來證明也能事半功倍，下面用幾個例子來簡述數列和式不等式的證明

S1

n?

a1?q

常用策略。

一、基礎演練：

1、等比數列{an}，公比為q，則{an}的前n項和Sn為（）

?na1(q?1A．?)

?an

a?1(1?q)1(1?qn)a?

1?q(q?1)B.na1C.1?qD.11?q2、正項等比數列{an}，公比為q，0?q?1，{an}的前n項和Sn，以下說法正確的是（）A．S1n?

a11?qB.S?a11?qC.Saa

nn?1?qD.Sn?11?q3、正項數列{a}，{a的前n項和Sa

nn}n，要證明S1n?1?q，其中0?q?1，可以去證明（）A．

an?1?qB.an?1a?qC.an?1?qD.a

n?1a?q nnanan

二、典例精講：

例

1、等比數列{a1

n}，a1?1,q?2，{an}的前n項和Sn，求證：Sn?2

變式

1、正項等比數列{an}，{a1n}的前n項和Sn，a1?1,Sn?2恒成立，求證：0?q?

2例

2、已知數列{an}，an?1

2n

?1，{an}的前n項和S5n，求證：Sn?2(Sn?3?)

aann變式

2、數列{n?1n}，a?3?23?2n?1，a1?1，{a3

n?1n}的前n項和Sn，求證：Sn? n

2例

3、（09四川理22）數列{an}的前n項和Sn，對任意正整數n，都有a4?an

n?5Sn?1成立，記bn?1?a(n?N?).n

(1)求數列{bn}的通項公式；

(2)記c?

n?b2n?b2n?1(n?N)，{c3

n}的前n項和Tn，求證：Tn?

2變式

3、已知a1n?

?2，求證Sn?(?1)a1?(?1)2a2????????(?1)nan?1

(?2)n?

3三、小結

四、課后作業：

1、等比數列{a1

n}，a1?2,q?

3，{an}的前n項和Sn，求證：Sn?3

2、已知數列{an}，an?

14n?2，{an}的前n項和Sn，求證：S2

n

?3

第五篇：放縮法證明數列不等式

放縮法證明數列不等式

基礎知識回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見的數列求和方法和通項公式特點：

① 等差數列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。的一次函數或常值函數）

② 等比數列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。的指數類函數）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數列的每一項裂項之后正負能夠相消，進而在求和后式子中僅剩有限項

（2）與求和相關的不等式的放縮技巧：

① 在數列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數列的通項公式入手

② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮小（應與所證的不等號同方向）

③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數列的通項公式靠攏，常見的是向等比數列與可裂項相消的數列進行靠攏。

④ 若放縮后求和發現放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調：看能否讓數列中的一些項不動，其余項放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進行設計，選擇放縮程度更小的方式再進行嘗試。

（3）放縮構造裂項相消數列與等比數列的技巧：

① 裂項相消：在放縮時，所構造的通項公式要具備“依項同構”的特點，即作差的兩項可視為同一數列的相鄰兩項（或等距離間隔項）

② 等比數列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。常數”的形式，所構造的等比數列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現出放縮的目標，則可從所證不等式的常數入手，常數可視為錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構造出等比數列的首項與公比，進而得出等比數列的通項公式，再與原通項公式進行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數錯誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數列的首項為錯誤！未找到引用源。，公比為錯誤！未找到引用源。，即通項公式為錯誤！未找到引用源。

注：此方法會存在風險，所猜出的等比數列未必能達到放縮效果，所以是否選擇利用等比數列進行放縮，受數列通項公式的結構影響

（4）與數列中的項相關的不等式問題：

① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進行變形

② 在有些關于項的不等式證明中，可向求和問題進行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源。或錯誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側均為正數），然后通過“累加”或“累乘”達到一側為錯誤！未找到引用源。，另一側為求和的結果，進而完成證明 應用舉例:

類型一：與前n項和相關的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學高三摸底考試】已知數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。為常數，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。）．

（1）求錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）設錯誤！未找到引用源。，若數列錯誤！未找到引用源。為等比數列，求錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的取值范圍．

例2.記錯誤！未找到引用源。.對數列錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.現設錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數列，且當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。

（1）求數列的通項公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數，若，求證：；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設，求證：.類型

二、與通項運算相關的不等式 例3.設函數錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）．

例4.已知錯誤！未找到引用源。是數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。，有錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。為實數，且錯誤！未找到引用源。.（1）當錯誤！未找到引用源。時，①求數列錯誤！未找到引用源。的通項；

②是否存在這樣的正整數錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成等比數列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當錯誤！未找到引用源。時，設錯誤！未找到引用源。，① 判定錯誤！未找到引用源。是否為等比數列；

②設錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。的取值范圍.方法、規律歸納: 常見的放縮變形：

（1）錯誤！未找到引用源。，（2）錯誤！未找到引用源。

注：對于錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。可推廣為：錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。實戰演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學期期中】已知數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。記數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。

（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。為等比數列，并求其通項錯誤！未找到引用源。；

（2）求錯誤！未找到引用源。；

（3）問是否存在正整數錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立？說明理由.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學期武進區高中數學期中試卷】在數列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數列錯誤！未找到引用源。為等差數列；

⑵ 設錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若當錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。，試求數列錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學期期中考試】已知數列的前項和為，滿足，．數列

滿足（1）求數列（2）若和，且． 的通項公式；，數列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數的取值范圍；

（3）是否存在正整數，使，請說明理由．）成等差數列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，4．已知數列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。，其中，錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．

（1）求數列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）是否存在自然數錯誤！未找到引用源。，使得對于任意錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。，求數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。．

5．【江蘇省啟東中學2018屆高三上學期第一次月考】設數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且滿足錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。為常數．

（1）是否存在數列錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數列；若不存在，說明理由．（2）當錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。．

（3）當錯誤！未找到引用源。時，求證：當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學2018屆高三上學期開學考試】已知兩個無窮數列

分別滿足，其中（1）若數列（2）若數列①若數列②若數列，設數列的前項和分別為的通項公式；，使得，稱數列

.都為遞增數列，求數列滿足：存在唯一的正整數“墜點數列”，求 為“墜點數列”，數列

為“墜點數列”.為“墜點數列”，是否存在正整數，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.7．【江蘇省南京師范大學附屬中學2017屆高三高考模擬一】已知數集錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數集錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。是否具有性質錯誤！未找到引用源。，并說明理由；

（2）求證： 錯誤！未找到引用源。；

（2）若錯誤！未找到引用源。，求錯誤！未找到引用源。的最小值.8．記等差數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。是等差數列；

（2）若 錯誤！未找到引用源。，對任意錯誤！未找到引用源。，均有錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。的等差數列，求使錯誤！未找到引用源。為整數的正整數錯誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯誤！未找到引用源。，求證： 錯誤！未找到引用源。.9．已知數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數列{an}是公差為2的等差數列，求數列{cn}的通項公式；

（2）若存在實數λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數列{an}是等差數列．

10．已知各項不為零的數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。．

（1）若錯誤！未找到引用源。成等比數列，求實數錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。成等差數列，①求數列錯誤！未找到引用源。的通項公式；

②在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數列，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的最大值．

放縮法證明數列不等式

基礎知識回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見的數列求和方法和通項公式特點：

① 等差數列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。的一次函數或常值函數）

② 等比數列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。的指數類函數）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數列的每一項裂項之后正負能夠相消，進而在求和后式子中僅剩有限項

（2）與求和相關的不等式的放縮技巧：

① 在數列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數列的通項公式入手

② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮小（應與所證的不等號同方向）

③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數列的通項公式靠攏，常見的是向等比數列與可裂項相消的數列進行靠攏。

④ 若放縮后求和發現放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調：看能否讓數列中的一些項不動，其余項放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進行設計，選擇放縮程度更小的方式再進行嘗試。

（3）放縮構造裂項相消數列與等比數列的技巧：

① 裂項相消：在放縮時，所構造的通項公式要具備“依項同構”的特點，即作差的兩項可視為同一數列的相鄰兩項（或等距離間隔項）

② 等比數列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。常數”的形式，所構造的等比數列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現出放縮的目標，則可從所證不等式的常數入手，常數可視為錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構造出等比數列的首項與公比，進而得出等比數列的通項公式，再與原通項公式進行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數錯誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數列的首項為錯誤！未找到引用源。，公比為錯誤！未找到引用源。，即通項公式為錯誤！未找到引用源。注：此方法會存在風險，所猜出的等比數列未必能達到放縮效果，所以是否選擇利用等比數列進行放縮，受數列通項公式的結構影響

（4）與數列中的項相關的不等式問題：

① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進行變形

② 在有些關于項的不等式證明中，可向求和問題進行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源。或錯誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側均為正數），然后通過“累加”或“累乘”達到一側為錯誤！未找到引用源。，另一側為求和的結果，進而完成證明 應用舉例:

類型一：與前n項和相關的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學高三摸底考試】已知數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。為常數，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。）．

（1）求錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）設錯誤！未找到引用源。，若數列錯誤！未找到引用源。為等比數列，求錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的取值范圍．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。

（2）由（1）知，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，若數列錯誤！未找到引用源。為等比數列，則有錯誤！未找到引用源。，而錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。，解得錯誤！未找到引用源。，再將錯誤！未找到引用源。代入錯誤！未找到引用源。，得錯誤！未找到引用源。，例2.記錯誤！未找到引用源。.對數列錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.現設錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數列，且當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。

（1）求數列的通項公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數，若，求證：；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設，求證：.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）詳見解析（3）詳見解析 【解析】

試題分析：（1）根據及時定義，列出等量關系，解出首項，寫出通項公式；（2）根據子集關系，進行放縮，轉化為等比數列求和；（3）利用等比數列和與項的大小關系，確定所定義和的大小關系：設錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。因此由錯誤！未找到引用源。，因此錯誤！未找到引用源。中最大項必在A中，由（2）得錯誤！未找到引用源。.試題解析：（1）由已知得錯誤！未找到引用源。.于是當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.又錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。.所以數列錯誤！未找到引用源。的通項公式為錯誤！未找到引用源。.（2）因為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。.因此，錯誤！未找到引用源。.綜合①②③得，錯誤！未找到引用源。.類型

二、與通項運算相關的不等式 例3.設函數錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）． 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．

故錯誤！未找到引用源。，則有：錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。例4.已知錯誤！未找到引用源。是數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。，有錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。為實數，且錯誤！未找到引用源。.（1）當錯誤！未找到引用源。時，①求數列錯誤！未找到引用源。的通項；

②是否存在這樣的正整數錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成等比數列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當錯誤！未找到引用源。時，設錯誤！未找到引用源。，① 判定錯誤！未找到引用源。是否為等比數列；

②設錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。的取值范圍.【答案】（1）①錯誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。時，數列錯誤！未找到引用源。是以錯誤！未找到引用源。為首項，錯誤！未找到引用源。為公比的等比數列，當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，不是等比數列；②錯誤！未找到引用源。．

方法、規律歸納: 常見的放縮變形：

（1）錯誤！未找到引用源。，（2）錯誤！未找到引用源。

注：對于錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。可推廣為：錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。實戰演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學期期中】已知數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。記數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。

（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。為等比數列，并求其通項錯誤！未找到引用源。；

（2）求錯誤！未找到引用源。；

（3）問是否存在正整數錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立？說明理由.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）當錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見解析

（3）假設存在正整數錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立，因為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，所以只要錯誤！未找到引用源。

即只要滿足 ①：錯誤！未找到引用源。，和②：錯誤！未找到引用源。，對于①只要錯誤！未找到引用源。就可以； 對于②，當錯誤！未找到引用源。為奇數時，滿足錯誤！未找到引用源。，不成立，當錯誤！未找到引用源。為偶數時，滿足錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。令錯誤！未找到引用源。，因為錯誤！未找到引用源。

即錯誤！未找到引用源。，且當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，所以當錯誤！未找到引用源。為偶數時，②式成立，即當錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。成立.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學期武進區高中數學期中試卷】在數列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數列錯誤！未找到引用源。為等差數列；

⑵ 設錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若當錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。，試求數列錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。

要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數恒成立，只要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數恒成立，即使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。為正偶數恒成立，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，故實數錯誤！未找到引用源。的取值范圍是錯誤！未找到引用源。； ⑶由⑴得錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，設錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，因此數列錯誤！未找到引用源。的最大值為錯誤！未找到引用源。．

【點睛】本題考查數列與不等式的綜合應用，涉及等差數列的判定與證明，其中證明（1）的關鍵是分析得到錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。的關系式．

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學期期中考試】已知數列滿足，且

． 的前項和為，滿足，．數列（1）求數列（2）若和的通項公式；，數列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數的取值范圍；

（3）是否存在正整數，使，請說明理由．

【答案】（1）（2））成等差數列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，（3）不存在

（2）由（1）得于是所以，兩式相減得所以由（1）得因為對 即所以恒成立，都有，，恒成立，記所以因為從而數列于是，為遞增數列，所以當．

（），使

成等差數列，則，時取最小值，（3）假設存在正整數即，若為偶數，則若為奇數，設于是當時，為奇數，而為偶數，上式不成立.，則，與

矛盾；，即，此時

4．已知數列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。，其中，錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．

（1）求數列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）是否存在自然數錯誤！未找到引用源。，使得對于任意錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。，求數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。；（2）存在，錯誤！未找到引用源。；（3）錯誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：

（1）根據題設條件用累乘法能夠求出數列{an}的通項公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項為2，公比為2的等比數列，由此能求出{bn}的通項公式．（2）bn=2n．假設存在自然數m，滿足條件，先求出錯誤！未找到引用源。，將問題轉化成錯誤！未找到引用源。可求得錯誤！未找到引用源。的取值范圍；（3）分n是奇數、n是偶數兩種情況求出Tn，然后寫成分段函數的形式。

試題解析：（1）由錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。． 又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.當錯誤！未找到引用源。時，上式成立，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。是首項為2，公比為2的等比數列，故錯誤！未找到引用源。.（3）當錯誤！未找到引用源。為奇數時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。； 當錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.因此錯誤！未找到引用源。．

點睛：數列求和時，要根據數列項的特點選擇不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組求和等。

5．【江蘇省啟東中學2018屆高三上學期第一次月考】設數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且滿足錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。為常數．

（1）是否存在數列錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數列；若不存在，說明理由．

（2）當錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。．

（3）當錯誤！未找到引用源。時，求證：當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。． 【答案】（1）不存在，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析

當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，兩式相減得錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，綜上，錯誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學2018屆高三上學期開學考試】已知兩個無窮數列的前項和分別為（1）若數列.分別滿足，其中，設數列都為遞增數列，求數列的通項公式；（2）若數列①若數列②若數列滿足：存在唯一的正整數“墜點數列”，求 為“墜點數列”，數列，使得，稱數列為“墜點數列”.為“墜點數列”，是否存在正整數，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.【答案】（1）

.（2）①，② 6.7．【江蘇省南京師范大學附屬中學2017屆高三高考模擬一】已知數集錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數集錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。是否具有性質錯誤！未找到引用源。，并說明理由；

（2）求證： 錯誤！未找到引用源。；

（2）若錯誤！未找到引用源。，求錯誤！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）見解析（3）錯誤！未找到引用源。.（2）因為集合錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。，所以對錯誤！未找到引用源。而言，存在錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。，又因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，同理可得錯誤！未找到引用源。，將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。.（3）由（2）可知錯誤！未找到引用源。，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，構成數集錯誤！未找到引用源。，經檢驗錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。.點睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。求解第一問時，直接運用題設條件中所提供的條件信息進行驗證即可；解答第二問時，先運用題設條件中定義的信息可得錯誤！未找到引用源。，同理可得錯誤！未找到引用源。，再將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。即可獲證錯誤！未找到引用源。；證明第三問時，充分借助（2）的結論可知錯誤！未找到引用源。，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。可得錯誤！未找到引用源。，因此構成數集錯誤！未找到引用源。，經檢驗錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。，進而求出錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。.8．記等差數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。是等差數列；

（2）若 錯誤！未找到引用源。，對任意錯誤！未找到引用源。，均有錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。的等差數列，求使錯誤！未找到引用源。為整數的正整數錯誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯誤！未找到引用源。，求證： 錯誤！未找到引用源。.【答案】（1）見解析（2）錯誤！未找到引用源。（3）見解析

解：（1）設等差數列錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。，從而錯誤！未找到引用源。，所以當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即數列錯誤！未找到引用源。是等差數列.（2）因為的任意的錯誤！未找到引用源。都是公差為錯誤！未找到引用源。，的等差數列，所以錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。，的等差數列，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，顯然，錯誤！未找到引用源。滿足條件，當錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。不是整數，綜上所述，正整數錯誤！未找到引用源。的取值集合為錯誤！未找到引用源。.（3）設等差數列錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，即數列錯誤！未找到引用源。是公比大于錯誤！未找到引用源。，首項大于錯誤！未找到引用源。的等比數列，記公比為錯誤！未找到引用源。.以下證明： 錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。為正整數，且錯誤！未找到引用源。，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，當錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。為減函數，錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，綜上，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。.9．已知數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數列{an}是公差為2的等差數列，求數列{cn}的通項公式；

（2）若存在實數λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數列{an}是等差數列． 【答案】（1）cn＝1．（2）見解析.10．已知各項不為零的數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。．

（1）若錯誤！未找到引用源。成等比數列，求實數錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。成等差數列，①求數列錯誤！未找到引用源。的通項公式； ②在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數列，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的最大值．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。

（3）錯誤！未找到引用源。，在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數，組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數列，故有錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，