第一篇：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合證明問題

導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合證明問題

典例：（2017全國卷3,21）已知函數(shù)f?x??x?1?alnx。（1）若f?x??0，求a的值；

（2）設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n?1???1??1??1? 1??1??m，求m的最小值。???2?n?2??2??2?分析：(1)由原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系可得x=a是f?x?在x??0，+??的唯一最小值點(diǎn)，列方程解得a?1 ；

(2)利用題意結(jié)合(1)的結(jié)論對不等式進(jìn)行放縮，求得?1???1??1??1?1??1??e，結(jié)合???2?n?2??2??2?1??1??1??1?1?1??2可知實(shí)數(shù)m 的最小值為3

???2??3??2??2??2?（1）f?x?的定義域?yàn)?0，+??.①若a?0，因?yàn)閒??=-②若a?0，由f'x??1??2?1+aln2?0，所以不滿足題意； 2ax?a?知，當(dāng)x??0,a?時，f'?x??0；當(dāng)x??a，+??時，xx??1?所以f?x?在?0,a?單調(diào)遞減，在?a，故x=a是f?x?在?0，f'?x??0，+??單調(diào)遞增，+??的唯一最小值點(diǎn).由于f?1??0，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=1時，f?x??0.故a=1.練習(xí)1：已知函數(shù)f(x)?ln(?x)?ax?（1）求實(shí)數(shù)a的值；

1(a為常數(shù))，在x??1時取得極值.x（2）設(shè)g(x)?f(?x)?2x，求g(x)的最小值；

（3）若數(shù)列{an}滿足an?aan?1n?1?1(n?N且n?2),a1??1，數(shù)列{an}的前n和 2??1?nSn，求證：2?an?esnan(n?N,e是自然對數(shù)的底數(shù)).整理：在證明中要對證明的式子

2n??1?an?esnan進(jìn)行簡單的處理為nln2?lnan?Sn? nn，否則直接另x?很唐突.n?1n?11?lnx.x練習(xí)2：已知函數(shù)f(x)?（1）若函數(shù)在區(qū)間?t,t???1??（其中t?0）上存在極值，求實(shí)數(shù)t的取值范圍； 2?a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并且判斷代數(shù)式x?1（2）如果當(dāng)x?1時，不等式f(x)??(n?1)!?2與(n?1)?en?2(n?N*)的大小.分析：解：（Ⅰ）因?yàn)閒(x)?1?lnxlnx，x?0，則f?(x)??2，xx當(dāng)0?x?1時，f?(x)?0；當(dāng)x?1時，f?(x)?0.所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；在(1,??)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在x?1處取得極大值.1??因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間?t,t??(其中t?0)上存在極值，2??

?t?1,1?所以?1 解得?t?1.2t??1,??2a(x?1)(1?lnx)(x?1)(1?lnx)（Ⅱ）不等式f(x)≥，,即為≥a, 記g(x)?x?1xx[(x?1)(1?lnx)]?x?(x?1)(1?lnx)x?lnx所以g?(x)?.?x2x2令h(x)?x?lnx，則h?(x)?1?

1，∵x≥1，∴h?(x)≥0，x∴h(x)在[1,??)上單調(diào)遞增，∴[h(x)m]in?h(?1)?1，從而0g?(x)?0，故g(x)在[1,??)上也單調(diào)遞增，所以[g(x)]min?g(1)?2, 所以a≤2；由上述知f(x)≥即lnx≥2恒成立，x?1x?122?1??1?，（此處采用了放縮法，是處理問題的關(guān)鍵）x?1x?1x2令x?n(n?1)，則ln[n(n?1)]?1?，n(n?1)∴ ln(1?2)?1?222，ln(2?3)?1?，ln(3?4)?1?，…，1?22?33?42ln[n(n?1)]?1?，n(n?1)

?111?疊加得ln[1?22?32?????n2(n?1)]?n?2???????? 1?22?3n(n?1)??1??222n?2?n?2?1???n?2.則1?2?3?????n(n?1)?e，?n?1?所以[(n?1)！]2?(n?1)?en?2(n?N?)．

第二篇：導(dǎo)數(shù)壓軸題 導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的證明

導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的證明

例1.已知函數(shù)f(x)?alnx?ax?3?a?R?(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)證明:1?12?13???1n?ln(n?1)(n?N*)(3)證明:ln22?ln33?ln44?ln55?lnnn?1n?n?2,n?N*? n(4)證明:ln2ln3ln4ln5lnn?1?n?122?32?42?52?n2???2???n?n?2,n?N*?(5)證明:ln24ln34ln44ln54lnn4(n?1)224?34?44?54?n4?4n?n?2,n?N*? ln22ln32(6)求證:lnn2?n?1??2n?1?22?32?...?n2?2?n?1??n?2,n?N??(7)求證:??1??22????1?1??42????1?1??1?82??...???1?1?22n???e?n?N??

例2.已知函數(shù)f(x)?lnx?x?1?(1)求f(x)的最大值;nnn(2)證明不等式:??1??2??n?e?n?????n???????n???e?1?n?N*?

例3.已知函數(shù)f?x??x2?ln?x?1?

(1)當(dāng)x?0時,求證:f?x??x3;

(2)當(dāng)n?N?時,求證:?nf?1??1?1?1?151 k?1??k??2333...?n3?4?2n?n?1?

例4.設(shè)函數(shù)f(x)?x2?mln(x?1)?m?0?

(1)若m??12,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)如果函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(3)求證:對任意的n?N*,不等式lnn?1n?n?1n3恒成立?

例5.已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?k(x?1)?1(k?R),(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)?0恒成立,試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍;(3)證明:ln23?ln34???lnnn?1?n(n?1)4?n?N,n?1?.導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的證明 收集整理:張亞爭 聯(lián)系電話:*** 1 / 2 例6.已知函數(shù)f(x)?ax?b?c(a?0)的圖像在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y?x?1? x(1)用a表示出b,c;

(2)若f(x)?lnx在[1,??)上恒成立,求a的取值范圍;(3)證明:1?

例7.已知函數(shù)f(x)?2alnx?x2?1?

(1)當(dāng)a?1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及f(x)的最大值;(2)令g(x)?f(x)?x,若g(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍;111n?????ln(n?1)?(n?1).23n2(n?1)3n2?n?222222??????(3)對于任意的n?2,n?N,試比較與的ln2ln3ln4ln5lnnn(n?1)*大小并證明你的結(jié)論?

1?ln(x?1)(x?0)x(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,??)上是增函數(shù)還是減函數(shù)?證明你的結(jié)論?

k(2)當(dāng)x?0時,f(x)?恒成立,求整數(shù)k的最大值;x?1(3)試證明:(1?1?2)(1?2?3)(1?3?4)?(1?n?(n?1))?e2n?3(n?N*).例8.已知函數(shù)f(x)?

例9.已知函數(shù)f?x??x?a?lnx?a?0?(1)若a?1,求f?x?的單調(diào)區(qū)間及f?x?的最小值;(2)若a?0,求f?x?的單調(diào)區(qū)間;ln22ln32lnn2?n?1??2n?1?(3)試比較2?2?...?2與n?2,n?N??的大小,并證明? ?23n2?n?1?

例10.已知函數(shù)f?x??lnx,g?x??x?a?a?R?, x(1)若x?1時,f?x??g?x?恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍?(2)求證:

例11.已知函數(shù)f?x??lnx?x?ax

2ln2ln3lnn1????n?2,n?N?? 34n?1n(1)若函數(shù)f?x?在其定義域上為增函數(shù),求a的取值范圍;(2)設(shè)an?1?

例12.設(shè)各項為正的數(shù)列?an?滿足a1?1,an?1?lnan?an?2,n?N?.求證:an?2n?1.122?L?an?ln?n?1??2n ?n?N??,求證:3?a1?a2?...?an??a12?a2n導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的證明 收集整理:張亞爭 聯(lián)系電話:*** 2 / 2

第三篇：導(dǎo)數(shù)證明不等式

導(dǎo)數(shù)證明不等式

一、當(dāng)x>1時,證明不等式x>ln(x+1)

f(x)=x-ln(x+1)

f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)

x>1,所以f'(x)>0,增函數(shù)

所以x>1,f(x)>f(1)=1-ln2>0

f(x)>0

所以x>0時，x>ln(x+1)

二、導(dǎo)數(shù)是近些年來高中課程加入的新內(nèi)容，是一元微分學(xué)的核心部分。本文就談?wù)剬?dǎo)數(shù)在一元不等式中的應(yīng)用。

例1.已知x∈(0，)，求證:sinx

第四篇：數(shù)列與不等式證明專題

數(shù)列與不等式證明專題

復(fù)習(xí)建議：

1．“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果2．歸納——猜想——證明體現(xiàn)由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證思想．學(xué)習(xí)這部分知識，對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，計算能力，熟悉歸納、演繹的論證方法，提高分析、綜合、抽象、概括等思維能力，都有重大意義．

3．解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項等方法來分析、解決問題．

4．?dāng)?shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項公式，然后再利用數(shù)列知識和方法求解． 證明方法：（1）先放縮后求和；（2）先求和后放縮(3)靈活運(yùn)用 例1．?dāng)?shù)列?a

2n?n?滿足a1?1,a2?2,an?2?(1?cos2)asin2n?

n?2,n?1,2,3,?.(Ⅰ)求a3,a4,并求數(shù)列?an?的通項公式；(Ⅱ)設(shè)ba2n?

1n?

a,Sn?b1?b2???bn.證明：當(dāng)n?6S?2?1n2n

n.分析：本題給出數(shù)列相鄰兩項的遞推關(guān)系，且要對n分奇偶性。

解:(Ⅰ)因?yàn)閍cos

2?

1?1,a2?2,所以a3?(1?2)a1?sin2

?

?a1?1?2,a4?(1?cos2?)a2?sin2??2a2?4.一般地，當(dāng)n?2k?1(k?N*)時，a2

k?1)?2k?1?[1?cos

(22]a?sin22k?1

2k?12

? ＝a2k?1?1，即a2k?1?a2k?1?1.所以數(shù)列?a2k?1?是首項為

1、公差為1的等差數(shù)列，因此a2k?1?k.當(dāng)n?2k(k?N*)時，a2k?2k?2?(1?cos

22)a2k?

2k?sin2

2?2a2k.所以數(shù)列?a2k?是首項為

2、公比為2的等比數(shù)列，因此a2k?2k.?故數(shù)列?a?n?1n?的通項公式為an??

2,n?2k?1(k?N*),?n?22,n?2k(k?N*).(Ⅱ)由(Ⅰ)知，ba2n?1n?a?n

12?3n2,Sn??23???n,①2n22222

12S12?23n

n?222?24???2

n?1② 1①-②得，1[1?(1)2]2S1111nn?2?22?23???2n?2n?1??n1n1?2n?1?1?2n?2n?1.2所以S1nn?2

n?2?2n?1?2n?2?2

n.要證明當(dāng)n?6時，S1n(n?2)

n?2?n成立，只需證明當(dāng)n?6時，2n

?1成立.證法一

(1)當(dāng)n = 6時，6?(6?2)26?4864?

34?1成立.(2)假設(shè)當(dāng)n?k(k?6)時不等式成立，即k(k?2)

k

?1.則當(dāng)n=k+1時，(k?1)(k?3)k(k?2)(k?1)(k?2k?1?2k?3)2k(k?2)?(k?1)(k?3)

(k?2)?2k

?1.由(1)、(2)所述，當(dāng)n≥6時，n(n?1)2

2?1.即當(dāng)n≥6時，Sn?2?

1n

.證法二令cn(n?2)n?

22(n?6)，則c(n?1)(n?3)n(n?2)3?n2

n?1?cn?2n?1?22?2

n?1?0.所以當(dāng)n?6時，c6?8n?1?cn.因此當(dāng)n?6時，cn?c6?64?

34?1.于是當(dāng)n?6時，n(n?2)22?1.綜上所述，當(dāng)n?6時，Sn

?2?1

n

.點(diǎn)評：本題奇偶分類要仔細(xì)，第（2）問證明時可采用分析法。

例題2.已知?為銳角，且tan??

2?1，函數(shù)f(x)?x2tan2??x?sin(2??

?

4)，數(shù)列{an}的首項a1?

2,an?1?f(an).(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；⑵ 求證：an?1?an；

⑶ 求證：

1?11?a?1???1?2(n?2,n?N*)11?a21?an

分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系，第（2）問的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第（3）問是轉(zhuǎn)化成可以裂項的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。

解：⑴tan2??

??2tan?2(?1)2

又∵?為銳角 ∴2?? ∴sin(2??)?1∴f(x)?x?x??1

441?tan2?1?(2?1)2

∴a2,a3,?an都大于0∴an?0∴an?1?an2

∴

則S?

1111121212111?(????)??(S?)S????? a22a2a3ana2an?13an?13a22an?1

⑵

an?1?an?an∵a1?

點(diǎn)評：數(shù)列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了，而且不容易把握，對于這樣的題要多探索，多角度的思考問題。

⑶

1an?1

?

1111

???2

an?anan(1?an)an1?an111

??1?ananan?1

例題4.已知函數(shù)f(x)?x?ln?1?x?,數(shù)列?an?滿足0?a1?1,∴

111111111111

???????????????2?

an?1?f?an?;數(shù)列?bn?滿足b1?,bn?1?(n?1)bn, n?N*.求證:

1?a11?a21?ana1a2a2a3anan?1a1an?1an?1

∵a?(12)2?12?34, a?(34)2?3

234

?1 ,又∵n?2an?1?an∴an?1?a3?1

∴1?

2?

1a?2∴1?

1n1?a?1???1

?2

?1

11?a21?an

點(diǎn)評：把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第（3）問不等式的證明更具有一般性。

例題3.已知數(shù)列?aa?

n?滿足a1?1,n?1?2an?1?n?N?

（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列?b?1n?滿足4b1?14b24

b3?1

?4bn?1?(an?1)bn，證明：?bn?是等差數(shù)列；

（Ⅲ）證明：

1?1a???1?2?n?N?a? 23an?13

分析：本例（1）通過把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；第（2）關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項間的關(guān)系；第（3）問關(guān)鍵在如何放縮 解：（1）?an?1?2an?1，?an?1?1?2(an?1)

故數(shù)列{an?1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列。?ann?1?2n，an?2?1

（2）?4

b1?14

b2?14

b3?1

?4bn?1?(an?1)bn，?4

(b1?b2???bn?n)

?2nbn

2(b1?b2???bn)?2n?nbn①2(b1?b2???bn?bn?1)?2(n?1)?(n?1)bn?1②

②—①得2bn?1

?2?(n?1)bn?1?nbn，即nbn?2?(n?1)bn?1③?(n?1)bn?1?2?nbn?2④ ④—③得2nbn?1

?nbn?nbn?1，即2bn?1?bn?bn?1所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列

（3）?

1a?1111

2n?1?1?2n?1?2?

設(shè)S

?

1n2an?a?1???1，2a3an?1

（Ⅰ）0?a（Ⅱ）aa2nn?1?an?1;n?1?2;

（Ⅲ）若a1?2

則當(dāng)n≥2時,bn?an?n!.分析：第（1）問是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）問可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問進(jìn)行放縮。解：(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0?an?1,n?N*.（1）當(dāng)n=1時,由已知得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k時,結(jié)論成立,即0?ak?1.則當(dāng)n=k+1時,因?yàn)?

1x?1?xx?1

?0,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在?0,1?上連續(xù),所以f(0)

?1, 得an?1?an?an?ln?1?an??an??ln(1?an)?0,從而an?1?an.綜上可知0?an?1

?an?1.(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=

x2

x2x2

-f(x)=

?ln(1?x)?x, 0g(0)=0.因?yàn)??aa2nn?1,所以g?an??0,即2?f?aa2

nn?>0,從而an?1?2

.(Ⅲ)因?yàn)?/p>

b12b1b

n?11?,n?1?2(n?1)bn,所以bn?0,n?1b?n,所以bba2nbn?1bnn?

b??2?b1

1?n?n!————①由(Ⅱ)an?1?,知:an?1?an,n?1bn?2b122an2

所以

ana?a3?na?a1a2?n?1 ,因?yàn)閍a=

a2aa1?, n≥2, 0?an?1?an?1.1

1a2n?12222

a2?a2

所以

a1a2?an?1?aan

1<

n?

2221<2

n?12n

=

2n

————②由①② 兩式可知:

bn?an?n!.點(diǎn)評：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)歸納法的知識交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時應(yīng)引起注意。

例題5.已知函數(shù)f(x)=5?2x

16?8x，設(shè)正項數(shù)列?an?滿足a1=l，an?1?f?an?．

(1)試比較a

5n與

4的大小，并說明理由；

(2)設(shè)數(shù)列?b5n

nn?滿足bn=4－an，記Sn=?bi．證明：當(dāng)n≥2時,Sn＜(2－1)．

i?

14分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。

解：(1)a2ann?1

?

5?16?8a，因?yàn)閍所以a7

31?1,2?,a3?4

.（2）因?yàn)閍n?0,an?1?0,所以16?8an?0,0?an?2.n8a55?2a48(a55

n5n?n?1?)3an?554?16?8a?4?32(2?a??,因?yàn)??an?0,所以an?1?與a?同號，nn)22?an

4n

4因?yàn)閍51?4??14?0，a5555

2?4?0,a3?4?0,?，an?4?0,即an?4

.（3）當(dāng)n?2時，b531n?4?an?2?2?a?(5?a31

31n?1)???bn?1???bn?1?2bn?1，n?1422?an?122?5

所以bn

?2?bn?1?22?bn?2???2n?1b31?2n?，13?n

(1?2n)

所以Sn?b1?b2???bn?

4?12???????1?

?2??

?1?2?1

(2n?1)

點(diǎn)評：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)。

例題6.已知數(shù)列?a*

n?中，a1?1，nan?1?2(a1?a2?...?an)?n?N?

．

（1）求a2,a3,a4；（2）求數(shù)列?an?的通項an；（3）設(shè)數(shù)列{b1n}滿足b1?

2,b12

n?1?abn?bn，求證：bn?1(n?k)k

分析：條件中有類似于前n項和的形式出現(xiàn)，提示我們應(yīng)該考慮an＝Sn－Sn－1(n≥2)

解：（1）a2?2,a3?3,a4?4（2）nan?1?2(a1?a2?...?an)①

(n?1)an?2(a1?a2?...?an?1)②①—②得nan?1?(n?1)an?2an

即：nan?1

?(n?1)a?1n?1aa3ann，ana?所以aa223n

n?1a...?1...1

?n(n?2)

nna12an?112n?所以a*n

?n(n?N)

（3）由（2）得：b1

?12,b12

n?1?k

bn?bn?bn?bn?1?...?b1?0，所以{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證：bn?1(n?k)只需證bk?1

若k

?1，則b12?1顯然成立;若k?2，則b?1211?

n?1kbn?bn?k

bnbn?1?bn 所以

1b?1??1,因此：1?(1?1)?...?(1?1)?1??k?1?2?

k?1

n?1bnkbkbkbk?1b2b1b1kk所以bk

?

k

k?1

?1,所以bn?1(n?k)點(diǎn)評：與數(shù)列相關(guān)的不等式證明通常需要“放縮”，而放縮的“度”尤為關(guān)鍵，本題中

1b?(1?1)?...?(1?1)?1,這種拆分方法是數(shù)學(xué)中較高要求的變形.kbkbk?1b2b1b1

例題7.已知不等式

12?13???1n?1

[log2n],其中n為不大于2的整數(shù)，[log2n]表示不超過log2n的最大整數(shù)。設(shè)數(shù)列?a1

n?的各項為正且滿足a1?b(b?0),anan?n?

n?a(n?2,3,4?)，證明：

n?1

an?

2b

2?b[log，n?3,4,5?

2n]

分析：由條件an?111111n

?

nan?a得：

n?1

a??1

?nan?1n

a??n(n?2)

nan?1

11a?

?

1n?1

an?2

n?1

??

a?1?1以上各式兩邊分別相加得： 2a121a?1?1?1???1?1?1?1?1???1

?1?1[log2n](n?3)na1nn?12anbnn?12

b2

=

2?b[log2n]2b? a2b

n?2?b[logn]

(n?3)

2本題由題設(shè)條件直接進(jìn)行放縮，然后求和，命題即得以證明。

例題8.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn?2an?(?1)n，n?1（1）寫出數(shù)列{an}的前三項a1，a2，a5；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；

（3）證明：對任意的整數(shù)m?4，有1117

a?????

4a5am8

分析：⑴由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2； ⑵由已知得：an

?Sn?Sn?1?2an?(?1)n?2an?1?(?1)n?1（n>1）

化簡得：an?1anan?1anan?1n

?2an?1?2(?1)

(?1)n??2(?1)n?1?2,(?1)n?23??2[(?1)

n?1

?2

3] 故數(shù)列{

an2(?1)n?3}是以?a1?23為首項, 公比為?2的等比數(shù)列.故an21

(?1)

n

?3?(?3)(?2)n?1∴a?23[2n?2?(?1)n]∴數(shù)列{a2

n

n}的通項公式為：an?3

[2n?2?(?1)n].⑶觀察要證的不等式，左邊很復(fù)雜，先要設(shè)法對左邊的項進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，使之能夠求和。而左邊=

1a?1a???1?3[111

22?1?23?1???2m?2?(?1)

m]，如果我們把上式中的分母中的?1去掉，就可利45am2用等比數(shù)列的前n項公式求和，由于-1與1交錯出現(xiàn)，容易想到將式中兩項兩項地合并起來一起進(jìn)行放縮，嘗試知：

11111

22?1?123?1?122?1

23，23?1?24?1?23?24，因此，可將

?1

保留，再將后面的項兩兩組合后放縮，即可求和。這里需要對m進(jìn)行分類討論，（1）當(dāng)m為偶數(shù)(m?4)時，1a?1???1a?1?(1?1)???(1?1)?1?3(1113?4???m?2)4a5ma4a5a6am?1am

22222

?

13112?2?4(1?137

m?4)?2?8?8（2）當(dāng)m是奇數(shù)(m?4)時，m?1為偶數(shù)，1a?1???1?1?1a?1???1?1?7 4a5ama45a6amam?18

所以對任意整數(shù)m?4，有

a?a???

?7。本題的關(guān)鍵是并項后進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。45am8

例題9.定義數(shù)列如下：a2

?1?2,an?1?an?an?1,n?N

證明：（1）對于n?N?

恒有a?

n?1?an成立。（2）當(dāng)n?2且n?N，有an?1?anan?1?a2a1?1成立。（3）1?

112a?12006

?

a???1

?1。12a2006

分析：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。

（2）由a2

n?1?an?an?1得：an?1?1?an(an?1)

?an?1?an?1(an?1?1)??a2?1?a1(a1?1)

以上各式兩邊分別相乘得：an?1?1?anan?1?a2a1(a1?1)，又a1?2

?an?1?anan?1?a2a1?1

（3）要證不等式1?

11122006

?

a????1?1，可先設(shè)法求和：1?1???，1a2a2006a1a2a2006

再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。?a111n?1?1?an(an?1)?

aa?a?1?1?

a n?1?1

?

n?1nanan?1n?1?1

?

1111a?????(?1)?(1?1)???(1?1)1a2a2006a1?1a2?1a2?1a3?1a2006?1a2007?1?

1a1?a?1?

?11?2007?1

aa 12?a2006又a?a2006

1a2?a20061

?22006?1?

1a?1?1

2006?原不等式得證。

1a2?a20062

點(diǎn)評：本題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件裂項求和。

第五篇：數(shù)列不等式推理與證明

2012年數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品試題第六、七模塊 數(shù)列、不等式、推

理與證明

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．在等比數(shù)列{aa

2n}中，若a3a5a7a9a11＝243，則a的值為()1

1A．9B．1

C．2D．

32．在等比數(shù)列{aaa

n}中，an>an7·a11＝6，a4＋a14＝5，則＋1，且a等于()16

A.23B.32

C16D．－563．在數(shù)列{aa－n}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時，an＝1＋aa

n－1n＝()

A.1

nB．n

C.1nD．n2

4．已知0

B．成等比數(shù)列

C．各項倒數(shù)成等差數(shù)列

D．各項倒數(shù)成等比數(shù)列

5．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式是()

n-

1A．a(chǎn)n＝2n－1B．a(chǎn)?n?1?

n??n??

C．a(chǎn)n＝n2D．a(chǎn)n＝n)

n2-6n

6．已知正項數(shù)列{an}的前n項的乘積等于Tn＝?的前n項和Sn中的最大值是()

A．S6

B．S

5?1?

??4?

(n∈N*)，bn＝log2an，則數(shù)列{bn}

7．已知a，b∈R，且a>b，則下列不等式中恒成立的是()

?1??1?

A．a(chǎn)>bB.??

?2??2?

ab

C．lg(a－b)>0

aD.b

8．設(shè)a>0，b>0，則以下不等式中不恒成立的是()11?

A．(a＋b)??ab?≥

4B．a(chǎn)3＋b3≥2ab2 D.|a－b|ab

C．a(chǎn)2＋b2＋2≥2a＋2b

9．當(dāng)點(diǎn)M(x，y)在如圖所示的三角形ABC內(nèi)(含邊界)運(yùn)動時，目標(biāo)函數(shù)z＝kx＋y取得最大值的一個最優(yōu)解為(1,2)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．[－1,1]

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,1)

??lg|x|(x<0)10．設(shè)函數(shù)f(x)＝?x，若f(x0)>0，則x0的取值范圍是()

?2－1(x≥0)?

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)

C．(－1,0)∪(0,1)D．(－1,0)∪(0，＋∞)

a2＋b

211．已知a>b>0，ab＝1，則的最小值是()

a－bA．2C．2D．1

12．下面四個結(jié)論中，正確的是()

A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n＝1,2，…)當(dāng)n＝1時，恒為1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn1(n＝1,2…)當(dāng)n＝1時，恒為1＋k

－

1111111

C．式子＋＋…＋n＝1,2，…)當(dāng)n＝1時，恒為

1231232n＋1

111111

D．設(shè)f(n)＝n∈N*)，則f(k＋1)＝f(k)＋n＋1n＋23n＋13k＋23k＋33k＋4

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上． 13．已知Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項和，且S6>S7>S5，有下列四個命題：(1)d<0；(2)S11>0；(3)S12<0；(4)數(shù)列{Sn}中的最大項為S11，其中正確命題的序號是________．

14．在數(shù)列{an}中，如果對任意n∈N*都有數(shù)列，k稱為公差比．現(xiàn)給出下列命題：

(1)等差比數(shù)列的公差比一定不為0；(2)等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列；

(3)若an＝－3n＋2，則數(shù)列{an}是等差比數(shù)列；(4)若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比． 其中正確的命題的序號為________． ＝q，(4)正確． 15．不等式

ax的解集為{x|x<1或x>2}，那么a的值為________． x－

1an＋2－an＋1

k(k為常數(shù))，則稱{an}為等差比

an＋1－an

x≥0??

16．已知點(diǎn)P(x，y)滿足條件?y≤x

??2x＋y＋k≤0k＝________.(k為常數(shù))，若z＝x＋3y的最大值為8，則

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．(10分)(2011·天津市質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的前三項為a－1，4,2a，記前n項和為Sn.(1)設(shè)Sk＝2550，求a和k的值；

S(2)設(shè)bn，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．

n

18．(12分)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，首項為a1，且2，an，Sn成等差數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

b(2)若bn＝log2an，cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.an

2bx

19．(12分)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的實(shí)

ax－1數(shù)x只有一個．

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

21(2)若數(shù)列{an}滿足a1＝an＋1＝f(an)，bn＝1，n∈N*，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，3an

并求出{bn}的通項公式；

(3)在(2)的條件下，證明：a1b1＋a2b2＋…＋anbn<1(n∈N*)．

2x??

20．(12分)已知集合A＝?x?x－21?，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}

?

?

?

(1)求集合A，B；

(2)若B?A，求m的取值范圍．

2a2

21．(12分)解關(guān)于x的不等式：x|x－a|≤(a>0)．

922．(12分)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品所消耗的電能和煤、所需工人人數(shù)以及所得產(chǎn)值如表所示：

160千度，消耗煤不得超過150噸，怎樣安排甲、乙這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量，才能使每天所得的產(chǎn)值最大，最大產(chǎn)值是多少．