第一篇：利用導數(shù)處理與不等式有關的問題
利用導數(shù)處理與不等式有關的問題
關鍵詞：導數(shù)，不等式，單調(diào)性，最值。
導數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具。例如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求最大（小）值、求函數(shù)的值域等等。而在處理與不等式有關的綜合性問題時往往需要利用函數(shù)的性質(zhì)；因此，很多時侯可以利用導數(shù)作為工具得出函數(shù)性質(zhì)，從而解決不等式問題。下面具體討論導數(shù)在解決與不等式有關的問題時的作用。
一、利用導數(shù)證明不等式
（一）、利用導數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式
我們知道函數(shù)在某個區(qū)間上的導數(shù)值大于（或小于）0時，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增（或遞減）。因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構造函數(shù)，用導數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性,然后再用函數(shù)單調(diào)性達到證明不等式的目的。即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性。具體有如下幾種形式：
1、直接構造函數(shù)，然后用導數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大（小），來證明不等式成立。
x2例1：x>0時,求證；x?－ln(1+x)＜0
2x2x2'證明：設f(x)= x?－ln(1+x)(x>0), 則f(x)=? 21?x
∵x>0,∴f'(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上遞減，x2所以x>0時,f(x) 例2：已知：a,b∈R,b>a>e, 求證:ab>b a,(e為自然對數(shù)的底) 證：要證ab>b a只需證lnab>lnba 即證：blna－alnb>0 a設f(x)=xlna－alnx(x>a>e)；則f '(x)=lna－, x a∵a>e,x>a ∴l(xiāng)na>1,<1,∴f '(x)>0,因而f(x)在（e, +∞）上遞增 x ∵b>a,∴f(b)>f(a)；故blna－alnb>alna－alna=0；即blna>alnb 所以ab>b a成立。 （注意，此題若以a為自變量構造函數(shù)f(x)=blnx－xlnb(e Page 1 of 5bb的大小而定，當然由題可以推測e? lnblnb b故f(x)在區(qū)間（e, b）上的遞減,但要證明e?則需另費周折，因此，本題還lnb 是選擇以a為自變量來構造函數(shù)好，由本例可知用函數(shù)單調(diào)性證明不等式時，如何選擇自變量來構造函數(shù)是比較重要的。） （二）、利用導數(shù)求出函數(shù)的最值（或值域）后，再證明不等式。 導數(shù)的另一個作用是求函數(shù)的最值.因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構造函數(shù)，用導數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當該函數(shù)取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恒成立。從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題。 例 3、求證：n∈N*,n≥3時，2n >2n+ 1證明：要證原式，即需證：2n－2n－1>0,n≥3時成立 設f(x)=2x－2x－1(x≥3),則f'(x)=2xln2－2(x≥3),∵x≥3,∴f'(x)≥23ln3－2>0 上的增減性要由e與∴f(x)在[3，+∞)上是增函數(shù)，∴f(x)的最小值為f(3)=23－2×3－1=1>0 所以，n∈N*,n≥3時，f(n)≥f(3)>0, 即n≥3時,2n－2n－1>0成立，xb例 4、gA(x)?(?1)2?(?1)2的定義域是A=[a,b)，其中a,b∈R+,a 若x1∈Ik=[k2,(k+1)2), x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2) 求證:g4（k∈N*）(x1)?g(x2)> k(k?1)IkIk? 1'2x22b2b2???證明：由題知g(x)= aaxx 2x22b2b2???g'(x)= =0時x4－ax3－a2b2+a2bx=0 aaxx即(x4－a2b2)－ax(x2－ab)=0,化簡得(x2－ab)(x2－ax+ab)=0 所以x2－ax+ab =0或x2－ab=0，∵0 由x2－ab=0 解得x?x=（舍） 故g'(x)>0時x∈, g'(x)<0時x∈ [a，因而g(x)在上遞增，在上遞減 所以 是gA(x)的極小值點，Page 2 of 5又∵gA(x)在區(qū)間[a,b)只有一個極值 ∴gA)=2?1)2是gA(x)的最小值。k?12(k? 1)2?1)2?2(?1)2?所以，g(x)的最小值為g(=2)1kIIkkkk k?222?1)2?() g(x2)的最小值為2(k?1k?1Ik?1 又∵224??? k(k?1)k(k?1)∴x1∈Ik=[k2,(k+1)2), x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2)時 g4（k∈N*）成立(x1)?g(x2)> k(k?1)IkIk?13、利用導數(shù)求出函數(shù)的值域，再證明不等式。 14例5：f(x)=x3－x, x1,x2∈[－1,1]時，求證：|f(x1)－f(x2)|≤ 3 3證明：∵f'(x)=x2－1, x∈[－1,1]時,f'(x)≤0,2∴f(x)在[－1,1]上遞減.故f(x)在[－1,1]上的最大值為f(－1)= 3 222最小值為f(1)=?,即f(x)在 [－1,1]上的值域為[?,]； 333 22所以x1,x2∈[－1,1]時，|f(x1)|?, |f(x2)|?, 33 224即有 |f(x1)－f(x2)|≤|f(x1)|+ |f(x2)|??? 333 二、利用導數(shù)解決不等式恒成立問題 不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為m>f(x)(或m a例6、已知函數(shù)f(x)?(?9(a?R),對f(x)定義域內(nèi)任意的x的值，x f(x)≥27恒成立，求a的取值范圍 解：函數(shù)f(x)的定義域為（0，+∞），由f(x)≥27對一切x∈（0，+∞）恒成立 知 ???x∈（0，+∞）恒成立，即a??x∈（0，+∞）恒成立 Page 3 of 5′h(x)=0 解x?設h(x)?? 則h'(x)?? 9 ′h(x)>0時，解得0＜x ＜(x)＞0時x ＞99′ 所以h(x)在（0，）上遞增，在（+∞）上遞減,9 944 故h(x)的最大值為h(?，所以a? 999 三、利用導數(shù)解不等式 例8：函數(shù) ?ax(a?0),解不等式f(x)≤1 解：由題知f'(x)??a??a ①∵?1??1 ∴a≥1時,f'(x)<1－a<0恒成立，故f(x)在R上單調(diào)遞減，又f(0)=1，所以x≥0時f(x)≤f(0)=1，即a≥1時f(x)≤1的解為 {x|x≥0} ②0 時，若f'(x)?a ?a??a=0 則x?x=- f'(x)>0時解得x ∈(??,∪ ??), f'(x)f'(x)<0 時解得x?(故f(x) 在(或上單調(diào)遞減，f(x) 在(??,2a 1?a??)上單調(diào)遞增，又f(x)=1時解得x=0或x=，Page 4 of 5 且0 時0??2a 1?a 2a 1?a2 2a 1?a所以0 總之，無論是證明不等式，還是解不等式，只要在解題過程中需要用到函數(shù)的單調(diào)性或最值，我們都可以用導數(shù)作工具來解決。這種解題方法也是轉(zhuǎn)化與化歸思想在中學數(shù)學中的重要體現(xiàn)。 參考資料： （1）趙大鵬：《3+X高考導練.數(shù)學》，中國致公出版社 （2）王宜學：《沙場點兵.數(shù)學》，遼寧大學出版社 （3）《狀元之路.數(shù)學》 Page 5 of 5 利用導數(shù)證明不等式 例1．已知x>0，求證：x>ln(1+x)分析：設f(x)=x－lnx。x?[0,+??。考慮到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒>0時，f(x)>f(0)，這只要證明： f(x)在區(qū)間[0,??)是增函數(shù)。 證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,??)上可導。 且limf(x)?0?f(0)?x?0 由f'(x)?1?1x 可得：當x?(0,??)時，f'(x)?f(0)?0 ?x?1x?1 即x－lnx>0，所以：x>0時，x>lnx 評注：要證明一個一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構造出一個 函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數(shù)），并利 用導數(shù)判斷所設函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要 證的不等式。 例2：當x??0,??時，證明不等式sinx?x成立。證明：設f(x)?sinx?x,則f'(x)?cosx?1.∵x?(0,?),∴f'(x)?0.∴f(x)?sinx?x在x?(0,?)內(nèi)單調(diào)遞減，而f(0)?0.∴f(x)?sinx?x?f(0)?0, 故當x?(0,?)時，sinx?x成立。 點評：一般地，證明f(x)?g(x),x?(a,b),可以構造函數(shù)F(x)?f(x)?g(x)，如果F'(x)?0,，則F(x)在(a,b)上是減函數(shù)，同時若F(a)?0,由減函數(shù)的定義可知，x?(a,b)時，有F(x)?0,即證明了f(x)?g(x)。 x練習：1.當x?0時，證明不等式e?1?x?12x成立。2證明：設f?x??e?1?x?x12x,則f'?x??ex?1?x.2xxx令g(x)?e?1?x,則g'(x)?e?1.當x?0時，g'?x??e?1?0.?g(x)在?0,???上單調(diào)遞增，而g(0)?0.?g?x??g(0)?0,?g(x)?0在?0,???上恒成立，?f(x)在即f'(x)?0在?0,???恒成立。?0,???上單調(diào)遞增，又f(0)?0,?ex?1?x?1x2?0,即x?0時，ex222.證明:當x?1時,有l(wèi)n(x?1)?lnx?ln(x?2).?1?x?12x成立。2分析 只要把要證的不等式變形為 ln(x?1)ln(x?2)?,然后把x相對固定看作常數(shù),并選取輔助函 lnxln(x?1)數(shù)f(x)?ln(x?1).則只要證明f(x)在(0,??)是單調(diào)減函數(shù)即可.lnx證明: 作輔助函數(shù)f(x)?ln(x?1)(x?1)lnxlnxln(x?1)?xlnx?(x?1)ln(x?1)?于是有f?(x)?x?12x lnxx(x?1)ln2x因為 1?x?x?1, 故0?lnx?ln(x?1)所以 xlnx?(x?1)ln(x?1) （1，??）因而在內(nèi)恒有f'(x)?0,所以f(x)在區(qū)間(1,??)內(nèi)嚴格遞減.又因為1?x?1?x,可知f(x)?f(x?1)即 ln(x?1)ln(x?2)?lnxln(x?1)所以 ln2(x?1)?lnx?ln(x?2).利用導數(shù)知識證明不等式是導數(shù)應用的一個重要方面，也成為高考的一個新熱點，其關鍵是構造適當?shù)暮瘮?shù)，判斷區(qū)間端點函數(shù)值與0的關系，其實質(zhì)就是利用求導的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，通過單調(diào)性證明不等式。 x2例3.證明不等式x??ln(1?x)?x,其中x?0.2x2分析 因為例6中不等式的不等號兩邊形式不一樣,對它作差ln(1?x)?(x?),則發(fā)現(xiàn)作差以后 21?x)求導得不容易化簡.如果對ln(1,這樣就能對它進行比較.1?xx2證明: 先證 x??ln(1?x) 2x2設 f(x)?ln(1?x)?(x?)(x?0) 21x21?0)?0?0 f(x)?則 f(0)?ln(?1?x?1?x1?x'? x?0 即 1?x?0 x2?0 x2? f?(x)??0 ,即在(0,??)上f(x)單調(diào)遞增 1?xx2? f(x)?f(0)?0 ? ln(1?x)?x? 21?x)?x;令 g(x)?ln(1?x)?x 再證 ln(則 g(0)?0 g?(x)?1?1 1?x１?ln(1?x)?x ? x?0 ? ?1 ? g?(x)?0 １?xx2? x??ln(1?x)?x 練習：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1?i?m?n 證明：(1?m)n?(1?n)m 分析：要證(1?m)n?(1?n)m成立，只要證 ln(1?m)n?ln(1?n)m 即要證11ln(1?m)?ln(1?n)成立。因為m 11ln(1?m)?ln(1?n)； mn從而：(1?m)n?(1?n)m。 評注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問題，首先變換成某一個一元函數(shù)式分別在兩個不同點處的函數(shù)值的大小比較問題，只要將這個函數(shù)式找到了，通過設函數(shù)，求導判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問題。難點在于找這個一元函數(shù)式，這就是“構造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學方法的練習，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進一步學習高等數(shù)學所需要的。 利用導數(shù)證明不等式 沒分都沒人答埃。覺得可以就給個好評! 最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個式子令為一個函數(shù)f(x).對這個函數(shù)求導，判斷這個函數(shù)這各個區(qū)間的單調(diào)性，然后證明其最大值(或者是最小值)大于0.這樣就能說明原不等式了成立了! 1.當x>1時,證明不等式x>ln(x+1) 設函數(shù)f(x)=x-ln(x+1) 求導，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0 所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數(shù) f(x)>f(1)=1-ln2>o 所以x>ln(x+ 12..證明：a-a^2>0其中0 F(a)=a-a^ 2F'(a)=1-2a 當00;當1/2 因此，F(xiàn)(a)min=F(1/2)=1/4>0 即有當00 3.x>0,證明：不等式x-x^3/6 先證明sinx 因為當x=0時，sinx-x=0 如果當函數(shù)sinx-x在x>0是減函數(shù)，那么它一定<在0點的值0，求導數(shù)有sinx-x的導數(shù)是cosx-1 因為cosx-1≤0 所以sinx-x是減函數(shù)，它在0點有最大值0，知sinx 再證x-x3/6 對于函數(shù)x-x3/6-sinx 當x=0時，它的值為0 對它求導數(shù)得 1-x2/2-cosx如果它<0那么這個函數(shù)就是減函數(shù)，它在0點的值是最大值了。 要證x2/2+cosx-1>0x>0 再次用到函數(shù)關系，令x=0時，x2/2+cosx-1值為0 再次對它求導數(shù)得x-sinx 根據(jù)剛才證明的當x>0sinx x2/2-cosx-1是減函數(shù)，在0點有最大值0 x2/2-cosx-1<0x>0 所以x-x3/6-sinx是減函數(shù)，在0點有最大值0 得x-x3/6 利用函數(shù)導數(shù)單調(diào)性證明不等式X-X2>0，X∈(0,1)成立 令f(x)=x-x2x∈ 則f'(x)=1-2x 當x∈時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增 當x∈時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減 故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得 f(0)=0,f(1)=0 故f(x)的最小值為零 故當x∈(0,1)f(x)=x-x2>0。 i、m、n為正整數(shù)，且1 談利用導數(shù)證明不等式 數(shù)學組 鄒黎華 在高考試題中，不等式的證明往往與函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列的內(nèi)容綜合，屬于在知識網(wǎng)絡的交匯處設計的試題，有一定的綜合性和難度，突出體現(xiàn)對理性思維的考查，特別是利用高中新增內(nèi)容的導數(shù)來證明不等式，體現(xiàn)了導數(shù)的工具，也是與高等數(shù)學接軌的有力點。本文通過一些實例，來說明利用導數(shù)增證明不等式的基本方法。 例1．已知x>0，求證：x>ln(1+x) 分析：設f(x)=x－lnx。x?[0,+??。考慮到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒>0時，f(x)>f(0)，這只要證明： f(x)在區(qū)間[0,??)是增函數(shù)。 證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,??)上可導。 且limf(x)?0?f(0)?x?0 由f'(x)?1?1x 可得：當x?(0,??)時，f'(x)?f(0)?0 ?x?1x? 1即x－lnx>0，所以：x>0時，x>lnx 評注：要證明一個一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構造出一個 函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數(shù)），并利 用導數(shù)判斷所設函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要 證的不等式。 例2：（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1?i?m?n 證明：(1?m)n?(1?n)m 分析：要證(1?m)n?(1?n)m成立，只要證 ln(1?m)n?ln(1?n)m 11ln(1?m)?ln(1?n)成立。因為m x1111' 證明：設函數(shù)f(x)?ln(1?x)，則f(x)??2ln(1?x)?? xx1?xx1x'?ln(1?x)] 即：f(x)?2[x1?xx?1,ln(1?x)?ln3?1 因為：x?2,0?1?x即要證所以：f(x)?0，所以f(x)在[2,??)是減函數(shù)，而m?n 所以f(m)?f(n)，即n''11ln(1?m)?ln(1?n)； mnm從而：(1?m)?(1?n)。 評注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問題，首先變換成某一個一元函數(shù)式分別在兩個不同點處的函數(shù)值的大小比較問題，只要將這個函數(shù)式找到了，通過設函數(shù)，求導判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問題。難點在于找這個一元函數(shù)式，這就是“構造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學方法的練習，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進一步學習高等數(shù)學所需要的。 例3．（2004年全國卷理工22題）已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x，g(x)?xlnx,設0?a?b 證明：0?g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2 2證明：設g(x)?xlnx,g'(x)?lnx?1 設F(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x)2則F'(x)?g'(x)?2[g(a?xa?x)]?lnx?ln22 當0?x?a時，F(xiàn)'(x)?0，當x?a時，F(xiàn)'(x)?0 因此，F(xiàn)（x） 在區(qū)間（0，a）內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間[a,??)內(nèi)為增函數(shù)，于是在x?a 時，F(xiàn)（x）有最小值F(a)?0又b?a，所以0?g(a)?g(b)?2g(a?b)2設G(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x)?(x?a)ln2，則G'(x)?lnx?lna?x?ln2?lnx?ln(a?x)2當x?0時，G'(x)?0，因此G（x）在區(qū)間(0,??)內(nèi)為減函數(shù)； 因為G(a)?0，b?a，所以G(b)?0，即：g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2。2評注：本題在設輔助函數(shù)時，考慮到不等式涉及的變量是區(qū)間的兩個端點，因此，設輔助函數(shù)時就把其中一個端點設為自變量，范例中選用右 端點，讀者不妨設為左端點試一試，就更能體會到其中的奧妙了。 通過以上例題，我們可以體會到用導數(shù)來證明不等式的基本要領和它的簡捷。總之，利用導數(shù)證明不等式的關鍵是“構造函數(shù)”，解決問題的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性，這一方法在高等數(shù)學中應用的非常廣泛，因此，希望同學門能認真對待，并通過適當?shù)木毩曊莆账?/p> 克維教育（82974566）中考、高考培訓專家鑄就孩子輝煌的未來 函數(shù)與導數(shù) （三）核心考點 五、利用導數(shù)證明不等式 一、函數(shù)類不等式證明 函數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明不等式f(x)?g(x)（f(x)?g(x)）的問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)?g(x)?0（f(x)?g(x)?0），進而構造輔助函數(shù)h(x)?f(x)?g(x)，然后利用導數(shù)證明函數(shù)h(x)的單調(diào)性或證明函數(shù)h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。 例 1、已知函數(shù)f(x)?lnx?ax2?(2?a)x （1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； （2）設a?0，證明：當0?x?111時，f(?x)?f(?x)； aaa （3）若函數(shù)f(x)的圖像與x軸交于A、B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明：f`(x0)?0 【變式1】已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：恒有1?1?ln(x?1)?x成立。x? 1x【變式2】（1）x?0，證明：e?1?x x 2?ln(1?x)(2)x?0時，求證：x?2 二、常數(shù)類不等式證明 常數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明常數(shù)類不等式的問題等價轉(zhuǎn)化為證明不等式 f(a)?f(b)的問題，在根據(jù)a,b的不等式關系和函數(shù)f(x)的單調(diào)性證明不等式。例 2、已知m?n?e,，求證：n?m 例 3、已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)? （1）求f(x)的極小值； （2）若a,b?0，求證：lna?lnb?1? mnx，1?xb a 【變式3】已知f(x)?lnx，g(x)?127，直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的 x?mx?（m?0）22 圖像都相切，且與函數(shù)f(x)的圖像的切點的橫坐標為1． （Ⅰ）求直線l的方程及m的值； （Ⅱ）若h(x)?f(x?1)?g?(x)（其中g?(x)是g(x)的導函數(shù)），求函數(shù)h(x)的最大值；（Ⅲ）當0?b?a時，求證：f(a?b)?f(2a)?b?a． 2a 【變式4】求證： b?ab?lnba?b?aa(0?a?b) 1?x)?x?0(x??1)【變式5】證明：ln（ln22ln32lnn2(n?1)(2n?1)【引申】求證： 2?2???2?(n?2,n?N*)23n2(n?1) 【變式6】當t?1時，證明：1??lnt?t?1 1t x21(x?1)，各項不為零的數(shù)列?an?滿足4Sn?f()?1，【引申】已知函數(shù)f(x)?an2(x?1) 1n?11（1）求證：??ln??； an?1nan （2）設bn??1，Tn為數(shù)列?bn?的前n項和，求證：T2008?1?ln2008?T2007。an第二篇：利用導數(shù)證明不等式
第三篇：利用導數(shù)證明不等式
第四篇：談利用導數(shù)證明不等式.
第五篇：利用導數(shù)證明不等式
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