第一篇：數(shù)學(xué)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型及解題技巧

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型及解題技巧

趣題引入

已知函數(shù)g(x)?xlnx 設(shè)0?a?b，證明：0?g(a)?g(b)?2(a?b

2)?(b?a)ln2

a?x

2分析：主要考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的能力。證明：g?(x)?lnx?1，設(shè)F(x)?g(a)?g(x)?2g(F?(x)?g(x)?2g('')a?x

2a?x2)?1

2?g(x)?g(''a?x)?lnx?ln

當(dāng)0?x?a時 F?(x)?0，當(dāng)x?a時 F?(x)?0，即F(x)在x?(0,a)上為減函數(shù)，在x?(a,??)上為增函數(shù)

∴F(x)min?F(a)?0，又b?a ∴F(b)?F(a)?0，即g(a)?g(b)?2g(a?b

2)?02)?(x?a)ln2設(shè)G(x)?g(a)?g(x)?2g（?G?(x)?lnx?lna?x

2a?x?ln2?lnx?ln(a?x)

當(dāng)x?0時，G'(x)?0，因此G(x)在區(qū)間(0,??)上為減函數(shù)；

因?yàn)镚(a)?0，又b?a ∴G(b)?G(a)?0，即 g(a)?g(x)?2g（故g(a)?g(x)?2g(a?x22)?(x?a)ln2?0 a?x)?(x?a)ln2

a?b

2)?(b?a)ln2綜上可知，當(dāng) 0?a?b時，0?g(a)?g(b)?2（本題在設(shè)輔助函數(shù)時，考慮到不等式涉及的變量是區(qū)間的兩個端點(diǎn)，因此，設(shè)輔助函數(shù)時就把其中一個端點(diǎn)設(shè)為自變量，范例中選用右端點(diǎn)，讀者不妨設(shè)為左端點(diǎn)試一試，就能體會到其中的奧妙了。

技巧精髓

一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。

二、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)

用心 愛心 專心115號編輯 1

函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。

1、利用題目所給函數(shù)證明

【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時，恒有1?

1x?1

?ln(x?1)?x

分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)

g(x)?ln(x?1)?

1x?1

?1，從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明。

xx?1

【綠色通道】f?(x)?

1x?1

?1??

∴當(dāng)?1?x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上為增函數(shù)

當(dāng)x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為減函數(shù)

故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間(0,??)

于是函數(shù)f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0，因此，當(dāng)x??1時，f(x)?f(0)?0，即ln(x?1)?x?0∴l(xiāng)n(x?1)?x（右面得證），現(xiàn)證左面，令g(x)?ln(x?1)?

1x?1

?1，則g?(x)?

1x?1

?

1(x?1)

?

x(x?1)

當(dāng)x?(?1,0)時,g?(x)?0;當(dāng)x?(0,??)時,g?(x)?0，即g(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù)，在x?(0,??)上為增函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0，∴當(dāng)x??1時，g(x)?g(0)?0，即ln(x?1)?∴l(xiāng)n(x?1)?1?

【警示啟迪】如果

1x?11

?1?0

?1?ln(x?1)?x

x?1x?1

（小）值，則有f(x)?f(a)（或f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大，綜上可知，當(dāng)x??1時,有，那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過0f(x)?f(a)）

2、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明

【例2】已知函數(shù)f(x)?

g(x)?

232

3就可得證．

x?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)

x的圖象的下方；

分析：函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方?不等式f(x)?g(x)問題，即

x?lnx?

x，只需證明在區(qū)間(1,??)上，恒有x2?lnx?

123

x

成立，設(shè)F(x)?g(x)?f(x)，x?(1,??)，考慮到F(1)?

?0

要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋寒?dāng)x?1時，F(xiàn)(x)?F(1)，這只要證明： g(x)在區(qū)間(1,??)是增函數(shù)即可。

【綠色通道】設(shè)F(x)?g(x)?f(x)，即F(x)?

1x

23x?

x?lnx，x?1

則

F?(x)?2x?x?

=

(x?1)(2x?x?1)

x

當(dāng)時

16，F(xiàn)?(x)=

(x?1)(2x?x?1)

x

從而F(x)在(1,??)上為增函數(shù)，∴F(x)?F(1)??0

∴當(dāng)x?1時 g(x)?f(x)?0，即f(x)?g(x)，故在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?

x的圖象的下方。

【警示啟迪】本題首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移

項后的左式設(shè)為函數(shù)），并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設(shè)F(x)?f(x)?g(x)做

一做，深刻體會其中的思想方法。

3、換元后作差構(gòu)造函數(shù)證明

【例3】證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln（1n?1)?

1n

?

1n

都成立.分析：本題是山東卷的第（II）問，從所證結(jié)構(gòu)出發(fā)，只需令?x，則問題

n

轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x?0時，恒有l(wèi)n(x?1)?x2?x3成立，現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)

h(x)?x?x?ln(x?1)，求導(dǎo)即可達(dá)到證明。

【綠色通道】令h(x)?x?x?ln(x?1)，則h?(x)?3x?2x?

1x?1

?

3x?(x?1)

x?1

在x?(0,??)上恒正，所以函數(shù)h(x)在(0,??)上單調(diào)遞增，∴x?(0,??)時，恒有h(x)?h(0)?0，即x3?x2?ln(x?1)?0，∴l(xiāng)n(x?1)?x2?x3 對任意正整數(shù)n，取x?

1n

?(0,??)，則有l(wèi)n（1n?1)?

1n

?

1n

【警示啟迪】我們知道，當(dāng)F(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則x?a時，有

F(x)?F(a)．如果f(a)＝?(a)，要證明當(dāng)x?a

時，f(x)??(x)，那么，只要

令F(x)＝f(x)－?(x)，就可以利用F(x)的單調(diào)增性來推導(dǎo)．也就是說，在F(x)

可導(dǎo)的前提下，只要證明F'(x)?０即可．

4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿

足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)

【綠色通道】由已知 xf?(x)+f(x)>0 ∴構(gòu)造函數(shù) F(x)?xf(x)，則F'(x)? xf?(x)+f(x)>0，從而F(x)在R上為增函數(shù)。

?a?b ∴F(a)?F(b)即 af(a)>bf(b)

【警示啟迪】由條件移項后xf?(x)?f(x)，容易想到是一個積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造

函數(shù)F(x)?xf(x)，求導(dǎo)即可完成證明。若題目中的條件改為xf?(x)?f(x)，則移項后xf?(x)?f(x)，要想到是一個商的導(dǎo)數(shù)的分子，平時解題多注

意總結(jié)。【思維挑戰(zhàn)】

1、設(shè)a?0,f(x)?x?1?ln

x?2alnx

求證：當(dāng)x?1時，恒有x?ln2x?2alnx?1，2、已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)?1x

?2ax,g(x)?3alnx?b,其中a>0，且

b?

a?3alna，求證：f(x)?g(x)

x1?x223、已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?

恒有l(wèi)na?lnb?1?

ba.，求證：對任意的正數(shù)a、b，4、（2007

年，陜西卷）f(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足

a、b，若

xf?(x)?f(x)≤0，對任意正數(shù)a < b，則必有

（）

（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)【答案咨詢】

（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)

?1 x

f(x)在(0,??)內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)x?1時，x1、提示：f?(x)?1?2lnx?2a，當(dāng)x?1，a?0時，不難證明2lnx，即

f(x)?f(1)?0，∴當(dāng)x?1時，恒有x?ln2x?2alnx?1

f?(x)?

∴

x2、提示：設(shè)F(x)?

g(x)?f(x)?

x?2ax?3alnx?b

則F?(x)?x?2a?

3ax

=(x?a)(x?3a)(x?0)?a?0，∴ 當(dāng)x?a時，F(xiàn)?(x)?0，x

故F(x)在(0,a)上為減函數(shù)，在(a,??)上為增函數(shù)，于是函數(shù)F(x)

在(0,??)上的最小值是F(a)?f(a)?g(a)?0，故當(dāng)x?0時，有

f(x)?g(x)?0，即f(x)?g(x)

3、提示：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??1,??)，f?(x)?

11?x

?

1(1?x)

?

x(1?x)

∴當(dāng)?1?x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù)

當(dāng)x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為增函數(shù) 因此在x?0時,f(x)取得極小值f(0)?0，而且是最小值 于是f(x)?f(0)?0,從而ln(1?x)?令1?x?

ab

?0,則1?

ba1x?1

?1?

ba

x1?x，即ln(1?x)?1?

ab?1?

ba

11?x

于是ln

因此lna?lnb?1?

xf(x)?f(x)

x

?

'

4、提示：F(x)?

f(x)x，F(xiàn)?(x)??0，故F(x)?

f(x)x

在（0，+∞）

上是減函數(shù)，由a?b 有

f(a)a

f(b)b

? af(b)≤bf(a)故選（A）

第二篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型經(jīng)典

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型及解題技巧

技巧精髓

1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。

2、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。

一、利用題目所給函數(shù)證明

【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時，恒有

1?1?ln(x?1)?x x?

1分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)

1?1，從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明。x?1

1x【綠色通道】f?(x)??1??x?1x?1g(x)?ln(x?1)?

∴當(dāng)?1?x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上為增函數(shù)

當(dāng)x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為減函數(shù)

故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間(0,??)

于是函數(shù)f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0，因此，當(dāng)x??1時，f(x)?f(0)?0，即ln(x?1)?x?0∴l(xiāng)n(x?1)?x（右面得證），現(xiàn)證左面，令g(x)?ln(x?1)?11x1?? ?1，則g?(x)?22x?1(x?1)x?1(x?1)

當(dāng)x?(?1,0)時,g?(x)?0;當(dāng)x?(0,??)時,g?(x)?0，即g(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù)，在x?(0,??)上為增函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0，1?1?0 x?1

11∴l(xiāng)n(x?1)?1?，綜上可知，當(dāng)x??1時,有?1?ln(x?1)?xx?1x?1

【警示啟迪】如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大（小）值，則有f(x)?f(a)（或f(x)?f(a)），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過0就可得證． ∴當(dāng)x??1時，g(x)?g(0)?0，即ln(x?1)?

2、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明

【例2】已知函數(shù)f(x)?

圖象的下方；

122x?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?x3的2

3分析：函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方?不等式f(x)?g(x)問題，12212x?lnx?x3，只需證明在區(qū)間(1,??)上，恒有x2?lnx?x3成立，設(shè)2323

1F(x)?g(x)?f(x)，x?(1,??)，考慮到F(1)??0 6

要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋寒?dāng)x?1時，F(xiàn)(x)?F(1)，這只要證明： g(x)在區(qū)間(1,??)是增函數(shù)即可。

21【綠色通道】設(shè)F(x)?g(x)?f(x)，即F(x)?x3?x2?lnx，32即

1(x?1)(2x2?x?1)則F?(x)?2x?x?= xx

2(x?1)(2x2?x?1)當(dāng)x?1時，F(xiàn)?(x)= x

從而F(x)在(1,??)上為增函數(shù)，∴F(x)?F(1)?

∴當(dāng)x?1時 g(x)?f(x)?0，即f(x)?g(x)，故在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?1?0 623x的圖象的下方。3

【警示啟迪】本題首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設(shè)為函數(shù)），并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設(shè)F(x)?f(x)?g(x)做一做，深刻體會其中的思想方法。

3、換元后作差構(gòu)造函數(shù)證明

都成立.?nn2n

31分析：本題是山東卷的第（II）問，從所證結(jié)構(gòu)出發(fā)，只需令?x，則問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x?0時，恒n【例3】（2007年，山東卷）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(?1)?

有l(wèi)n(x?1)?x?x成立，現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)h(x)?x?x?ln(x?1)，求導(dǎo)即可達(dá)到證明。

【綠色通道】令h(x)?x?x?ln(x?1)，32233

213x3?(x?1)2

?則h?(x)?3x?2x?在x?(0,??)上恒正，x?1x?12

所以函數(shù)h(x)在(0,??)上單調(diào)遞增，∴x?(0,??)時，恒有h(x)?h(0)?0，即x?x?ln(x?1)?0，∴l(xiāng)n(x?1)?x?x

對任意正整數(shù)n，取x?32231111?(0,??)，則有l(wèi)n(?1)?2?3 nnnn

【警示啟迪】我們知道，當(dāng)F(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則x?a時，有F(x)?F(a)．如果f(a)＝?(a)，要證明當(dāng)x?a時，f(x)??(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－?(x)，就可以利用F(x)的單調(diào)增性來推導(dǎo)．也就是說，在F(x)可導(dǎo)的前提下，只要證明F'(x)?０即可．

4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求

證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)

【綠色通道】由已知 xf?(x)+f(x)>0 ∴構(gòu)造函數(shù) F(x)?xf(x)，則F(x)? xf?(x)+f(x)>0，從而F(x)在R上為增函數(shù)。'

?a?b ∴F(a)?F(b)即 af(a)>bf(b)

【警示啟迪】由條件移項后xf?(x)?f(x)，容易想到是一個積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)F(x)?xf(x)，求導(dǎo)即可完成證明。若題目中的條件改為xf?(x)?f(x)，則移項后xf?(x)?f(x)，要想到

是一個商的導(dǎo)數(shù)的分子，平時解題多注意總結(jié)。

【思維挑戰(zhàn)】

21、（2007年，安徽卷）設(shè)a?0,f(x)?x?1?lnx?2alnx

求證：當(dāng)x?1時，恒有x?lnx?2alnx?1，2、（2007年，安徽卷）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)

2f(x)?52122x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0，且b?a?3alna，22

求證：f(x)?g(x)

3、已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?

恒有l(wèi)na?lnb?1?x，求證：對任意的正數(shù)a、b，1?xb.a4、（2007年，陜西卷）f(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對任意正數(shù)a、b，若a < b，則必有（）

（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)

【答案咨詢】

1、提示：f?(x)?1?

∴（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)2lnx2a2lnx，當(dāng)x?1，a?0時，不難證明??1 xxxf?(x)?0，即f(x)在(0,??)內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)x?1時，2f(x)?f(1)?0，∴當(dāng)x?1時，恒有x?lnx?2alnx?

13a21222、提示：設(shè)F(x)?g(x)?f(x)?x?2ax?3alnx?b則F?(x)?x?2a? x

2(x?a)(x?3a)=(x?0)?a?0，∴ 當(dāng)x?a時，F(xiàn)?(x)?0，x

故F(x)在(0,a)上為減函數(shù)，在(a,??)上為增函數(shù)，于是函數(shù)F(x)在(0,??)上的最小值

是F(a)?f(a)?g(a)?0，故當(dāng)x?0時，有f(x)?g(x)?0，即f(x)?g(x)

3、提示：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??1,??)，f?(x)?11x ??221?x(1?x)(1?x)

∴當(dāng)?1?x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù)

當(dāng)x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為增函數(shù)

因此在x?0時,f(x)取得極小值f(0)?0，而且是最小值 x1，即ln(1?x)?1? 1?x1?x

a1bab令1?x??0,則1??1?于是ln?1? bx?1aba

b因此lna?lnb?1? a于是f(x)?f(0)?0,從而ln(1?x)?

xf'(x)?f(x)f(x)f(x)

4、提示：F(x)?，F(xiàn)?(x)?，故在（0，+∞）上是減函數(shù)，由?0F(x)?2xxx

a?b 有f(a)f(b)?? af(b)≤bf(a)故選（A）ab

第三篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型與技巧

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型與技巧

例題：已知函數(shù)g(x)?xlnx，設(shè)0?a?b，證明：0?g(a)?g(b)?2(a?b)?(b?a)ln2.2本題在設(shè)輔助函數(shù)時，考慮到不等式涉及的變量是區(qū)間的兩個端點(diǎn)，因此，設(shè)輔助函數(shù)時就把其中一個端點(diǎn)設(shè)為自變量，范例中選用右端點(diǎn)，讀者不妨設(shè)為左端點(diǎn)試一試，就能體會到其中的奧妙了。

技巧：①利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。②解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。

1、利用題目所給函數(shù)證明

1【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x，求證：當(dāng)x??1時，恒有1??ln(x?1)?x x?

1【警示啟迪】如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大（小）值，則有f(x)?f(a)（或f(x)?f(a)），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過0就可得證．

2、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明

【例2】已知函數(shù)f(x)?1x2?lnx.求證：在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)

2g(x)?23的圖象的下方； x

3【警示啟迪】本題首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設(shè)為函數(shù)），并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設(shè)F(x)?f(x)?g(x)做一做，深刻體會其中的思想方法。

3、換元后作差構(gòu)造函數(shù)證明

【例3】證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(1?1)?12?13 都成立.n

n

n

【警示啟迪】我們知道，當(dāng)F(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則x?a時，有F(x)?F(a)．如果f(a)＝?(a)，要證明當(dāng)x?a時，f(x)??(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－?(x)，就可以利用F(x)的單調(diào)增性來推導(dǎo)．也就是說，在F(x)可導(dǎo)的前提下，只要證明F'(x)?０即可．

4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，求證：．a(chǎn)f(a)>bf(b)

【警示啟迪】由條件移項后xf?(x)?f(x)，容易想到是一個積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)F(x)?xf(x)，求導(dǎo)即可完成證明。若題目中的條件改為xf?(x)?f(x)，則移項后

xf?(x)?f(x)，要想到是一個商的導(dǎo)數(shù)的分子，平時解題多注意總結(jié)。

【思維挑戰(zhàn)】

1、設(shè)a?0,f(x)?x?1?ln2x?2alnx，求證：當(dāng)x?1時，恒有x?ln2x?2alnx?1，2、已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)?1x2?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0，且

b?

52a?3a2lna，求證：2

f(x)?g(x)

3、已知函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x，求證：對任意的正數(shù)a、b，恒有l(wèi)na?lnb?1?b.a1?x4、f(x)是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對任意正數(shù)a、b，若a < b，則必有（）

（A）af(b)≤bf(a)

（B）bf(a)≤af(b)（C）af(a)≤f(b)

（D）bf(b)≤f(a)

參考答案

a?x1a?xa?x 例題證明：g?(x)?lnx?1，設(shè)F(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x)，F(xiàn)?(x)?g'(x)?2g'()??g'(x)?g'()?lnx?ln

2222

2當(dāng)0?x?a時 F?(x)?0，當(dāng)x?a時 F?(x)?0，即F(x)在x?(0,a)上為減函數(shù)，在x?(a,??)上為增函數(shù)。∴F(x)min?F(a)?0，又b?a ∴F(b)?F(a)?0，即g(a)?g(b)?2g(a?b)?0

設(shè)G(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x)?(x?a)ln2，則G?(x)?lnx?lna?x?ln2?lnx?ln(a?x)

當(dāng)x?0時，因此G(x)在區(qū)間(0,??)上為減函數(shù)；因?yàn)镚(a)?0，又b?a ∴G'(x)?0，G(b)?G(a)?0，即 g(a)?g(x)?2g(a?x)?(x?a)ln2?0故g(a)?g(x)?2g(a?x)?(x?a)ln2

綜上可知，當(dāng) 0?a?b時，0?g(a)?g(b)?2(a?b)?(b?a)ln2

【例1解】f?(x)?1?1??x∴當(dāng)?1?x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)

x?

1x?1

上為增函數(shù)，當(dāng)x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為減函數(shù)，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間(0,??)，于是函數(shù)f(x)在(?1,??)上的最大值為因此，當(dāng)x??1時，f(x)?f(0)?0，即nl(x?1)?x?0∴l(xiāng)n(x?1)?x（右f(x)max?f(0)?0，面得證），現(xiàn)證左面，令g(x)?ln(x?1)?1?1，則g?(x)?1?

x?1

1x，當(dāng)?22x?1(x?1)(x?1)

x?(?1,0)時,g?(x)?0;當(dāng)x?(0,??)時,g?(x)?0，即g(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù)，在x?(0,??)上為增函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0，∴當(dāng)

x??1時，g(x)?g(0)?0，即ln(x?1)?1?1?0

x?1

∴l(xiāng)n(x?1)?1?1，綜上可知，當(dāng)x??1時,有1?1?ln(x?1)?x

x?1

x?1

【例2解】設(shè)F(x)?g(x)?f(x)，即F(x)?2x3?1x2?lnx，2(x?1)(2x?x?1)

則F?(x)?2x2?x?1=(x?1)(2x?x?1)，當(dāng)x?1時，F(xiàn)?(x)=

xxx

從而F(x)在(1,??)上為增函數(shù)，∴F(x)?F(1)?1?0

6∴當(dāng)x?1時 g(x)?f(x)?0，即f(x)?g(x)，故在區(qū)間(1,??)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)?

3x的圖象的下方。3

【例3解】令h(x)?x3?x2?ln(x?1)，則h?(x)?3x2?2x?1?3x?(x?1)在x?1x?1

x?(0,??)上恒正，所以函數(shù)h(x)在(0,??)上單調(diào)遞增，∴x?(0,??)時，恒有

即x3?x2?ln(x?1)?0，∴l(xiāng)n(x?1)?x2?x3 h(x)?h(0)?0，對任意正整數(shù)n，取x?1?(0,??)，則有l(wèi)n(1?1)?1?1

n

n

n

n

【例4解】由已知 xf?(x)+f(x)>0 ∴構(gòu)造函數(shù) F(x)?xf(x)，則F'(x)? xf?(x)+f(x)>0，從而F(x)在R上為增函數(shù)。?a?b ∴F(a)?F(b)即 af(a)>bf(b)

1、提示：f?(x)?1?

2lnx2a2lnx

??1，當(dāng)x?1，a?0時，不難證明xxx

∴f?(x)?0，即f(x)在(0,??)內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)x?1時，f(x)?f(1)?0，∴當(dāng)x?1時，恒有x?lnx?2alnx?

1123a222、提示：設(shè)F(x)?g(x)?f(x)?x?2ax?3alnx?b則F?(x)?x?2a?

2x

(x?a)(x?3a)

=(x?0)?a?0，∴ 當(dāng)x?a時，F(xiàn)?(x)?0，x

故F(x)在(0,a)上為減函數(shù)，在(a,??)上為增函數(shù)，于是函數(shù)F(x)在(0,??)上的最小值是F(a)?f(a)?g(a)?0，故當(dāng)x?0時，有f(x)?g(x)?0，即f(x)?g(x)

3、提示：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??1,??)，f?(x)?

11x

??2

21?x(1?x)(1?x)

∴當(dāng)?1?x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù)

當(dāng)x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為增函數(shù) 因此在x?0時,f(x)取得極小值f(0)?0，而且是最小值

x1，即ln(1?x)?1? 1?x1?x

a1bab

?1?于是ln?1? 令1?x??0,則1?

bx?1aba

b

因此lna?lnb?1?

a

于是f(x)?f(0)?0,從而ln(1?x)?

f(x)f(x)xf'(x)?f(x)

F(x)??04、提示：F(x)?，F(xiàn)?(x)?，故在（0，+∞）上2

xxx

是減函數(shù)，由a?b 有

f(a)f(b)

?? af(b)≤bf(a)故選（A）ab

第四篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

例1．已知x>0，求證：x>ln(1+x)分析：設(shè)f(x)=x－lnx。x?[0,+??。考慮到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒>0時，f(x)>f(0)，這只要證明：

f(x)在區(qū)間[0,??)是增函數(shù)。

證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,??)上可導(dǎo)。

且limf(x)?0?f(0)?x?0 由f'(x)?1?1x 可得：當(dāng)x?(0,??)時，f'(x)?f(0)?0 ?x?1x?1 即x－lnx>0，所以：x>0時，x>lnx 評注：要證明一個一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個

函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設(shè)為函數(shù)），并利 用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要 證的不等式。

例2：當(dāng)x??0,??時，證明不等式sinx?x成立。證明：設(shè)f(x)?sinx?x,則f'(x)?cosx?1.∵x?(0,?),∴f'(x)?0.∴f(x)?sinx?x在x?(0,?)內(nèi)單調(diào)遞減，而f(0)?0.∴f(x)?sinx?x?f(0)?0, 故當(dāng)x?(0,?)時，sinx?x成立。

點(diǎn)評：一般地，證明f(x)?g(x),x?(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)?f(x)?g(x)，如果F'(x)?0,，則F(x)在(a,b)上是減函數(shù)，同時若F(a)?0,由減函數(shù)的定義可知，x?(a,b)時，有F(x)?0,即證明了f(x)?g(x)。

x練習(xí)：1.當(dāng)x?0時，證明不等式e?1?x?12x成立。2證明：設(shè)f?x??e?1?x?x12x,則f'?x??ex?1?x.2xxx令g(x)?e?1?x,則g'(x)?e?1.當(dāng)x?0時，g'?x??e?1?0.?g(x)在?0,???上單調(diào)遞增，而g(0)?0.?g?x??g(0)?0,?g(x)?0在?0,???上恒成立，?f(x)在即f'(x)?0在?0,???恒成立。?0,???上單調(diào)遞增，又f(0)?0,?ex?1?x?1x2?0,即x?0時，ex222.證明:當(dāng)x?1時,有l(wèi)n(x?1)?lnx?ln(x?2).?1?x?12x成立。2分析 只要把要證的不等式變形為

ln(x?1)ln(x?2)?,然后把x相對固定看作常數(shù),并選取輔助函

lnxln(x?1)數(shù)f(x)?ln(x?1).則只要證明f(x)在(0,??)是單調(diào)減函數(shù)即可.lnx證明: 作輔助函數(shù)f(x)?ln(x?1)(x?1)lnxlnxln(x?1)?xlnx?(x?1)ln(x?1)?于是有f?(x)?x?12x

lnxx(x?1)ln2x因?yàn)?1?x?x?1, 故0?lnx?ln(x?1)所以 xlnx?(x?1)ln(x?1)

（1，??）因而在內(nèi)恒有f'(x)?0,所以f(x)在區(qū)間(1,??)內(nèi)嚴(yán)格遞減.又因?yàn)??x?1?x,可知f(x)?f(x?1)即 ln(x?1)ln(x?2)?lnxln(x?1)所以 ln2(x?1)?lnx?ln(x?2).利用導(dǎo)數(shù)知識證明不等式是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個重要方面，也成為高考的一個新熱點(diǎn)，其關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，判斷區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值與0的關(guān)系，其實(shí)質(zhì)就是利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，通過單調(diào)性證明不等式。

x2例3.證明不等式x??ln(1?x)?x,其中x?0.2x2分析 因?yàn)槔?中不等式的不等號兩邊形式不一樣,對它作差ln(1?x)?(x?),則發(fā)現(xiàn)作差以后

21?x)求導(dǎo)得不容易化簡.如果對ln(1,這樣就能對它進(jìn)行比較.1?xx2證明: 先證 x??ln(1?x)

2x2設(shè) f(x)?ln(1?x)?(x?)(x?0)

21x21?0)?0?0 f(x)?則 f(0)?ln(?1?x?1?x1?x'?　x?0 即 1?x?0 x2?0

x2?　f?(x)??0　,即在(0,??)上f(x)單調(diào)遞增

1?xx2?　f(x)?f(0)?0 ?　ln(1?x)?x?

21?x)?x;令 g(x)?ln(1?x)?x 再證 ln(則 g(0)?0 g?(x)?1?1 1?x１?ln(1?x)?x ?　x?0 ?　?1 ?　g?(x)?0 １?xx2?　x??ln(1?x)?x 練習(xí)：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1?i?m?n

證明：(1?m)n?(1?n)m

分析：要證(1?m)n?(1?n)m成立，只要證

ln(1?m)n?ln(1?n)m

即要證11ln(1?m)?ln(1?n)成立。因?yàn)閙

11ln(1?m)?ln(1?n)； mn從而：(1?m)n?(1?n)m。

評注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問題，首先變換成某一個一元函數(shù)式分別在兩個不同點(diǎn)處的函數(shù)值的大小比較問題，只要將這個函數(shù)式找到了，通過設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問題。難點(diǎn)在于找這個一元函數(shù)式，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學(xué)方法的練習(xí)，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需要的。

第五篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

沒分都沒人答埃。覺得可以就給個好評!

最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個式子令為一個函數(shù)f(x).對這個函數(shù)求導(dǎo)，判斷這個函數(shù)這各個區(qū)間的單調(diào)性，然后證明其最大值(或者是最小值)大于0.這樣就能說明原不等式了成立了!

1.當(dāng)x>1時,證明不等式x>ln(x+1)

設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+1)

求導(dǎo)，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數(shù)

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+

12..證明：a-a^2>0其中0

F(a)=a-a^

2F'(a)=1-2a

當(dāng)00;當(dāng)1/2

因此，F(xiàn)(a)min=F(1/2)=1/4>0

即有當(dāng)00

3.x>0,證明：不等式x-x^3/6

先證明sinx

因?yàn)楫?dāng)x=0時，sinx-x=0

如果當(dāng)函數(shù)sinx-x在x>0是減函數(shù)，那么它一定<在0點(diǎn)的值0，求導(dǎo)數(shù)有sinx-x的導(dǎo)數(shù)是cosx-1

因?yàn)閏osx-1≤0

所以sinx-x是減函數(shù)，它在0點(diǎn)有最大值0，知sinx

再證x-x3/6

對于函數(shù)x-x3/6-sinx

當(dāng)x=0時，它的值為0

對它求導(dǎo)數(shù)得

1-x2/2-cosx如果它<0那么這個函數(shù)就是減函數(shù)，它在0點(diǎn)的值是最大值了。

要證x2/2+cosx-1>0x>0

再次用到函數(shù)關(guān)系，令x=0時，x2/2+cosx-1值為0

再次對它求導(dǎo)數(shù)得x-sinx

根據(jù)剛才證明的當(dāng)x>0sinx

x2/2-cosx-1是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0

x2/2-cosx-1<0x>0

所以x-x3/6-sinx是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0

得x-x3/6

利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性證明不等式X-X2>0，X∈(0,1)成立

令f(x)=x-x2x∈

則f'(x)=1-2x

當(dāng)x∈時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增

當(dāng)x∈時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減

故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值為零

故當(dāng)x∈(0,1)f(x)=x-x2>0。

i、m、n為正整數(shù)，且1