第一篇：利用導數證明不等式的兩種通法

利用導數證明不等式的兩種通法

吉林省長春市東北師范大學附屬實驗學校

金鐘植岳海學

利用導數證明不等式是高考中的一個熱點問題，利用導數證明不等式主要有兩種通法，即函數類不等式證明和常數類不等式證明。下面就有關的兩種通法用列舉的方式歸納和總結。

一、函數類不等式證明

函數類不等式證明的通法可概括為：證明不等式f(x)?g(x)（f(x)?g(x)）的問題轉化為證明f(x)?g(x)?0（f(x)?g(x)?0），進而構造輔助函數h(x)?f(x)?g(x)，然后利用導數證明函數h(x)的單調性或證明函數h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。

例1 已知x?(0,?

2)，求證：sinx?x?tanx

分析：欲證sinx?x?tanx，只需證函數f(x)?sinx?x和g(x)?x?tanx在(0,單調遞減即可。

證明：

令f(x)?sinx?x，其中x?(0,則f(x)?cosx?1，而x?(0,所以f(x)?sinx?x在(0,所以sinx?x；

令g(x)?x?tanx，其中x?(0,則g(x)?1?/?2)上?2)/?2)?cosx?1?cosx?1?0 ?2)上單調遞減，即f(x)?sinx?x?f(0)?0 ?2)1?2??tanx?0(0,)上單調遞減，g(x)?x?tanx，所以在cos2x

2即g(x)?x?tanx?g(0)?0

所以x?tanx。

綜上所述，sinx?x?tanx

評注：證明函數類不等式時，構造輔助函數比較容易，只需將不等式的其中一邊變為0，然后另一邊的函數作為輔助函數，并利用導數證明其單調性或其最值，進而構造我們所需的不等式的結構即可。根據不等式的對稱性，本例也可以構造輔助函數為在(0,的函數（如：利用h(x)?x?sinx在(0,?2)上是單調遞增?

2)上是單調遞增來證明不等式sinx?x），另外不

等式證明時，區間端點值也可以不是我們所需要的最恰當的值（比如此例中的f(0)也可以

不是0，而是便于放大的正數也可以）。因此例可變式為證明如下不等式問題： 已知x?(0,?)，求證：sinx?1?x?tanx?

1證明這個變式題可采用兩種方法：

第一種證法：運用本例完全相同的方法證明每個不等式以后再放縮或放大，即證明不等式 sinx?x以后，根據sinx?1?sinx?x來證明不等式sinx?1?x；

第二種證法：直接構造輔助函數f(x)?sinx?1?x和g(x)?x?tanx?1，其中x?(0,然后證明各自的單調性后再放縮或放大（如：f(x)?sinx?1?x?f(0)??1?0）例2 求證：ln(x?1)?x

分析：令f(x)?ln(x?1)?x，經過求導易知，f(x)在其定義域(?1,??)上不單調，但可以利用最值證明不等式。證明：令f(x)?ln(x?1)?x 函數f(x)的定義域是(?1,??),?1.令f'(x)=0，解得x=0，1?x

當-10,當x>0時,f'(x)<0，又f(0)=0，f'(x)=

?)

故當且僅當x=0時，f(x)取得最大值，最大值是0 所以f(x)?ln(x?1)?x?f(0)?0 即ln(x?1)?x

二、常數類不等式證明

常數類不等式證明的通法可概括為：證明常數類不等式的問題等價轉化為證明不等式

f(a)?f(b)的問題，在根據a,b的不等式關系和函數f(x)的單調性證明不等式。

例3已知m?n?0,a,b?R且(a?1)(b?1)?0 求證：(a?b)?(a?b)分析：

n

nm

m

mn?

(an?bn)m?(am?bm)n

?ln(an?bn)m?ln(am?bm)n ?mln(an?bn)?nln(am?bm)

ln(an?bn)ln(am?bm)??

nm

?f(n)?f(m)

?ln(ax?bx)

在（0，??）上是減函數?f(x)?

??x

?m>n>0?

證明：

ln(ax?bx)

令f(x)?

x

(x?0)

axlna?bxlnbx?ln(ax?bx)xxx(axlna?bxlnb)?(ax?bx)ln(ax?bx)/?則f(x)?

x2x2(ax?bx)axbxax?bxax?bxxxx

alnx?blnxalnx?blnx

xxxx

???0 2xx2xx

x(a?b)x(a?b)

x

ln(ax?bx)

在（0，??）上是減函數 所以，f(x)?

x

又因為m?n?0，所以f(n)?f(m)

ln(an?bn)ln(am?bm)

?即

nm

mln(an?bn)?nln(am?bm)?ln(a?b)?ln(a?b)

即(a?b)?(a?b)

n

nm

m

mn

nnmmmn

評注：利用導數證明常數類不等式的關鍵是經過適當的變形，將不等式證明的問題轉化為函

數單調性證明問題，其中關鍵是構造輔助函數，如何構造輔助函數也是這種通法運用的難點和關鍵所在。通過本例，不難發現，構造輔助函數關鍵在于不等式轉化為左右兩邊是相同結

ln(an?bn)ln(am?bm)

?構的式子（本例經過轉化后的不等式的兩邊都是相同式子

nm

ln(ax?bx)ln(ax?bx)的結構，所以可以構造輔助函數f(x)?），這樣根據“相同結構”

xx

可以構造輔助函數。例4 已知0?????

?，求證：

tan??tan?

?1???1 tan??tan?

分析：欲證

tan??tan?tan??tan?

?1???1，只需證??（不然沒法構造輔助函tan??tan?tan??tan?

數），即

tan?

??

?

tan?

?,?tan???tan?，則需證函數f(x)?

tanx,g(x)?xtanx都在x

函數區間(0,)上單調遞增即可。

tanx?，x?(0,)x21x.?tanx22xsecx?tanxx?sinxcosx/

f(x)??則f?(x)?2 22

2xxcosxx

證明：設f(x)?由例1知，x?(0,?)?x?sinx?sinxcosx?x?sinxcosx?0

tanx??

在(0,)上單調遞增，而0????? x22

/

即f(x)?0，所以f(x)?

所以

tan?

?

?

tan?

?，即

tan??tan??

?，進而得到?1? tan??tan??

設g(x)?xtanx，x?(0,/

?)

則g(x)?tanx?xsecx，又因為x?(0,進而g(x)?xtanx在(0,?)，所以g/(x)?0，?)上單調遞增，而0?????

?

所以?tan???tan?，即

?tan??tan?

??1，進而得到??tan??tan?

綜上所述

tan??tan?

?1???1 tan??tan?

x

b

a

三、同步練習題

1．當x?1時,求證:2x?3?

2．已知a,b為實數，并且e

x

（1）求函數f(x)的最小值；

x?y

（2）若0?y?x，求證：e?1?ln(x?1)?ln(y?1)

e

e?

4．求證：(??e)?(??e)參考答案： 1．證明：

??e

要證2x?3?，只要證4x3?(3x?1)2(x?1),x

即證4x3?(3x?1)2?4x3?9x2?6x?1?f(x)?0, 則當x?1時，f'(x)?6(2x3?3x?1)?6(2x?1)(x?1)?0,?f(x)在(1,??)上遞增，?f(x)?f(1)?0即f(x)?0成立，原不等式得證

2．證明：

當e

a

lnalnb

? ablnx

(0?x???)。因為當x?e時，考慮函數y?x

1?lnxlnxy???0,y?在(e,??)所以函數2

xx

lnalnbba

?因為e

即只要證

3．（1）最小值為0

（2）因為0?y?x?x?y?0，而由（1）知，對x?0，恒有f(x)?0，所以不等式f(x?y)?0恒成立 即e

x?y

?ln(x?y?1)?1?0 ?1?ln(x?y?1)

所以e

x?y

又因為

ln(x?y?1)?ln[(y?1)(x?y?1)]?ln(y?1)

?ln[(x?1)?y(x?y)]?ln(y?1)?ln(x?1)?ln(y?1)(?y(x?y)?0)

所以e

x?y

?1?ln(x?1)?ln(y?1)

ln(?x?ex)

(x?0)，證明：設f(x)?

x

?xln??exx?ln(?x?ex)xx

則f'(x)? 2

x

x(?xln??ex)?(?x?ex)ln(?x?ex)

?

x2(?x?ex)

ex?x?ex?x?exxx

?lnxx?elnxx?lnxx?elnxx

??0 ?2xx2xx

x(??e)x(??e)

x

x

?x

ln(?x?ex)

所以函數f(x)?在其定義域(0,??)單調遞減

x

所以f(?)?f(e)，即

ln(???e?)

?

ln(?e?ee)?

e

根據對數的運算性質得，(?e?ee)??(???e?)e

第二篇：利用導數證明不等式

利用導數證明不等式

例1．已知x>0，求證：x>ln(1+x)分析：設f(x)=x－lnx。x?[0,+??。考慮到f(0)=0，要證不等式變為：x>0時，f(x)>f(0)，這只要證明：

f(x)在區間[0,??)是增函數。

證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區間[0,??)上可導。

且limf(x)?0?f(0)?x?0 由f'(x)?1?1x 可得：當x?(0,??)時，f'(x)?f(0)?0 ?x?1x?1 即x－lnx>0，所以：x>0時，x>lnx 評注：要證明一個一元函數組成的不等式成立，首先根據題意構造出一個

函數（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數），并利 用導數判斷所設函數的單調性，再根據函數單調性的定義，證明要 證的不等式。

例2：當x??0,??時，證明不等式sinx?x成立。證明：設f(x)?sinx?x,則f'(x)?cosx?1.∵x?(0,?),∴f'(x)?0.∴f(x)?sinx?x在x?(0,?)內單調遞減，而f(0)?0.∴f(x)?sinx?x?f(0)?0, 故當x?(0,?)時，sinx?x成立。

點評：一般地，證明f(x)?g(x),x?(a,b),可以構造函數F(x)?f(x)?g(x)，如果F'(x)?0,，則F(x)在(a,b)上是減函數，同時若F(a)?0,由減函數的定義可知，x?(a,b)時，有F(x)?0,即證明了f(x)?g(x)。

x練習：1.當x?0時，證明不等式e?1?x?12x成立。2證明：設f?x??e?1?x?x12x,則f'?x??ex?1?x.2xxx令g(x)?e?1?x,則g'(x)?e?1.當x?0時，g'?x??e?1?0.?g(x)在?0,???上單調遞增，而g(0)?0.?g?x??g(0)?0,?g(x)?0在?0,???上恒成立，?f(x)在即f'(x)?0在?0,???恒成立。?0,???上單調遞增，又f(0)?0,?ex?1?x?1x2?0,即x?0時，ex222.證明:當x?1時,有ln(x?1)?lnx?ln(x?2).?1?x?12x成立。2分析 只要把要證的不等式變形為

ln(x?1)ln(x?2)?,然后把x相對固定看作常數,并選取輔助函

lnxln(x?1)數f(x)?ln(x?1).則只要證明f(x)在(0,??)是單調減函數即可.lnx證明: 作輔助函數f(x)?ln(x?1)(x?1)lnxlnxln(x?1)?xlnx?(x?1)ln(x?1)?于是有f?(x)?x?12x

lnxx(x?1)ln2x因為 1?x?x?1, 故0?lnx?ln(x?1)所以 xlnx?(x?1)ln(x?1)

（1，??）因而在內恒有f'(x)?0,所以f(x)在區間(1,??)內嚴格遞減.又因為1?x?1?x,可知f(x)?f(x?1)即 ln(x?1)ln(x?2)?lnxln(x?1)所以 ln2(x?1)?lnx?ln(x?2).利用導數知識證明不等式是導數應用的一個重要方面，也成為高考的一個新熱點，其關鍵是構造適當的函數，判斷區間端點函數值與0的關系，其實質就是利用求導的方法研究函數的單調性，通過單調性證明不等式。

x2例3.證明不等式x??ln(1?x)?x,其中x?0.2x2分析 因為例6中不等式的不等號兩邊形式不一樣,對它作差ln(1?x)?(x?),則發現作差以后

21?x)求導得不容易化簡.如果對ln(1,這樣就能對它進行比較.1?xx2證明: 先證 x??ln(1?x)

2x2設 f(x)?ln(1?x)?(x?)(x?0)

21x21?0)?0?0 f(x)?則 f(0)?ln(?1?x?1?x1?x'?　x?0 即 1?x?0 x2?0

x2?　f?(x)??0　,即在(0,??)上f(x)單調遞增

1?xx2?　f(x)?f(0)?0 ?　ln(1?x)?x?

21?x)?x;令 g(x)?ln(1?x)?x 再證 ln(則 g(0)?0 g?(x)?1?1 1?x１?ln(1?x)?x ?　x?0 ?　?1 ?　g?(x)?0 １?xx2?　x??ln(1?x)?x 練習：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數，且1?i?m?n

證明：(1?m)n?(1?n)m

分析：要證(1?m)n?(1?n)m成立，只要證

ln(1?m)n?ln(1?n)m

即要證11ln(1?m)?ln(1?n)成立。因為m

11ln(1?m)?ln(1?n)； mn從而：(1?m)n?(1?n)m。

評注：這類非明顯一元函數式的不等式證明問題，首先變換成某一個一元函數式分別在兩個不同點處的函數值的大小比較問題，只要將這個函數式找到了，通過設函數，求導判斷它的單調性，就可以解決不等式證明問題。難點在于找這個一元函數式，這就是“構造函數法”，通過這類數學方法的練習，對培養分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進一步學習高等數學所需要的。

第三篇：利用導數證明不等式

利用導數證明不等式

沒分都沒人答埃。覺得可以就給個好評!

最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個式子令為一個函數f(x).對這個函數求導，判斷這個函數這各個區間的單調性，然后證明其最大值(或者是最小值)大于0.這樣就能說明原不等式了成立了!

1.當x>1時,證明不等式x>ln(x+1)

設函數f(x)=x-ln(x+1)

求導，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+

12..證明：a-a^2>0其中0

F(a)=a-a^

2F'(a)=1-2a

當00;當1/2

因此，F(a)min=F(1/2)=1/4>0

即有當00

3.x>0,證明：不等式x-x^3/6

先證明sinx

因為當x=0時，sinx-x=0

如果當函數sinx-x在x>0是減函數，那么它一定<在0點的值0，求導數有sinx-x的導數是cosx-1

因為cosx-1≤0

所以sinx-x是減函數，它在0點有最大值0，知sinx

再證x-x3/6

對于函數x-x3/6-sinx

當x=0時，它的值為0

對它求導數得

1-x2/2-cosx如果它<0那么這個函數就是減函數，它在0點的值是最大值了。

要證x2/2+cosx-1>0x>0

再次用到函數關系，令x=0時，x2/2+cosx-1值為0

再次對它求導數得x-sinx

根據剛才證明的當x>0sinx

x2/2-cosx-1是減函數，在0點有最大值0

x2/2-cosx-1<0x>0

所以x-x3/6-sinx是減函數，在0點有最大值0

得x-x3/6

利用函數導數單調性證明不等式X-X2>0，X∈(0,1)成立

令f(x)=x-x2x∈

則f'(x)=1-2x

當x∈時,f'(x)>0,f(x)單調遞增

當x∈時,f'(x)<0,f(x)單調遞減

故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值為零

故當x∈(0,1)f(x)=x-x2>0。

i、m、n為正整數，且1

第四篇：談利用導數證明不等式.

談利用導數證明不等式

數學組

鄒黎華

在高考試題中，不等式的證明往往與函數、導數、數列的內容綜合，屬于在知識網絡的交匯處設計的試題，有一定的綜合性和難度，突出體現對理性思維的考查，特別是利用高中新增內容的導數來證明不等式，體現了導數的工具，也是與高等數學接軌的有力點。本文通過一些實例，來說明利用導數增證明不等式的基本方法。

例1．已知x>0，求證：x>ln(1+x)

分析：設f(x)=x－lnx。x?[0,+??。考慮到f(0)=0，要證不等式變為：x>0時，f(x)>f(0)，這只要證明：

f(x)在區間[0,??)是增函數。

證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區間[0,??)上可導。

且limf(x)?0?f(0)?x?0

由f'(x)?1?1x

可得：當x?(0,??)時，f'(x)?f(0)?0 ?x?1x?

1即x－lnx>0，所以：x>0時，x>lnx

評注：要證明一個一元函數組成的不等式成立，首先根據題意構造出一個

函數（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數），并利 用導數判斷所設函數的單調性，再根據函數單調性的定義，證明要 證的不等式。

例2：（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數，且1?i?m?n

證明：(1?m)n?(1?n)m

分析：要證(1?m)n?(1?n)m成立，只要證

ln(1?m)n?ln(1?n)m

11ln(1?m)?ln(1?n)成立。因為m

x1111'

證明：設函數f(x)?ln(1?x)，則f(x)??2ln(1?x)??

xx1?xx1x'?ln(1?x)] 即：f(x)?2[x1?xx?1,ln(1?x)?ln3?1 因為：x?2,0?1?x即要證所以：f(x)?0，所以f(x)在[2,??)是減函數，而m?n 所以f(m)?f(n)，即n''11ln(1?m)?ln(1?n)； mnm從而：(1?m)?(1?n)。

評注：這類非明顯一元函數式的不等式證明問題，首先變換成某一個一元函數式分別在兩個不同點處的函數值的大小比較問題，只要將這個函數式找到了，通過設函數，求導判斷它的單調性，就可以解決不等式證明問題。難點在于找這個一元函數式，這就是“構造函數法”，通過這類數學方法的練習，對培養分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進一步學習高等數學所需要的。

例3．（2004年全國卷理工22題）已知函數f(x)?ln(1?x)?x，g(x)?xlnx,設0?a?b

證明：0?g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2 2證明：設g(x)?xlnx,g'(x)?lnx?1 設F(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x)2則F'(x)?g'(x)?2[g(a?xa?x)]?lnx?ln22

當0?x?a時，F'(x)?0，當x?a時，F'(x)?0 因此，F（x）

在區間（0，a）內是減函數，在區間[a,??)內為增函數，于是在x?a 時，F（x）有最小值F(a)?0又b?a，所以0?g(a)?g(b)?2g(a?b)2設G(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x)?(x?a)ln2，則G'(x)?lnx?lna?x?ln2?lnx?ln(a?x)2當x?0時，G'(x)?0，因此G（x）在區間(0,??)內為減函數； 因為G(a)?0，b?a，所以G(b)?0，即：g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2。2評注：本題在設輔助函數時，考慮到不等式涉及的變量是區間的兩個端點，因此，設輔助函數時就把其中一個端點設為自變量，范例中選用右

端點，讀者不妨設為左端點試一試，就更能體會到其中的奧妙了。

通過以上例題，我們可以體會到用導數來證明不等式的基本要領和它的簡捷。總之，利用導數證明不等式的關鍵是“構造函數”，解決問題的依據是函數的單調性，這一方法在高等數學中應用的非常廣泛，因此，希望同學門能認真對待，并通過適當的練習掌握它。

第五篇：利用導數證明不等式

克維教育（82974566）中考、高考培訓專家鑄就孩子輝煌的未來

函數與導數

（三）核心考點

五、利用導數證明不等式

一、函數類不等式證明

函數類不等式證明的通法可概括為：證明不等式f(x)?g(x)（f(x)?g(x)）的問題轉化為證明f(x)?g(x)?0（f(x)?g(x)?0），進而構造輔助函數h(x)?f(x)?g(x)，然后利用導數證明函數h(x)的單調性或證明函數h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。

例

1、已知函數f(x)?lnx?ax2?(2?a)x

（1）討論函數f(x)的單調性；

（2）設a?0，證明：當0?x?111時，f(?x)?f(?x)； aaa

（3）若函數f(x)的圖像與x軸交于A、B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明：f`(x0)?0

【變式1】已知函數f(x)?ln(x?1)?x，求證：恒有1?1?ln(x?1)?x成立。x?

1x【變式2】（1）x?0，證明：e?1?x

x

2?ln(1?x)(2)x?0時，求證：x?2

二、常數類不等式證明

常數類不等式證明的通法可概括為：證明常數類不等式的問題等價轉化為證明不等式 f(a)?f(b)的問題，在根據a,b的不等式關系和函數f(x)的單調性證明不等式。例

2、已知m?n?e,，求證：n?m

例

3、已知函數f(x)?ln(x?1)?

（1）求f(x)的極小值；

（2）若a,b?0，求證：lna?lnb?1?

mnx，1?xb a

【變式3】已知f(x)?lnx，g(x)?127，直線l與函數f(x)、g(x)的 x?mx?（m?0）22

圖像都相切，且與函數f(x)的圖像的切點的橫坐標為1．

（Ⅰ）求直線l的方程及m的值；

（Ⅱ）若h(x)?f(x?1)?g?(x)（其中g?(x)是g(x)的導函數），求函數h(x)的最大值；（Ⅲ）當0?b?a時，求證：f(a?b)?f(2a)?b?a． 2a

【變式4】求證：

b?ab?lnba?b?aa(0?a?b)

1?x)?x?0(x??1)【變式5】證明：ln（ln22ln32lnn2(n?1)(2n?1)【引申】求證： 2?2???2?(n?2,n?N*)23n2(n?1)

【變式6】當t?1時，證明：1??lnt?t?1 1t

x21(x?1)，各項不為零的數列?an?滿足4Sn?f()?1，【引申】已知函數f(x)?an2(x?1)

1n?11（1）求證：??ln??； an?1nan

（2）設bn??1，Tn為數列?bn?的前n項和，求證：T2008?1?ln2008?T2007。an