第一篇：利用導數證明不等式的常見題型與技巧

利用導數證明不等式的常見題型與技巧

例題：已知函數g(x)?xlnx，設0?a?b，證明：0?g(a)?g(b)?2(a?b)?(b?a)ln2.2本題在設輔助函數時，考慮到不等式涉及的變量是區間的兩個端點，因此，設輔助函數時就把其中一個端點設為自變量，范例中選用右端點，讀者不妨設為左端點試一試，就能體會到其中的奧妙了。

技巧：①利用導數研究函數的單調性，再由單調性來證明不等式是函數、導數、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。②解題技巧是構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特征構造一個可導函數是用導數證明不等式的關鍵。

1、利用題目所給函數證明

1【例1】 已知函數f(x)?ln(x?1)?x，求證：當x??1時，恒有1??ln(x?1)?x x?

1【警示啟迪】如果f(a)是函數f(x)在區間上的最大（?。┲?，則有f(x)?f(a)（或f(x)?f(a)），那么要證不等式，只要求函數的最大值不超過0就可得證．

2、直接作差構造函數證明

【例2】已知函數f(x)?1x2?lnx.求證：在區間(1,??)上，函數f(x)的圖象在函數

2g(x)?23的圖象的下方； x

3【警示啟迪】本題首先根據題意構造出一個函數（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數），并利用導數判斷所設函數的單調性，再根據函數單調性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設F(x)?f(x)?g(x)做一做，深刻體會其中的思想方法。

3、換元后作差構造函數證明

【例3】證明：對任意的正整數n，不等式ln(1?1)?12?13 都成立.n

n

n

【警示啟迪】我們知道，當F(x)在[a,b]上單調遞增，則x?a時，有F(x)?F(a)．如果f(a)＝?(a)，要證明當x?a時，f(x)??(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－?(x)，就可以利用F(x)的單調增性來推導．也就是說，在F(x)可導的前提下，只要證明F'(x)?０即可．

4、從條件特征入手構造函數證明

【例4】若函數y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數a，b滿足a>b，求證：．af(a)>bf(b)

【警示啟迪】由條件移項后xf?(x)?f(x)，容易想到是一個積的導數，從而可以構造函數F(x)?xf(x)，求導即可完成證明。若題目中的條件改為xf?(x)?f(x)，則移項后

xf?(x)?f(x)，要想到是一個商的導數的分子，平時解題多注意總結。

【思維挑戰】

1、設a?0,f(x)?x?1?ln2x?2alnx，求證：當x?1時，恒有x?ln2x?2alnx?1，2、已知定義在正實數集上的函數f(x)?1x2?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0，且

b?

52a?3a2lna，求證：2

f(x)?g(x)

3、已知函數f(x)?ln(1?x)?x，求證：對任意的正數a、b，恒有lna?lnb?1?b.a1?x4、f(x)是定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對任意正數a、b，若a < b，則必有（）

（A）af(b)≤bf(a)

（B）bf(a)≤af(b)（C）af(a)≤f(b)

（D）bf(b)≤f(a)

參考答案

a?x1a?xa?x 例題證明：g?(x)?lnx?1，設F(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x)，F?(x)?g'(x)?2g'()??g'(x)?g'()?lnx?ln

2222

2當0?x?a時 F?(x)?0，當x?a時 F?(x)?0，即F(x)在x?(0,a)上為減函數，在x?(a,??)上為增函數?！郌(x)min?F(a)?0，又b?a ∴F(b)?F(a)?0，即g(a)?g(b)?2g(a?b)?0

設G(x)?g(a)?g(x)?2g(a?x)?(x?a)ln2，則G?(x)?lnx?lna?x?ln2?lnx?ln(a?x)

當x?0時，因此G(x)在區間(0,??)上為減函數；因為G(a)?0，又b?a ∴G'(x)?0，G(b)?G(a)?0，即 g(a)?g(x)?2g(a?x)?(x?a)ln2?0故g(a)?g(x)?2g(a?x)?(x?a)ln2

綜上可知，當 0?a?b時，0?g(a)?g(b)?2(a?b)?(b?a)ln2

【例1解】f?(x)?1?1??x∴當?1?x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)

x?

1x?1

上為增函數，當x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為減函數，故函數f(x)的單調遞增區間為(?1,0)，單調遞減區間(0,??)，于是函數f(x)在(?1,??)上的最大值為因此，當x??1時，f(x)?f(0)?0，即nl(x?1)?x?0∴ln(x?1)?x（右f(x)max?f(0)?0，面得證），現證左面，令g(x)?ln(x?1)?1?1，則g?(x)?1?

x?1

1x，當?22x?1(x?1)(x?1)

x?(?1,0)時,g?(x)?0;當x?(0,??)時,g?(x)?0，即g(x)在x?(?1,0)上為減函數，在x?(0,??)上為增函數，故函數g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0，∴當

x??1時，g(x)?g(0)?0，即ln(x?1)?1?1?0

x?1

∴ln(x?1)?1?1，綜上可知，當x??1時,有1?1?ln(x?1)?x

x?1

x?1

【例2解】設F(x)?g(x)?f(x)，即F(x)?2x3?1x2?lnx，2(x?1)(2x?x?1)

則F?(x)?2x2?x?1=(x?1)(2x?x?1)，當x?1時，F?(x)=

xxx

從而F(x)在(1,??)上為增函數，∴F(x)?F(1)?1?0

6∴當x?1時 g(x)?f(x)?0，即f(x)?g(x)，故在區間(1,??)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)?

3x的圖象的下方。3

【例3解】令h(x)?x3?x2?ln(x?1)，則h?(x)?3x2?2x?1?3x?(x?1)在x?1x?1

x?(0,??)上恒正，所以函數h(x)在(0,??)上單調遞增，∴x?(0,??)時，恒有

即x3?x2?ln(x?1)?0，∴ln(x?1)?x2?x3 h(x)?h(0)?0，對任意正整數n，取x?1?(0,??)，則有ln(1?1)?1?1

n

n

n

n

【例4解】由已知 xf?(x)+f(x)>0 ∴構造函數 F(x)?xf(x)，則F'(x)? xf?(x)+f(x)>0，從而F(x)在R上為增函數。?a?b ∴F(a)?F(b)即 af(a)>bf(b)

1、提示：f?(x)?1?

2lnx2a2lnx

??1，當x?1，a?0時，不難證明xxx

∴f?(x)?0，即f(x)在(0,??)內單調遞增，故當x?1時，f(x)?f(1)?0，∴當x?1時，恒有x?lnx?2alnx?

1123a222、提示：設F(x)?g(x)?f(x)?x?2ax?3alnx?b則F?(x)?x?2a?

2x

(x?a)(x?3a)

=(x?0)?a?0，∴ 當x?a時，F?(x)?0，x

故F(x)在(0,a)上為減函數，在(a,??)上為增函數，于是函數F(x)在(0,??)上的最小值是F(a)?f(a)?g(a)?0，故當x?0時，有f(x)?g(x)?0，即f(x)?g(x)

3、提示：函數f(x)的定義域為(?1,??)，f?(x)?

11x

??2

21?x(1?x)(1?x)

∴當?1?x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上為減函數

當x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為增函數 因此在x?0時,f(x)取得極小值f(0)?0，而且是最小值

x1，即ln(1?x)?1? 1?x1?x

a1bab

?1?于是ln?1? 令1?x??0,則1?

bx?1aba

b

因此lna?lnb?1?

a

于是f(x)?f(0)?0,從而ln(1?x)?

f(x)f(x)xf'(x)?f(x)

F(x)??04、提示：F(x)?，F?(x)?，故在（0，+∞）上2

xxx

是減函數，由a?b 有

f(a)f(b)

?? af(b)≤bf(a)故選（A）ab

第二篇：利用導數證明不等式的常見題型經典

利用導數證明不等式的常見題型及解題技巧

技巧精髓

1、利用導數研究函數的單調性，再由單調性來證明不等式是函數、導數、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。

2、解題技巧是構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特征構造一個可導函數是用導數證明不等式的關鍵。

一、利用題目所給函數證明

【例1】 已知函數f(x)?ln(x?1)?x，求證：當x??1時，恒有

1?1?ln(x?1)?x x?

1分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數證明，左邊構造函數

1?1，從其導數入手即可證明。x?1

1x【綠色通道】f?(x)??1??x?1x?1g(x)?ln(x?1)?

∴當?1?x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上為增函數

當x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為減函數

故函數f(x)的單調遞增區間為(?1,0)，單調遞減區間(0,??)

于是函數f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0，因此，當x??1時，f(x)?f(0)?0，即ln(x?1)?x?0∴ln(x?1)?x（右面得證），現證左面，令g(x)?ln(x?1)?11x1?? ?1，則g?(x)?22x?1(x?1)x?1(x?1)

當x?(?1,0)時,g?(x)?0;當x?(0,??)時,g?(x)?0，即g(x)在x?(?1,0)上為減函數，在x?(0,??)上為增函數，故函數g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0，1?1?0 x?1

11∴ln(x?1)?1?，綜上可知，當x??1時,有?1?ln(x?1)?xx?1x?1

【警示啟迪】如果f(a)是函數f(x)在區間上的最大（小）值，則有f(x)?f(a)（或f(x)?f(a)），那么要證不等式，只要求函數的最大值不超過0就可得證． ∴當x??1時，g(x)?g(0)?0，即ln(x?1)?

2、直接作差構造函數證明

【例2】已知函數f(x)?

圖象的下方；

122x?lnx.求證：在區間(1,??)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)?x3的2

3分析：函數f(x)的圖象在函數g(x)的圖象的下方?不等式f(x)?g(x)問題，12212x?lnx?x3，只需證明在區間(1,??)上，恒有x2?lnx?x3成立，設2323

1F(x)?g(x)?f(x)，x?(1,??)，考慮到F(1)??0 6

要證不等式轉化變為：當x?1時，F(x)?F(1)，這只要證明： g(x)在區間(1,??)是增函數即可。

21【綠色通道】設F(x)?g(x)?f(x)，即F(x)?x3?x2?lnx，32即

1(x?1)(2x2?x?1)則F?(x)?2x?x?= xx

2(x?1)(2x2?x?1)當x?1時，F?(x)= x

從而F(x)在(1,??)上為增函數，∴F(x)?F(1)?

∴當x?1時 g(x)?f(x)?0，即f(x)?g(x)，故在區間(1,??)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)?1?0 623x的圖象的下方。3

【警示啟迪】本題首先根據題意構造出一個函數（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數），并利用導數判斷所設函數的單調性，再根據函數單調性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設F(x)?f(x)?g(x)做一做，深刻體會其中的思想方法。

3、換元后作差構造函數證明

都成立.?nn2n

31分析：本題是山東卷的第（II）問，從所證結構出發，只需令?x，則問題轉化為：當x?0時，恒n【例3】（2007年，山東卷）證明：對任意的正整數n，不等式ln(?1)?

有ln(x?1)?x?x成立，現構造函數h(x)?x?x?ln(x?1)，求導即可達到證明。

【綠色通道】令h(x)?x?x?ln(x?1)，32233

213x3?(x?1)2

?則h?(x)?3x?2x?在x?(0,??)上恒正，x?1x?12

所以函數h(x)在(0,??)上單調遞增，∴x?(0,??)時，恒有h(x)?h(0)?0，即x?x?ln(x?1)?0，∴ln(x?1)?x?x

對任意正整數n，取x?32231111?(0,??)，則有ln(?1)?2?3 nnnn

【警示啟迪】我們知道，當F(x)在[a,b]上單調遞增，則x?a時，有F(x)?F(a)．如果f(a)＝?(a)，要證明當x?a時，f(x)??(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－?(x)，就可以利用F(x)的單調增性來推導．也就是說，在F(x)可導的前提下，只要證明F'(x)?０即可．

4、從條件特征入手構造函數證明

【例4】若函數y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數a，b滿足a>b，求

證：．af(a)>bf(b)

【綠色通道】由已知 xf?(x)+f(x)>0 ∴構造函數 F(x)?xf(x)，則F(x)? xf?(x)+f(x)>0，從而F(x)在R上為增函數。'

?a?b ∴F(a)?F(b)即 af(a)>bf(b)

【警示啟迪】由條件移項后xf?(x)?f(x)，容易想到是一個積的導數，從而可以構造函數F(x)?xf(x)，求導即可完成證明。若題目中的條件改為xf?(x)?f(x)，則移項后xf?(x)?f(x)，要想到

是一個商的導數的分子，平時解題多注意總結。

【思維挑戰】

21、（2007年，安徽卷）設a?0,f(x)?x?1?lnx?2alnx

求證：當x?1時，恒有x?lnx?2alnx?1，2、（2007年，安徽卷）已知定義在正實數集上的函數

2f(x)?52122x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a>0，且b?a?3alna，22

求證：f(x)?g(x)

3、已知函數f(x)?ln(1?x)?

恒有lna?lnb?1?x，求證：對任意的正數a、b，1?xb.a4、（2007年，陜西卷）f(x)是定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對任意正數a、b，若a < b，則必有（）

（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)

【答案咨詢】

1、提示：f?(x)?1?

∴（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)2lnx2a2lnx，當x?1，a?0時，不難證明??1 xxxf?(x)?0，即f(x)在(0,??)內單調遞增，故當x?1時，2f(x)?f(1)?0，∴當x?1時，恒有x?lnx?2alnx?

13a21222、提示：設F(x)?g(x)?f(x)?x?2ax?3alnx?b則F?(x)?x?2a? x

2(x?a)(x?3a)=(x?0)?a?0，∴ 當x?a時，F?(x)?0，x

故F(x)在(0,a)上為減函數，在(a,??)上為增函數，于是函數F(x)在(0,??)上的最小值

是F(a)?f(a)?g(a)?0，故當x?0時，有f(x)?g(x)?0，即f(x)?g(x)

3、提示：函數f(x)的定義域為(?1,??)，f?(x)?11x ??221?x(1?x)(1?x)

∴當?1?x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上為減函數

當x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為增函數

因此在x?0時,f(x)取得極小值f(0)?0，而且是最小值 x1，即ln(1?x)?1? 1?x1?x

a1bab令1?x??0,則1??1?于是ln?1? bx?1aba

b因此lna?lnb?1? a于是f(x)?f(0)?0,從而ln(1?x)?

xf'(x)?f(x)f(x)f(x)

4、提示：F(x)?，F?(x)?，故在（0，+∞）上是減函數，由?0F(x)?2xxx

a?b 有f(a)f(b)?? af(b)≤bf(a)故選（A）ab

第三篇：利用導數證明不等式

利用導數證明不等式

例1．已知x>0，求證：x>ln(1+x)分析：設f(x)=x－lnx。x?[0,+???？紤]到f(0)=0，要證不等式變為：x>0時，f(x)>f(0)，這只要證明：

f(x)在區間[0,??)是增函數。

證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區間[0,??)上可導。

且limf(x)?0?f(0)?x?0 由f'(x)?1?1x 可得：當x?(0,??)時，f'(x)?f(0)?0 ?x?1x?1 即x－lnx>0，所以：x>0時，x>lnx 評注：要證明一個一元函數組成的不等式成立，首先根據題意構造出一個

函數（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數），并利 用導數判斷所設函數的單調性，再根據函數單調性的定義，證明要 證的不等式。

例2：當x??0,??時，證明不等式sinx?x成立。證明：設f(x)?sinx?x,則f'(x)?cosx?1.∵x?(0,?),∴f'(x)?0.∴f(x)?sinx?x在x?(0,?)內單調遞減，而f(0)?0.∴f(x)?sinx?x?f(0)?0, 故當x?(0,?)時，sinx?x成立。

點評：一般地，證明f(x)?g(x),x?(a,b),可以構造函數F(x)?f(x)?g(x)，如果F'(x)?0,，則F(x)在(a,b)上是減函數，同時若F(a)?0,由減函數的定義可知，x?(a,b)時，有F(x)?0,即證明了f(x)?g(x)。

x練習：1.當x?0時，證明不等式e?1?x?12x成立。2證明：設f?x??e?1?x?x12x,則f'?x??ex?1?x.2xxx令g(x)?e?1?x,則g'(x)?e?1.當x?0時，g'?x??e?1?0.?g(x)在?0,???上單調遞增，而g(0)?0.?g?x??g(0)?0,?g(x)?0在?0,???上恒成立，?f(x)在即f'(x)?0在?0,???恒成立。?0,???上單調遞增，又f(0)?0,?ex?1?x?1x2?0,即x?0時，ex222.證明:當x?1時,有ln(x?1)?lnx?ln(x?2).?1?x?12x成立。2分析 只要把要證的不等式變形為

ln(x?1)ln(x?2)?,然后把x相對固定看作常數,并選取輔助函

lnxln(x?1)數f(x)?ln(x?1).則只要證明f(x)在(0,??)是單調減函數即可.lnx證明: 作輔助函數f(x)?ln(x?1)(x?1)lnxlnxln(x?1)?xlnx?(x?1)ln(x?1)?于是有f?(x)?x?12x

lnxx(x?1)ln2x因為 1?x?x?1, 故0?lnx?ln(x?1)所以 xlnx?(x?1)ln(x?1)

（1，??）因而在內恒有f'(x)?0,所以f(x)在區間(1,??)內嚴格遞減.又因為1?x?1?x,可知f(x)?f(x?1)即 ln(x?1)ln(x?2)?lnxln(x?1)所以 ln2(x?1)?lnx?ln(x?2).利用導數知識證明不等式是導數應用的一個重要方面，也成為高考的一個新熱點，其關鍵是構造適當的函數，判斷區間端點函數值與0的關系，其實質就是利用求導的方法研究函數的單調性，通過單調性證明不等式。

x2例3.證明不等式x??ln(1?x)?x,其中x?0.2x2分析 因為例6中不等式的不等號兩邊形式不一樣,對它作差ln(1?x)?(x?),則發現作差以后

21?x)求導得不容易化簡.如果對ln(1,這樣就能對它進行比較.1?xx2證明: 先證 x??ln(1?x)

2x2設 f(x)?ln(1?x)?(x?)(x?0)

21x21?0)?0?0 f(x)?則 f(0)?ln(?1?x?1?x1?x'?　x?0 即 1?x?0 x2?0

x2?　f?(x)??0　,即在(0,??)上f(x)單調遞增

1?xx2?　f(x)?f(0)?0 ?　ln(1?x)?x?

21?x)?x;令 g(x)?ln(1?x)?x 再證 ln(則 g(0)?0 g?(x)?1?1 1?x１?ln(1?x)?x ?　x?0 ?　?1 ?　g?(x)?0 １?xx2?　x??ln(1?x)?x 練習：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數，且1?i?m?n

證明：(1?m)n?(1?n)m

分析：要證(1?m)n?(1?n)m成立，只要證

ln(1?m)n?ln(1?n)m

即要證11ln(1?m)?ln(1?n)成立。因為m

11ln(1?m)?ln(1?n)； mn從而：(1?m)n?(1?n)m。

評注：這類非明顯一元函數式的不等式證明問題，首先變換成某一個一元函數式分別在兩個不同點處的函數值的大小比較問題，只要將這個函數式找到了，通過設函數，求導判斷它的單調性，就可以解決不等式證明問題。難點在于找這個一元函數式，這就是“構造函數法”，通過這類數學方法的練習，對培養分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進一步學習高等數學所需要的。

第四篇：利用導數證明不等式

利用導數證明不等式

沒分都沒人答埃。覺得可以就給個好評!

最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個式子令為一個函數f(x).對這個函數求導，判斷這個函數這各個區間的單調性，然后證明其最大值(或者是最小值)大于0.這樣就能說明原不等式了成立了!

1.當x>1時,證明不等式x>ln(x+1)

設函數f(x)=x-ln(x+1)

求導，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+

12..證明：a-a^2>0其中0

F(a)=a-a^

2F'(a)=1-2a

當00;當1/2

因此，F(a)min=F(1/2)=1/4>0

即有當00

3.x>0,證明：不等式x-x^3/6

先證明sinx

因為當x=0時，sinx-x=0

如果當函數sinx-x在x>0是減函數，那么它一定<在0點的值0，求導數有sinx-x的導數是cosx-1

因為cosx-1≤0

所以sinx-x是減函數，它在0點有最大值0，知sinx

再證x-x3/6

對于函數x-x3/6-sinx

當x=0時，它的值為0

對它求導數得

1-x2/2-cosx如果它<0那么這個函數就是減函數，它在0點的值是最大值了。

要證x2/2+cosx-1>0x>0

再次用到函數關系，令x=0時，x2/2+cosx-1值為0

再次對它求導數得x-sinx

根據剛才證明的當x>0sinx

x2/2-cosx-1是減函數，在0點有最大值0

x2/2-cosx-1<0x>0

所以x-x3/6-sinx是減函數，在0點有最大值0

得x-x3/6

利用函數導數單調性證明不等式X-X2>0，X∈(0,1)成立

令f(x)=x-x2x∈

則f'(x)=1-2x

當x∈時,f'(x)>0,f(x)單調遞增

當x∈時,f'(x)<0,f(x)單調遞減

故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值為零

故當x∈(0,1)f(x)=x-x2>0。

i、m、n為正整數，且1

第五篇：利用導數證明不等式的常見題型第七計

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利用導數證明不等式的常見題型及解題技巧

技巧精髓

1、利用導數研究函數的單調性，再由單調性來證明不等式是函數、導數、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。

2、解題技巧是構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特征構造一個可導函數是用導數證明不等式的關鍵。

一、利用題目所給函數證明 【例1】 已知函數f(x)?ln(x?1)?x，求證：當x??1時，恒有

1?1x?1?ln(x?1)?x

分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數證明，左邊構造函數

g(x)?ln(x?1)?1x?11x?1?1，從其導數入手即可證明。

xx?1【綠色通道】f?(x)??1??

∴當?1?x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上為增函數 當x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為減函數

故函數f(x)的單調遞增區間為(?1,0)，單調遞減區間(0,??)

于是函數f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0，因此，當x??1時，f(x)?f(0)?0，即ln(x?1)?x?0∴ln(x?1)?x（右面得證），1x?1現證左面，令g(x)?ln(x?1)??1，則g?(x)?1x?1?1(x?1)2?x(x?1)2

當x?(?1,0)時,g?(x)?0;當x?(0,??)時,g?(x)?0，即g(x)在x?(?1,0)上為減函數，在x?(0,??)上為增函數，故函數g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0，∴當x??1時，g(x)?g(0)?0，即ln(x?1)?∴ln(x?1)?1?11x?11?1?0

x?1x?1【警示啟迪】如果f(a)是函數f(x)在區間上的最大（?。┲?，則有f(x)?f(a)（或f(x)?f(a)），綜上可知，當x??1時,有?1?ln(x?1)?x

那么要證不等式，只要求函數的最大值不超過0就可得證．

2、直接作差構造函數證明 【例2】已知函數f(x)?圖象的下方；

大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 12x?lnx.求證：在區間(1,??)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)?223x的3大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料

分析：函數f(x)的圖象在函數g(x)的圖象的下方?不等式f(x)?g(x)問題，即12x?lnx?223x3，只需證明在區間(1,??)上，恒有

16?0

12x?lnx?223x3成立，設F(x)?g(x)?f(x)，x?(1,??)，考慮到F(1)?要證不等式轉化變為：當x?1時，F(x)?F(1)，這只要證明： g(x)在區間(1,??)是增函數即可。【綠色通道】設F(x)?g(x)?f(x)，即F(x)?1x223x?312x?lnx，2則F?(x)?2x?x?2=

(x?1)(2x?x?1)x2

當x?1時，F?(x)=(x?1)(2x?x?1)x

16從而F(x)在(1,??)上為增函數，∴F(x)?F(1)?∴當x?1時 g(x)?f(x)?0，即f(x)?g(x)，故在區間(1,??)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)??0

23x的圖象的下方。

3【警示啟迪】本題首先根據題意構造出一個函數（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數），并利用導數判斷所設函數的單調性，再根據函數單調性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設F(x)?f(x)?g(x)做一做，深刻體會其中的思想方法。

3、換元后作差構造函數證明

【例3】（2007年，山東卷）證明：對任意的正整數n，不等式ln（分析：本題是山東卷的第（II）問，從所證結構出發，只需令23321n1n?1)?1n2?1n3 都成立.?x，則問題轉化為：當x?0時，恒有ln(x?1)?x?x成立，現構造函數h(x)?x?x?ln(x?1)，求導即可達到證明。

【綠色通道】令h(x)?x?x?ln(x?1)，1x?13x?(x?1)x?13232則h?(x)?3x?2x?2?在x?(0,??)上恒正，所以函數h(x)在(0,??)上單調遞增，∴x?(0,??)時，恒有h(x)?h(0)?0，即x?x?ln(x?1)?0，∴ln(x?1)?x?x 對任意正整數n，取x?1n?(0,??)，則有ln(1n?1)?1n23223?1n3

【警示啟迪】我們知道，當F(x)在[a,b]上單調遞增，則x?a時，有F(x)?F(a)．如果f(a)＝?(a)，要證明當x?a時，f(x)??(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－?(x)，就可以利用F(x)的單調增性來推導．也就是說，在F(x)可導的前提下，只要證明F'(x)?０即可．

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4、從條件特征入手構造函數證明

【例4】若函數y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf?(x)>－f(x)恒成立，且常數a，b滿足a>b，求證：．af(a)>bf(b)

【綠色通道】由已知 xf?(x)+f(x)>0 ∴構造函數 F(x)?xf(x)，則F'(x)? xf?(x)+f(x)>0，從而F(x)在R上為增函數。

?a?b ∴F(a)?F(b)即 af(a)>bf(b)

【警示啟迪】由條件移項后xf?(x)?f(x)，容易想到是一個積的導數，從而可以構造函數F(x)?xf(x)，求導即可完成證明。若題目中的條件改為xf?(x)?f(x)，則移項后xf?(x)?f(x)，要想到是一個商的導數的分子，平時解題多注意總結?！舅季S挑戰】

1、（2007年，安徽卷）設a?0,f(x)?x?1?ln2x?2alnx 求證：當x?1時，恒有x?ln2x?2alnx?1，2、（2007年，安徽卷）已知定義在正實數集上的函數

f(x)?1222x?2ax,g(x)?3alnx?b,其中a>0，且b?52a?3alna，22求證：f(x)?g(x)

3、已知函數f(x)?ln(1?x)? 恒有lna?lnb?1?ba.x1?x，求證：對任意的正數a、b，4、（2007年，陜西卷）f(x)是定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足xf?(x)?f(x)≤0，對任意正數a、b，若a < b，則必有

（）

（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)【答案咨詢】

1、提示：f?(x)?1? ∴f?(x)?

2lnxx?2ax（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)，當x?1，a?0時，不難證明

2lnxx?1，即f(x)在(0,??)內單調遞增，故當x?1時，2

2f(x)?f(1)?0，∴當x?1時，恒有x?lnx?2alnx?1

2、提示：設F(x)?g(x)?f(x)? =(x?a)(x?3a)12x?2ax?3alnx?b則F?(x)?x?2a?223ax

(x?0)?a?0，∴ 當x?a時，F?(x)?0，x 故F(x)在(0,a)上為減函數，在(a,??)上為增函數，于是函數F(x)在(0,??)上的最小值是F(a)?f(a)?g(a)?0，故當x?0時，有f(x)?g(x)?0，即f(x)?g(x)

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3、提示：函數f(x)的定義域為(?1,??)，f?(x)?11?x?1(1?x)2?x(1?x)2

∴當?1?x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上為減函數 當x?0時，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,??)上為增函數 因此在x?0時,f(x)取得極小值f(0)?0，而且是最小值 于是f(x)?f(0)?0,從而ln(1?x)?令1?x?ab?0,則1?ba1x?1?1?bax1?x，即ln(1?x)?1?ab?1?ba11?x

于是ln

因此lna?lnb?1?f(x)x?

xf(x)?f(x)x2'

4、提示：F(x)?，F?(x)?f(b)b?0，故F(x)?f(x)x在（0，+∞）上是減函數，由a?b 有f(a)a? af(b)≤bf(a)故選（A）

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