第一篇：數列不等式的證明舉例

?1.已知數列?an?滿足a1?1,an?1?2an?1n?N ??

（Ⅰ）求數列?an?的通項公式；

（Ⅱ）若數列?bn?滿足4b1?14b2?14b3?1?4bn?1?(an?1)bn，證明：?bn?是等差數列；（Ⅲ）證明：1112??????n?N?? aa3an?13

2分析：本例（1）通過把遞推關系式轉化成等比型的數列；第（2）關鍵在于找出連續三項間的關系；第（3）問關鍵在如何放縮。

解：（1）?an?1?2an?1，?an?1?1?2(an?1)

故數列{an?1}是首項為2，公比為2的等比數列。

?an?1?2n，an?2n?

1（2）?4b1?14b2?14b3?1?4bn?1?(an?1)bn，?4(b1?b2???bn?n)?2nbn

2(b1?b2???bn)?2n?nbn①

2(b1?b2???bn?bn?1)?2(n?1)?(n?1)bn?1②

②—①得2bn?1?2?(n?1)bn?1?nbn，即nbn?2?(n?1)bn?1③

?(n?1)bn?1?2?nbn?2④

④—③得2nbn?1?nbn?nbn?1，即2bn?1?bn?bn?1

所以數列{bn}是等差數列

11111（3）? ?n?1?n?1?an2?12?22an?1

11111111111設S?，則S??????(????)??(S?)a2a3an?1a22a2a3ana22an?1

21212S????? a2an?13an?1

3點評：數列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了，而且不容易把握，對于這樣的題要多探索，多角度的思考問題。

2.已知函數f(x)?x?ln?1?x?,數列?an?滿足0?a1?1,an?1?f?an?;數列?bn?滿足b1?,bn?1?(n?1)bn, n?N*.求證:

（Ⅰ）0?an?1?an?1;1212

an2;（Ⅱ）an?1?2

（Ⅲ）若a1?則當n≥2時,bn?an?n!.分析：第（1）問是和自然數有關的命題，可考慮用數學歸納法證明；第（2）問可利用函數的單調性；第（3）問進行放縮。

*解：(Ⅰ)先用數學歸納法證明0?an?1,n?N.（1）當n=1時,由已知得結論成立;（2）假設當n=k時,結論成立,即0?ak?1.則當n=k+1時, 因為0

又f(x)在0,1上連續,所以f(0)

x2x2

?ln(1?x)?x, 0

x2

?0,知g(x)在(0,1)上增函數.由g?(x)?1?x

又g(x)在?0,1?上連續,所以g(x)>g(0)=0.an2an2

?f?an?>0,從而an?1?.因為0?an?1,所以g?an??0,即22

11n?1b

(Ⅲ)因為 b1?,bn?1?(n?1)bn,所以bn?0,n?1? ,222bn

bbb1

所以bn?n?n?1?2?b1?n?n!————① ,bn?1bn?2b12

an2aaaaaaaaa,知:n?1?n,所以n=2?3?n?12?n?1 , 由(Ⅱ)an?1?22an2a1a1a2an?122, n≥2, 0?an?1?an?1.2

a1n2?a121a1a2an?1

??a1

222222

由①② 兩式可知: bn?an?n!.因為a1?

點評：本題是數列、超越函數、導數的學歸納法的知識交匯題，屬于難題，復習時應引起注意。

3.已知數列?an?滿足a1?

（Ⅰ）求數列?an?的通項公式an；（Ⅱ）設bn?

an?1

1(n?2,n?N)．，an?n

4?1an?1?

21an，求數列?bn?的前n項和Sn；

（Ⅲ）設cn?ansin

(2n?1)??，數列?cn?的前n項和為Tn．求證：對任意的n?N，2

Tn?

4． 7

分析：本題所給的遞推關系式是要分別“取倒”再轉化成等比型的數列，對數列中不等式的證明通常是放縮通項以利于求和。解：（Ⅰ）?又?

1211，??(?1)n??(?1)n?(?2?(?1)n?1]，anan?1anan?1

?11n?

????1，數列?(?1)?3???是首項為3，公比為?2的等比數列．

a1?an?

(?1)n?11nn?1

.?(?1)?3(?2)，即an?n?1an3?2?1

（Ⅱ）bn?(3?2n?1?1)2?9?4n?1?6?2n?1?1．

1?(1?4n)1?(1?2n)Sn?9??6??n?3?4n?6?2n?n?9．

1?41?2(2n?1)?

?(?1)n?1，（Ⅲ）?sin

2(?1)n?11

．?cn??n?1nn?1

3(?2)?(?1)3?2?1

1111?????當n?3時，則Tn? 2n?1

3?13?2?13?2?13?2?1

n?21

[1?(1]1111111)???????23n?11

473?2281?3?23?2111111147484??[1?()n?2]?????． 286228684847

?T1?T2?T3，?對任意的n?N?，Tn?．

7點評：本題利用轉化思想將遞推關系式轉化成我們熟悉的結構求得數列?an?的通項 4.已知函數f(x)=

5?2x，設正項數列?an?滿足a1=l，an?1?f?an?．

16?8x

(1)寫出a2、a3的值;(2)試比較an與的大小，并說明理由；

4n

51n

(3)設數列?bn?滿足bn=－an，記Sn=?bi．證明：當n≥2時,Sn＜(2－1)．

44i?

1分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。

5?2an7

3解：(1)an?1?，因為a1?1,所以a2?,a3?.16?8an84（2）因為an?0,an?1?0,所以16?8an?0,0?an?2.5

548(an?)an?

55?2an5?3?, an?1????

416?8an432(2?an)22?an

因為2?an?0,所以an?1?與an?同號，44

515555

因為a1????0，a2??0,a3??0,?，an??0,即an?.444444

531531

?(?an?1)???bn?1（3）當n?2時，bn??an??

422?an?1422?an?1

31???bn?1?2bn?1，22?4

所以bn?2?bn?1?22?bn?2???2n?1b1?2n?3，(1?2n)

111?1?

所以Sn?b1?b2???bn???????????(2n?1)

421?24?2?

點評：本題是函數、不等式的綜合題，是高考的難點熱點。

3?n

第二篇：數列不等式的證明

數列和式不等式的證明策略

羅紅波洪湖二中高三

（九）班周二第三節（11月13日）

數列和式不等式的證明經常在試卷壓軸題中出現，在思維能力和方法上要求很高，難度很大，往往讓人束手無策，其實，這類不等式的證明，是有一定的規律的，利用S1

n?

a1?q

來證明也能事半功倍，下面用幾個例子來簡述數列和式不等式的證明

S1

n?

a1?q

常用策略。

一、基礎演練：

1、等比數列{an}，公比為q，則{an}的前n項和Sn為（）

?na1(q?1A．?)

?an

a?1(1?q)1(1?qn)a?

1?q(q?1)B.na1C.1?qD.11?q2、正項等比數列{an}，公比為q，0?q?1，{an}的前n項和Sn，以下說法正確的是（）A．S1n?

a11?qB.S?a11?qC.Saa

nn?1?qD.Sn?11?q3、正項數列{a}，{a的前n項和Sa

nn}n，要證明S1n?1?q，其中0?q?1，可以去證明（）A．

an?1?qB.an?1a?qC.an?1?qD.a

n?1a?q nnanan

二、典例精講：

例

1、等比數列{a1

n}，a1?1,q?2，{an}的前n項和Sn，求證：Sn?2

變式

1、正項等比數列{an}，{a1n}的前n項和Sn，a1?1,Sn?2恒成立，求證：0?q?

2例

2、已知數列{an}，an?1

2n

?1，{an}的前n項和S5n，求證：Sn?2(Sn?3?)

aann變式

2、數列{n?1n}，a?3?23?2n?1，a1?1，{a3

n?1n}的前n項和Sn，求證：Sn? n

2例

3、（09四川理22）數列{an}的前n項和Sn，對任意正整數n，都有a4?an

n?5Sn?1成立，記bn?1?a(n?N?).n

(1)求數列{bn}的通項公式；

(2)記c?

n?b2n?b2n?1(n?N)，{c3

n}的前n項和Tn，求證：Tn?

2變式

3、已知a1n?

?2，求證Sn?(?1)a1?(?1)2a2????????(?1)nan?1

(?2)n?

3三、小結

四、課后作業：

1、等比數列{a1

n}，a1?2,q?

3，{an}的前n項和Sn，求證：Sn?3

2、已知數列{an}，an?

14n?2，{an}的前n項和Sn，求證：S2

n

?3

第三篇：放縮法證明數列不等式

放縮法證明數列不等式

基礎知識回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見的數列求和方法和通項公式特點：

① 等差數列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。的一次函數或常值函數）

② 等比數列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。的指數類函數）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數列的每一項裂項之后正負能夠相消，進而在求和后式子中僅剩有限項

（2）與求和相關的不等式的放縮技巧：

① 在數列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數列的通項公式入手

② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮小（應與所證的不等號同方向）

③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數列的通項公式靠攏，常見的是向等比數列與可裂項相消的數列進行靠攏。

④ 若放縮后求和發現放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調：看能否讓數列中的一些項不動，其余項放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進行設計，選擇放縮程度更小的方式再進行嘗試。

（3）放縮構造裂項相消數列與等比數列的技巧：

① 裂項相消：在放縮時，所構造的通項公式要具備“依項同構”的特點，即作差的兩項可視為同一數列的相鄰兩項（或等距離間隔項）

② 等比數列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。常數”的形式，所構造的等比數列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現出放縮的目標，則可從所證不等式的常數入手，常數可視為錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構造出等比數列的首項與公比，進而得出等比數列的通項公式，再與原通項公式進行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數錯誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數列的首項為錯誤！未找到引用源。，公比為錯誤！未找到引用源。，即通項公式為錯誤！未找到引用源。

注：此方法會存在風險，所猜出的等比數列未必能達到放縮效果，所以是否選擇利用等比數列進行放縮，受數列通項公式的結構影響

（4）與數列中的項相關的不等式問題：

① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進行變形

② 在有些關于項的不等式證明中，可向求和問題進行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源。或錯誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側均為正數），然后通過“累加”或“累乘”達到一側為錯誤！未找到引用源。，另一側為求和的結果，進而完成證明 應用舉例:

類型一：與前n項和相關的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學高三摸底考試】已知數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。為常數，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。）．

（1）求錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）設錯誤！未找到引用源。，若數列錯誤！未找到引用源。為等比數列，求錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的取值范圍．

例2.記錯誤！未找到引用源。.對數列錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.現設錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數列，且當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。

（1）求數列的通項公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數，若，求證：；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設，求證：.類型

二、與通項運算相關的不等式 例3.設函數錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）．

例4.已知錯誤！未找到引用源。是數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。，有錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。為實數，且錯誤！未找到引用源。.（1）當錯誤！未找到引用源。時，①求數列錯誤！未找到引用源。的通項；

②是否存在這樣的正整數錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成等比數列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當錯誤！未找到引用源。時，設錯誤！未找到引用源。，① 判定錯誤！未找到引用源。是否為等比數列；

②設錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。的取值范圍.方法、規律歸納: 常見的放縮變形：

（1）錯誤！未找到引用源。，（2）錯誤！未找到引用源。

注：對于錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。可推廣為：錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。實戰演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學期期中】已知數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。記數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。

（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。為等比數列，并求其通項錯誤！未找到引用源。；

（2）求錯誤！未找到引用源。；

（3）問是否存在正整數錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立？說明理由.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學期武進區高中數學期中試卷】在數列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數列錯誤！未找到引用源。為等差數列；

⑵ 設錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若當錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。，試求數列錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學期期中考試】已知數列的前項和為，滿足，．數列

滿足（1）求數列（2）若和，且． 的通項公式；，數列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數的取值范圍；

（3）是否存在正整數，使，請說明理由．）成等差數列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，4．已知數列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。，其中，錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．

（1）求數列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）是否存在自然數錯誤！未找到引用源。，使得對于任意錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。，求數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。．

5．【江蘇省啟東中學2018屆高三上學期第一次月考】設數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且滿足錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。為常數．

（1）是否存在數列錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數列；若不存在，說明理由．（2）當錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。．

（3）當錯誤！未找到引用源。時，求證：當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學2018屆高三上學期開學考試】已知兩個無窮數列

分別滿足，其中（1）若數列（2）若數列①若數列②若數列，設數列的前項和分別為的通項公式；，使得，稱數列

.都為遞增數列，求數列滿足：存在唯一的正整數“墜點數列”，求 為“墜點數列”，數列

為“墜點數列”.為“墜點數列”，是否存在正整數，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.7．【江蘇省南京師范大學附屬中學2017屆高三高考模擬一】已知數集錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數集錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。是否具有性質錯誤！未找到引用源。，并說明理由；

（2）求證： 錯誤！未找到引用源。；

（2）若錯誤！未找到引用源。，求錯誤！未找到引用源。的最小值.8．記等差數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。是等差數列；

（2）若 錯誤！未找到引用源。，對任意錯誤！未找到引用源。，均有錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。的等差數列，求使錯誤！未找到引用源。為整數的正整數錯誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯誤！未找到引用源。，求證： 錯誤！未找到引用源。.9．已知數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數列{an}是公差為2的等差數列，求數列{cn}的通項公式；

（2）若存在實數λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數列{an}是等差數列．

10．已知各項不為零的數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。．

（1）若錯誤！未找到引用源。成等比數列，求實數錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。成等差數列，①求數列錯誤！未找到引用源。的通項公式；

②在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數列，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的最大值．

放縮法證明數列不等式

基礎知識回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見的數列求和方法和通項公式特點：

① 等差數列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。的一次函數或常值函數）

② 等比數列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。的指數類函數）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數列的每一項裂項之后正負能夠相消，進而在求和后式子中僅剩有限項

（2）與求和相關的不等式的放縮技巧：

① 在數列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數列的通項公式入手

② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮小（應與所證的不等號同方向）

③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數列的通項公式靠攏，常見的是向等比數列與可裂項相消的數列進行靠攏。

④ 若放縮后求和發現放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調：看能否讓數列中的一些項不動，其余項放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進行設計，選擇放縮程度更小的方式再進行嘗試。

（3）放縮構造裂項相消數列與等比數列的技巧：

① 裂項相消：在放縮時，所構造的通項公式要具備“依項同構”的特點，即作差的兩項可視為同一數列的相鄰兩項（或等距離間隔項）

② 等比數列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。常數”的形式，所構造的等比數列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現出放縮的目標，則可從所證不等式的常數入手，常數可視為錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構造出等比數列的首項與公比，進而得出等比數列的通項公式，再與原通項公式進行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數錯誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數列的首項為錯誤！未找到引用源。，公比為錯誤！未找到引用源。，即通項公式為錯誤！未找到引用源。注：此方法會存在風險，所猜出的等比數列未必能達到放縮效果，所以是否選擇利用等比數列進行放縮，受數列通項公式的結構影響

（4）與數列中的項相關的不等式問題：

① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進行變形

② 在有些關于項的不等式證明中，可向求和問題進行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源。或錯誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側均為正數），然后通過“累加”或“累乘”達到一側為錯誤！未找到引用源。，另一側為求和的結果，進而完成證明 應用舉例:

類型一：與前n項和相關的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學高三摸底考試】已知數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。為常數，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。）．

（1）求錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）設錯誤！未找到引用源。，若數列錯誤！未找到引用源。為等比數列，求錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的取值范圍．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。

（2）由（1）知，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，若數列錯誤！未找到引用源。為等比數列，則有錯誤！未找到引用源。，而錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。，解得錯誤！未找到引用源。，再將錯誤！未找到引用源。代入錯誤！未找到引用源。，得錯誤！未找到引用源。，例2.記錯誤！未找到引用源。.對數列錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.現設錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數列，且當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。

（1）求數列的通項公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數，若，求證：；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設，求證：.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）詳見解析（3）詳見解析 【解析】

試題分析：（1）根據及時定義，列出等量關系，解出首項，寫出通項公式；（2）根據子集關系，進行放縮，轉化為等比數列求和；（3）利用等比數列和與項的大小關系，確定所定義和的大小關系：設錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。因此由錯誤！未找到引用源。，因此錯誤！未找到引用源。中最大項必在A中，由（2）得錯誤！未找到引用源。.試題解析：（1）由已知得錯誤！未找到引用源。.于是當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.又錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。.所以數列錯誤！未找到引用源。的通項公式為錯誤！未找到引用源。.（2）因為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。.因此，錯誤！未找到引用源。.綜合①②③得，錯誤！未找到引用源。.類型

二、與通項運算相關的不等式 例3.設函數錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）． 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．

故錯誤！未找到引用源。，則有：錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。例4.已知錯誤！未找到引用源。是數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。，有錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。為實數，且錯誤！未找到引用源。.（1）當錯誤！未找到引用源。時，①求數列錯誤！未找到引用源。的通項；

②是否存在這樣的正整數錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成等比數列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當錯誤！未找到引用源。時，設錯誤！未找到引用源。，① 判定錯誤！未找到引用源。是否為等比數列；

②設錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。的取值范圍.【答案】（1）①錯誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。時，數列錯誤！未找到引用源。是以錯誤！未找到引用源。為首項，錯誤！未找到引用源。為公比的等比數列，當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，不是等比數列；②錯誤！未找到引用源。．

方法、規律歸納: 常見的放縮變形：

（1）錯誤！未找到引用源。，（2）錯誤！未找到引用源。

注：對于錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。可推廣為：錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。實戰演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學期期中】已知數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。記數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。

（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。為等比數列，并求其通項錯誤！未找到引用源。；

（2）求錯誤！未找到引用源。；

（3）問是否存在正整數錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立？說明理由.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）當錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見解析

（3）假設存在正整數錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立，因為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，所以只要錯誤！未找到引用源。

即只要滿足 ①：錯誤！未找到引用源。，和②：錯誤！未找到引用源。，對于①只要錯誤！未找到引用源。就可以； 對于②，當錯誤！未找到引用源。為奇數時，滿足錯誤！未找到引用源。，不成立，當錯誤！未找到引用源。為偶數時，滿足錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。令錯誤！未找到引用源。，因為錯誤！未找到引用源。

即錯誤！未找到引用源。，且當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，所以當錯誤！未找到引用源。為偶數時，②式成立，即當錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。成立.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學期武進區高中數學期中試卷】在數列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數列錯誤！未找到引用源。為等差數列；

⑵ 設錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若當錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。，試求數列錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。

要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數恒成立，只要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數恒成立，即使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。為正偶數恒成立，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，故實數錯誤！未找到引用源。的取值范圍是錯誤！未找到引用源。； ⑶由⑴得錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，設錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，因此數列錯誤！未找到引用源。的最大值為錯誤！未找到引用源。．

【點睛】本題考查數列與不等式的綜合應用，涉及等差數列的判定與證明，其中證明（1）的關鍵是分析得到錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。的關系式．

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學期期中考試】已知數列滿足，且

． 的前項和為，滿足，．數列（1）求數列（2）若和的通項公式；，數列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數的取值范圍；

（3）是否存在正整數，使，請說明理由．

【答案】（1）（2））成等差數列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，（3）不存在

（2）由（1）得于是所以，兩式相減得所以由（1）得因為對 即所以恒成立，都有，，恒成立，記所以因為從而數列于是，為遞增數列，所以當．

（），使

成等差數列，則，時取最小值，（3）假設存在正整數即，若為偶數，則若為奇數，設于是當時，為奇數，而為偶數，上式不成立.，則，與

矛盾；，即，此時

4．已知數列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。，其中，錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．

（1）求數列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）是否存在自然數錯誤！未找到引用源。，使得對于任意錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。，求數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。；（2）存在，錯誤！未找到引用源。；（3）錯誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：

（1）根據題設條件用累乘法能夠求出數列{an}的通項公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項為2，公比為2的等比數列，由此能求出{bn}的通項公式．（2）bn=2n．假設存在自然數m，滿足條件，先求出錯誤！未找到引用源。，將問題轉化成錯誤！未找到引用源。可求得錯誤！未找到引用源。的取值范圍；（3）分n是奇數、n是偶數兩種情況求出Tn，然后寫成分段函數的形式。

試題解析：（1）由錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。． 又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.當錯誤！未找到引用源。時，上式成立，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。是首項為2，公比為2的等比數列，故錯誤！未找到引用源。.（3）當錯誤！未找到引用源。為奇數時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。； 當錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.因此錯誤！未找到引用源。．

點睛：數列求和時，要根據數列項的特點選擇不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組求和等。

5．【江蘇省啟東中學2018屆高三上學期第一次月考】設數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且滿足錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。為常數．

（1）是否存在數列錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數列；若不存在，說明理由．

（2）當錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。．

（3）當錯誤！未找到引用源。時，求證：當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。． 【答案】（1）不存在，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析

當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，兩式相減得錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，綜上，錯誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學2018屆高三上學期開學考試】已知兩個無窮數列的前項和分別為（1）若數列.分別滿足，其中，設數列都為遞增數列，求數列的通項公式；（2）若數列①若數列②若數列滿足：存在唯一的正整數“墜點數列”，求 為“墜點數列”，數列，使得，稱數列為“墜點數列”.為“墜點數列”，是否存在正整數，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.【答案】（1）

.（2）①，② 6.7．【江蘇省南京師范大學附屬中學2017屆高三高考模擬一】已知數集錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數集錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。是否具有性質錯誤！未找到引用源。，并說明理由；

（2）求證： 錯誤！未找到引用源。；

（2）若錯誤！未找到引用源。，求錯誤！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）見解析（3）錯誤！未找到引用源。.（2）因為集合錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。，所以對錯誤！未找到引用源。而言，存在錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。，又因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，同理可得錯誤！未找到引用源。，將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。.（3）由（2）可知錯誤！未找到引用源。，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，構成數集錯誤！未找到引用源。，經檢驗錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。.點睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。求解第一問時，直接運用題設條件中所提供的條件信息進行驗證即可；解答第二問時，先運用題設條件中定義的信息可得錯誤！未找到引用源。，同理可得錯誤！未找到引用源。，再將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。即可獲證錯誤！未找到引用源。；證明第三問時，充分借助（2）的結論可知錯誤！未找到引用源。，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。可得錯誤！未找到引用源。，因此構成數集錯誤！未找到引用源。，經檢驗錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。，進而求出錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。.8．記等差數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。是等差數列；

（2）若 錯誤！未找到引用源。，對任意錯誤！未找到引用源。，均有錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。的等差數列，求使錯誤！未找到引用源。為整數的正整數錯誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯誤！未找到引用源。，求證： 錯誤！未找到引用源。.【答案】（1）見解析（2）錯誤！未找到引用源。（3）見解析

解：（1）設等差數列錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。，從而錯誤！未找到引用源。，所以當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即數列錯誤！未找到引用源。是等差數列.（2）因為的任意的錯誤！未找到引用源。都是公差為錯誤！未找到引用源。，的等差數列，所以錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。，的等差數列，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，顯然，錯誤！未找到引用源。滿足條件，當錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。不是整數，綜上所述，正整數錯誤！未找到引用源。的取值集合為錯誤！未找到引用源。.（3）設等差數列錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，即數列錯誤！未找到引用源。是公比大于錯誤！未找到引用源。，首項大于錯誤！未找到引用源。的等比數列，記公比為錯誤！未找到引用源。.以下證明： 錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。為正整數，且錯誤！未找到引用源。，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，當錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。為減函數，錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，綜上，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。.9．已知數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數列{an}是公差為2的等差數列，求數列{cn}的通項公式；

（2）若存在實數λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數列{an}是等差數列． 【答案】（1）cn＝1．（2）見解析.10．已知各項不為零的數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。．

（1）若錯誤！未找到引用源。成等比數列，求實數錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。成等差數列，①求數列錯誤！未找到引用源。的通項公式； ②在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數列，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的最大值．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。

（3）錯誤！未找到引用源。，在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數，組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數列，故有錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，

第四篇：放縮法證明數列不等式

放縮法證明不等式

1、設數列?an?的前n項的和Sn?

43an?

13?

2n

n?

1?

3(n?1,2,3,?)

n

（Ⅰ）求首項a1與通項an；（Ⅱ）設Tn?

an?4?2

n

n

2Sn

(n?1,2,3,?)，證明：?Ti?

i?1

解：易求

Sn?Tn?

（其中n為正整數）

n

n

432

n

an??

n

13?

?2

n?1

??

?

4n

?23

n

??

?2

n?1

?

?

?2

n?1

?1??2?1?

n

Sn

?2

n?1

?1??2?1?

?

1?1?

??n?n?1

?

2?2?12?1?

所以：

?

i?1

Ti?

313?1?

??1?n?1??2?2?12?1?22、求證：（1）

1?1?法1：數歸（兩邊都可以）

法2：放縮裂項 法3：定積分放縮（2）

22??

?n?N)

?

???

1n1n

?

31n?

11n

法1：放縮一：

?

n(n?1)

??

(n?2)

Sn?

??

?

??1n

1n

?(1336

?

?

?

?

52)?（15

??

1653

?

?

???

1n?1

?

1n)

＝1?

1336

121400?

??1??1

121400

?1?

23893600(1

?1?

24003600

.放縮二：

1n

1n?1

?

(n?1)(n?1)

?

2n?1

?

n?1),(n?2)

Sn??54

?

?

??

1n

?（11

?

2)?

111111111(?????????)22435n?2nn?1n?1

?

1111151115

(???)??(?)?.223nn?142233

放縮三：

1n

?

1n?

?(n?

112)(n?

12)

?（1n?

?

1n?

12)?2（12n?1

?

12n?1),(n?1)

Sn?

?

?

??

1n

?1?2（13

?

?

?

???

12n?1

?

12n?1)?1?2（13

?

12n?1)?

法2：數歸——加強命題：常用的放縮公式：

1n(n?1)

2n?

n?1?

1n

???

1n

?

?

1n

?

1n(n?1)1n

；n?

n?1?2n?n?

n?1；

???n

n?

2n?1；

ab

?

a?mb?m

(b?a?0,m?0)

1k

?

k(k?1)(k?1)?

1n?11k(k?1)

?

?1?11*

?(k?2,k?N)??

2?k(k?1)k(k?1)?

1n?k?

n?kn1k!?

?

1n?2

?...?

?

kn?11

(k?3)

(k?2)

；2?12

n?1n

k!k(k?1)(k?2)

n

an?

例3：已知：

?1

(n?N

?)，求證：?ai?

i?1

n2

?

法1：均值不等式：即證

?

?

715n2

?...?

2?12

n?1

n

?1

?

?

n2

也即：

?

?

715

?...?

2?12

n

n?1

n

?1

?

而

:

?

?

715

?...?

2?12

n?1

?1

?n

???

法2：放縮后裂項求和

an?

2?1212

n?1n

?1?（?

2?12(2?1

?

n

n)1

?

?

?

n?1

=

?1

?

?

2?1(2

n?1

n

?1)(2?1)

n

=

?

2?1

n

n?1

?1)

法3：數歸，但是直接去證是不行的，要轉化為一個加強命題

4．定義數列如下：a1?2,an?1?an?an?1,n?N

?

證明：（1）對于n?N恒有an?1?an成立。

2?

?

（2）當n?2且n?N，有an?1?anan?1?a2a1?1成立。

（3）1?

2006

?

1a1

?

1a2

???

1a2006

?1。

解：（1）用數學歸納法易證。

（2）由an?1?an?an?1得：an?1?1?an(an?1)?an?1?an?1(an?1?1)……

a2?1?a1(a1?1)以上各式兩邊分別相乘得：

an?1?1?anan?1?a2a1(a1?1)，又a1?2?an?1?anan?1?a2a1?1（3）要證不等式1?

2006

?

1a1

?

1a2

???

1a2006

?1，可先設法求和：

1a1

?

1a2

???

a2006，再進行適當的放縮。

?an?1?1?an(an?1)

?

1an?1?11an1a1

?

1an?1

?

1an

??

1an?11a2

?

1an?1?11a2006

?????

?（1a1?11

?

1a2?11)?（1a2?1

?

1a3?1)???（1a2006?1

?

1a2007?1)

?

a1?1

?

a2007?11

?1?

a1a2?a2006

?1

又a1a2?a2006?a1

2006

?2

2006

?1?

1a1a2?a2006

?1?

2006

?原不等式得證。

5．已知數列?an?中an?

i

i

n

nn

2?1，求證：?ai(ai?1)?3.i?1

方法一：ai(ai?1)?

n

i

2?12?1

?

i

i

i

(2?1)(2?2)

?

i

i?1

i?1

(2?1)(2?1)

?

i?1

?1

?

12?1

i

.?

?

i?1

ai(ai?1)?

(2?1)

?（12?1

?

12?1)?（12?1

?

12?1)???（12

n?1

?1

?

12?1

n)?3?

12?1

n

?3.方法二：

ai(ai?1)?

i

i

(2?1)

?

i

12?2?

i

?

12?2

i

?

122?

i

?

2?2

i

i?1

.(i?2)

n

?

?

i?1

ai(ai?1)?2?

?

???

n?1

?2?(1?

12)?3?n?1

n?1

?3.n

法3：數歸證?

?

i?1

ai(ai?1)?3?

12?1

n

?3.（即轉化為證明加強命題）

6、已知函數f?x??ln?1?x??x，數列?an?滿足：

a1?

2,ln2?lnan?1?an?1an?f

?an?1an?．

（1）求證：ln?1?x??x；（2）求數列?an?的通項公式；

（3）求證不等式：a1?a2???an?n?ln2?ln?n?2?． 解：（1）f?x??ln?1?x??x，f'?x??

11?x

?1??

x1?x，當?1?x?0時，f'?x??0，即y?f(x)是單調遞增函數；當x?0時，f'?x??0，即y?f(x)是單

調遞減函數．

所以f'?0??0，即x?0是極大值點，也是最大值點

f?x??ln?1?x??x?f?0??0?ln?1?x??x，當x?0時取到等號．（2）法1：數學歸納法（先猜想，再證明）

法2：由ln2?lnan?1?an?1an?f?an?1an?得2an?1?an?1an?1，an?1?

12?an，an?1?1?

12?an

?1?

an?12?an，1an?1?

1?

1an?1

?1，即數列?

?

?1

??2，公差為?1，是等差數列，首項為?

a?11?an?1?

nn?1

∴

an?1

??n?1?an?

．

（3）法1：

a1?a2???an?1?

11?1

?1?

12?1

???1?

11??1

?n???????

23n?1n?1??

又∵x?0時，有x?ln?1?x?，令x?

1n?1?1?2

?0，則

1?n?2?

?ln?1??ln ?n?1n?1?n?1?1

∴n??

?

3???

345n?1n?2???

?n?ln?ln?ln???ln?ln??? n?1?234nn?1??n?

2?n?2

?n?l?n??

n?1?2

?n??ln?

?

?343

???ln?2

n? ?nl?

∴a1?a2???an?n?ln2?ln?n?2? ． 法2：積分法要證原命題，即證：?

?1?2

?

??ln(n?2)?ln2 n?1?1

????

11??1???????3n?1??2

?1?2

n?2

?

1x

dx?lnx

n?22

法3：數歸證明：?7.1、（1）求證：2

n

?

???

?

??ln(n?2)?ln2 n?1?

?

?2n?1(n?2,n?N)

nn?1n01

法1：2?Cn?Cn?...?Cn?Cn；

法2：數學歸納法 法3：函數法（求導）

8.若n?N，證明：()+()+…+（n

n

*

n

n

n?1n)+（n

nn)?

n

ee?1

提示:借助e?1?x證明

x

第五篇：數列----利用函數證明數列不等式

數列已知數列{an}的前n項和為Sn，且a2an?S2?Sn對一切正整數n都成立。（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）設a1?0，數列{lg大值。

2已知數列{an}的前n項和Sn??

（1）確定常數k，求an；

（2）求數列{

3在等差數列?an?中，a3?a4?a5?84,a9?73.（Ⅰ）求數列?an?的通項公式；（Ⅱ）對任意m?N*，將數列?an?中落入區間(9,9)內的項的個數記為bm，求數列m2m10a1的前n項和為Tn，當n為何值時，Tn最大？并求出Tn的最an12n?kn，k?N*,且Sn的最大值為8.29?2an的前n項和Tn。n2?bm?的前m項和Sm.