第一篇：用導數證明不等式舉例

用導數證明不等式舉例

函數類不等式證明的通法可概括為：證明不等式f(x)?g(x)（f(x)?g(x)）的問題轉化為證明f(x)?g(x)?0（f(x)?g(x)?0），進而構造輔助函數h(x)?f(x)?g(x)，然后利用導數證明函數h(x)的單調性或證明函數h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。例1 已知x?(0,?

2)，求證：sinx?x?tanx

分析：欲證sinx?x?tanx，只需證函數f(x)?sinx?x和g(x)?x?tanx在(0,?

2)上單調

遞減即可。證明：

令f(x)?sinx?x，其中x?(0,?

2)

則f/

(x)?cosx?1，而x?(0,?

2)?cosx?1?cosx?1?0

所以f(x)?sinx?x在(0,?

2)上單調遞減，即f(x)?sinx?x?f(0)?0

所以sinx?x；

令g(x)?x?tanx，其中x?(0,?

2)

則g/(x)?1?

1cos2x??tan2

x?0，所以g(x)?x?tanx在(0,?2)上單調遞減，即g(x)?x?tanx?g(0)?0 所以x?tanx。

綜上所述，sinx?x?tanx

評注：證明函數類不等式時，構造輔助函數比較容易，只需將不等式的其中一邊變為0，然后另一邊的函數作為輔助函數，并利用導數證明其單調性或其最值，進而構造我們所需的不等式的結構即可。根據不等式的對稱性，本例也可以構造輔助函數為在(0,?

2)上是單調遞增的函數（如：

利用h(x)?x?sinx在(0,?

2)上是單調遞增來證明不等式sinx?x），另外不等式證明時，區間端點值也可以不是我們所需要的最恰當的值（比如此例中的f(0)也可以不是0，而是便于放大的正數也可以）。因此例可變式為證明如下不等式問題： 已知x?(0,?

2)，求證：sinx?1?x?tanx?1

證明這個變式題可采用兩種方法：

第一種證法：運用本例完全相同的方法證明每個不等式以后再放縮或放大，即證明不等式

sinx?x以后，根據sinx?1?sinx?x來證明不等式sinx?1?x；

第二種證法：直接構造輔助函數f(x)?sinx?1?x和g(x)?x?tanx?1，其中x?(0,?

2)

然后證明各自的單調性后再放縮或放大（如：f(x)?sinx?1?x?f(0)??1?0）例2 求證：ln(x?1)?x

分析：令f(x)?ln(x?1)?x，經過求導易知，f(x)在其定義域(?1,??)上不單調，但可以利用最值證明不等式。證明：令f(x)?ln(x?1)?x 函數f(x)的定義域是(?1,??),f'(x)=

1?x

?1.令f'(x)=0，解得x=0，當-10,當x>0時,f'(x)<0，又f(0)=0，故當且僅當x=0時，f(x)取得最大值，最大值是0 所以f(x)?ln(x?1)?x?f(0)?0 即ln(x?1)?x

練習：求證：1

?x?1??x3?1,其中x??1,???.例3：當x?0時，證明不等式ex

?1?x?

x2

成立。

證明：設f?x??ex?1?x?

1x2,則f'?x??ex2

?1?x.令g(x)?ex

?1?x,則g'(x)?ex

?1.當x?0時，g'?x??ex

?1?0.?g(x)在?0,???上單調遞增，而g(0)?0.?g?x??g(0)?0,?g(x)?0在?0,???上恒成立，即f'(x)?0在?0,???恒成立。?f(x)在?0,???上單調遞增，又f(0)?0,?ex?1?x?

x?0,即x?0時，ex?1?x?

x成立。利用導數知識證明不等式是導數應用的一個重要方面，也成為高考的一個新熱點，其關鍵是構造適當的函數，判斷區間端點函數值與0的關系，其實質就是利用求導的方法研究函數的單調性，通過單調性證明不等式。21．（本題滿分12分）

已知函數f(x)?

（1?x)

n

?aln(x?1),其中n?N*,a為常數．（I）當n?2時，求函數f(x)的極值；

（II）當a?1時，證明：對任意的正整數n，當x?2時，有f(x)?x?1.【標準答案】

（Ⅰ）解：由已知得函數f(x)的定義域為?x|x?1?，當n?2時，f(x)?1

(1?x)

?aln(x?1)，所以f?(x)?2?a(1?x)2(1?x)3．（1）當a?0時，由f?(x)?

0得x1?1?

?

1，x2?1??1，此時f?(x)?

?a(x?x1)(x?x2)

(1?x)3

．

當x?(1，x1)時，f?(x)?0，f(x)單調遞減； 當x?(x1，??)時，f?(x)?0，f(x)單調遞增．（2）當a?0時，f?(x)?0恒成立，所以f(x)無極值． 綜上所述，n?2時，當a?0時，f(x)在x?1

f???1??a?1?ln2?

?2??a??．當a?0時，f(x)無極值．（Ⅱ）

證法二：當a?1時，f(x)?

(1?x)n

?ln(x?1)．

當x?2時，對任意的正整數n，恒有

(1?x)n

?1，故只需證明1?ln(x?1)≤x?1． 令h(x)?x?1?(1?lnx(?1)?)x?

?2xln，?(x??2，???，則h?(x)?1?

1x?2

x?1?

x?1，當x?2時，h?(x)≥0，故h(x)在?2，???上單調遞增，因此當x?2時，h(x)?h(2)?0，即1?ln(x?1)?x?1成立． 故當x?2時，有1

(1?x)n

?ln(x?1)?x?1．

即f(x)?x?1．

第二篇：導數證明不等式

導數證明不等式

一、當x>1時,證明不等式x>ln(x+1)

f(x)=x-ln(x+1)

f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)

x>1,所以f'(x)>0,增函數

所以x>1,f(x)>f(1)=1-ln2>0

f(x)>0

所以x>0時，x>ln(x+1)

二、導數是近些年來高中課程加入的新內容，是一元微分學的核心部分。本文就談談導數在一元不等式中的應用。

例1.已知x∈(0，)，求證:sinx

第三篇：用導數證明不等式

用導數證明不等式

最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個式子令為一個函數f(x).對這個函數求導，判斷這個函數這各個區間的單調性，然后證明其最大值(或者是最小值)大于0.這樣就能說明原不等式了成立了!

1.當x>1時,證明不等式x>ln(x+1)

設函數f(x)=x-ln(x+1)

求導，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+

12..證明：a-a^2>0其中0

F(a)=a-a^

2F'(a)=1-2a

當00;當1/2

因此，F(a)min=F(1/2)=1/4>0

即有當00

3.x>0,證明：不等式x-x^3/6

先證明sinx

因為當x=0時，sinx-x=0

如果當函數sinx-x在x>0是減函數，那么它一定<在0點的值0，求導數有sinx-x的導數是cosx-1

因為cosx-1≤0

所以sinx-x是減函數，它在0點有最大值0，知sinx

再證x-x3/6

對于函數x-x3/6-sinx

當x=0時，它的值為0

對它求導數得

1-x2/2-cosx如果它<0那么這個函數就是減函數，它在0點的值是最大值了。

要證x2/2+cosx-1>0x>0

再次用到函數關系，令x=0時，x2/2+cosx-1值為0

再次對它求導數得x-sinx

根據剛才證明的當x>0sinx

x2/2-cosx-1是減函數，在0點有最大值0

x2/2-cosx-1<0x>0

所以x-x3/6-sinx是減函數，在0點有最大值0

得x-x3/6

利用函數導數單調性證明不等式X-X2>0，X∈(0,1)成立

令f(x)=x-x2x∈

則f'(x)=1-2x

當x∈時,f'(x)>0,f(x)單調遞增

當x∈時,f'(x)<0,f(x)單調遞減

故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值為零

故當x∈(0,1)f(x)=x-x2>0。

i、m、n為正整數，且1

求證(1+m)^n>(1+n)^m

方法一：利用均值不等式

對于m+1個數，其中m個(2+m)，1個1,它們的算術平均數大于幾何平均數，即

/(m+1)>^

即1+m>(2+m)^

即(1+m)^(1/m)>^

由此說明數列{(1+m)^(1/m)}是單調遞減的。

方法二：導數方法

令f(x)=(1+x)^(1/x),x>0

求導數

f'(x)=(1+x)^(1/x)*/x^2

為了考察f'(x)的正負

令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x),x>=0

g'(x)=-x/(1+x)^2<0,x>0

因此g(x)0,亦即f'(x)<0

因此f(x)在(0,+∞)上單調遞減。

令A*B*C=K的3次方

求證(1+A)的-(1/2)次方加(1+B)的-(1/2)次方加(1+C)的-(1/2)次方>=(1+K)的-(1/2)次方

化成函數，f(x)，求導，可知其單調區間，然后求最大最小值即可。

理論上所有題目都可以用導數做，但有些技巧要求很高。

(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+C)^-1/2

=(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+K^3/AB)^-1/2=f(A,B)

對A求導，f'(A,B)A=0，可得一個方程，解出即得。

第四篇：應用導數證明不等式

應用導數證明不等式

常澤武指導教師：任天勝

（河西學院數學與統計學院 甘肅張掖 734000）

摘要： 不等式在初等數學和高等代數中有廣泛的應用，證明方法很多，本文以函數的觀點來認識不等式，以導數為工具來證明不等式。

關鍵字： 導數 不等式最值中值定理單調性泰勒公式

中圖分類號： O13

Application derivative to testify inequality

ChangZeWu teachers: RenTianSheng

(HeXi institute of mathematics and statistics Gansu zhang ye 734000)Abstract: He inequality in elementary mathematics and higher algebra is widely used, proved many methods, based on the function point of view to know inequality to derivative tools to prove to inequality.Key words: The most value of derivative inequality value theorem monotonicity Taylor formula

1.利用微分中值定理來證明不等式

在數學分析中，我們學到了拉格朗日中值定理，其內容為：

定理1.如果函數f?x?在閉區間?a,b?上連續，在開區間?a,b?上可導，則至少存在一點???a,b?，使得f'(?)?

拉格朗日中值定理是探討可微函數的的幾何特性及證明不等式的重要工具，我們可以根據以下兩種方法來證明。

（1）首先，分析不等式通過變形，將其特殊化。其次，選取合適的函數和范圍。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根據函數的單調性和最大值和最小值。

（2）我們可根據其兩種等價表述方式

①f(b)?f(a)?f'(a??(b?a))(b?a),0???1

②f?a?h??f?a??f'?a??h?h,0???1

我們可以?的范圍來證明不等式。f(b)?f(a)。b?a

11(x?0)例1.1證明不等式ln(1?)?x1?x

證明第一步變形1 ln(1?)?ln(1?x)?ln(x)x

第二步選取合適的函數和范圍

令f(x)?lntt??x,1?x?

第三步應用拉格朗日中值定理

存在???x,1?x?使得f'(?)?f(1?x)?f(x)(1?x)?(x)

即ln(1?x)?ln(x)?1

?而 ?<1+x 1 1?x

1?x1)?而0?x??? 即ln(x1?x?ln(1?x)?ln(x)?

例 1.2證明：?h>-1且h?0都有不等式成立：

h?ln(1?h)?h 1?h

證明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，????0,1?使得

ln(1?h)?f(h)?f(0)?f'(?h)h?

當h>0時有

1??h?1?1?h,當?1?h?0時有

1?1??h?1?h?0,即h.1??h1h??h;1?h1??h1h??h.1?h1??h

2．利用函數單調性證明不等式

我們在初等數學當中學習不等式的證明時用到了兩種方法：一種是判斷它們差的正負，另一種是判斷它們的商大于1還是小于1.而我們今天所要討論的是根據函數的導數的思想來判斷大小。

定理：設函數f(x)在?a,b?上連續，在?a,b?可導，那么

（1）若在?a,b?內f'(x)?0則f(x)在?a,b?內單調遞增。

（2）若在?a,b?內f'(x)?0則f(x)在?a,b?內單調遞減。

使用定理：要證明區間?a,b?上的不等式f(x)?g(x)，只需令F(x)?f(?x)。g使在(x)?a,b?上F'(x)>0（F'(x)<0）且F(a)=0或（F(b)=0）例2.1 設x?0證明不等式ln(1?x)?xe?x

證明：令F(x)?ln(1?x)?xe?x（x>0）

顯然F(0)?0

1ex?x2?1?x?x（x>0）F'(x)??e?xe?x1?x(1?x)e

現在來證明ex?x2?1?0

令f(x)?ex?x2?1顯然f(0)?0

當x?0時f'(x)?ex?2x?0

于是得f(x)在x?0上遞增

故對x?0有f(x)?f(0)?f(x)?0

而(1?x)ex?0

所以F'(x)?0故F(x)遞增

又因為F(0)?0

所以F(x)?0

所以ln(1?x)?xe?x成立

3．利用函數的最大值和最小值證明不等式

當等式中含有“=”號時，不等式f(x)?g(x)(或f(x)?g(x))? g(x)?f(x)?0（或g(x)?f(x)?0），亦即等價于函數G(x)?g(x)?f(x)有最小值或F(x)?f(x?)g(有最大值。x)

證明思路：由待正不等式建立函數，通過導數求出極值并判斷時極大值還是極小值，在求出最大值或最小值，從而證明不等式。

1例3.1證明若p>1，則對于?0,1?中的任意x有p?1?xp?(1?x)p?1 2

證明：構造函數f(x)?xp?(1?x)p(0?x?1)

則有f'(x)?pxp?1?p(1?x)p?1?p(xp?1?(1?x)p?1)

令f'(x)?0，可得xp?1?(1?x)p?1，于是有x?1?x，從而求得x?1。由于2

函數f(x)在閉區間?0,1?上連續，因而在閉區間?0,1?上有最小值和最大值。

由于函數f(x)內只有一個駐點，沒有不可導點，又函數f(x)在駐點x?1和2

111p1?)?p?1,f(0)?f(1),區間端點(x?0和x?1)的函數值為f()?)p?(1所以2222

1f(x)在?0,1?的最小值為p?1，最大值為1，從而對于?0,1?中的任意x有2

11?f(x)?1?xp?(1?x)p?1。，既有p?1p?122

4．利用函數的泰勒展式證明不等式

若函數f(x)在含有x0的某區間有定義，并且有直到(n?1)階的各階導數，又在x0處有n階導數f(n)(x0)，則有展式： f'(x0)f''(x0)fn(x0)2(x?x0)?(x?x0)??(x?x0)n?Rn(x)f(x)?f(x0)?1!2!n!

在泰勒公式中，取x0=0,變為麥克勞林公式

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)?Rn(x)1!2!n!

在上述公式中若Rn(x)?0(或?0)則可得

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)，1!2!n!

f'(0)f''(0)2fn(0)n(x)?(x)??(x)。或f(x)?f(0)?1!2!n!

帶有拉格朗日余項的泰勒公式的實質是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一個定量估計式，該公式在不等式證明和微分不等式證明及較為復雜的極限計算中有廣泛的應用。

用此公式證明不等式就是要把所證不等式化簡，其中函數用此公式，在把公式右邊放大或縮小得到所證不等式。

例4.1若函數f(x)滿足：（1）在區間?a,b?上有二階導函數f''(x)，（2）

f'(a)?f'(b)?0，則在區間?a,b?內至少存在一點c，使

f''(c)?4f(b)?f(a)。2(b?a)

證明：由f(x)在x?a和x?b處的泰勒公式，并利用f'(a)?f'(b)?0，得f(x)?f(a)?f''(?)(x?a)2

2!f''(?)f(x)?f(b)?(x?b)2,于是2!

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(a)??(a???),22!42

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(b)??(a???),22!42

f''(?)?f''(?)(b?a)2

相減，得f(b)-f(a)=,24

4f(b)?f(a)1(b?a)2

即?f''(?)?f(?)?,(b?a)224

當f''(?)?f''(?)時，記c??否則記c=?,那么

f''(c)?4f(b)?f(a)(a?b?c)(b?a)2

參 考 文 獻

《數學分析》上冊，高等教育出版社，1990.?1?鄭英元，毛羽輝，宋國棟編，?2?趙煥光，林長勝編《數學分析》上冊，四川大學出版社，2006。?3?歐陽光中，姚允龍，周淵編《數學分析》上冊，復旦大學出版社，2004.?4?華東師范大學數學系編《數學分析》上冊，第三版，高等教育出版社2001.

第五篇：利用導數證明不等式

利用導數證明不等式

例1．已知x>0，求證：x>ln(1+x)分析：設f(x)=x－lnx。x?[0,+??。考慮到f(0)=0，要證不等式變為：x>0時，f(x)>f(0)，這只要證明：

f(x)在區間[0,??)是增函數。

證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區間[0,??)上可導。

且limf(x)?0?f(0)?x?0 由f'(x)?1?1x 可得：當x?(0,??)時，f'(x)?f(0)?0 ?x?1x?1 即x－lnx>0，所以：x>0時，x>lnx 評注：要證明一個一元函數組成的不等式成立，首先根據題意構造出一個

函數（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數），并利 用導數判斷所設函數的單調性，再根據函數單調性的定義，證明要 證的不等式。

例2：當x??0,??時，證明不等式sinx?x成立。證明：設f(x)?sinx?x,則f'(x)?cosx?1.∵x?(0,?),∴f'(x)?0.∴f(x)?sinx?x在x?(0,?)內單調遞減，而f(0)?0.∴f(x)?sinx?x?f(0)?0, 故當x?(0,?)時，sinx?x成立。

點評：一般地，證明f(x)?g(x),x?(a,b),可以構造函數F(x)?f(x)?g(x)，如果F'(x)?0,，則F(x)在(a,b)上是減函數，同時若F(a)?0,由減函數的定義可知，x?(a,b)時，有F(x)?0,即證明了f(x)?g(x)。

x練習：1.當x?0時，證明不等式e?1?x?12x成立。2證明：設f?x??e?1?x?x12x,則f'?x??ex?1?x.2xxx令g(x)?e?1?x,則g'(x)?e?1.當x?0時，g'?x??e?1?0.?g(x)在?0,???上單調遞增，而g(0)?0.?g?x??g(0)?0,?g(x)?0在?0,???上恒成立，?f(x)在即f'(x)?0在?0,???恒成立。?0,???上單調遞增，又f(0)?0,?ex?1?x?1x2?0,即x?0時，ex222.證明:當x?1時,有ln(x?1)?lnx?ln(x?2).?1?x?12x成立。2分析 只要把要證的不等式變形為

ln(x?1)ln(x?2)?,然后把x相對固定看作常數,并選取輔助函

lnxln(x?1)數f(x)?ln(x?1).則只要證明f(x)在(0,??)是單調減函數即可.lnx證明: 作輔助函數f(x)?ln(x?1)(x?1)lnxlnxln(x?1)?xlnx?(x?1)ln(x?1)?于是有f?(x)?x?12x

lnxx(x?1)ln2x因為 1?x?x?1, 故0?lnx?ln(x?1)所以 xlnx?(x?1)ln(x?1)

（1，??）因而在內恒有f'(x)?0,所以f(x)在區間(1,??)內嚴格遞減.又因為1?x?1?x,可知f(x)?f(x?1)即 ln(x?1)ln(x?2)?lnxln(x?1)所以 ln2(x?1)?lnx?ln(x?2).利用導數知識證明不等式是導數應用的一個重要方面，也成為高考的一個新熱點，其關鍵是構造適當的函數，判斷區間端點函數值與0的關系，其實質就是利用求導的方法研究函數的單調性，通過單調性證明不等式。

x2例3.證明不等式x??ln(1?x)?x,其中x?0.2x2分析 因為例6中不等式的不等號兩邊形式不一樣,對它作差ln(1?x)?(x?),則發現作差以后

21?x)求導得不容易化簡.如果對ln(1,這樣就能對它進行比較.1?xx2證明: 先證 x??ln(1?x)

2x2設 f(x)?ln(1?x)?(x?)(x?0)

21x21?0)?0?0 f(x)?則 f(0)?ln(?1?x?1?x1?x'?　x?0 即 1?x?0 x2?0

x2?　f?(x)??0　,即在(0,??)上f(x)單調遞增

1?xx2?　f(x)?f(0)?0 ?　ln(1?x)?x?

21?x)?x;令 g(x)?ln(1?x)?x 再證 ln(則 g(0)?0 g?(x)?1?1 1?x１?ln(1?x)?x ?　x?0 ?　?1 ?　g?(x)?0 １?xx2?　x??ln(1?x)?x 練習：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數，且1?i?m?n

證明：(1?m)n?(1?n)m

分析：要證(1?m)n?(1?n)m成立，只要證

ln(1?m)n?ln(1?n)m

即要證11ln(1?m)?ln(1?n)成立。因為m

11ln(1?m)?ln(1?n)； mn從而：(1?m)n?(1?n)m。

評注：這類非明顯一元函數式的不等式證明問題，首先變換成某一個一元函數式分別在兩個不同點處的函數值的大小比較問題，只要將這個函數式找到了，通過設函數，求導判斷它的單調性，就可以解決不等式證明問題。難點在于找這個一元函數式，這就是“構造函數法”，通過這類數學方法的練習，對培養分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進一步學習高等數學所需要的。