第一篇：強化命題證明一類數列不等式

該文發表于《中學數學教學參考》2006年第12期

強化命題證明一類數列不等式

201203華東師大二附中任念兵數列不等式是近年來高考和競賽中的熱點題型，其中一類形如

i?n0?n1?C（C為常數）ai的證明題難度較大.由于此類不等式的右邊是常數，所以數學歸納法證明無法實現歸納過渡，但通過對歸納過渡過程的研究,可以放縮右邊的常數,將命題加強為

i?n0?an1i?C?1,其中gng?n??0表示關于正整數n的函數式,從而可以構造單調遞減數列巧妙的證明這類問題.例1：求證：?1

9111?????n?N*? 2252n?14

91111???????????（1）252n?124gn分析：①首先假設命題可以強化為?

接著思考的問題自然是：要使加強命題成立，g?n?應滿足什么條件呢？

②既然加強命題（1）成立，則可以利用數學歸納法加以證明：

111.??????????????????????????(2)n?1時, ??94g1歸納假設?1

91111?????,接下來要證 252k?124gk111111?????????????????????(3)229254gk?12k?12k?3而由歸納假設只能得到?1

9111111???????.如果能證得252k?122k?324gk2k?32

11111????，即 4gk2k?324gk?1111??.???????????????????????(4)gkgk?12k?32

則可以由不等式的傳遞性知道（3）式成立，從而由歸納法原理證明了加強命題（1）.從上述分析可知, g?n?必須同時滿足(2)(4)兩式.③明確g?n?應滿足的條件后,我們就可以“確定”g?n?的表達式了.觀察(4)式的結構,不等式右邊分母是二次多項式,于是我們考慮到,如果g?n?是一次多項式,則不等式左邊通分后也是一個二次多項式,這樣(4)式就轉化為兩個二次多項式的比較,從而可以通過g?n?的系數控制使(4)式成立.設g?n??an?b(a,b為待定的常數), 將g?n??an?b代入(4)式知

a?2k?3?2??ak?b??ak?a?b?對k?N*恒成立,整理得

4ak2?12ak?9a?a2k2?2ab?a2k?b?a?b?對k?N*恒成立,比較各項系數得

a?4,b?4.又因為g?n??an?b同時滿足(2)式,代入得a?b???36.所以,不妨取a?4,b?4,5

即得g?n??4n?4.從而,原不等式可以加強為:

11111

?n?N*?.???????????????(5)??????

9252n?1244n?4

④將上述分析過程略加整理就能得到加強命題的數學歸納法證明,而下面利用數列單調性的方法更為簡捷.證明:記f?n??

f?n?1??f?n??

1111?????,則有 9252n?124n?4

2n?32

?

1111

??2?2?0即f?n?單調遞

4n?1?44n?44n?12n?94n?12n?8

減,故f?n??f?1??

??,加強命題(5)得證.984

注:上述證明的關鍵步驟f?n?1??f?n??0實際上就是分析過程中的(4)式.我們不難發現處理此類問題的一般步驟是:首先假設加強命題

i?n0

?

n

成立,?C?

aign接著明確g?n?應滿足的條件，然后確定g?n?的表達式，最后構造單調遞減數列完成巧妙的證明.按照這樣的思路我們再看下面兩個例子:

11115

例2:求證:?2?3???n??n?N*?.2?12?12?12?13分析: 假設加強命題為：

111151

.g?n?應同時滿足?2?3???n??2?12?12?13gn2?1

151

.?????????????????????????(6)??

2?13g1111

.?????????????????????(7)??k?1

gkgk?12?1

觀察(7)式的結構,不等式右邊的分母是指數結構,因此我們考慮g?n?是指數結構.設

和

g?n??a?2n,將g?n??a?2n代入(8)式知a?2k?1?2k?1?1恒成立,故有a?1.又因為

g?n??a?2n同時滿足(6)式,代入得a?

3377

.因此得?a?1,不妨取a?,即得g?n???2n,4848

以下略.例3: 已知正整數n?1,求證: 1?分析: 假設加強命題為：1?1?

1119

?????.2！3！n!5

11191

.g?n?應同時滿足??????

2！3！n!5gn191

.?????????????????????????(8)??

25g2111

.?????????????????????(9)??

gkgk?1k?1!

k

?1對k?2恒成立,故有a?2.又因為g?n??a?n!同時滿足(8)式,a

和

觀察(9)式的結構,不等式右邊是階乘結構,因此我們考慮g?n?是階乘結構.設g?n??a?n!.將

g?n??a?n!代入(9)式知

代入得a?

.因此得?a?2,不妨取a?2,即得g?n??2?n！,以下略.33

本文舉例探討了如何強化命題來證明不等式

i?n0

n

n

?a

n

i

?C，這里有幾點需要加以說明:

①將

i?n0

?

111,關鍵是明確g?n?應滿足的條件和g?n?的式子結構.?C強化為?C?aiagni?ni

?

根據數學歸納法的思考過程可以確定g?n?應滿足的條件，而g?n?的式子結構是由an決定的:

若an是多項式則g?n?是多項式,若an是指數結構則g?n?是指數結構,如此等等.然后,利用待定系數法便可求出合理的g?n?（這樣的g?n?往往不唯一,但系數有范圍限制）.②強化命題后,我們利用數列的單調性來證明加強命題,這不僅簡化了證明過程,而且縮小了

i?n0

?

n

17341的上界.如例1的上界可以縮小為,例2的上界可以縮小為，例3的上界可以縮小

7221ai

為.另外，我們還可以通過改變待定系數來調整g?n?,進一步縮小的上界.a4ii?n

?

n

③本文研究的不等式

i?n0

n

?

n

都是收斂?C具有深刻的高等數學背景.實際上,這些級數

aiaii?n

?

?的,i?n0

n

?

?C就是對收斂級數的上界估計.如例3的背景是級數ai

?

?i!?e?1,因此有

i?1

?

近年來的各地高考中以高等數學知識為背景的問題頻??i!?e?1?5.值得一提的是，i?1

i?1

?i!

頻出現，例2實際上就是從2006年高考福建卷的壓軸題的關鍵步驟中提煉出來的問題.

第二篇：數列不等式的證明

數列和式不等式的證明策略

羅紅波洪湖二中高三

（九）班周二第三節（11月13日）

數列和式不等式的證明經常在試卷壓軸題中出現，在思維能力和方法上要求很高，難度很大，往往讓人束手無策，其實，這類不等式的證明，是有一定的規律的，利用S1

n?

a1?q

來證明也能事半功倍，下面用幾個例子來簡述數列和式不等式的證明

S1

n?

a1?q

常用策略。

一、基礎演練：

1、等比數列{an}，公比為q，則{an}的前n項和Sn為（）

?na1(q?1A．?)

?an

a?1(1?q)1(1?qn)a?

1?q(q?1)B.na1C.1?qD.11?q2、正項等比數列{an}，公比為q，0?q?1，{an}的前n項和Sn，以下說法正確的是（）A．S1n?

a11?qB.S?a11?qC.Saa

nn?1?qD.Sn?11?q3、正項數列{a}，{a的前n項和Sa

nn}n，要證明S1n?1?q，其中0?q?1，可以去證明（）A．

an?1?qB.an?1a?qC.an?1?qD.a

n?1a?q nnanan

二、典例精講：

例

1、等比數列{a1

n}，a1?1,q?2，{an}的前n項和Sn，求證：Sn?2

變式

1、正項等比數列{an}，{a1n}的前n項和Sn，a1?1,Sn?2恒成立，求證：0?q?

2例

2、已知數列{an}，an?1

2n

?1，{an}的前n項和S5n，求證：Sn?2(Sn?3?)

aann變式

2、數列{n?1n}，a?3?23?2n?1，a1?1，{a3

n?1n}的前n項和Sn，求證：Sn? n

2例

3、（09四川理22）數列{an}的前n項和Sn，對任意正整數n，都有a4?an

n?5Sn?1成立，記bn?1?a(n?N?).n

(1)求數列{bn}的通項公式；

(2)記c?

n?b2n?b2n?1(n?N)，{c3

n}的前n項和Tn，求證：Tn?

2變式

3、已知a1n?

?2，求證Sn?(?1)a1?(?1)2a2????????(?1)nan?1

(?2)n?

3三、小結

四、課后作業：

1、等比數列{a1

n}，a1?2,q?

3，{an}的前n項和Sn，求證：Sn?3

2、已知數列{an}，an?

14n?2，{an}的前n項和Sn，求證：S2

n

?3

第三篇：例說一類與數列求和有關的不等式的證明方略

例說一類與數列求和有關的不等式的證明方略.李新偉

廣東省南雄市第一中學 512400 摘 要：與數列求和有關的不等式在近年高考題中頻繁出現，但卻是考生感到困難的一類題目。這類題雖然無固定的模式和方法，但還是可以總結出若干解題方向和策略。主要有先求和后放縮、先放縮后求和策略。

關鍵詞：數列；求和；不等式

1．考題頻現考能力，細細品味有規循

近幾年，形如“?ai?M(或?ai?f(n))，?ai?M(或?ai?f(n))，其

i?1i?1i?1i?1nnnn中M為常數”的與數列求和有關的不等式頻頻出現在各地高考或高考模擬試題中，而且常常是壓軸題、創新題，如2004年全國卷三22（Ⅲ）、2005年遼寧19（2）、2006年全國Ⅰ理22（2）、2007年浙江理21（3）等等。由于這類題涉及多知識、多方法的交匯，條件與結論間的跨度大，解這類題常常要用到放縮法，而對解題方向的判斷和放縮程度的把握要求高，能充分檢測學生觀察、分析、聯想、靈活和綜合運用所學知識分析解決問題能力，因此受到命題者青睞。學生面對這類試題往往感到難度大，無從入手，甚至有如墜云里霧里之感。

不過，雖然這類問題確有較大難度，但細心分析還是有規律可循。從解題方向上看主要有：（1）先求和再放縮 ；（2）先放縮再求和；（3）利用數學歸納法證明；（4）構造函數證明等。從解題策略上看，主要應重視對不等式結構特征和通項特征進行細微分析，初步明確證題方向?？上惹蠛驮俜趴s的題目，一般較簡單；而需要先放縮再求和的題目一般難度較大，這類題往往要從待證的不等式出發，逆向探路，放縮轉化，先變為等差數列求和、等比數列求和、裂項求和或錯位相減法求和等我們熟悉的數列求和問題，最終通過適當的變形或放縮獲證。2．執果溯因探路徑，放縮求和巧證明 2．1先求和，再放縮證明

例1(2005年高考湖南（文）16)已知數列{log2(an?1)}(n?N?)為等差數列，且a1?3，a3?9，（1）求數列{an}的通項公式；（2）證明

?????1。

a2?a1a3?a2an?1?an解：（1）過程略，an?2n?1(n?N?)。

（2）證明：∵對任意n?N?，恒有

111，?n?1?nnan?1?an2?22∴1111111??????2?3???n

a2?a1a3?a2an?1?an222211[1?()n]12 ?2?1?()n?1。

121?2評析：對于與數列求和有關的不等式，若能先求和，我們常常會先求和，再考慮用放縮法證明。能先求和的這類題一般較簡單，因此常為文科考題。2．2先放縮，再求和證明

對于求和困難的形如“?ai?M或?ai?M，其中M為常數”的不等式，i?1i?1nn很多情況下用數學歸納法也往往難于湊效。這時我們常用先放縮再求和證明或將其加強為形如?ai?f(n)或?ai?f(n)的不等式，再考慮用數學歸納法證明。

i?1i?1nn2．2．1逐項放縮，再求和證明

例2．已知函數f(x)?x2?4，設曲線y?f(x)在點(xn,f(xn))處的切線與x軸的交點為(xn?1,0)(n?N?)。

（1）用xn表示xn?1；（2）若x1?4，記an?lgxn?2，證明：數列{an}是等xn?2比數列，并求數列{xn}的通項公式；（3）x1?4，bn?xn?2，Tn是數列{bn}的前n項和，證明：Tn?3。

解：（1）過程略，xn?1xn?42(32?1)?。（2）過程略，xn?2n?1。

2xn3?12n?1 2

（3）由（2）知xn?n?12(323n?1?1)?12n?1，于是bn?xn?2?432n?1?1?0。

bn?132?11111?2n?1?2n?1?2n?1?21?1?, ∵bn33?13?133當n?1時，顯然T1?b1?2?3，111當n?1時，bn?bn?1?()2bn?2???()n?1b1，333∴Tn?b1?b2???bn?11b1[1?()n]1113?b1?b1???()n?1b1??3?3()n?3

13331?3綜上可得，對于任意n?N?，Tn?3。

評析：考慮到數列{bn}的通項公式中有指數式，而待證不等式右邊為常數，于是聯想到等比數列求和問題，我們嘗試利用遞推放縮的方法構造等比數列。將非特殊數列向特殊數列轉化，這是本文的一個主體思想和關鍵策略。2．2．2局部放縮，再求和證明

例1（3）也可以采取局部放縮，再求和證明。

另證：易得b1?2，b2?時，bn?432n?111141，于是猜想當n?3b3??2，b4?8?3，22023?12?14?12n?1。

132n?1由于32n?132n?1?1?12n?1??1?12n?1?32n?1?2n?1?1，所以下面只需證?2n?1?1。下面利用二項式定理證明：

因為當n?3，n?N?時，01n?1∵2n?1?(1?1)n?1?Cn?1?Cn?1???Cn?1?1?n?1?1?n?1，∴32n?10n?11nn?1n?1?3n?1?(2?1)n?1?Cn?Cn?1。?12?12???Cn?1?2所以，當n?1時，顯然T1?b1?2?3； 當n?2，Tn?b1?b2???bn?2?111?2???n?1 222 3

11[1?()n?1]12?3?()n?1?3。?2?2121?2故對于任意n?N?，Tn?3。

評析：從數列{bn}的通項結構我們猜想應將{bn}放縮為一個等比數列。通過計算，我們從第三項開始通過放縮發現了數列{bn}的項所呈現的規律性，對于本題的證明，這是重大突破。此外，本題從第3項開始放縮，恰當使用了局部放縮。G.波利亞曾說：“先猜，后證——這是大多數的發現之道?！毕炔潞笞C，也是我們常用的數學解題方法和策略。2．2．3并項放縮，再求和證明

例3．由原點O向已知的三次曲線y?x3?3x2?bx引切線，切于不同于點O的點P1(x1,y1)，再由P1引此曲線的切線，切于不同P1的點P2(x2,y2)，如此繼續作下去，??，得到點列{Pn(xn,yn)}（n?N?）。試解答下列問題：

（1）求x1的值；（2）求數列{xn}通項公式；（3）若bn?前n項和，求證：Sn?1。

解：（1）過程略，易得x1?31。（2）過程略，易得xn?1?(?)n（n?N?）。221，Sn是數列{bn}2nxn1（3）∵xn?1?(?)n，2111?n∴bn?n?。n12?(?1)2xn2n[1?(?)n]22n?2n?11?n?1n當n為偶數時，bn?1?bn?n?1 ?nnn?122?2?2?12?12?112n?2n?1?n?1n，n?122?2?1又當n?2時，2n?1?2?1，即2n?1?1?0，于是

2n?2n?111bn?1?bn?n?1n?n?1?n，2222

∴Sn?b1?b2???bn?(b1?b2)?(b3?b4)???(bn?1?bn)

11[1?()n]11111112?(?2)?(3?4)???(n?1?n)?2?1?n?1。

122222221?2當n為奇數時，因為bn?1?0，n?1偶數，所以有 n2xnSn?b1?b2???bn?b1?b2???bn?bn?1

111111?(b1?b2)?(b3?b4)???(bn?bn?1)?(?2)?(3?4)???(n?n?1)

22222211[1?()n?1]12?2?1?n?1?1。

121?2綜上可知，Sn?1。

評析：由于數列{bn}的通項公式的分母中有隨n的奇偶+1與-1交替出現的項，于是單項放縮困難，而采取奇偶項并項放縮，則恰好利用其奇偶項特點，成功放縮。

例4．已知數列{an}和{bn}滿足a1?2，an?1?an(an?1?1)，bn?an?1，Sn是數列{bn}前n項和。

（1）求數列{bn}的通項公式；（2）設Tn?S2n?Sn，求證：Tn?1?Tn；（3）求證：對任意的n?N?，有1?解：（1）過程略，bn?n1?S2n??n。221。（2）證明略。n（3）方法一（數學歸納法），略。

方法二（并項放縮法）：

當n?1時，S2n?1?1； 2

當n?2，n?N?時，S2n?b1?b2???b2n?1?111111111??????????n 234567892 5

1111111111?(?)?(???)???(n?1?n?1???n)23456782?12?221111111111?1??(?)?(???)???(n?n???n)

24488882221111?1??2?2?22?3???2n?1?n

2222111n?1??????1?，2222?1?另一方面，S2n?b1?b2???b2n?1?111111111??????????n 234567892

?1111111111111?1?(?)?(???)?(????)?(n?1?n?1???n)2345678910162?12?22

?1111111111111?1?(?)?(2?2?2?2)?(3?3???3)?(n?1?n?1???n?1)***111??1?2??22?2?23?3???2n?1?n?1 2222211??1?(n?1)??n，22n1綜上可知，對任意的n?N?，有1??S2n??n。

22評析：從待證不等式的特點和項數兩方面產生了并項放縮的想法。并項放縮常常涉及如何并項、怎樣放縮等問題，因此，并項放縮比逐項放縮往往難度更大，要求更高。

2．2．4構造放縮，再求和證明 例5．在數列{an}中，an?11，求證a1?a2???a50?。

(2n?1)(2n?2)4證明：由題設，a1?a2???a50?111。????3?45?6101?102111111設S?，構造T?。顯????????3?45?6101?1022?34?5100?101然S?T。

111111 ???????2?33?44?55?6100?101101?10211111111111?(?)?(?)???(?)?(?)???，***221022∴2S?T?S? 6

故S?11，即a1?a2???a50?。

評析：本題雖然可先裂項，但不便求和，證明受阻。利用對偶式進行構造性放縮后，巧妙實現了裂項求和，證明簡捷明快，賞心悅目。

例6．設函數f(x)?lnx?px?1(p?R)，（1）求f(x)極值點；

（2）當p?0時，若對于任意的x?0，恒有f(x)?0，求p的取值范圍；

ln22ln32lnn22n2?n?1（3）證明：當n?N，n?2時，2?2???2?。

2(n?1)23n解：（1）f(x)的定義域為(0,??)。當p?0時，f?(x)?1 ?p?0，f(x)在其定義域上是增函數，故沒有極值點。

x111?px當p?0時，若x?(0,)，則f?(x)??0；若x?(,??)，則

ppxf?(x)?11?px?0，于是f(x)有極小值點x?。

px11（2）由（1）知，p?0時，f(x)有極小值點f()?ln，由于f(x)在其

pp11定義域上只有一個極值點，因此f(x)的最大值為f()?ln。所以

ppf(x)?0?ln1?0?p?1。p（3）由（2）知，當p?1，x?0時，f(x)?0?lnx?x?1?ln22ln32lnn2111于是2?2???2?(1?2)?(1?2)???(1?2)

23n23nlnx1 ?1?。

xx ?(n?1)?(又當n?N，n?2時，111????)。22223n1111???，于是 2(n?1)nnn?1n 7

11111111111，?????(?)?(?)???(?)??2334nn?12n?12232n2ln22ln32lnn2111∴2?2???2?(n?1)?(2?2???2)

23n23n2n2?n?111 ?(n?1)?(?，)?2(n?1)2n?1ln22ln32lnn22n2?n?1即2?2???2?。

2(n?1)23n評析：導數進入中學數學后，為中學不等式證明提供了一個強大工具。正因為如此，通過構造函數并利用導數證明不等式已成為高考數學試題中一道亮麗的風景線。本題第（2）問實際上已經作出暗示，對比待證不等證式與第（2）問所得結論，證明思路自然生成。

第四篇：放縮法證明數列不等式

放縮法證明數列不等式

基礎知識回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見的數列求和方法和通項公式特點：

① 等差數列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。的一次函數或常值函數）

② 等比數列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。的指數類函數）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數列的每一項裂項之后正負能夠相消，進而在求和后式子中僅剩有限項

（2）與求和相關的不等式的放縮技巧：

① 在數列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數列的通項公式入手

② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮小（應與所證的不等號同方向）

③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數列的通項公式靠攏，常見的是向等比數列與可裂項相消的數列進行靠攏。

④ 若放縮后求和發現放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調：看能否讓數列中的一些項不動，其余項放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進行設計，選擇放縮程度更小的方式再進行嘗試。

（3）放縮構造裂項相消數列與等比數列的技巧：

① 裂項相消：在放縮時，所構造的通項公式要具備“依項同構”的特點，即作差的兩項可視為同一數列的相鄰兩項（或等距離間隔項）

② 等比數列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。常數”的形式，所構造的等比數列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現出放縮的目標，則可從所證不等式的常數入手，常數可視為錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構造出等比數列的首項與公比，進而得出等比數列的通項公式，再與原通項公式進行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數錯誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數列的首項為錯誤！未找到引用源。，公比為錯誤！未找到引用源。，即通項公式為錯誤！未找到引用源。

注：此方法會存在風險，所猜出的等比數列未必能達到放縮效果，所以是否選擇利用等比數列進行放縮，受數列通項公式的結構影響

（4）與數列中的項相關的不等式問題：

① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進行變形

② 在有些關于項的不等式證明中，可向求和問題進行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源?；蝈e誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側均為正數），然后通過“累加”或“累乘”達到一側為錯誤！未找到引用源。，另一側為求和的結果，進而完成證明 應用舉例:

類型一：與前n項和相關的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學高三摸底考試】已知數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。為常數，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。）．

（1）求錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）設錯誤！未找到引用源。，若數列錯誤！未找到引用源。為等比數列，求錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的取值范圍．

例2.記錯誤！未找到引用源。.對數列錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.現設錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數列，且當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。

（1）求數列的通項公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數，若，求證：；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設，求證：.類型

二、與通項運算相關的不等式 例3.設函數錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）．

例4.已知錯誤！未找到引用源。是數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。，有錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。為實數，且錯誤！未找到引用源。.（1）當錯誤！未找到引用源。時，①求數列錯誤！未找到引用源。的通項；

②是否存在這樣的正整數錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成等比數列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當錯誤！未找到引用源。時，設錯誤！未找到引用源。，① 判定錯誤！未找到引用源。是否為等比數列；

②設錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。的取值范圍.方法、規律歸納: 常見的放縮變形：

（1）錯誤！未找到引用源。，（2）錯誤！未找到引用源。

注：對于錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。可推廣為：錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。實戰演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學期期中】已知數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。記數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。

（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。為等比數列，并求其通項錯誤！未找到引用源。；

（2）求錯誤！未找到引用源。；

（3）問是否存在正整數錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立？說明理由.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學期武進區高中數學期中試卷】在數列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數列錯誤！未找到引用源。為等差數列；

⑵ 設錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若當錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。，試求數列錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學期期中考試】已知數列的前項和為，滿足，．數列

滿足（1）求數列（2）若和，且． 的通項公式；，數列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數的取值范圍；

（3）是否存在正整數，使，請說明理由．）成等差數列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，4．已知數列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。，其中，錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．

（1）求數列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）是否存在自然數錯誤！未找到引用源。，使得對于任意錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。，求數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。．

5．【江蘇省啟東中學2018屆高三上學期第一次月考】設數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且滿足錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。為常數．

（1）是否存在數列錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數列；若不存在，說明理由．（2）當錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。．

（3）當錯誤！未找到引用源。時，求證：當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學2018屆高三上學期開學考試】已知兩個無窮數列

分別滿足，其中（1）若數列（2）若數列①若數列②若數列，設數列的前項和分別為的通項公式；，使得，稱數列

.都為遞增數列，求數列滿足：存在唯一的正整數“墜點數列”，求 為“墜點數列”，數列

為“墜點數列”.為“墜點數列”，是否存在正整數，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.7．【江蘇省南京師范大學附屬中學2017屆高三高考模擬一】已知數集錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數集錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。是否具有性質錯誤！未找到引用源。，并說明理由；

（2）求證： 錯誤！未找到引用源。；

（2）若錯誤！未找到引用源。，求錯誤！未找到引用源。的最小值.8．記等差數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。是等差數列；

（2）若 錯誤！未找到引用源。，對任意錯誤！未找到引用源。，均有錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。的等差數列，求使錯誤！未找到引用源。為整數的正整數錯誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯誤！未找到引用源。，求證： 錯誤！未找到引用源。.9．已知數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數列{an}是公差為2的等差數列，求數列{cn}的通項公式；

（2）若存在實數λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數列{an}是等差數列．

10．已知各項不為零的數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。．

（1）若錯誤！未找到引用源。成等比數列，求實數錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。成等差數列，①求數列錯誤！未找到引用源。的通項公式；

②在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數列，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的最大值．

放縮法證明數列不等式

基礎知識回顧:

放縮的技巧與方法：

（1）常見的數列求和方法和通項公式特點：

① 等差數列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。的一次函數或常值函數）

② 等比數列求和公式：錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。的指數類函數）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。等比”的形式

④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數列的每一項裂項之后正負能夠相消，進而在求和后式子中僅剩有限項

（2）與求和相關的不等式的放縮技巧：

① 在數列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數列的通項公式入手

② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮?。☉c所證的不等號同方向）

③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數列的通項公式靠攏，常見的是向等比數列與可裂項相消的數列進行靠攏。

④ 若放縮后求和發現放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調：看能否讓數列中的一些項不動，其余項放縮。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進行設計，選擇放縮程度更小的方式再進行嘗試。

（3）放縮構造裂項相消數列與等比數列的技巧：

① 裂項相消：在放縮時，所構造的通項公式要具備“依項同構”的特點，即作差的兩項可視為同一數列的相鄰兩項（或等距離間隔項）

② 等比數列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。常數”的形式，所構造的等比數列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。，如果題目條件無法體現出放縮的目標，則可從所證不等式的常數入手，常數可視為錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構造出等比數列的首項與公比，進而得出等比數列的通項公式，再與原通項公式進行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。例如常數錯誤！未找到引用源。，即可猜想該等比數列的首項為錯誤！未找到引用源。，公比為錯誤！未找到引用源。，即通項公式為錯誤！未找到引用源。注：此方法會存在風險，所猜出的等比數列未必能達到放縮效果，所以是否選擇利用等比數列進行放縮，受數列通項公式的結構影響

（4）與數列中的項相關的不等式問題：

① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進行變形

② 在有些關于項的不等式證明中，可向求和問題進行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源。或錯誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側均為正數），然后通過“累加”或“累乘”達到一側為錯誤！未找到引用源。，另一側為求和的結果，進而完成證明 應用舉例:

類型一：與前n項和相關的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學高三摸底考試】已知數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。為常數，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。）．

（1）求錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）設錯誤！未找到引用源。，若數列錯誤！未找到引用源。為等比數列，求錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的取值范圍．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。

（2）由（1）知，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，若數列錯誤！未找到引用源。為等比數列，則有錯誤！未找到引用源。，而錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。，解得錯誤！未找到引用源。，再將錯誤！未找到引用源。代入錯誤！未找到引用源。，得錯誤！未找到引用源。，例2.記錯誤！未找到引用源。.對數列錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。的子集錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。，定義錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.現設錯誤！未找到引用源。是公比為3的等比數列，且當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。

（1）求數列的通項公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數，若，求證：；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（3）設，求證：.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）詳見解析（3）詳見解析 【解析】

試題分析：（1）根據及時定義，列出等量關系，解出首項，寫出通項公式；（2）根據子集關系，進行放縮，轉化為等比數列求和；（3）利用等比數列和與項的大小關系，確定所定義和的大小關系：設錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。因此由錯誤！未找到引用源。，因此錯誤！未找到引用源。中最大項必在A中，由（2）得錯誤！未找到引用源。.試題解析：（1）由已知得錯誤！未找到引用源。.于是當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。.又錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。.所以數列錯誤！未找到引用源。的通項公式為錯誤！未找到引用源。.（2）因為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。.因此，錯誤！未找到引用源。.綜合①②③得，錯誤！未找到引用源。.類型

二、與通項運算相關的不等式 例3.設函數錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。）． 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．

故錯誤！未找到引用源。，則有：錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。例4.已知錯誤！未找到引用源。是數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。，有錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。為實數，且錯誤！未找到引用源。.（1）當錯誤！未找到引用源。時，①求數列錯誤！未找到引用源。的通項；

②是否存在這樣的正整數錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成等比數列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當錯誤！未找到引用源。時，設錯誤！未找到引用源。，① 判定錯誤！未找到引用源。是否為等比數列；

②設錯誤！未找到引用源。，若錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。的取值范圍.【答案】（1）①錯誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。時，數列錯誤！未找到引用源。是以錯誤！未找到引用源。為首項，錯誤！未找到引用源。為公比的等比數列，當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，不是等比數列；②錯誤！未找到引用源。．

方法、規律歸納: 常見的放縮變形：

（1）錯誤！未找到引用源。，（2）錯誤！未找到引用源。

注：對于錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。（3）分子分母同加常數：錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源?？赏茝V為：錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。實戰演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學期期中】已知數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。記數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。

（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。為等比數列，并求其通項錯誤！未找到引用源。；

（2）求錯誤！未找到引用源。；

（3）問是否存在正整數錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立？說明理由.【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）當錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見解析

（3）假設存在正整數錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立，因為錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，所以只要錯誤！未找到引用源。

即只要滿足 ①：錯誤！未找到引用源。，和②：錯誤！未找到引用源。，對于①只要錯誤！未找到引用源。就可以； 對于②，當錯誤！未找到引用源。為奇數時，滿足錯誤！未找到引用源。，不成立，當錯誤！未找到引用源。為偶數時，滿足錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。令錯誤！未找到引用源。，因為錯誤！未找到引用源。

即錯誤！未找到引用源。，且當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，所以當錯誤！未找到引用源。為偶數時，②式成立，即當錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。成立.2．【江蘇省常州市2018屆高三上學期武進區高中數學期中試卷】在數列錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。．

⑴ 求證：數列錯誤！未找到引用源。為等差數列；

⑵ 設錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，若當錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的取值范圍；

⑶ 設數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。，試求數列錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。

要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數恒成立，只要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為偶數恒成立，即使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。為正偶數恒成立，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，故實數錯誤！未找到引用源。的取值范圍是錯誤！未找到引用源。； ⑶由⑴得錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，設錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，因此數列錯誤！未找到引用源。的最大值為錯誤！未找到引用源。．

【點睛】本題考查數列與不等式的綜合應用，涉及等差數列的判定與證明，其中證明（1）的關鍵是分析得到錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。的關系式．

3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學期期中考試】已知數列滿足，且

． 的前項和為，滿足，．數列（1）求數列（2）若和的通項公式；，數列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數的取值范圍；

（3）是否存在正整數，使，請說明理由．

【答案】（1）（2））成等差數列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，（3）不存在

（2）由（1）得于是所以，兩式相減得所以由（1）得因為對 即所以恒成立，都有，，恒成立，記所以因為從而數列于是，為遞增數列，所以當．

（），使

成等差數列，則，時取最小值，（3）假設存在正整數即，若為偶數，則若為奇數，設于是當時，為奇數，而為偶數，上式不成立.，則，與

矛盾；，即，此時

4．已知數列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。，其中，錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．

（1）求數列錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的通項公式；

（2）是否存在自然數錯誤！未找到引用源。，使得對于任意錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。的最小值；

（3）若數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。，求數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。；（2）存在，錯誤！未找到引用源。；（3）錯誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：

（1）根據題設條件用累乘法能夠求出數列{an}的通項公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項為2，公比為2的等比數列，由此能求出{bn}的通項公式．（2）bn=2n．假設存在自然數m，滿足條件，先求出錯誤！未找到引用源。，將問題轉化成錯誤！未找到引用源。可求得錯誤！未找到引用源。的取值范圍；（3）分n是奇數、n是偶數兩種情況求出Tn，然后寫成分段函數的形式。

試題解析：（1）由錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。． 又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.當錯誤！未找到引用源。時，上式成立，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。是首項為2，公比為2的等比數列，故錯誤！未找到引用源。.（3）當錯誤！未找到引用源。為奇數時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。； 當錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.因此錯誤！未找到引用源。．

點睛：數列求和時，要根據數列項的特點選擇不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組求和等。

5．【江蘇省啟東中學2018屆高三上學期第一次月考】設數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且滿足錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。為常數．

（1）是否存在數列錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數列；若不存在，說明理由．

（2）當錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。．

（3）當錯誤！未找到引用源。時，求證：當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。． 【答案】（1）不存在，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析

當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，兩式相減得錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，綜上，錯誤！未找到引用源。．

6．【江蘇省泰州中學2018屆高三上學期開學考試】已知兩個無窮數列的前項和分別為（1）若數列.分別滿足，其中，設數列都為遞增數列，求數列的通項公式；（2）若數列①若數列②若數列滿足：存在唯一的正整數“墜點數列”，求 為“墜點數列”，數列，使得，稱數列為“墜點數列”.為“墜點數列”，是否存在正整數，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說明理由.【答案】（1）

.（2）①，② 6.7．【江蘇省南京師范大學附屬中學2017屆高三高考模擬一】已知數集錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數集錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。是否具有性質錯誤！未找到引用源。，并說明理由；

（2）求證： 錯誤！未找到引用源。；

（2）若錯誤！未找到引用源。，求錯誤！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）見解析（3）錯誤！未找到引用源。.（2）因為集合錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。，所以對錯誤！未找到引用源。而言，存在錯誤！未找到引用源。，使得錯誤！未找到引用源。，又因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，同理可得錯誤！未找到引用源。，將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。.（3）由（2）可知錯誤！未找到引用源。，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，構成數集錯誤！未找到引用源。，經檢驗錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。，故錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。.點睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。求解第一問時，直接運用題設條件中所提供的條件信息進行驗證即可；解答第二問時，先運用題設條件中定義的信息可得錯誤！未找到引用源。，同理可得錯誤！未找到引用源。，再將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。即可獲證錯誤！未找到引用源。；證明第三問時，充分借助（2）的結論可知錯誤！未找到引用源。，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源?？傻缅e誤！未找到引用源。，因此構成數集錯誤！未找到引用源。，經檢驗錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。，進而求出錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。.8．記等差數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。是等差數列；

（2）若 錯誤！未找到引用源。，對任意錯誤！未找到引用源。，均有錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。的等差數列，求使錯誤！未找到引用源。為整數的正整數錯誤！未找到引用源。的取值集合；

（3）記錯誤！未找到引用源。，求證： 錯誤！未找到引用源。.【答案】（1）見解析（2）錯誤！未找到引用源。（3）見解析

解：（1）設等差數列錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。，從而錯誤！未找到引用源。，所以當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，即數列錯誤！未找到引用源。是等差數列.（2）因為的任意的錯誤！未找到引用源。都是公差為錯誤！未找到引用源。，的等差數列，所以錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。，的等差數列，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，顯然，錯誤！未找到引用源。滿足條件，當錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。不是整數，綜上所述，正整數錯誤！未找到引用源。的取值集合為錯誤！未找到引用源。.（3）設等差數列錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，即數列錯誤！未找到引用源。是公比大于錯誤！未找到引用源。，首項大于錯誤！未找到引用源。的等比數列，記公比為錯誤！未找到引用源。.以下證明： 錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。為正整數，且錯誤！未找到引用源。，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，當錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。為減函數，錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，綜上，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。

錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。.9．已知數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}，{cn}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。，(n＋2)cn＝錯誤！未找到引用源。，其中n∈N*．

（1）若數列{an}是公差為2的等差數列，求數列{cn}的通項公式；

（2）若存在實數λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求證：數列{an}是等差數列． 【答案】（1）cn＝1．（2）見解析.10．已知各項不為零的數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。．

（1）若錯誤！未找到引用源。成等比數列，求實數錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。成等差數列，①求數列錯誤！未找到引用源。的通項公式； ②在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數列，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的最大值．

【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。

（3）錯誤！未找到引用源。，在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數，組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數列，故有錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，

第五篇：放縮法證明數列不等式

放縮法證明不等式

1、設數列?an?的前n項的和Sn?

43an?

13?

2n

n?

1?

3(n?1,2,3,?)

n

（Ⅰ）求首項a1與通項an；（Ⅱ）設Tn?

an?4?2

n

n

2Sn

(n?1,2,3,?)，證明：?Ti?

i?1

解：易求

Sn?Tn?

（其中n為正整數）

n

n

432

n

an??

n

13?

?2

n?1

??

?

4n

?23

n

??

?2

n?1

?

?

?2

n?1

?1??2?1?

n

Sn

?2

n?1

?1??2?1?

?

1?1?

??n?n?1

?

2?2?12?1?

所以：

?

i?1

Ti?

313?1?

??1?n?1??2?2?12?1?22、求證：（1）

1?1?法1：數歸（兩邊都可以）

法2：放縮裂項 法3：定積分放縮（2）

22??

?n?N)

?

???

1n1n

?

31n?

11n

法1：放縮一：

?

n(n?1)

??

(n?2)

Sn?

??

?

??1n

1n

?(1336

?

?

?

?

52)?（15

??

1653

?

?

???

1n?1

?

1n)

＝1?

1336

121400?

??1??1

121400

?1?

23893600(1

?1?

24003600

.放縮二：

1n

1n?1

?

(n?1)(n?1)

?

2n?1

?

n?1),(n?2)

Sn??54

?

?

??

1n

?（11

?

2)?

111111111(?????????)22435n?2nn?1n?1

?

1111151115

(???)??(?)?.223nn?142233

放縮三：

1n

?

1n?

?(n?

112)(n?

12)

?（1n?

?

1n?

12)?2（12n?1

?

12n?1),(n?1)

Sn?

?

?

??

1n

?1?2（13

?

?

?

???

12n?1

?

12n?1)?1?2（13

?

12n?1)?

法2：數歸——加強命題：常用的放縮公式：

1n(n?1)

2n?

n?1?

1n

???

1n

?

?

1n

?

1n(n?1)1n

；n?

n?1?2n?n?

n?1；

???n

n?

2n?1；

ab

?

a?mb?m

(b?a?0,m?0)

1k

?

k(k?1)(k?1)?

1n?11k(k?1)

?

?1?11*

?(k?2,k?N)??

2?k(k?1)k(k?1)?

1n?k?

n?kn1k!?

?

1n?2

?...?

?

kn?11

(k?3)

(k?2)

；2?12

n?1n

k!k(k?1)(k?2)

n

an?

例3：已知：

?1

(n?N

?)，求證：?ai?

i?1

n2

?

法1：均值不等式：即證

?

?

715n2

?...?

2?12

n?1

n

?1

?

?

n2

也即：

?

?

715

?...?

2?12

n

n?1

n

?1

?

而

:

?

?

715

?...?

2?12

n?1

?1

?n

???

法2：放縮后裂項求和

an?

2?1212

n?1n

?1?（?

2?12(2?1

?

n

n)1

?

?

?

n?1

=

?1

?

?

2?1(2

n?1

n

?1)(2?1)

n

=

?

2?1

n

n?1

?1)

法3：數歸，但是直接去證是不行的，要轉化為一個加強命題

4．定義數列如下：a1?2,an?1?an?an?1,n?N

?

證明：（1）對于n?N恒有an?1?an成立。

2?

?

（2）當n?2且n?N，有an?1?anan?1?a2a1?1成立。

（3）1?

2006

?

1a1

?

1a2

???

1a2006

?1。

解：（1）用數學歸納法易證。

（2）由an?1?an?an?1得：an?1?1?an(an?1)?an?1?an?1(an?1?1)……

a2?1?a1(a1?1)以上各式兩邊分別相乘得：

an?1?1?anan?1?a2a1(a1?1)，又a1?2?an?1?anan?1?a2a1?1（3）要證不等式1?

2006

?

1a1

?

1a2

???

1a2006

?1，可先設法求和：

1a1

?

1a2

???

a2006，再進行適當的放縮。

?an?1?1?an(an?1)

?

1an?1?11an1a1

?

1an?1

?

1an

??

1an?11a2

?

1an?1?11a2006

?????

?（1a1?11

?

1a2?11)?（1a2?1

?

1a3?1)???（1a2006?1

?

1a2007?1)

?

a1?1

?

a2007?11

?1?

a1a2?a2006

?1

又a1a2?a2006?a1

2006

?2

2006

?1?

1a1a2?a2006

?1?

2006

?原不等式得證。

5．已知數列?an?中an?

i

i

n

nn

2?1，求證：?ai(ai?1)?3.i?1

方法一：ai(ai?1)?

n

i

2?12?1

?

i

i

i

(2?1)(2?2)

?

i

i?1

i?1

(2?1)(2?1)

?

i?1

?1

?

12?1

i

.?

?

i?1

ai(ai?1)?

(2?1)

?（12?1

?

12?1)?（12?1

?

12?1)???（12

n?1

?1

?

12?1

n)?3?

12?1

n

?3.方法二：

ai(ai?1)?

i

i

(2?1)

?

i

12?2?

i

?

12?2

i

?

122?

i

?

2?2

i

i?1

.(i?2)

n

?

?

i?1

ai(ai?1)?2?

?

???

n?1

?2?(1?

12)?3?n?1

n?1

?3.n

法3：數歸證?

?

i?1

ai(ai?1)?3?

12?1

n

?3.（即轉化為證明加強命題）

6、已知函數f?x??ln?1?x??x，數列?an?滿足：

a1?

2,ln2?lnan?1?an?1an?f

?an?1an?．

（1）求證：ln?1?x??x；（2）求數列?an?的通項公式；

（3）求證不等式：a1?a2???an?n?ln2?ln?n?2?． 解：（1）f?x??ln?1?x??x，f'?x??

11?x

?1??

x1?x，當?1?x?0時，f'?x??0，即y?f(x)是單調遞增函數；當x?0時，f'?x??0，即y?f(x)是單

調遞減函數．

所以f'?0??0，即x?0是極大值點，也是最大值點

f?x??ln?1?x??x?f?0??0?ln?1?x??x，當x?0時取到等號．（2）法1：數學歸納法（先猜想，再證明）

法2：由ln2?lnan?1?an?1an?f?an?1an?得2an?1?an?1an?1，an?1?

12?an，an?1?1?

12?an

?1?

an?12?an，1an?1?

1?

1an?1

?1，即數列?

?

?1

??2，公差為?1，是等差數列，首項為?

a?11?an?1?

nn?1

∴

an?1

??n?1?an?

．

（3）法1：

a1?a2???an?1?

11?1

?1?

12?1

???1?

11??1

?n???????

23n?1n?1??

又∵x?0時，有x?ln?1?x?，令x?

1n?1?1?2

?0，則

1?n?2?

?ln?1??ln ?n?1n?1?n?1?1

∴n??

?

3???

345n?1n?2???

?n?ln?ln?ln???ln?ln??? n?1?234nn?1??n?

2?n?2

?n?l?n??

n?1?2

?n??ln?

?

?343

???ln?2

n? ?nl?

∴a1?a2???an?n?ln2?ln?n?2? ． 法2：積分法要證原命題，即證：?

?1?2

?

??ln(n?2)?ln2 n?1?1

????

11??1???????3n?1??2

?1?2

n?2

?

1x

dx?lnx

n?22

法3：數歸證明：?7.1、（1）求證：2

n

?

???

?

??ln(n?2)?ln2 n?1?

?

?2n?1(n?2,n?N)

nn?1n01

法1：2?Cn?Cn?...?Cn?Cn；

法2：數學歸納法 法3：函數法（求導）

8.若n?N，證明：()+()+…+（n

n

*

n

n

n?1n)+（n

nn)?

n

ee?1

提示:借助e?1?x證明

x