第一篇：第 3講 不等式問題的題型與方法

高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)第3講

不等式問題的題型與方法

一、考試內(nèi)容

不等式，不等式的基本性質(zhì)，不等式的證明，不等式的解法，含絕對值不等式

二、考試要求

1．理解不等式的性質(zhì)及其證明。

2．掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應(yīng)用。

3．掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。4．掌握簡單不等式的解法。

5．理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。

三、復(fù)習(xí)目標(biāo)

1．在熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式的解法基礎(chǔ)上，掌握其它的一些簡單不等式的解法．通過不等式解法的復(fù)習(xí)，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力以及計算能力；

2．掌握解不等式的基本思路，即將分式不等式、絕對值不等式等不等式，化歸為整式不等式(組)，會用分類、換元、數(shù)形結(jié)合的方法解不等式；

3．通過復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)，使學(xué)生較靈活的運用常規(guī)方法(即通性通法)證明不等式的有關(guān)問題；

4．通過證明不等式的過程，培養(yǎng)自覺運用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基本數(shù)學(xué)思想方法證明不等式的能力；

5．能較靈活的應(yīng)用不等式的基本知識、基本方法，解決有關(guān)不等式的問題．

6．通過不等式的基本知識、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力．在應(yīng)用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識．

四、雙基透視

1．解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質(zhì)則是不等式變形的理論依據(jù)，方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解法密切相關(guān)，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，互相轉(zhuǎn)化．在解不等式中，換元法和圖解法是常用的技巧之一．通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關(guān)系，對含有參數(shù)的不等式，運用圖解法可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)明晰． 2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎(chǔ)，利用不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想，分類、換元、數(shù)形結(jié)合是解不等式的常用方法．方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān)，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化和相互變用．

3．在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關(guān)系，對含有參數(shù)的不等式，運用圖解法，可以使分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰．通過復(fù)習(xí)，感 悟到不等式的核心問題是不等式的同解變形，能否正確的得到不等式的解集，不等式同解變形的理論起了重要的作用．

4．比較法是不等式證明中最基本、也是最常用的方法，比較法的一般步驟是：作差(商)→變形→判斷符號(值)．

5．證明不等式的方法靈活多樣，內(nèi)容豐富、技巧性較強，這對發(fā)展分析綜合能力、正逆思維等，將會起到很好的促進作用．在證明不等式前，要依據(jù)題設(shè)和待證不等式的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法．通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經(jīng)過一系列的運算而導(dǎo)出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因?qū)Ч保瑸闇贤?lián)系的途徑，證明時往往聯(lián)合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達到欲證的目的．

6．證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點．

7．不等式這部分知識，滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用．因此不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，這對同學(xué)們將所學(xué)數(shù)學(xué)各部分知識融會貫通，起到了很好的促進作用．在解決問題時，要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解或證明．不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學(xué)數(shù)學(xué)之中．諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明。8．不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性．這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函數(shù)式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函數(shù)的最值時，要特別注意“正數(shù)、定值和相等”三個條件缺一不可，有時需要適當(dāng)拼湊，使之符合這三個條件．利用不等式解應(yīng)用題的基本步驟：10審題，20建立不等式模型，30解數(shù)學(xué)問題，40作答。

五、注意事項

1.解不等式的基本思想是轉(zhuǎn)化、化歸，一般都轉(zhuǎn)化為最簡單的一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來求解。

2.解含參數(shù)不等式時，要特別注意數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，分類討論思想的錄活運用。

3．不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握常規(guī)證法的基礎(chǔ)上，選用一些特殊技巧。如運用放縮法證明不等式時要注意調(diào)整放縮的度。

4．根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特點，執(zhí)果索因，往往是有效的思維方法。

六、范例分析

b)∈M，且對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a，則a=____．

分析：讀懂并能揭示問題中的數(shù)學(xué)實質(zhì)，將是解決該問題的突破口．怎樣理解“對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a”？M中的元素又有什么特點？ 解：依題可知，本題等價于求函數(shù)x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)

(2)當(dāng)1≤y≤3時，所以當(dāng)y=1時，xmin=4．

說明：題設(shè)條件中出現(xiàn)集合的形式，因此要認(rèn)清集合元素的本質(zhì)屬性，然后結(jié)合條件，揭示其數(shù)學(xué)實質(zhì)．即求集合M中的元素滿足關(guān)系式

2a2?a?0? 例2．解關(guān)于x的不等式： xx?a?9分析：本例主要復(fù)習(xí)含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關(guān)鍵不是對參數(shù)a進行討論，而是去絕對值時必須對末知數(shù)進行討論，得到兩個不等式組，最后對兩個不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。

?x?a?x?a解：當(dāng)x?a時，不等式可轉(zhuǎn)化為 即?2?22?9x?x?a??2a?9x?9ax?2a?03?17?a?x?a

b?x?a?x?a 當(dāng)x?a時不等式可化為即?2?22?ax(a?x)?2a?9x?9ax?2a?0a2a?x?或?x?a33?2a3?17?a故不等式的解集為(??,???,a?。

336??例3． 己知三個不等式：①2x?4?5?x ②

x?2?

1③2x2?mx?1?0 2x?3x?2(1)若同時滿足①、②的x值也滿足③，求m的取值范圍；

(2)若滿足的③x值至少滿足①和②中的一個，求m的取值范圍。

分析：本例主要綜合復(fù)習(xí)整式、分式不等式和含絕對值不等的解法，以及數(shù)形結(jié)合思想，解本題的關(guān)鍵弄清同時滿足①、②的x值的滿足③的充要條件是：③對應(yīng)的方程的兩根分別在???,0?和?3,??)內(nèi)。不等式和與之對應(yīng)的方程及函數(shù)圖象有著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系，在解決問題的過程中，要適時地聯(lián)系它們之間的內(nèi)在關(guān)系。解：記①的解集為A，②的解集為B，③的解集為C。解①得A=（-1，3）；解②得B=?0,1)?(2,4?,?A?B??0,1)?(2,3)

（1）因同時滿足①、②的x值也滿足③，A?B?C

設(shè)f(x)?2x2?mx?1，由f(x)的圖象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3時，?f(0)?0??1?017即??m??

3?f(3)?0?3m?17?0（2）因滿足③的x值至少滿足①和②中的一個，?C?A?B,而A?B?(?1,4?因 此C?(?1,4??方程2x2?mx?1?0小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而 即可滿足A?B?????f(?1)?1?m?0?31?f(4)?4m?31?0,解之得??m?1? 4?m??1???4?4?說明：同時滿足①②的x值滿足③的充要條件是：③對應(yīng)的方程2x+mx-1=0的兩根分別在(-∞，0)和[3，+∞)內(nèi)，因此有f(0)＜0且f(3)≤0，否則不能對A∩B中的所有x值滿足條件．不等式和與之對應(yīng)的方程及圖象是有著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系的，在解決問題的過程中，要適時地聯(lián)系它們之間的內(nèi)在關(guān)系．

例4.已知對于自然數(shù)a，存在一個以a為首項系數(shù)的整系數(shù)二次三項式，它有兩個小于1的正根，求證：a≥5．

分析：回憶二次函數(shù)的幾種特殊形式．設(shè)f(x)=ax+bx+c(a≠0)．①

頂點式．f(x)=a(x-x0)+f(x0)(a≠0)．這里(x0，f(x0))是二次函數(shù)的頂點，x0=?))、(x2，f(x2))、(x3，f(x3))是二次函數(shù)圖象上的不同三點，則系數(shù)a，b，c可由 222

證明：設(shè)二次三項式為：f(x)=a(x-x1)(x-x2)，a∈N． 依題意知：0＜x1＜1，0＜x2＜1，且x1≠x2．于是有

f(0)＞0，f(1)＞0．

又f(x)=ax-a(x1+x2)x+ax1x2為整系數(shù)二次三項式，所以f(0)=ax1x2、f(1)=a·(1-x1)(1-x2)為正整數(shù)．故f(0)≥1，f(1)≥1． 2從而

f(0)·f(1)≥1．

① 另一方面，且由x1≠x2知等號不同時成立，所以

由①、②得，a2＞16．又a∈N，所以a≥5．

說明：二次函數(shù)是一類被廣泛應(yīng)用的函數(shù)，用它構(gòu)造的不等式證明問題，往往比較靈活．根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)的表達形式，是解決這類問題的關(guān)鍵．

例5.設(shè)等差數(shù)列{an}的首項a1＞0且Sm=Sn(m≠n)．問：它的前多少項的和最大？ 分析:要求前n項和的最大值，首先要分析此數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列． 解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由Sm=Sn得

ak≥0，且ak+1＜0．

(k∈N)．

說明：諸多數(shù)學(xué)問題可歸結(jié)為解某一不等式(組)．正確列出不等式(組)，并分析其解在具體問題的意義，是得到合理結(jié)論的關(guān)鍵．

例6．若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過原點，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范圍． 分析：要求f(-2)的取值范圍，只需找到含人f(-2)的不等式(組)．由于y=f(x)是二次函數(shù)，所以應(yīng)先將f(x)的表達形式寫出來．即可求得f(-2)的表達式，然后依題設(shè)條件列出含有f(-2)的不等式(組)，即可求解．

解：因為y=f(x)的圖象經(jīng)過原點，所以可設(shè)y=f(x)=ax2+bx．于是

解法一(利用基本不等式的性質(zhì))不等式組(Ⅰ)變形得

(Ⅰ)所以f(-2)的取值范圍是[6，10]． 解法二(數(shù)形結(jié)合)

建立直角坐標(biāo)系aob，作出不等式組(Ⅰ)所表示的區(qū)域，如圖6中的陰影部分．因為f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系．如圖6，當(dāng)直線4a-2b-f(-2)=0過點A(2，1)，B(3，1)時，分別取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范圍是：6≤f(-2)≤10．

解法三(利用方程的思想)

又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而

1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，① 所以

3≤3f(-1)≤6．

② ①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．

說明：(1)在解不等式時，要求作同解變形．要避免出現(xiàn)以下一種錯解：

2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．

(2)對這類問題的求解關(guān)鍵一步是，找到f(-2)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，然后依其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征，揭示其代數(shù)的、幾何的本質(zhì)，利用不等式的基本性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學(xué)思想方法，從不同角度去解決同一問題．若長期這樣思考問題，數(shù)學(xué)的素養(yǎng)一定會迅速提高．

例7．(2002 江蘇)己知a?0,函數(shù)f(x)?ax?bx2，（1）當(dāng)b?0時，若對任意x?R都有f?x??1,證明：a?2b;

時，證明：對任意x?[0,1]，|f(x)|?1的充要條件是b?1?a?2b；（2）當(dāng)b?1時，（3）當(dāng)0?b?1討論：對任意x?[0,1]，|f(x)|?1的充要條件。

a2a2)?證明：（1）依題意，對任意x?R，都有f(x)?1.?f(x)??b(x? 2b4baa2?f()??1,?a?0,b?0?a?2b.2b4b（2）充分性：?b?1,a?b?1,對任意x??0,1?,可推出:ax?bx2?b(x?x2)?x

??x??1,即ax?bx2??1;又?b?1,a?2b,對任意x??0,1?,可知

11ax?bx2?2bx?bx2?(2bx?bx2)max?2b??b?()2?1,即ax?bx2?1bb??1?f(x)?1

必要性：對任意x??0,1?,f(x)?1,?f(x)??1,?f(1)??1

1?1?即a?b??1?a?b?1;又?b?1?0??1,由f?x??1知f???1b?b?即a?1?1,?a?2b,故b?1?a?2b b2綜上,對任意x??0,1?,f(x)?1的充要條件是b?1?a?2b

（3）?a?0,0?b?1時,對任意x??0,1?,f(x)?ax?bx即f(x)??1;又由f(x)?1知f(1)?1,即a?b?1,即a?b?1

??b??1

b?12(b?1)2)? 而當(dāng)a?b?1時,f(x)?ax?bx?(b?1)x?bx??b(x? 2b4bb?1?0?b?1,??12b?在?0,1?上,y?(b?1)x?bx2是增函數(shù),故在x?1時取得最大值1?f(x)?1

22?當(dāng)a?0,0?b?1時,對任意x??0,1?,f(x)?1的充要條件是a?b?1

例8．若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求證a+b≤2，ab≤1．

分析：由條件a3+b3=2及待證的結(jié)論a+b≤2的結(jié)構(gòu)入手，聯(lián)想它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，不妨用作差比較法或均值不等式或構(gòu)造方程等等方法，架起溝通二者的“橋梁”． 證法一

(作差比較法)因為a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以

(a＋b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6 =3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0，即

(a+b)3≤23．

證法二

(平均值不等式—綜合法)因為a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以

所以a+b≤2，ab≤1．

說明：充分發(fā)揮“1”的作用，使其證明路徑顯得格外簡捷、漂亮． 證法三

(構(gòu)造方程)設(shè)a，b為方程x2-mx+n=0的兩根．則

因為a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0且Δ=m2-4n≥0．①

因此2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m[m2-3n]，所以

所以a+b≤2．

由2≥m得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1．所以 ab≤1．

說明：認(rèn)真觀察不等式的結(jié)構(gòu)，從中發(fā)現(xiàn)與已學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，就能較順利地找到解決問題的切入點． 證法四

(恰當(dāng)?shù)呐錅?因為a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以

2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)，于是有6≥3ab(a+b)，從而

8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b≤2．(以下略)

即a+b≤2．(以下略)證法六

(反證法)假設(shè)a+b＞2，則

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]＞2(22-3ab)．

因為a3+b3=2，所以2＞2(4-3ab)，因此ab＞1．

① 另一方面，2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)·ab＞2ab，所以ab＜1．

② 于是①與②矛盾，故a+b≤2．(以下略)說明：此題用了六種不同的方法證明，這幾種證法都是證明不等式的常用方法．

例9．設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=-x，均不相

分析：因為x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，則最小值由頂點確定，故設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(x0)． 證明：由題意知，a≠0．設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，則又二次方程ax2+bx+c=±x無實根，故

Δ1=(b+1)2-4ac＜0，Δ2=(b-1)2-4ac＜0．

所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即

b2-4ac＜-1，所以|b2-4ac|＞1．

說明：從上述幾個例子可以看出，在證明與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題時，如果針對題設(shè)條件，合理采取二次函數(shù)的不同形式，那么我們就找到了一種有效的證明途徑．

例10．（2002理）某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同。為了保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？

解：設(shè)2001年末的汽車保有量為a1，以后每年末的汽車保有量依次為a2,a3....，每年新增汽車x萬輛。

由題意得an?1?0.94an?x即an?1?

xx?0.94(an?)0.060.06xx)0.94n?1?0.060.0630令an?60,解得x?(30?)?0.06n?11?0.94上式右端是關(guān)于n的減函數(shù),且當(dāng)n??時,上式趨于3.6an?(30?故要對一切自然數(shù)n滿足an?60,應(yīng)有x?3.6,即每年新增汽車不應(yīng)超過3.6萬輛

例11．已知奇函數(shù)f(x)在（??，0）?（0，??）上有定義，在（0，??）上是增函數(shù)，?f(1)?0,又知函數(shù)g(?)?sin2??mcos??2m,??[0,],集合

2M?m恒有g(shù)(?)?0,N?m恒有f(g(?))?0,求M?N ????分析：這是一道比較綜合的問題，考查很多函數(shù)知識，通過恰當(dāng)換元，使問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題。

解?奇數(shù)函數(shù)f(x)在（0，??）上是增函數(shù)，?f（x)在（??，0）上也是增函數(shù)。?g(?)?0?g(?)?0又由f(1)?0得f(?1)??f(1)?0?滿足?的條件是??f(g(?)?0?f(?1)?g(?)??1 即g(?)??（1??（0，]），即sin2??mcos??2m??1,2也即?cos2??mcor??2m?2?0? 令t?cos?,則t?[0,1],又設(shè)?（t)??t2?mt?2m?2,0?t?1

1]內(nèi)的最大值小于零

要使?(t)?0,必須使?(t)在[0，?m?0m01 當(dāng)?0即m?0時，?(t)max??(0)??2m?2,解不等式組知m?? ??2m?2?02?mm2?8m?802當(dāng)0??1即0?m?2時,?(t)max?,24 ?0?m?2?2解不等式組?m?8m?8?0得4?22?m?2?4??m?2m03當(dāng)?1即m?2時，?(t)max??m?1,解不等式組?

2??m?1?0得m?2綜上：M ??N?mm?4?22??

例12．如圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀。

（1）若最大拱高h為6米，則隧道設(shè)計的拱寬l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧道的土方工程最小？

?lh,柱體體積為：底面積乘4以高，2?1.414，7?2.646本題結(jié)果均精確到0.1（半個橢圓的面積公式為s=米）

分析：本題為2003年上海高考題，考查運用幾何、不等式等解決應(yīng)用題的能力及運算能力。解：1)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則P（11，4.5）

x2y2橢圓方程為：2?2?1

ab將b=h=6與點P坐標(biāo)代入橢圓方程得

447887,此時l?2a??33.3故隧道拱寬約為33.3米 77x2y21124.522)由橢圓方程2?2?1得2?2?1

abab1124.522?11?4.5?2?2?,?ab?99abab??ab99?1124.521?s?lh??,當(dāng)s最小時有2?2?

422ab292?a?112,b?此時l?2a?31.1,h?b?6.42a?故當(dāng)拱高約為6.4米,拱寬約為31.1米時,土方工程量最小.例13．已知n∈N，n＞1．求證

分析:雖然待證不等式是關(guān)于自然數(shù)的命題，但不一定選用數(shù)學(xué)歸納法，觀其“形”，它具有較好規(guī)律，因此不妨采用構(gòu)造數(shù)列的方法進行解．

則

說明：因為數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以因問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，利用函數(shù)的思想解決．

x2?2x?2例14．已知函數(shù)f(x)?

x?1?f?x?1??n?fxn?1?2n?2.(2)設(shè)x是正實數(shù)，求證：??

分析：本例主要復(fù)習(xí)函數(shù)、不等式的基礎(chǔ)知識，絕對值不等式及函數(shù)不等式的證明技巧。基本思路先將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，利用絕對值不等式的性質(zhì)及函數(shù)的性質(zhì)。證明（1）再利用二項展開式及基本不等式的證明（2）。(1)設(shè)〈0x?1,0?t?1,求證：t?x?t?x?f?tx?1?(x?1)2?11?f(tx?1)?tx? 證明：（1）?f(x)?x?1tx111?f(tx?1)?tx??tx??2tx??2,當(dāng)且僅當(dāng)tx?1時，上式取等號。

txtxtx?0?x?1,0?t?1?tx?1,?f(tx?1)?2

s?(t?x?t?x?2(t2?x2)?2t2?x2?(t?x?t?x)2?2(t2?x2)?2t2?x2 2當(dāng)t?x時,s?4t2?4;當(dāng)t?x時s?4x2?4

?t?x?t?x?2?f(tx?1)即t?x?t?x?f(tx?1)

（2）n?1時，結(jié)論顯然成立

當(dāng)n?2時，?f(x?1)?n?f(xn?1)?(x?1)n?(xn?x

111n?112n?2)?Cx??Cx??.....nnxnxx212

xn?41?1111?2n?1??Cn(xn?2?n?2)?Cn(xn?4?n?4)?....?Cn(xn?2?n?2)? 2?xxx?n?1112n?112?2?(Cn?Cn?...?Cn)?Cn?Cn?...?Cn?2n?2 2?Cnn?2x2?1xn?2?Cnn?1x?1xn?1?Cnxn?2?Cnxn?4?......?Cn12n?2?1?Cnn?1?1xn?2

??

例15．（2001年全國理）己知i,m,n是正整數(shù)，且1?i?m?n（1）證明：niAm?miAn（2）證明：?1?m?n??1?n? miiAmm?1m?2m?i?1證明：（1）對于1?i?m,有Am?m.(m?1)......(m?i?1),mi???......mmmmmiAnnn?1n?2n?i?1同理i???......由于m?n,對整數(shù)k?1,2,......,i?1,有

nnnnniiin?km?kAnAmi?,?i?i即miAn?niAm nmnmii（2）由二項式定理有(1?m)?iin?mCii?0inin,(1?n)??niCm,由(1)知miAn?niAm

miiii?0mAAiii(1?i?m?n),而Cn?n,Cm?m?micn?niCm(1?i?m?n)

i!i!因此?mCn??niCm,又moCn?noCm?1,mCn?nCm?mn,miCn?0 iiioo11ii?2i?2niimii?0i?0mm(m?i?n)??mCn??niCm即(1?m)n?(1?n)m。

七、強化訓(xùn)練

1．已知非負(fù)實數(shù)x，y滿足2x?3y?8?0且3x?2y?7?0，則x?y的最大值是（）

A．78

B．

C．

2D． 3 33x2．已知命題p：函數(shù)y?log0.5(x2?2x?a)的值域為R，命題q：函數(shù)y??(5?2a)

是減函數(shù)。若p或q為真命題，p且q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是

（）

A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)<2 C．1

(1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)． 5． 解關(guān)于x的不等式1?a2x?a?ax(a?0且a?1)6．（2002北京文）數(shù)列xn由下列條件確定：x1?a?0,xn?1?（1）證明：對于n?2,總有xn?2??1?a???? x?,n?Nn??2?xn?a,（2）證明：對于n?2,總有xn?xn?1．

7．設(shè)P=(log2x)+(t-2)log2x-t+1，若t在區(qū)間[-2，2]上變動時，P恒為正值，試求x的變化范圍．

8．已知數(shù)列?an??bn?中，的通項為an,前n項和為sn,且an是sn與2的等差中項，數(shù)列b1=1，點P（bn,bn+1）在直線x-y+2=0上。Ⅰ）求數(shù)列?an??、bn?的通項公式an,bn Ⅱ）設(shè)?bn?的前n項和為Bn, 試比較

111??...?與2的大小。B1B2BnⅢ）設(shè)Tn=bb1b2??...?n,若對一切正整數(shù)n,Tn?c(c?Z)恒成立,求c的最小值 a1a2an

八、參考答案

1．解：畫出圖象，由線性規(guī)劃知識可得，選D 2．解：命題p為真時，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實數(shù)，故二次函數(shù)x?2x?a的判別式??4?4a?0，從而a?1；命題q為真時，5?2a?1?a?2。

若p或q為真命題，p且q為假命題，故p和q中只有一個是真命題，一個是假命題。

若p為真，q為假時，無解；若p為假，q為真時，結(jié)果為1

（1）當(dāng)a??1時，由圖1知不等式的解集為xx?a或?1?x?

3（2）當(dāng)?1?a?3時，由圖2知不等式的解集為xx??1或a?x?3

2???? 14（3）當(dāng)a?3時，由圖3知不等式的解集為xx??1或3?x?a

4．分析：方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān)，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化和相互交通．

解(1)

由題意可知，a＞0且-1，2是方程ax2+bx+a2-1≤0的根，所以

??

(3)由題意知，2是方程ax2+bx+a2-1=0的根，所以

4a+2b+a2-1=0．

① 又{2}是不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集，所以

(4)由題意知，a=0．b＜0，且-1是方程bx+a2-1=0的根，即-b+a2-1=0，所以

a=0，b=-1．

說明：二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間存在著密切的聯(lián)系．在解決具體的數(shù)學(xué)問題時，要注意三者之間相互聯(lián)系相互滲透，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換。

5．分析：在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧，通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為直觀，形象的圖象關(guān)系，對含參數(shù)的不等式，運用圖解法，還可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰。解：設(shè)t?a，原不等式化為1?t2?a?t(t?0)設(shè)y1?1?t2(t?0),y2?a?t，在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)圖象 x?y1?y2,故（1）當(dāng)0?a?1時,0?t?1,即0?ax?1?x??0,??)

當(dāng)1?a?2時,如右圖,解方程1?t?a?t得t1,2（2）222a?2?a2?222

? a?2?aa?2?a2?2?aa?2?a?t??x?(loga,loga)222215（3）當(dāng)a?2時，原不等式的解集為φ

綜上所述，當(dāng)a?(0,1)時，解集為?0,??）；當(dāng)a?(1,2)時，解集為

2?2?a22?2?a2(loga,loga);當(dāng)a?22

6．證明：（1）x1?a?0及xn?1?(xn??2,??)時，解集為φ。

12a1aa)知xn?0,從而xn?1?(xn?)?xn??a(n?N?)xn2xnxn?當(dāng)n?2時xn?a成立

（2）當(dāng)n?2時，xn?2a?0,xn?1?1a1a(xn?),?xn?1?xn?(?xn)2xn2xn1a?xn=??0.?n?2時,xn?xn?1成立 2xn7．分析：要求x的變化范圍，顯然要依題設(shè)條件尋找含x的不等式(組)，這就需要認(rèn)真思考條件中“t在區(qū)間[-2，2]上變動時，P恒為正值．”的含義．你是怎樣理解的？如果繼續(xù)思考有困難、請換一個角度去思考．在所給數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中，右式含兩個字母x、t，t是在給定區(qū)間內(nèi)變化的，而求的是x的取值范圍，能想到什么？

解：設(shè)P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1．因為 P=f(t)在top直角坐標(biāo)系內(nèi)是一直線，所以t在區(qū)間[-2，2]上變動時，P恒為正值的充要條件

解得log2x＞3或log2x＜-1．

說明：改變看問題的角度，構(gòu)造關(guān)于t的一次函數(shù)，靈活運用函數(shù)的思想，使難解的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題．

8．分析：本題主要復(fù)習(xí)數(shù)列通項、求和及不等式的有關(guān)知識。略解：Ⅰ）an?2,bn?2n?1 n Ⅱ)Bn=1+3+5+?+(2n-1)=n2

?1111111B??...??2?2?2?...?21B2Bn123n ?1?11?2?12?3?..?1(n?1).n?1?(1?12)?(12?13)?...?(11n?1?n)?2?1n?2?111B??...??21B2Bn1352n?1 Ⅲ)Tn= 2?22?22?...?2n①

12T1352n?1n?22?23?24?...?2n?1② ①-②得12T111222n?1n?2?22?23?23?...?2n?2n?1

?T?12n?1n?32n?2?2n?3

又T1347374?2?22?23?24?16?2 ?滿足條件Tn?c的最小值整數(shù)c?3。

第二篇：高三數(shù)學(xué)教案：第3講___不等式問題的題型與方法

學(xué)而思教育·學(xué)習(xí)改變命運 思考成就未來！

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高考網(wǎng)www.tmdps.cnn?2x?21xn?2?Cnn?1x?1xn?1?Cnx1n?2?Cnx2n?4?......?Cnn?2?1xn?4?Cnn?1?1xn?2

??1?1n?2111?2n?1n?4n?2C(x?)?C(x?)?....?C(x?)nnnn?2n?4n?2??2?xxx?12?2?(C1n?Cn?...?Cn2n?1)?Cn?Cn?...?Cn?12n?1?2?2

n

例15．（2001年全國理）己知i,m,n是正整數(shù)，且（1）證明：niAm?miAn（2）證明：?1?m???1?n? n1?i?m?n

iim證明：（1）對于1?i?m,有Am?m.(m?1)......(m?i?1),同理AnniiiAmmii?mm?m?1m?m?2m......m?i?1m

?nn?1n?2n?i?1??......由于m?n,對整數(shù)k?1,2,......,i?1,有 nnnnm,?Anniin?kn?m?k?Ammiiiii即mAn?nAm

nni（2）由二項式定理有(1?m)?(1?i?m?n),而Cn?mii?mCi?0iinm,(1?n)iim?i?nCi?0iiimii,由(1)知mAn?nAm

iiAni!ii,Cm?oiAmi!i?mcn?nCm(1?i?m?n)

o11i因此?mCn?i?2nim?i?2iiooinCm,又mCn?nCm?1,mCn?nCm?mn,mCn?0

mi(m?i?n)??mCn??nCm即(1?m)?(1?n)。

i?0i?0iinm

七、強化訓(xùn)練

1．已知非負(fù)實數(shù)x，y滿足2x?3y?8?0且3x?2y?7?0，則x?y的最大值是（）

A．7B．

C．

2D． 3

382．已知命題p：函數(shù)y?log0.5(x?2x?a)的值域為R，命題q：函數(shù)y??(5?2a)

2x

是減函數(shù)。若p或q為真命題，p且q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是

（）

A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)<2 C．1

a?xx?2x?32＞0 4．求a，b的值，使得關(guān)于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分別是：

(1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)． 5． 解關(guān)于x的不等式1?a2x?a?ax(a?0且a?1)6．（2002北京文）數(shù)列?x?由下列條件確定：xn1?a?0,xn?11?a???,n?N? ??xn?2?xn??16 學(xué)而思教育·學(xué)習(xí)改變命運 思考成就未來！

高考網(wǎng)www.tmdps.cn（1）證明：對于n?2,總有xn?a,（2）證明：對于n?2,總有xn?xn?1．

7．設(shè)P=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1，若t在區(qū)間[-2，2]上變動時，P恒為正值，試求x的變化范圍．

8．已知數(shù)列?an?的通項為an,前n項和為sn,且an是sn與2的等差中項，數(shù)列b1=1，點P（bn,bn+1）在直線x-y+2=0上。Ⅰ）求數(shù)列?an?、?bn?的通項公式an,bn Ⅱ）設(shè)?bn?的前n項和為Bn, 試比較

1B1?1B2?...?1Bn與2的大小。

?bn?中，Ⅲ）設(shè)Tn=b1a1?b2a2?...?bnan,若對一切正整數(shù)n,Tn?c(c?Z)恒成立,求c的最小值

八、參考答案

1．解：畫出圖象，由線性規(guī)劃知識可得，選D 2．解：命題p為真時，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實數(shù)，故二次函數(shù)x2?2x?a的判別式??4?4a?0，從而a?1；命題q為真時，5?2a?1?a?2。

若p或q為真命題，p且q為假命題，故p和q中只有一個是真命題，一個是假命題。

若p為真，q為假時，無解；若p為假，q為真時，結(jié)果為1

（1）當(dāng)a??1時，由圖1知不等式的解集為?xx?a或?1?x?3?

（2）當(dāng)?1?a?3時，由圖2知不等式的解集為（3）當(dāng)a?3時，由圖3知不等式的解集為?xx??1或a?x?3?

?xx??1或3?x?a?

4．分析：方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān)，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化和相互交通．

解(1)

由題意可知，a＞0且-1，2是方程ax2+bx+a2-1≤0的根，所以 學(xué)而思教育·學(xué)習(xí)改變命運 思考成就未來！

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(3)由題意知，2是方程ax2+bx+a2-1=0的根，所以

4a+2b+a2-1=0．

① 又{2}是不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集，所以

(4)由題意知，a=0．b＜0，且-1是方程bx+a2-1=0的根，即-b+a2-1=0，所以

a=0，b=-1．

說明：二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間存在著密切的聯(lián)系．在解決具體的數(shù)學(xué)問題時，要注意三者之間相互聯(lián)系相互滲透，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換。

5．分析：在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧，通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為直觀，形象的圖象關(guān)系，對含參數(shù)的不等式，運用圖解法，還可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰。解：設(shè)t?ax，原不等式化為1?t2?a?t(t?0)設(shè)y1?一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)圖象

?y1?y2,故（1）當(dāng)0?a?1時,0?t?1,即0?a當(dāng)1?a?2時,如右圖,解方程2x1?t(t?0),y2?a?t，在同

2?1?x??0,??)

21?t?a?t得t1,2?22a?2?a22（2）?a?2?a2?t?a?2?a2?x?(log2?2?aa

a?2?aa22,log2)（3）當(dāng)a?2時，原不等式的解集為φ

綜上所述，當(dāng)a?(0,1)時，解集為?0,??）；當(dāng)a?(1,2)時，解集為

2?a(log2?a22,log2?a2?a22);當(dāng)a??2,??)時，解集為φ。

6．證明：（1）x1?a?0及xn?1?12(xn?axn)知xn?0,從而xn?1?12(xn?axn)?xn?axn?a(n?N?)學(xué)而思教育·學(xué)習(xí)改變命運 思考成就未來！

高考網(wǎng)www.tmdps.cn ?當(dāng)n?2時xn?a成立

12axn1a（2）當(dāng)n?2時，xn?2a?0,xn?1?(xn?),?xn?1?xn?2xn(?xn)

=12?a?xnxn?0.?n?2時,xn?xn?1成立

7．分析：要求x的變化范圍，顯然要依題設(shè)條件尋找含x的不等式(組)，這就需要認(rèn)真思考條件中“t在區(qū)間[-2，2]上變動時，P恒為正值．”的含義．你是怎樣理解的？如果繼續(xù)思考有困難、請換一個角度去思考．在所給數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中，右式含兩個字母x、t，t是在給定區(qū)間內(nèi)變化的，而求的是x的取值范圍，能想到什么？

解：設(shè)P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1．因為 P=f(t)在top直角坐標(biāo)系內(nèi)是一直線，所以t在區(qū)間[-2，2]上變動時，P恒為正值的充要條件

解得log2x＞3或log2x＜-1．

說明：改變看問題的角度，構(gòu)造關(guān)于t的一次函數(shù)，靈活運用函數(shù)的思想，使難解的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題．

8．分析：本題主要復(fù)習(xí)數(shù)列通項、求和及不等式的有關(guān)知識。

n略解：Ⅰ）an?2,bn?2n?1

Ⅱ)Bn=1+3+5+?+(2n-1)=n2

?1B1?1B211?21n?...?12?31B11Bn?112?1212?132?...?1n122 ?1??2???..??1B2(n?1).n?...?1Bn?1?(1??2)?(12?13)?...?(1n?1?1n)

?2? Ⅲ)Tn=

1212?12123222?325232?...?521242n?1n2①

2n?1222n?1Tn?????...??123②

22n①-②得Tn?122?3?...??2n?12n?1 學(xué)而思教育·學(xué)習(xí)改變命運 思考成就未來！

高考網(wǎng)www.tmdps.cn ?Tn?3?12?n?2??2n?12423n?3 7?3716?2 又T4?12322?24?滿足條件Tn?c的最小值整數(shù)c?3。

第三篇：向量 不等式(高考題型與方法)

向量（高考題型與方法）

1.已知向量a=

1），b=（0，-1），c=（k

。若a-2b與c共線，則k=___________________。

????????2.已知向量a，b滿足a?1，b?2，a與b的夾角為60°，則a?b?

3.已知平面向量?,?,??1,??2,??(??2?),則2a??的值是?????????4.如圖，在?ABC中，AD?

AB,BC?,AD?1,????????則AC?AD?.????????5.在正三角形ABC中，D是BC上的點，AB?3,BD?1，則AB?AD?

6.2011年高考山東卷理科12)設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點，若????????????????????11且??2,則稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2 ,A1A3??A1A2(λ∈R)，A1A4??A1A2(μ∈R)，??

已知點C(c，o),D(d，O)(c，d∈R)調(diào)和分割點A(0，0)，B(1，0)，則下面說法正確的是

(A)C可能是線段AB的中點(B)D可能是線段AB的中點

(C)C，D可能同時在線段AB上(D)C，D不可能同時在線段AB的延長線上

b，(a?c)?(b?c)?0，7.(2011年高考全國新課標(biāo)卷理科10)若a，且a?b?0，c均為單位向量，則|a?b?c|的最大值為

（A）2?1（B）1（C）2（D）2

????????????8.(2011年高考四川卷理科4)如圖，正六邊形ABCDEF中，BA?CD?EF=_____

9.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,?ADC?90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點,則?

????????|PA?3PB|的最小值為.9.若等邊?ABC的邊長為23，平面內(nèi)一點M滿足?A.23B.?2 C.2D.?2 11?，則?等于 33

???????????????????????????10.?ABC和點M滿足MA?MB?MC?0.若存在實n使得AM?AC?nAM成立，則n

=

A.2B.3C.4D.5

????????11.（2010年高考全國卷Ⅱ理科7）△ABC中，點D在邊AB上，CD平分∠ACB，若CB= a , CA= b , ????a= 1，b= 2, 則CD=

12213443a + b（B）a +b（C）a +b（D）a +b 33335555（A）

????212.（2010年高考四川卷理科6）設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，BC?16，?????????????????????AB?AC?AB?AC，則AM?

（A）8（B）4（C）2（D）1

不等式與推理證明（高考題型與方法）

?y?x?1.設(shè)m?1,在約束條件?y?mx下，目標(biāo)函數(shù)z?x?5y的最大值為4，則m的值為．

?x?y?1?

2.若變量x,y滿足約束條件??3?2x?y?9,則z?x?2y的最小值為.?6?x?y?9

3.(2011年高考天津卷文科5)已知a?log23.6,b?log43.2,c?log43.6,則

A.a?b?cB.a?c?bC.b?a?cD.c?a?b

4.(2011年高考廣東卷文科4)函數(shù)f(x)?1?lg(x?1)的定義域是（）1?x

A．(??,?1)B．(1,??)C．(?1,1)?(1,??)D．(??,??)

5.（2011年高考陜西卷文科3)設(shè)0?a?b，則下列不等式中正確的是

aba?b?b（B）a??22

a?ba?b?b（C）a??b?

a?22（A）

a?b??

6.（2010山東文數(shù)）（14）已知x,y?R?，且滿足xy??1，則xy的最大值為.34

第四篇：高三數(shù)學(xué)不等式問題的題型與方法1

第10講 不等式

不等式這部分知識，滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用．因此不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，對數(shù)學(xué)各部分知識融會貫通，起到了很好的促進作用．在解決問題時，要依據(jù)題設(shè)與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解或證明．不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學(xué)數(shù)學(xué)之中．諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明。

一、知識整合

1．解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質(zhì)則是不等式變形的理論依據(jù)，方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解法密切相關(guān)，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，互相轉(zhuǎn)化．在解不等式中，換元法和圖解法是常用的技巧之一．通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關(guān)系，對含有參數(shù)的不等式，運用圖解法可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)明晰．

2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎(chǔ)，利用不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想，分類、換元、數(shù)形結(jié)合是解不等式的常用方法．方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān)，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化和相互變用．

3．在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關(guān)系，對含有參數(shù)的不等式，運用圖解法，可以使分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰．

4．證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點．比較法的一般步驟是：作差(商)→變形→判斷符號(值)．

5．證明不等式的方法多樣，內(nèi)容豐富、技巧性較強．在證明不等式前，要依據(jù)題設(shè)和待證不等式的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法．通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經(jīng)過一系列的運算而導(dǎo)出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因?qū)Ч保瑸闇贤?lián)系的途徑，證明時往往聯(lián)合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達到欲證的目的．

6．不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性．這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函數(shù)式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函數(shù)的最值時，要特別注意“正數(shù)、定值和相等”三個條件缺一不可，有時需要適當(dāng)拼湊，使之符合這三個條件．利用不等式解應(yīng)用題的基本步驟：1.審題，2.建立不等式模型，3.解數(shù)學(xué)問題，4.作答。

7．通過不等式的基本知識、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力．在應(yīng)用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識．

二、方法技巧

1.解不等式的基本思想是轉(zhuǎn)化、化歸，一般都轉(zhuǎn)化為最簡單的一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來求解。

2.解含參數(shù)不等式時，要特別注意數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，分類討論思想的錄活運用。

3．不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握常規(guī)證法的基礎(chǔ)上，選用一些特殊技巧。如運用放縮法證明不等式時要注意調(diào)整放縮的度。

4．根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特點，執(zhí)果索因，往往是有效的思維方法。

三、例題分析

b)∈M，且對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a，則a=____．

分析：讀懂并能揭示問題中的數(shù)學(xué)實質(zhì)，將是解決該問題的突破口．怎樣理解“對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a”？M中的元素又有什么特點？ 解：依題可知，本題等價于求函數(shù)x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)

(2)當(dāng)1≤y≤3時，所以當(dāng)y=1時，xmin= 4．

簡評：題設(shè)條件中出現(xiàn)集合的形式，因此要認(rèn)清集合元素的本質(zhì)屬性，然后結(jié)合條件，揭示 其數(shù)學(xué)實質(zhì)．

即

求

集

合M

中的元

素

滿

足

關(guān)

系

式

例2．已知非負(fù)實數(shù)x，y滿足2x?3y?8?0且3x?2y?7?0，則x?y的最大值是（）

A．78

B．

C．

2D． 3 33解：畫出圖象，由線性規(guī)劃知識可得，選D 例3．?dāng)?shù)列xn由下列條件確定：x1?a?0,xn?1?（1）證明：對于n?2,總有xn???1?a???? x?,n?Nn??2?xn?a,（2）證明：對于n?2,總有xn?xn?1． 證明：（1）x1?a?0及xn?1?(xn?12a1aa)知xn?0,從而xn?1?(xn?)?xn??a(n?N?)xn2xnxn?當(dāng)n?2時xn?a成立

（2）當(dāng)n?2時，xn?2a?0,xn?1?1a1a(xn?),?xn?1?xn?(?xn)2xn2xn1a?xn=??0.?n?2時,xn?xn?1成立。2xn2a2?a?0? 例4．解關(guān)于x的不等式：xx?a?9分析：本例主要復(fù)習(xí)含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關(guān)鍵不是對參數(shù)a進行討論，而是去絕對值時必須對末知數(shù)進行討論，得到兩個不等式組，最后對兩個不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。

?x?a?x?a解：當(dāng)x?a時，不等式可轉(zhuǎn)化為 即?2?22?9x?x?a??2a?9x?9ax?2a?0?a?x?3?17a b?x?a?x?a 當(dāng)x?a時不等式可化為即?2?22?ax(a?x)?2a?9x?9ax?2a?0

?x?a2a或?x?a33?2a3?17????,a?。

36??a故不等式的解集為(??,3例5．若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過原點，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范圍． 分析：要求f(-2)的取值范圍，只需找到含人f(-2)的不等式(組)．由于y=f(x)是二次函數(shù)，所以應(yīng)先將f(x)的表達形式寫出來．即可求得f(-2)的表達式，然后依題設(shè)條件列出含有f(-2)的不等式(組)，即可求解．

解：因為y=f(x)的圖象經(jīng)過原點，所以可設(shè)y=f(x)=ax2+bx．于是

解法一(利用基本不等式的性質(zhì))不等式組(Ⅰ)變形得

(Ⅰ)所以f(-2)的取值范圍是[6，10]． 解法二(數(shù)形結(jié)合)

建立直角坐標(biāo)系aob，作出不等式組(Ⅰ)所表示的區(qū)域，如圖6中的陰影部分．因為f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系．如圖6，當(dāng)直線4a-2b-f(-2)=0過點A(2，1)，B(3，1)時，分別取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范圍是：6≤f(-2)≤10． 解法三(利用方程的思想)

又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而

1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，① 所以

3≤3f(-1)≤6．

② ①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．

簡評：(1)在解不等式時，要求作同解變形．要避免出現(xiàn)以下一種錯解：

2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．

(2)對這類問題的求解關(guān)鍵一步是，找到f(-2)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，然后依其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征，揭示其代數(shù)的、幾何的本質(zhì)，利用不等式的基本性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學(xué)思想方法，從不同角度去解決同一問題．若長期這樣思考問題，數(shù)學(xué)的素養(yǎng)一定會迅速提高．

例6．設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=?x，均不相交.試證明對一切x?R都有ax?bx?c?21.4a分析：因為x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，則最小值由頂點確定，故設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(x0)． 證明：由題意知，a≠0．設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，則又二次方程ax2+bx+c=±x無實根，故

Δ1=(b+1)2-4ac＜0，Δ2=(b-1)2-4ac＜0．

所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即b2-4ac＜-1，所以|b2-4ac|＞1．

簡評：從上述幾個例子可以看出，在證明與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題時，如果針對題設(shè)條件，合理采取二次函數(shù)的不同形式，那么我們就找到了一種有效的證明途徑．

例7．某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同。為了保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？

解：設(shè)2001年末的汽車保有量為a1，以后每年末的汽車保有量依次為a2,a3....，每年新增汽車x萬輛。由題意得

an?1?0.94an?x即an?1?xx?0.94(an?)0.060.06xx)0.94n?1?0.060.0630令an?60,解得x?(30?)?0.061?0.94n?1上式右端是關(guān)于n的減函數(shù),且當(dāng)n??時,上式趨于3.6an?(30?故要對一切自然數(shù)n滿足an?60,應(yīng)有x?3.6,即每年新增汽車不應(yīng)超過3.6萬輛

第五篇：不等式與不等式組小結(jié)與解含參數(shù)問題題型歸納（定稿）

第九章 不等式與不等式知識點歸納

一、不等式及其解集和不等式的性質(zhì)

用不等號表示大小關(guān)系的式子叫做不等式。常見不等號有：“＜” “＞” “≤” “≥” “ ≠ ”。含有未知數(shù)的不等式的所有解組成這個不等式的解集，解不等式就是求不等式的解集。注：①在數(shù)軸上表示不等式解集時，有等號用實心點，無等號用空心圈。

②方向：大于向右畫，小于向左畫。

不等式的三個性質(zhì)：①不等式兩邊同時加（或減）同一數(shù)或式子，不等號不變；

②不等式兩邊同時乘（或除）同一正數(shù)，不等號不變； ③不等式兩邊同時乘（或除）同一負(fù)數(shù)，不等號改變。

作差法比較a與b的大小：若a-b＞0,則a＞b；若a-b＜0；則a＜b；若a-b=0, 則a=b。例1、下列式子中哪些是不等式？

① a+b=b+a;②a＜b－5;③－3＞－5;④x≠1 ；⑤2x-3。例

2、若a

aba?1b?122 －;④

；⑤am___bm 2232⑥ab 0；⑦a+m b+m；⑧a2 b2；⑨am bm。

例

3、①由ax?a，可得x?1可得a____；②由ax?a，可得x＜1可得a____； ③ 由mx?2?2x?m可得x??1，那么m______。

例

4、不等式5(x?2)?28?2x的非負(fù)整數(shù)解是__________________。二、一元一次不等式及其實際問題

一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等式的兩邊都是整式（即分母中不含未知數(shù)），這樣的不等式叫做一元一次不等式。解一元一次不等式的一般步驟：（1）去分母（兩邊每一項同乘分母的最小公倍數(shù)）（2）去括號（括號里每一項都要乘括號前面的系數(shù)）（3）移項（變號后移項）（4）合并同類項（5）將x項系數(shù)化為1（系數(shù)為負(fù)數(shù)要變號）。一元一次不等式與實際問題（審設(shè)列解驗答）

常見表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞：①不超過，不多于，至多，最多（≤）；②不少于，不少于，至少，最少（≥）③之前，少于，低于（＜）；④超過，多于，大于（＞）。（1）審（找表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞）;（2）設(shè)（把問題中的“至多、至少” 去掉）（3）列;（4）解；（5）驗（實際問題是否需要求整數(shù)解）；（6）答（加上“至多、至少”作答）。

三、不等式組及其解集，與實際問題

幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。

不等式組中，幾個一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它們組成的不等式組的解集。一元一次不等式組與實際問題（審設(shè)列解驗答）

（1）審（找表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞和題中涉及的兩個未知量）;（2）設(shè)（設(shè)其中一個未知量，另一個用設(shè)的未知數(shù)表示）（3）列;（4）解；（5）驗（實際問題是否需要求整數(shù)解）；（6）答(方案問題要描述清楚)。一元一次不等式組的基本類型（以兩個不等式組成的不等式組為例）

類型（設(shè)a>b）不等式組的解集

1.（同大型，同大取大）x>a

數(shù)軸表示

2.（同小型，同小取小）x

3.（一大一小型，小大之間）b

4.（比大的大，比小的小空集）無解

特殊：

?x＞3?x?3?x＞3?x?3無解，無解無解有解?????x＜3?x＜3；?x?3；?x?3；專題 解決含參數(shù)的一元一次不等式（組）

類型

一、根據(jù)已知不等式（組）的解集，求參數(shù)的值(解集是突破口)方法歸納：①表示解集；②根據(jù)已知解集的情況列出方程（組）；③解方程（組）

例

1、若不等式的解集為，求k值。，得解：化簡不等式，得x≤5k①，比較已知解集②，∴③。

例

2、若不等式組的解集是-1

解：化簡不等式組，得 ①

∵ 它的解集是-1

也為其解集，比較得 ② ∴(a+1)(b-1)=-6.③

?2x?b?0b?________練習(xí)、不等式組?的解集為：?1?x?3，則a?_____,。

?3x?5?a? 類型

二、根據(jù)已知不等式（組）的特殊解集，求參數(shù)的取值范圍(解集是突破口)方法歸納：①表示解集；②根據(jù)已知解集的情況列出不等式；③解不等式 例

1、若關(guān)于x的不等式3x-a＞4（x-1）的解集是負(fù)數(shù)，求a的取值范圍？

解：化簡不等式得：x＜4-a①，∵ 它的解集是負(fù)數(shù)，∴只要4-a≤0均可滿足②∴a≥4③ 練習(xí)、若關(guān)于x的不等式-3（x+2）＞m+2的解集是正數(shù)，求m的取值范圍？

方法歸納：①表示解集；②將解集表示在數(shù)軸上，平移分析；③得參數(shù)的取值范圍。

例

1、已知關(guān)于x的不等式x-a＞0，的整數(shù)解共5個，則a的取值范圍是________。例

2、已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共5個，則a的取值范圍是________。

解：化簡不等式組，得有解①，將其表在數(shù)軸上，②

如圖1，其整數(shù)解5個必為x=1,0,-1,-2,-3。由圖1得：-4

??x?m?0練習(xí)、不等式組?的整數(shù)解只有-2和-1，則a，b的取值范圍__________________；

2x?5?1?

類型

三、根據(jù)不等式組是否有解，及解的特殊情況；求參數(shù)取值范圍。

方法歸納：

1、表示解集；

2、將解集表示在數(shù)軸上，平移分析；

3、得參數(shù)的取值范圍。例

1、不等式組???x?m?0有解，則m的取值范圍______；

2x?5?1?解：化簡不等式組，得?x＜m有解①，將其表示在數(shù)軸上②，觀察可知：m≤-2③

??x?-2 練習(xí)

1、若不等式組??x＜m的解集是x＜5，則m的取值范圍______；

?x＜5??x??m?02、若不等式組?3的解集是x??3，則m的取值范圍是_______________。

??3x?8??

13、不等式組???x?3?0無解，則k的范圍__________。

?2x?k?1類型

四、根據(jù)已知方程（組）的解的情況，求參數(shù)的取值范圍(解的情況是突破口)方法歸納：①表示方程（組）的解；②根據(jù)已知解的情況列出不等式；③解不等式；

例

1、已知關(guān)于x的方程5x-2m=3x-6m+2的解大于-5，求符合條件m的非負(fù)整數(shù)值？ 解：解方程的x=1-2m，① ∵解大于-5，∴1-2m＞-5，②

解得：m＜3，(3)∴符合條件m的非負(fù)整數(shù)值為：0，1，2。例2.已知方程組??x?y=m的解是非負(fù)數(shù)，求m取值范圍的？

?5x?3y=13解：解方程組得①

∵方程組的解是非負(fù)數(shù)，∴

即 ②

解不等式組(3)∴m的取值范圍為≤m≤, 練習(xí)

1、已知方程組?

?2x?y=1+m的解滿足x＞y，求m取值范圍的？

?x?2y=1-m?2x-3y=1+a練習(xí)

2、已知方程組?的解滿足x+y＞0，求m取值范圍的？

x?2y=a?