第一篇：絕對值不等式題型五

典型例題五

例5 求證a?b

1?a?b?a

1?a?b

1?b．

分析：本題的證法很多，下面給出一種證法：比較要證明的不等式左右兩邊的形式完全相同，使我們聯(lián)想利用構(gòu)造函數(shù)的方法，再用單調(diào)性去證明．

證明：設(shè)f(x)?x1?x?11． ??1?1?x1?x1?x

定義域為｛xx?R，且x??1｝，f(x)分別在區(qū)間(??,?1)，區(qū)間(?1,??)上是增函數(shù)． 又0?a?b?a?b，∴f(a?b)?f(a?b)即a?b

1?a?b?a?b

1?a?b?a

1?a?b?b

1?a?b?a

1?a?b

1?b

∴原不等式成立．

說明：在利用放縮法時常常會產(chǎn)生如下錯誤： ∵a?b?a?b，1?a?b?0，∴a?bababa?b． ?????1?a?b1?a?b1?a?b1?a?b1?a1?b

錯誤在不能保證1?a?b?1?a，1?a?b?1?b．絕對值不等式a?b?a?b在運用放縮法證明不等式時有非常重要的作用，其形式轉(zhuǎn)化比較靈活．放縮要適度，要根據(jù)題目的要求，及時調(diào)整放縮的形式結(jié)構(gòu)．

第二篇：絕對值不等式學(xué)案

絕對值不等式學(xué)案(1)

（一）知識點：.（三）鞏固練習(xí)：.（1）｜x＋4｜＞9(2)｜11

＋x｜≤ 1.不等式的基本性質(zhì)：

2.絕對值的定義，即|a|=??_____a?0

?

_____a?0實數(shù)a的絕對值表示在數(shù)軸上所對應(yīng)點A到

原點的距離，并且可以得到|a|≥0這一結(jié)論.3.按商品質(zhì)量規(guī)定，商店出售的標(biāo)明500 g的袋裝食鹽，其實際數(shù)與所標(biāo)數(shù)相差

不能超過5 g，如何表達實際數(shù)與所標(biāo)數(shù)的關(guān)系呢？

依據(jù)條件列出?

?________?5

?5，進而利用絕對值定義及其幾何意義將其表述成|x-500|≤5，即

?________一個含絕對值的不等式.（二）含絕對值不等式解法的探究

1.如何求解方程|x|=2?|x|=2的幾何意義是什么？

2.能表述|x|＞2,|x|＜2的幾何意義嗎？其解集是什么？

3.請嘗試歸納出一般情況下|x|＞a,|x|＜a（a＞0)的幾何意義及其解集？

4．解不等式|x-500|≤5.（三）歸納總結(jié)：|ax+b|＞c，|ax+b|＜c(c＞0)的解法？

第1頁

(3)｜2－x｜≥3

(5)｜5x－4｜＜6

（四）拓展延伸：.1.解不等式|x-1|+|2-x|＞3+x2.42

(4)｜x－23｜＜1

(6)｜1

x＋1｜≥2

解不等式|x+1|+|x-1|＜1

第2頁

第三篇：絕對值不等式教案

絕對值不等式的解法

教學(xué)目標(biāo)：

1．理解并掌握ax?b?c與ax?b?c(c?0)型不等式的解法，并能初步地應(yīng)用它解決問題。

2．培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力，培養(yǎng)通過換元轉(zhuǎn)化的思想方法，培養(yǎng)抽象思維的能力；

3．激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新

精神，同時體會事物之間普遍聯(lián)系的辯證思想。

重點：x?a與x?a(a?0)型不等式的解法。

難點：絕對值意義的應(yīng)用，和應(yīng)用x?a與x?a(a?0)型不等式 的解法解決ax?b?c與ax?b?c(c?0)型不等式。過程：

實數(shù)的絕對值是如何定義的？幾何意義是什么？ ?a,a?0? 絕對值的定義： | a | = ?0,a?0

??a,a?0? |a|的幾何意義：數(shù)軸上表示數(shù)a的點離開原點的距離。|x-a|(a≥0)的幾何意義是x在數(shù)軸上的對應(yīng)點a的對應(yīng)點之

間的距離。

實例：按商品質(zhì)量規(guī)定，商店出售的標(biāo)明500g的袋 裝食鹽，其實際數(shù)與所標(biāo)數(shù)相差不能超過5g，設(shè)實際數(shù)是xg，那么，x應(yīng)滿足什么關(guān)系？能不能用絕對值來表示？

?x?500?5,（?由絕對值的意義，也可以表示成500?x?5.?x?500?5.）

意圖：體會知識源于實踐又服務(wù)于實踐，從而激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。

引出課題 新課

1．x?a(a?0)與x?a(a?0)型的不等式的解法。先看含絕對值的方程|x|=2 幾何意義：數(shù)軸上表示數(shù)x的點離開原點的距離等于2.∴x=⊥2 提問：x?2與x?2的幾何意義是什么？表示在數(shù)軸上應(yīng)該是怎樣的？

數(shù)軸上表示數(shù)x的點離開原點的距離小（大）于2-2O2x-2O2x

即 不等式 x?2的解集是?x?2?x?2?

不等式 x?2 的解集是xx??2,或x?2.類似地，不等式x?a(a?0)|與x?a(a?0)的幾何意義是什么？解集又是什么？

即 不等式x?a(a?0)的解集是?x?a?x?a?;不等式x?a(a?0)的解集是xx?a,或x??a 小結(jié)：①解法：利用絕對值幾何意義 ②數(shù)形結(jié)合思想 2．a(chǎn)x?b?c,與ax?b?c(c?0)型的不等式的解法。

把 ax?b 看作一個整體時，可化為x?a(a?0)與

????x?a(a?0)型的不等式 來求解。

即 不等式ax?b?c(c?0)的解集為

?x|?c?ax?b?c?(c?0);不等式ax?b?c(c?0)的解集為

?x|ax?b??c,或ax?b?c?(c?0)例題

例1：解不等式x?500?5.解：由原不等式可得?5?x?500?5, 各加上500，得495?x?505, ∴原不等式的解集是?x495?x?505?.例2：解不等式2x?5?7.解：由原不等式可得2x?5??7,或2x?5?7.整理，得x??6,或x?1.∴原不等式的解集是xx??6,或x?1.練習(xí)：P52 1、2（1），（2）3（1）（2）小結(jié)

1．x?a與x?a(a?0)型不等式ax?b?c與

??ax?b?c(c?0)型不等式的解法與解集；

2．?dāng)?shù)形結(jié)合、換元、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想 作業(yè)P52 1、2（3），（4）3（3）（4）思考題 P52 4

第四篇：絕對值不等式的證明

絕對值不等式的證明

知識與技能：

1.理解絕對值的三角不等式，2．應(yīng)用絕對值的三角不等式．

過程方法與能力：

培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；提高分析問題、解決問題的能力.情感態(tài)度與價值觀：

讓學(xué)生通過對具體事例的觀察、歸納中找出規(guī)律，得出結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生解決應(yīng)用問題的能力和嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。

教學(xué)重點：理解絕對值的三角不等式

應(yīng)用絕對值的三角不等式．

教學(xué)難點：應(yīng)用絕對值的三角不等式．

教學(xué)過程：

一、引入：

證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之外，經(jīng)常還要用到關(guān)于絕對值的和、差、積、商的性質(zhì)：

（1）a?b?a?b（2）a?b?a?b

a

bab（3）a?b?a?b（4）?(b?0)

請同學(xué)們思考一下，是否可以用絕對值的幾何意義說明上述性質(zhì)存在的道理？ 實際上，性質(zhì)a?b?a?b和a

b?a

b(b?0)可以從正負數(shù)和零的乘法、除法法則直

接推出；而絕對值的差的性質(zhì)可以利用和的性質(zhì)導(dǎo)出。因此，只要能夠證明a?b?a?b對于任意實數(shù)都成立即可。我們將在下面的例題中研究它的證明。

現(xiàn)在請同學(xué)們討論一個問題：設(shè)a為實數(shù)，a和a哪個大？ 顯然a?a，當(dāng)且僅當(dāng)a?0時等號成立（即在a?0時，等號成立。在a?0時，等號不成立）。同樣，a??a.當(dāng)且僅當(dāng)a?0時，等號成立。含有絕對值的不等式的證明中，常常利用a??a、a??a及絕對值的和的性質(zhì)。

定理（絕對值三角形不等式）如果a,b

是實數(shù)，則

a?b≤a?b≤a?b

注：當(dāng)a、b為復(fù)數(shù)或向量時結(jié)論也成立.特別注意等號成立的條件.定理推廣：

a1?a2???an≤a1?a2???an

當(dāng)且僅當(dāng)都a1，a2，?，an非正或都非負時取等號.探究：利用不等式的圖形解不等式1.x?1?x?1?1;2．x?2y?1..3．利用絕對值的幾何意義，解決問題：要使不等式x?4?x?3

二、典型例題：

例

1、證明（1）a?b?a?b，（2）a?b?a?b。

證明（1）如果a?b?0,那么a?b?a?b.所以a?b?a?b?a?b.如果a?b?0,那么a?b??(a?b).所以a?b??a?(?b)??(a?b)?a?b

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，有a?b??b?a?b?b，就是，a?b?b?a。所以，a?b?a?b。

例

2、證明 a?b?a?b?a?b。例

3、證明 a?b?a?c?b?c。思考：如何利用數(shù)軸給出例3的幾何解釋？

（設(shè)A，B，C為數(shù)軸上的3個點，分別表示數(shù)a，b，c，則線段AB?AC?CB.當(dāng)且僅當(dāng)C在A，B之間時，等號成立。這就是上面的例3。特別的，取c＝0（即C為原點），就得到例2的后半部分。）

探究：試利用絕對值的幾何意義，給出不等式a?b?a?b的幾何解釋？

含有絕對值的不等式常常相加減，得到較為復(fù)雜的不等式，這就需要利用例1，例2和例3的結(jié)果來證明。例

4、已知 x?a?

c

2,y?b?

c2，求證(x?y)?(a?b)?c.證明(x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b)?x?a?y?b（1）

?x?a?

c2,y?b?

c2c2?，c2

?c（2）

∴x?a?y?b?

由（1），（2）得：(x?y)?(a?b)?c 例

5、已知x?證明?x?

a4a4,y?

a6a6

.求證：2x?3y?a。

a2,3y?a2?a2a

2,y?，∴2x?，?a。

由例1及上式，2x?3y?2x?3y?

注意： 在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。但這種寫法，只能用于不等號方向相同的不等式。

三、小結(jié)：

借助圖形的直觀性來研究不等式的問題，是學(xué)習(xí)不等式的一個重要方法，特別是利用絕對值和絕對值不等式的幾何意義來解不等式或者證明不等式，往往能使問題變得直觀明了，幫助我們迅速而準(zhǔn)確地尋找到問題的答案。關(guān)鍵是在遇到相關(guān)問題時，能否準(zhǔn)確地把握不等式的圖形，從而有效地解決問題。

四、練習(xí)：

1、已知A?a?

2、已知x?a?

c2c

4,B?b?,y?b?

c2c6

.求證：(A?B)?(a?b)?c。

.求證：2x?3y?2a?3b?c。

五、作業(yè)： 1．求證

a?b1?a?b

?

a1?a

?

b1?b

a?b1?ab

.2．已知a?1,b?1.求證：?1.3．若?,?為任意實數(shù)，c為正數(shù)，求證：???(1?c)?(1?

1c)?

.（??

?

2??

?2?，而??c2

?

1c

?

c?

?2

1c

?）

4.a、b、c均為實數(shù),a?b,b?c,a?c,5.已知函數(shù)f(x)?ax2?bx?c,當(dāng)0≤x≤1時,f(x)≤1 求證:a?b?c≤17 作業(yè)：導(dǎo)學(xué)大課堂練習(xí)

課后反思：絕對值不等式的證明

求證:≤

a?b?2c?b?c?2a?c?a?2b

a?b?b?c?c?a

?2.

第五篇：§2.4含絕對值的不等式（推薦）

§2.4含絕對值的不等式

班級姓名

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、體會絕對值的幾何意義

2、會用變量代換的思想方法解含絕對值的不等式

二、重點、難點

重點：會用變量代換的思想方法解含絕對值的不等式 難點：會用變量代換的思想方法解含絕對值的不等式

三、課前預(yù)習(xí)

1、x?3的根是

2、a的幾何意義是

四、課堂探究

探究：

1、某工廠生產(chǎn)直徑為10cm的傳動軸，誤差不超過0.02cm為合格產(chǎn)品。若某技師生產(chǎn)的傳動軸直徑為dcm，經(jīng)檢測屬合格品，則d滿足什么條件？

2、不等式x?3與x?3的解集在數(shù)軸上怎樣表示？

總結(jié)1：不等式x?a(a?0)的解集是

總結(jié)2：不等式f(x)?a(a?0)可化為

不等式f(x)?a(a?0)可化為問題解決：

商品房買賣合同上規(guī)定：（1）面積誤比差，即

產(chǎn)權(quán)登記面積-合同約定面積的絕對值在3%內(nèi)（含3%）的，據(jù)實

合同約定面積

結(jié)算房款；

（2）面積誤比差的絕對值超過3%時，買房人有權(quán)退房。

王先生買房時合同約定的面積為120cm2，那么房屋竣工后，現(xiàn)場實測產(chǎn)權(quán)登記面積結(jié)果在什么范圍內(nèi)時，他必須據(jù)實結(jié)算房款？結(jié)果在什么范圍時，他有權(quán)退房？

五、課堂練習(xí)

1、填空：

（1）不等式x?4的解集是（2）不等式x?9的解集是

不等式x?a(a?0)的解集是例題剖析

例1解下列不等式

（1）2x?1?0（2）

例2解不等式2x?3?7例3解不等式2x??5

（3）不等式2x?10的解集是

2、解下列不等式，并在數(shù)軸上表示它們的解集：

x?2 3

（1）x?5（2）x?2?5

（3）2x??3（4）2x?3?1

六、課后作業(yè)

必做題：書p34習(xí)題1、2；指導(dǎo)用書p28A組 選做題：指導(dǎo)用書p29B組

丁蜀中專?高一?學(xué)案