第一篇：必修五基本不等式 知識點
第三章:不等式、不等式解法、線性規(guī)劃
1.不等式的基本概念
不等（等）號的定義：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.2.不等式的基本性質(zhì)
（1）a?b?b?a（對稱性）（2）a?b,b?c?a?c（傳遞性）
（3）a?b?a?c?b?c（加法單調(diào)性）
（4）a?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加）
（5）a?b,c?d?a?c?b?d（異向不等式相減）（6）a.?b,c?0?ac?bc
（7）a?b,c?0?ac?bc（乘法單調(diào)性）
（8）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）
(9)a?b?0,0?c?d?11ab（異向不等式相除）(10)a?b,ab?0??（倒數(shù)關(guān)系）?abcd
（11）a?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法則）
（12）a?b?0?a?b(n?Z,且n?1)（開方法則）
練習：（1）對于實數(shù)a,b,c中，給出下列命題：
①若a?b,則ac?bc；②若ac?bc,則a?b；
③若a?b?0,則a?ab?b；④若a?b?0,則
⑤若a?b?0,則22222211?； abba?；⑥若a?b?0,則a?b； ab
ab11⑦若c?a?b?0,則；⑧若a?b,?，則a?0,b?0。?c?ac?bab
其中正確的命題是______
（答：②③⑥⑦⑧）；
（2）已知?1?x?y?1，1?x?y?3，則3x?y的取值范圍是______
（答：1?3x?y?7）；
（3）已知a?b?c，且a?b?c?0,則
3.幾個重要不等式
（1）若a?R,則|a|?0,a2?0
（2）若a、b?R,則a?b?2ab(或a?b?2|ab|?2ab)（當僅當a=b時取等號）
（3）如果a,b都是正數(shù)，那么
?c1??的取值范圍是______（答：??2,??）2?a??2222a?b.（當僅當a=b時取等號）2極值定理：若x,y?R,x?y?S,xy?P,則：
1如果P是定值, 那么當x=y時，S的值最小；○
2如果S是定值, 那么當x=y時，P的值最大.○
利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等
.(4)若a、b、c?R?,則a?b?c?a=b=c時取等號）
3ba(5)若ab?0,則??2（當僅當a=b時取等號）ab
(6)a?0時，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;|x|?a?x2?a2??a?x?a
（7）若a、b?R,則||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
4.幾個著名不等式
（1）平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么
a?b（當僅當a=b時取等號）??2?ab
即：平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：
2a?b2a2?b2a?b2a2?b2)?)??ab）特別地，ab?(（當a = b時，(2222
a2?b2?c2?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c時取等)33??
222?冪平均不等式：a1?a2?...?an?21(a1?a2?...?an)2 n
注：例如：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2).1111111常用不等式的放縮法：①???2???(n?2)
nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n
????n?1)
（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;則
2222222（a1b1?a2b2?a3b3???anbn)2?(a1?a2?a3???an)(b12?b2?b3??bn)aaaa當且僅當1?2?3???n時取等號b1b2b3bn
（3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)
若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對于定義域中任意兩點x1,x2(x1?x2),有
x1?x2f(x1)?f(x2)x?xf(x1)?f(x2))?或f(12)?.222
2則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).5.不等式證明的幾種常用方法
比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.6.不等式的解法 f（（1）整式不等式的解法（一元一次不等式、一元二次不等式、一元高次不等式）根軸法：
步驟：正化，求根，標軸，穿線（奇穿偶回），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的討論；
2②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.a?0????x1?x2???0????x1?x2?? ??a?0??0??????0??????
（2）分式不等式的解法：先移項通分標準化，則
?f(x)g(x)?0 f(x)f(x)?0?f(x)g(x)?0;?0??g(x)g(x)?g(x)?0
（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解
1?f(x)?0????定義域 ???g(x)?0??f(x)?g(x)?
?f(x)?0f(x)?0或??g(x)?02???f(x)?[g(x)] ○2f(x)?g(x)??g(x)?0?
?f(x)?03f(x)?g(x)?? ○?g(x)?02??f(x)?[g(x)]
（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式
af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);
（5）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式 af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb
?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;
?f(x)?g(x)??f(x)?0? logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?
（6）含絕對值不等式
1應(yīng)用分類討論思想去絕對值；○2應(yīng)用數(shù)形思想； ○
3應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化 ○
g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)? g(x)?0?|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同時為0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)
7、線性規(guī)劃
（1）線性目標函數(shù)問題
當目標函數(shù)是線性關(guān)系式如z?ax?by?c（b?0）時，可把目標函數(shù)變形為
az?cz?c，則可看作在在y軸上的截距，然后平移直線法是解決此類問題y??x?bbb的常用方法，通過比較目標函數(shù)與線性約束條件直線的斜率來尋找最優(yōu)解.一般步驟如下：
1.做出可行域;2.平移目標函數(shù)的直線系,根據(jù)斜率和截距,求出最優(yōu)解.（2）非線性目標函數(shù)問題的解法
當目標函數(shù)時非線性函數(shù)時，一般要借助目標函數(shù)的幾何意義，然后根據(jù)其幾何意義，數(shù)形結(jié)合，來求其最優(yōu)解。近年來，在高考中出現(xiàn)了求目標函數(shù)是非線性函數(shù)的范圍問題.這些問題主要考察的是等價轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,出題形式越來越靈活,對考生的能力要求越來越高.常見的有以下幾種：
比值問題：當目標函數(shù)形如z?y?a時,可把z看作是動點P(x,y)與定點Q(b,a)連線x?b
22的斜率，這樣目標函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為PQ連線斜率的最值。距離問題：當目標函數(shù)形如z?(x?a)?(y?b)時,可把z看作是動點P(x,y)與定點
Q(a,b)距離的平方，這樣目標函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為PQ距離平方的最值。
?x+y?0?2截距問題：例 不等式組?x?y?0表示的平面區(qū)域面積為81，則x?y的最小值為_____
?x?a?
?????????x?4y?3?0,OP?OA?的向量問題：例已知點P的坐標（x，y）滿足：?3x?5y?25,及A（2，0），則OA?x?1?0.?
最大值是.
第二篇：必修五3.1.1基本不等式教學設(shè)計
《基本不等式（第一課時）》教學設(shè)計
汪清剛
吉林省遼源市東遼縣第一高級中學
一、教學目標 知識與技能：
1.理解兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于他們之積的2倍的不等式的證明。2．理解兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及幾何解釋。過程與方法
本節(jié)的學習是學生對不等式認知的一次飛躍。要善于引導學生從數(shù)和形倆方面深入的探究不等式的證明，從而進一步突破難點。基本不等式的證明要注重嚴密性，每一步都有理論依據(jù)，培養(yǎng)學生的邏輯能力。情感，態(tài)度與價值觀
培養(yǎng)學生舉一反三地邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學生數(shù)形結(jié)合的想象力。引導學生領(lǐng)會運用基本不等式的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略．
二、教學重點和難點
三、重點：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程；
難點：理解“=”成立的充要條件.三、教學過程：
1．動手操作，幾何引入
如圖是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會會標，會標是根據(jù)我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”設(shè)計的，該圖給出了迄今為止對勾股定理最早、最簡潔的證明，體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何是緊密結(jié)合、互不可分的．
探究一：在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？ 在正方形中有4個全等的直角三角形．設(shè)直角三角形兩條直角邊長為
．于是，，那么正方形的邊長為4個直角三角形的面積之和正方形的面積由圖可知，即
．
．
探究二：先將兩張正方形紙片沿它們的對角線折成兩個等腰直角三角形，再用這兩個三角形拼接構(gòu)造出一個矩形（兩邊分別等于兩個直角三角形的直角邊，多余部分折疊）．假設(shè)兩個正方形的面積分別為和現(xiàn)一個不等式嗎？
（），考察兩個直角三角形的面積與矩形的面積，你能發(fā)通過學生動手操作，探索發(fā)現(xiàn)：
2．代數(shù)證明，得出結(jié)論
根據(jù)上述兩個幾何背景，初步形成不等式結(jié)論： 若，則
． 若，則．
學生探討等號取到情況，教師演示幾何畫板，通過展示圖形動畫，使學生直觀感受不等關(guān)系中的相等條件，從而進一步完善不等式結(jié)論：
（1）若，則；（2）若，則
請同學們用代數(shù)方法給出這兩個不等式的證明． 證法一（作差法）：，當（在該過程中，可發(fā)現(xiàn)證法二（分析法）：由于的取值可以是全體實數(shù)），于是
時取等號．
要證明，只要證明，即證，即，該式顯然成立，所以，當時取等號．
得出結(jié)論，展示課題內(nèi)容 基本不等式: 若若，則，則
（當且僅當（當且僅當
時，等號成立）時，等號成立）
深化認識：
稱為的幾何平均數(shù)；稱為的算術(shù)平均數(shù)
基本不等式又可敘述為：
兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù) 3．幾何證明，相見益彰 探究三：如圖，于的弦是圓的直徑，點．
由于Rt
中直角邊
斜邊，是
上一點，．過點
作垂直，連接根據(jù)射影定理可得：于是有故而再次證明： 當且僅當點與圓心重合時，即時等號成立．
當時，（當且僅當時，等號成立）
（進一步加強數(shù)形結(jié)合的意識，提升思維的靈活性）4．應(yīng)用舉例，鞏固提高
例1.（1）用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？
（2）一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？
（通過例1的講解，總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化）對于（1）若，（定值），則當且僅當
時，有最小值
；
（2）若（定值），則當且僅當時，有最大值．
（鼓勵學生自己探索推導，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神．）
例2.求的值域．
變式1.若，求的最小值．
在運用基本不等式解題的基礎(chǔ)上，利用幾何畫板展示再次感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想． 的函數(shù)圖象，使學生并通過例2及其變式引導學生領(lǐng)會運用基本不等式的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略． 練一練（自主練習）：
1.已知2.設(shè)，且，且，求，求的最小值． 的最小值．
5．歸納小結(jié)，反思提高 基本不等式：若，則
（當且僅當
時，等號成立）
若，則（當且僅當時，等號成立）
（1）基本不等式的幾何解釋（數(shù)形結(jié)合思想）；
（2）運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法． 媒體展示，滲透思想：
若將算術(shù)平均數(shù)記為，幾何平均數(shù)記為
利用電腦3D技術(shù)，在空間坐標系中向?qū)W生展示基本不等式的幾何背景：平面在曲面 的上方
6．布置作業(yè)，課后延拓
（1）基本作業(yè)：課本P100習題組1、2題
（2）拓展作業(yè)：請同學們課外到閱覽室或網(wǎng)上查找基本不等式的其他幾何解釋，整理并相互交流．
（3）探究作業(yè)：
現(xiàn)有一臺天平，兩臂長不相等，其余均精確，有人說要用它稱物體的重量，只需將物體放在左右托盤各稱一次，則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實重量．這種說法對嗎？并說明你的結(jié)論．
第三篇：必修五不等式知識匯總
必修五不等式知識匯總
1．實數(shù)的三歧性：任意兩個實數(shù)a、b，a>b，a＝b，a
??a－b<0?a .2．不等式的性質(zhì)： 性質(zhì)1(對稱性)a>b?b a>b?a>b????ac 性質(zhì)5(同向可加性)a>b，c>d?a＋c>b＋d； 性質(zhì)6(同向可乘性)a>b>0???ac>bd； c>d>0? 性質(zhì)7(不等式的乘方法則)a>b>0?an>bn(n∈N＋且n>1)； 性質(zhì)8(不等式的開方法則)a>b>0?a>b(n∈N＋且n>1)． 3．一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系： 4.常見不等式的解法： (1)分式不等式的解法 f?x?A先通分化為一邊為一邊為0的形式，再等價轉(zhuǎn)化為整式不等式．?A·B>0；Bg?x? ??B≥0B≤0?A·?A·AAA???A·B<0；≥0?；≤0?.BBB?B≠0?B≠0?? 如果用去分母的方法，一定要考慮分母的符號． (2)高次不等式的解法 只要求會解可化為一邊為0，另一邊可分解為一次或二次的積式的，解法用穿根法，要注意穿根時“奇過偶不過”．如(x－1)(x＋1)2(x＋2)3>0穿根時，－2點穿過，－1點返回，故解為x<－2或x>1.(3)含絕對值不等式的解法：一是令每個絕對值式為0，找出其零點作為分界點，分段討論，二是平方法． (4)含根號的不等式解法，一是換元法，二是平方法． (5)解含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)分類討論(常見的有一次項系數(shù)含字母、二次項系數(shù)含字母、二次不等式的判別式Δ、指對不等式中的底數(shù)含參數(shù)等)． (6)超越不等式問題可用圖象法． 5．二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)表示的平面區(qū)域． (1)在平面直角坐標系中作出直線Ax＋By＋C＝0； (2)在直線的一側(cè)任取一點P(x0，y0)，特別地，當C≠0時，常把原點作為此特殊點． (3)若Ax0＋By0＋C>0，則包含點P的半平面為不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面區(qū)域，不包含點P的半平面為不等式Ax＋By＋C<0所表示的平面區(qū)域． (4) 主要看不等號與B的符號是否同向，若同向則在直線上方，若異向則在直線下方，簡記為“同上異下”，這叫B值判斷法． 一般地說，直線不過原點時用原點判斷法或B值判斷法，直線過原點時用B值判斷法或用(1,0)點判斷． 注意：畫不等式Ax＋By＋C≥0(或Ax＋By＋C≤0)所表示的平面區(qū)域時，區(qū)域包括邊界直線Ax＋By＋C＝0上的點，因此應(yīng)將其畫為實線．把等號去掉，則直線為虛線． 6．線性規(guī)劃的有關(guān)概念 (1)約束條件——目標函數(shù)中的變量所要滿足的不等式組． (2)線性目標函數(shù)——目標函數(shù)關(guān)于變量是一次函數(shù)． (3)線性約束條件——約束條件是關(guān)于變量的一次不等式組． (4)可行解——滿足線性約束條件的解． (5)可行域——由所有可行解組成的集合． (6)最優(yōu)解——在可行域中使目標函數(shù)取得最值的解． (7)線性規(guī)劃問題——求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題． 7．利用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟 (1)作出可行域．將約束條件中的每一個不等式所表示的平面區(qū)域作出，找出其公共部分． (2)作出目標函數(shù)的等值線． (3)確定最優(yōu)解． ①在可行域內(nèi)平行移動目標函數(shù)等值線，最先通過或最后通過的頂點便是最優(yōu)解對應(yīng)的點，從而確定最優(yōu)解． ②利用圍成可行域的直線的斜率來判斷．若圍成可行域的直線l1、l2、…、ln的斜率分別為 k1 8．(1)重要不等式a2＋b2≥2a·b(a、b∈R)； a＋b＋(2)基本不等式ab(a、b∈R)； 2(3)均值定理． ①x、y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值P.S2②x、y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么當x＝y(tǒng)時，xy有最大值.4(4)證明不等式常用方法有：綜合法、比較法、分析法、反證法及利用函數(shù)單調(diào)性等． 誤區(qū)警示： 1．兩個同向不等式的兩邊不能分別相減，也不能分別相除，在需要求差或商時，可利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為同向不等式相加或相乘． 2．a(chǎn)≥b的含義是“a>b”或“a＝b”，只要其中一個成立，則a≥b就成立． 3．特別注意不等式性質(zhì)成立的條件．對每一條性質(zhì)，要弄清條件和結(jié)論，注意條件加強和放寬后，條件和結(jié)論之間關(guān)系發(fā)生的變化；避免由于忽略某些限制條件而造成解題失誤，特別注意關(guān)于符號的限制條件． a>b>0?a>b?如：a>b??1111????但a>b?是錯誤的，?ac>bd是成立的，但ababc>d>0c>d???ab>0? ?ac>bd是錯誤的．a(chǎn)>b>0?an>bn(n∈N*)是正確的，但a>b?an>bn是錯誤的，若規(guī)定n為正奇數(shù)時，a>b?an>bn是正確的． 4．解決含有絕對值不等式問題的基本思想是設(shè)法去掉絕對值符號，化歸為不含絕對值符號的不等式去解．脫去絕對值符號的方法主要有： (1)定義法：|x|≤a(a>0)?－a≤x≤a，|x|≥a(a>0)?x≥a或x≤－a分段討論，含多個絕對值符號(高考限于2個)的情形，可令每一個為0，找出分界點再分段，特別注意a>0的條件． (2)平方法：只有在不等式兩端同號的情況下才適用． (3)客觀題還常結(jié)合幾何意義求解． 5．在利用均值定理求最值時，要緊扣“一正、二定、三相等”的條件．“一正”是說每個項都必須為正值，“二定”是說各個項的和(或積)必須為定值．“三相等”是說各個項中字母取某個值時，能夠使得各項的值相等． 其中，通過對所給式進行巧妙分拆、變形、組合、添加系數(shù)使之能夠出現(xiàn)定值是解題的關(guān)鍵． 多次使用均值不等式時，要保持每次等號成立條件的一致性． 6．①寫一元二次不等式的解集時，一定要將圖象的開口方向與判別式結(jié)合起來． ②當二次項系數(shù)含有參數(shù)時，不能忽略二次項系數(shù)為零的情形．如ax2－ax－1<0的解 －b＋集為R，求實數(shù)a的范圍．解答時應(yīng)對a＝0，a≠0進行分類討論．還應(yīng)注意a<02a－b－Δ<2a ③解對數(shù)不等式時，莫忘定義域的限制． ④換元法解不等式時，要注意把求得的新元的范圍等價轉(zhuǎn)化為原來未知數(shù)的取值范圍． ⑤解不等式的每一步變形要保持等價． 7．解線性規(guī)劃問題時： ①在求解應(yīng)用問題時要特別注意題目中變量的取值范圍，防止將范圍擴大． ②對線性目標函數(shù)z＝Ax＋By中的B的符號一定要注意． 當B>0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸上截距最小時，z值最小；當B<0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大． ③解線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵步驟是在圖上完成的，所以作圖應(yīng)盡可能精確，圖上操作盡可能規(guī)范．求最優(yōu)解時，若沒有特殊要求，一般為邊界交點．若實際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解．而我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解，應(yīng)作適當調(diào)整．其方法應(yīng)以與線性目標函數(shù)直線的距離為依據(jù)，在直線附近尋求與直線距離最近的整點，但必須是在可行域內(nèi)尋找.但考慮到作圖畢竟還是會有誤差，假若圖上的最優(yōu)點并不明顯易辨時，應(yīng)將最優(yōu)解附近的整點都找出來，然后逐一檢查，以“驗明正身”． 基本不等式 知識點： 1.(1)若a,b?R，則a?b?2ab a?b時取“=”）22(2)若a,b?R，則ab?a?b222（當且僅當 2.(1)若a,b?R*，則 a?b時取“=”）a?b2?(2)若a,b?R，則a?b?2ab *ab（當且僅當 a?b?(3)若a,b?R，則ab??）??(當且僅當a?b時取“=” ?2?* 23.若x?0，則x? 若x?0，則x?1x 1x）?2(當且僅當x?1時取“=”??2(當且僅當x??1時取“=”） 若x?0，則x?1?2即x?1?2或x?1?-2(當且僅當a?b時取“=”） xxx 4.若ab?0，則a?b?2(當且僅當a?b時取“=”）若ab?0，則 ba a b??2即a bb a?2或 2ab2ba（）-?2當且僅當a?b時取“=”5.若a,b?R，則（注意： a?b2)?2a?b2（當且僅當a?b時取“=”） (1)當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”． (2)求最值的條件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應(yīng)用 應(yīng)用一：求最值 例：求下列函數(shù)的值域 （1）y＝3x 2＋ 12x 21（2）y＝x＋ x 解：(1)y＝3x 2＋1 2x 2 ≥23x 2·12x 2＝6∴值域為[6，+∞） 1(2)當x＞0時，y＝x ≥2x1x·＝2； x 當x＜0時，y＝x＋= －（－ x－）≤－ 2xx∴值域為（－∞，－2]∪[2，+∞） 解題技巧 技巧一：湊項 例已知x? 54x·=－2 x，求函數(shù)y ?4x?2? 14x?5的最大值。 解：因4x?5?0，所以首先要“調(diào)整”符號，又(4x?2)要進行拆、湊項，?x? 54,?5?4x?0，?y?4x?2? 4x?5 不是常數(shù)，所以對4x? 21? ???5?4x? 4x?55?4x? ???2?3?1 ?? 3? 當且僅當5?4x? 15?4x，即x?1時，上式等號成立，故當x?1時，ymax?1。 技巧二：湊系數(shù) 例： 當時，求y?x(8?2x)的最大值。解析：由 知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將 y?x (8?2x)湊上一個系數(shù)即可。 當，即x＝2時取等號當x＝2時，y?x(8?2x)的最大值為8。 變式：設(shè)0?x?，求函數(shù)y?4x(3?2x)的最大值。 2x?3?2x?9 解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2???? 222?? 當且僅當2x?3?2x,即x? 技巧三： 分離 技巧四：換元 例：求y? x?7x?10 x? 1?3? ??0,?時等號成立。4?2? (x??1)的值域。 解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。 當,即 時,y?5?9（當且僅當x＝1時取“＝”號）。 解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。y? (t?1)?7(t?1）+10 t = t?5t?4 t ?t?4t ?5 當,即t=時,y?5?9（當t=2即x＝1時取“＝”號）。 例：求函數(shù)y?的值域。 ?t（t?2)，則y? 1t 1t ??t? 1t (t?2) 因t?0,t??1，但t?因為y?t? 1t 解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號不成立，考慮單調(diào)性。 在區(qū)間?1,???單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調(diào)遞增函數(shù)，故y? ?5 ??。 所以，所求函數(shù)的值域為?,???。 ?2 技巧六：整體代換 多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。例：已知x?0,y?0，且 1x?9y 1x? ?1，求x?y的最小值。 9y ?1?x 9? ??x?y??y? ?12故 錯．解．：?x?0,y?0，且 ?1，?x?y?? ? ?x?y?min ?12。 等號成立條件 是x?y，在錯因：解法中 兩次連用均值不等式，在x?y?1x 9y ??1x ? 9y 即y?9x,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。 ?19?y9x正解：?x?0,y?0,1?9?1，?x?y??x?y???????10?6?10?16 xy ?xy? xy 當且僅當技巧七 yx ? 9xy 時，上式等號成立，又 1x ? 9y ?1，可得x?4,y?12時，?x?y?min?16。 例：已知x，y為正實數(shù)，且x ＝1，求1＋y 2 的最大值.2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤ 221＋y中y前面的系數(shù)為，x y 2 a 2＋b 2。 1＋y 22· ＝2 同時還應(yīng)化簡1＋y 2 ＝x x· 1y 2 ＋22 1y 2 ＋分別看成兩個因式： 22x 2＋（1y 2 ＋)22222 x 2＋ ＝ y 22＋ 下面將x，x· 1y 2 ＋ ≤22 ＝即x 1＋y 2 ＝2 ·x 1y 23＋≤224技巧八： 已知a，b為正實數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝的最小值.ab 分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。 30－2b－2 b 2＋30b 法一：a＝，ab＝·b＝ b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝8 ∴ ab≤18∴ y≥ 118 當且僅當t＝4，即b＝3，a＝6時，等號成立。ab －2t 2＋34t－31 1616 ＝－2（t＋）＋34∵t＋ ≥2 t· 30－2b tttt 法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥2令u＝ab則u2＋22 u－30≤0，－5∴≤u≤3 ab≤32，ab≤18，∴y≥ a?b2 ab（a,b?R）的應(yīng)用、不等式的解法及運算能力；② ? 點評：①本題考查不等式 ? ? 如何由已知不等式ab?a?2b?30（a,b?R）出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到 a?b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式 a?b 2?ab（a,b?R），這樣將已知條件轉(zhuǎn)換 ? 為含ab的不等式，進而解得ab的范圍 .技巧 九、取平方 例: 求函數(shù)y ? 12?x? 52)的最大值。 解析：注意到2x?1與5?2x的和為定值。 y?? ?4??4?(2x ?1)?(5?2x)?8 又y?0，所以0?y?當且僅當2x?1=5?2x，即x? 時取等號。故ymax?。 應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式 例：已知a、b、c?R?，且 a?b?c?1。求證：? ? 1??1??1? ?1???1???1??8 ?a??b??c? 分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2”連乘，又1?1?1?a?b?c?，可由此變形入手。 a a a a 解：?a、b、c?R?，a?b?c?1。 ? 1a ?1? 1?aa ? b?ca ? a 。同理 1b ?1? b，1c ?1? c 1?1??1??1?。當且僅當時取等號。a?b?c??1?1?1??8?????? 3abcabc?????? 應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題 例：已知x?0,y?0且 1x?9y ?1，求使不等式x?y?m恒成立的實數(shù)m的取值范圍。 解：令x?y?k,x?0,y?0,10k 3k 1x ? 9y ?1，? x?ykx ? 9x?9yky ?1.? 10k ? ykx ? 9xky ?1 ?1??2? 。?k?16，m????,16? 應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若 a?b?1,P? lga?lgb,Q? (lga?lgb),R?lg（a?b2)，則P,Q,R的大小關(guān)系 是.分析：∵a?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0 Q? （lga?lgb)? a?b2)?lg lga?lgb?p lgab?Q∴R>Q>P。 R?lg(ab? 河南教考資源信息網(wǎng) http://www.tmdps.cn 版權(quán)所有·侵權(quán)必究 第三課時 基本不等式 （三）（一）教學目標（1）知識與技能目標 1.熟練使用a2+b2?2ab和a?b?2ab.2.會應(yīng)用此定理求某些函數(shù)的最值； 3.能夠解決一些簡單的實際問題.（2）過程與能力目標 了解運用a?b?2ab的條件，熟練運用不等式中1的變換.（3）情感與態(tài)度目標 通過掌握公式的結(jié)構(gòu)特點，運用公式的適當變形，提高學生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，進一步加強學生的實踐能力.（二）教學重點：在運用a?b?2ab中要注意“一正”、“二定”、“三相等”.教學難點：a?b?2ab的運用.（三）教學流程（1）復習：基本不等式（2）舉例分析 例1：a,b是正數(shù)且a?b?4，求ab的最值 解：ab?（a?b2422)?()?4,即ab的最大值為2變形1：a,b是正數(shù)且2a?b?4，求ab的最值 解：ab?112a?b21422ab?（）?()?222222b2?4，求ab的最值 即ab的最大值為2 變形2：a,b是正數(shù)且a?解：ab?2a(12a?b)?（2b即ab的最大值為8 2)2?2(4)2?8,22變形3： a,b是正數(shù)且2a+3b=4,求ab的最值和此時a、b的值 解：ab?112a?3b21422(2a)(3b)?（）?()?,66262323,當且僅當2a?3b即a?1,b?23取最大值 即ab的最大值為例2． a,b都是正數(shù)且2a+b=2,求a(1+b)的最值和此時a、b的值 解：a(1?b)?112a?1?b21329(2a)(1?b)?（）?()?,22222898,當且僅當2a?1?b即a?34,b?12取最大值 即ab的最大值為 1 河南教考資源信息網(wǎng) http://www.tmdps.cn 版權(quán)所有·侵權(quán)必究 (2)a,b是正數(shù),a?2b22?2,a(1?2b)的最值是2。 解：a1?2b2?2a(1?2b)?22(a?1?2b2222)2?23262,b?12取最大值 即a1?b的最大值為2,當且僅當a例3：已知a、b?R,a?b?1,y???1?2b即a?1a14?1b，求y的最小值． 證法1：直接用公式 由ab?(a?b2)得ab?214，由ab?得1a1ab??4 1b1a?1b?21a?1b?21ab?4 即?4 證法2：對1進行變換 因為a?b?1,所以1a1bba1a?ba?1b?a?ba?a?bb?2?ba?ba 而ba?ba?2ba?ab?2 所以??2??4 練習 (1)已知a、b?R,且a?2b?1,y???1a?1b，求y的最小值．1?1?1 ?9 abc111?(3)已知a、b、c?R,且a?b?c?1,求證(?1)(?1)(?1)?8 abc(2)已知a、b、c?R,且a?b?c?1,求證解：(1)1a?1b?a?2ba?a?2bb?1?2ba?2?ab?3?2ba?ab?3?22ba?ab?3?22 (2)1a?1b?1c?a?b?caba??aba?b?cb?2cacaac??aca?b?cc?2cb??3?bc?9ba?ab?ca?ac?cb?bc?3?2(3)1a1c?1??1?a?b?caa?b?cc?1??1?babc???2?2bcaabc(1b1a?1??1)(a?b?cb1b?1)(1c?1?ab?cb?2acbacbabc?8?1)?8bca課堂小結(jié)： 1.熟練使用不等式 a?b?2ab和a?b?2ab． 22河南教考資源信息網(wǎng) http://www.tmdps.cn 版權(quán)所有·侵權(quán)必究 2.注意使用a?b?2ab的條件． 3.注意取等號的條件． 4.靈活變換“1”．課后作業(yè)：《習案》作業(yè)三十三第四篇：新課標必修5數(shù)學基本不等式經(jīng)典例題(含知識點和例題詳細解析)（范文）
第五篇：新人教A版必修五教案：3.4 基本不等式(三)
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