第一篇：含絕對值的不等式解法(總結歸納)

含絕對值的不等式解法、一元二次不等式解法

[教材分析] |x|的幾何意義是實數x在數軸上對應的點離開原點O的距離，所以|x|0)的解集是

{x|-aa(a>0)的解集是{x|x>a或x<-a}。把不等式|x|a(a>0)中的x替換成ax+b，就可以得到|ax+b|c(c>0)型的不等式的解法。

一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解可以聯系二次函數y=ax2+bx+c的圖象(a≠0)圖象在x軸上方部分對應的x值為不等式ax2+bx+c>0的解，圖象在x軸下方部分對應的x值為不等式ax2+bx+c<0的解。而方程ax2+bx+c=0的根表示圖象與x軸交點的橫坐標。求解一元二次不等式的步驟，先把二次項系數化為正數，再解對應的一元二次方程，最后根據一元二次方程的根，結合不等號的方向，寫出不等式的解集。

求解以上兩種不等式的方法，就是將不等式轉化為熟悉，可解的不等式，因此一元二次不等式的求解，也可采用以下解法。

x2+3x-4<0(x+4)(x-1)<0 或 或-4

原不等式解集為{x|-4

x2+3x-4<0

(x+)2<

|x+|<-

原不等式解集為{x|-4

[例題分析與解答]

例1．解關于x的不等式|ax-2|<4，其中a∈R。

[分析與解答]：|ax-2|<4屬于|x|0)型?！?4

當a>0時，-x>，當a=0時，不等式化為2<4，顯然x∈R。

故a>0時不等式解集是{x|-

例2．解不等式|x-3|-|2x+3|≥2。

[分析與解答] 去掉絕對值需要確定絕對值內代數式的值的符號，符號的正與負是以0為分界點，所以x=3和

x=-是絕對值內兩個代數式值的符號的分界點。用3和-將全體實數劃分成三個區間，則在每一個區間上都可確定去掉絕對值的結論，由此分情況求解。

(1)

-4≤x<-。

(2)

-≤x≤-。

(3)。

綜上，原不等式的解集為{x|-4≤x<-}∪{x|-≤x≤-}={x|-4≤x≤-}。

例3．解關于x的不等式x2+(2-a)x-2a<0,其中a∈R。

[分析與解答] 設y=x2+(2-a)x-2a，其表示的拋物線開口向上，Δ=(2-a)2-4(-2a)=(2+a)2≥0,拋物線與x軸相交或相切，方程x2+(2-a)x-2a=0的兩個根是-2或a。下面只需確定兩個根的大小關系，就可以寫出不等式的解集。

x2+(2-a)x-2a<0

(x+2)(x-a)<0

當a>-2時，原不等式解集是{x|-2

例4．已知不等式ax2+bx+c>0的解是-3

[分析與解答] 二次不等式給出解集，既可以確定對應的二次函數圖象開口方向（即a的符號）又可以確定對應的二次方程的兩個根，由此可根據根與系數關系建立系數字母關系式，通過代入法求解不等式。

由ax2+bx+c>0的解集是-3

且-3，1是方程ax2+bx+c=0的兩個根，∴-3+1=-

∴ b=2a, c=-3a，代入所求不等式-3ax2+3ax+6a<0，∵ a<0，∴ x2-x-2<0,(x-2)(x+1)<0，∴-1

x2+(1+)x+6(-1)>0，將=-3，=2，代入得-3x2+3x+6>0，即x2-x-2<0，以下同上面解法。

在本題條件下，要求解每一個字母a,b,c的值是不正確的。由于滿足條件的二次函數只要開口向下，與x軸交于點(-3,0)和(1,0)即可，而這樣的二次函數有無窮多個，故a,b,c無唯一解。

例5．解關于x的不等式ax2-(a-8)x+1>0，其中a∈R。

[分析與解答] a的不同實數取值對不等式的次數有影響，當不等式為一元二次不等式時，a的取值還會影響二次函數圖象的開口方向，以及和x軸的位置關系。因此求解中，必須對實數a的取值分類討論。

當a=0時，不等式化為8x+1>0。不等式的解為{x|x>-,x∈R}。

當a≠0時，由Δ=(a-8)2-4a=a2-20a+64=(a-4)(a-16)。

(1)若016時，Δ>0，拋物線y=ax2-(a-8)x+1開口向上，方程ax2-(a-8)x+1=0兩根為。

不等式的解為{x|x<或x>}。

(2)若4

(3)若a=4時，Δ=0，拋物線y=ax2-(a-8)x+1開口向上且與x軸相切，方程ax2-(a-8)x+1=0有重根x=-。不等式的解為{x|x≠-,x∈R}。

(4)若a=16時，Δ=0，拋物線y=ax2-(a-8)x+1開口向上且與x軸相切，方程ax2-(a-8)x+1=0的重根為x=。不等式的解為{x|x≠,x∈R。}。

(5)若a<0, Δ>0，拋物線y=ax2-(a-8)x+1開口向下，此時方程ax2-(a-8)x+1=0的兩根大小關系是<, 不等式的解集是：

{x|

[本周參考練習]

1．關于x的不等式|ax+1|≤b的解是-

2．解不等式1<|x-2|≤7。

≤x≤，求a，b的值。

3．不等式ax2+bx+c<0的解為x<α或x>β，其中α<β<0，求不等式cx2-bx+a>0的解。4．不等式x2-ax-6a>0的解為x<α或x>β，且β-α≤5(α≠β),求實數a的取值范圍。

[參考答案]： 1．解：由|ax+1|≤b, ∴-b≤ax+1≤b，∴-b-1≤ax≤b-1。當a>0時，≤x≤。

∴ , 不滿足a>0,舍去。當a<0時，≥x≥。

∴

當a=0時，不合題意，所以a=-2，b=2。

2．解由1<|x-2|≤7,∴1

3．解：必有a<0，則x2+

x+>0的解為x<α或x>β，∴α+β=-, α·β=。

將cx2-bx+a>0兩邊同除以a(a<0)，∴

x2-x+1<0, ∴ αβx2+(α+β)x+1<0，∵ αβ>0，∴ x2+（）x+<0，∴(x+)(x+)<0, ∵ α<β<0, ∴，即<, ∴->-，不等式解為-

4．解：由α≠β，∴ 方程x2-ax-6a=0有兩不等根，且α，β是其兩根（β>α）。

∴ β-α=，∴ a2+24a≤25，-25≤a<24或0

第二篇：《含絕對值不等式的解法》教案

《含絕對值不等式的解法》教案

本課件依據我校高三數學第一輪復習用書《步步高高考總復習—數學》及另選部分題目制作而成，全部內容都經過了課堂教學的檢驗，為教學過程的實錄。

本節課首先給出復習目標、重點解析及知識要點，并給出了絕對值不等式||a|-|b||≤|a?b|≤|a|+|b|中等號成立的充要條件，對其中較難理解的情況給出了分析或證明。

然后給出了3道典型例題，每道例題后選配訓練題幫助學生鞏固、掌握所復習的知識。

最后以備選題的形式給出了12道訓練題(其他教師使用本課件時可根據所教學生情況的不同，選取其中的題目作為例題)。大多數題目給出了不只一種的解題方法(思路)。

由于歷年高考中大部分考生數學題解答不規范，導致無謂失分，制作課件時，力求每一道題的解答都相對完整。使用課件時，先和學生一起分析解題思路，然后通過屏幕展示給學生一個完整、規范的解題過程，以提高學生正確表述知識的能力。

第三篇：含絕對值不等式的解法習題課

第十一教時

三、補充：

例

七、已知函數f(x), g(x)在 R上是增函數，求證：f [g(x)]在 R上也是增函數。

例

八、函數 f(x)在 [0, ???上單調遞減，求f(?x2)的遞減區間。

例

九、已知函數 f(x)是定義在 R上的奇函數，給出下列命題：

1．f(0)= 0

2．若 f(x)在 [0, ???上有最小值 ?1，則 f(x)在???,0?上有最大值1。

3．若 f(x)在 [1, ???上為增函數，則 f(x)在 ???,?1?上為減函數。

4．若 x > 0時，f(x)= x2 ? 2x ,則 x < 0 時，f(x)= ? x2 ? 2x。其中正確的序號是：例

十、判斷 f(x)?

?x?x22?x?1?x?1 的奇偶性。

第四篇：含絕對值符號的不等式的解法與證明

[本周內容]含絕對值符號的不等式的解法與證明

[重點難點]

1．實數絕對值的定義:

|a|=

這是去掉絕對值符號的依據，是解含絕對值符號的不等式的基礎。

2．最簡單的含絕對值符號的不等式的解。

若a>0時，則

|x|

|x|>a

注:這里利用實數絕對值的幾何意義是很容易理解上式的，即|x|可看作是數軸上的動點P(x)到原點的距離。

3．常用的同解變形

|f(x)|

|f(x)|>g(x)

|f(x)|<|g(x)|

4．三角形不等式:

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

例題選講:

例1．解不等式 |x2+4x-1|<4.............①

解:①-4g(x)； f2(x)

-aa。

-5

即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）。

例2．解不等式|x2-3|>2x...........①

解:①

即原不等式的解集（-∞，1）∪（3，+∞）。

例3．解不等式|

|≤1...........①-33

x<1或x>3。x2-3<-2x或x2-3>2x

x2+2x-3<0或x2-2x-3>0

解: ①

(2)

(3)(x+4)(3x+2)≤0,x≠1。

]。

-4≤x≤-|2x+3|2≤|x-1|2

(2x+3)2-(x-1)2≤0

(2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0。

∴原不等式的解集為[-4，-

例4．解不等式|x+1|+|x-2|<5...........①

分析:為了去掉絕對值符號，首先找到兩式的零點-1和2，它們把（-∞，+∞）分成了三個區間；（-∞，-1），[-1，2]，（2，+∞）。從而可將不等式①化為三個不等式組。求它們的解集的并集即可。

解:將不等式①化為三個不等式組

（I）

-2

（II）

-1≤x≤2；

（III）

2

∴原不等式的解集為(-2,-1)∪[-1,2]∪(2,3)，即（-2，3）。

例5．解不等式|x+1|+|x-2|<1。

解:∵ |x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，∴ 原不等式無解。

說明:本題沒有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判斷出結果。它提示我們今后解這一類問題，應先判斷。

例6．已知:|a|<1, |b|<1。求證:|

證法1：欲證①，只需證

只需證(a2+b2-a2b2-1)<0, 只需證-(a2-1)(b2-1)<0............②

∵ |a|<1, |b|<1。∴a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0。∴②式成立，∴ 原不等式成立。

證法2：欲證①，只需證-1<

只需證（只需證

·

<0, +1）（-1）<0，<1, <1，|<1.........①

只需證|a+b|<|1+ab|, 只需證(a+b)2<(1+ab)2, 只需證(a+b)2-(1+ab)2<0，只需證

<0，只需證

<0............③

∵ |a|<1, |b|<1, ∴ a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0，又(1+ab)2>0, ∴③式成立，∴ 原不等式成立。

例7．求證:

證法1:

∵

∵ 上式顯然成立，∴

又

證法2：這里只證明

分析:觀察兩式結構均為y=

≤

=

+

≤

成立?！?|a+b|≤|a|+|b|。

|a+b|(1+|a|+|b|)≤(|a|+|b|)(1+|a+b|)

≤

≤

+。

≤+。

∴ 原命題成立。的形式，又∵|a+b|≤|a|+|b|，而原不等式要成立，只需證明函數在[0，+∞）上單調遞增即可。

證明:設0≤x1≤x2, 則

-=，∵ 0≤x1≤x2, ∴ x2-x1≥0, 1+x1>0, 1+x2>0, ∴

≥0。

∴-≥0, 即≥，設x1=|a+b|, x2=|a|+|b|

∵ |a+b|≤|a|+|b|，∴

參考練習:

≤。

1．解不等式 |x2+3x-8|≤10。

2．解不等式 |x+7|-|x-2|<3。

3．解不等式 |

4．解不等式 |log3x|+|log3(3-x)|≥1。

5．求y=

6．設f(x)=x2+ax+b是整系數二次三項式，求證:|f(1)|<

7．已知|x|<

參考答案:

1.[-6,-2]∪[-1, 3]；

2.(-∞,-1)；

3.[

4.提示:首先求定義域（0，3）。其次求出二零點1，2。分三個區間（0，1]，（1，2]，（2，3）解即可。解集（0，]∪[，3）。, 2)∪(6, +∞)； , |y|<, |z|<,(ξ>0)。求證:|x+2y-3z|<ξ。, |f(2)|<, |f(3)|<,不可能同時成立。的值域。

-3|>1。

5．提示:可用反解法解出sinx=

6．提示:用反證法

略證:假設|1+a+b|< , |4+2a+b|<，則解不等式||≤1得y∈[-4,-]。, 及|9+3a+b|<同時成立。

由題設a, b∈Z, ∴ 1+a+b∈Z，∴ 1+a+b=0.........①

同理4+2a+b=0.......② 9+3a+b=0.........③

由①，②解得a=-3, b=2。但不滿足③式，故假設不成立，即|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|不能同時小于

7．證明略。

第五篇：絕對值不等式解法的說課稿公開課

包鐵一中選修4-5絕對值不等式的解法說課稿講課人：杜玉榮 各位領導和老師們大家好，我將從教材分析，學情分析，教學教法分析，教學過程，教學設計說明，板書設計幾個方面對本節進行闡述。

一．教材分析：

（1）教材的地位和作用

《絕對值不等式的解法》是人教版A版選修4-5中第一講第二節的內容，它是我們學生在學習了絕對值的定義及幾何意義及不等式的解法與性質之后給出的一節課。含有絕對值不等式的問題主要有兩大類，其中一類是不等式的證明，另一類是不等式的解法，其中不等式的解法是高考的重點。

（2）教學目標：

①知有一個絕對值的不等式的解法。

②能力目標：培養學生觀察，分析，歸納概括的能力以及邏輯推理能力?？疾鞂W生思維的積極性和全面性，領悟分類討論的思想和數形結合的思想方法。

③情感目標：激發學生學習興趣，鼓勵學生大膽探索，使學生形成良好的個性品質和學習習慣。

(3)教學目標：

①教學重點：如何去掉絕對值符號將其轉化為普通的不等式去解。

②教學難點：絕對值意義的理解及綜合問題的求解過程中交，并等各種運算。

二．學情分析：

（1）優勢：學生們在知識上已經具備了一定的知識經驗和基礎。

學生們在能力上已經初步具備了數形結合思想和分類討論思想。

（2）不足：學生們基礎較薄弱，邏輯思維能力不強。

三．教學教法分析：

本節內容采取了啟發式，講練結合式，討論式的教學方法和學生探究式學法。在教師的引導下想法提高學生的學習興趣，給學生時間去思考，讓主動權交給學生，讓學生自己發現分析解決問題，不僅教給學生知識，讓學生慢慢學會知識，讓傳統下的學習數學改成研究數學，從而使傳授知識與培養能力融為一體。

四．教學過程：

復習引入 講授新課 應用舉例 知識反饋 歸納小結 布置作業

（1）復習引入：引導學生一起復習絕對值的定義及幾何意義。從具體的例子入手，引導啟發學生們用不同的方法去解。

（2）講授新課：讓學生們總結出一般的|x|>a(a>0)或|x|0)型不等式的解法。

（3）應用舉例：給出含有一個絕對值的不等式的例1，例2讓學生們嘗試用不同的方法去解。

（4）知識反饋：共舉出了三個練習，并且三個練習逐一加強難度。讓學生們反復練并找學生們到黑板上板演，最后點評。練習讓學生們嘗試用兩種不同的方法去解，從而體會到各自的優缺點。

（5）歸納小結：本節基本思路是去絕對值符號轉化成一般的不等式。主要方法有用定義法，幾何法和平方法。

（6）布置作業：分別設置了必做題和選做題，這樣可以對不同層次的學生有針對性的練習。

五．教學設計說明：

我采用的模式是問題—探究—歸納—應用。

在課堂上努力實現學生的主體地位，使數學教學成為一種師生共同經歷探索的過程。