第一篇：數(shù)學(xué)歸納法中不等式類解法

數(shù)學(xué)歸納法中不等式類解法

數(shù)學(xué)歸納法的思想比較特殊，原理是用類似于“多骨諾米牌效應(yīng)”的方法，從n=1，n=2推到所可以達(dá)到的終點(diǎn)，從而推出式子的正確性。也正是如此，數(shù)學(xué)歸納法在遇到不等號且一邊為常數(shù)時使用k→k+1的推理便不適用了，因為k成立已推不出k+1成立，原因是等號是精確值，而不等式是范圍。下面用題目體會一下。

證明：1+1/4+1/9+……+1/（n*n）<2（n為正整數(shù)）證明：1.當(dāng)n=1時，左邊=1<2=右邊，明顯成立

2.假設(shè)當(dāng)n=k(k為正整數(shù))時，等式成立，有

1+1/4+1/9+……+1/（k*k）<2

(當(dāng)n=k+1時，注意到左邊加了一個大于0的數(shù)，但右邊沒有加，這是明顯證明不了的，這時方法就是在左邊減上一個含有n的數(shù)(對應(yīng)小于)，右邊數(shù)小了，若成立，即可推原式也成立。)

但是應(yīng)該加什么呢？其實(shí)加的關(guān)鍵就是加了之后把加的數(shù)移到左邊，式子變成單調(diào)遞 減的式子，關(guān)鍵之處需仔細(xì)體會。

重新證明: 1+1/4+1/9+……+1/（n*n）<2-1/n 1.略

2.這時你會發(fā)現(xiàn)，n=k時把1/n移右為1+1/4+1/9+……+1/（n*n）+1/n<2 n=k+1時為1+1/4+1/9+……+1/（n*n）+1/(n+1)(n+1)+1/(n+1)而1/n>[1/(n+1)(n+1)+1/n]，由此第二步證明成功。

由1+1/4+1/9+……+1/（n*n）<2-1/n即可得 1+1/4+1/9+……+1/（n*n）<2

得證。

本方法關(guān)鍵在于選擇加減的數(shù)，使其從k到k+1時數(shù)會反而變小（小于）/變大（大于），只要做多兩題，到時候自然解決。

第二篇：不等式的解法練習(xí)題

職三數(shù)學(xué)課堂練習(xí)題（4）

不等式的解法練習(xí)題

1、已知a∈R，則“a>2”是“a2>2a”成立的()

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

2、不等式3x?1<1的解集為（）A.RB.??xx?0或x??2?C.?xx?2?D.?2?????x0?x?? 3?3?3???

3、若關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A．(－1,1)B．(－2,2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

?1?

4、設(shè)二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集為?x|－1

A．－3B．－5C．6D．55、若a<0，則關(guān)于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解是

6、不等式x2－2x＋a>0對x∈R恒成立，則a的取值范圍是

7.解不等式：

?1-x?0?11-3x?2(1)?(2)?(3)3x2-2x-1≥0?2x?5?0?2x?1??5

2(4)-x2-2x+3≥0（5）?12x?5x?3?0

（6）x?x?1?0（7）1?|2x?3|?5 2

28.設(shè)A?{x|x?x?20?0},B?{x||2x?3|?0}，求（1）A?B(2)A?B

第三篇：不等式解法知識要點(diǎn)

知識要點(diǎn)

1．考試說明規(guī)定“不等式”考試內(nèi)容包括不等式、不等式的性質(zhì)、不等式的證明、不等式解法、含有絕對值符號的不等式．

上述性質(zhì)中，條件與結(jié)論的邏輯關(guān)系有兩種：推出關(guān)系“和性質(zhì)是進(jìn)行變換、證明不等式和解不等式的依據(jù)．

（3）不等式證明的主要方法：比較法、綜合法、分析法和函數(shù)單調(diào)性法等．

求差比較法的基本步驟是作差--變形--定號（正負(fù)號）．變形是關(guān)鍵，通常將差式因式分解成積的形式或完全平方式與完全平方式（正數(shù)）和的形式，它是定號的依據(jù)，尤其適用具有多項式結(jié)構(gòu)特征的不等式

”和等價關(guān)系“

”，要注意區(qū)別．一般地，證明不等式時，進(jìn)行的是一系列推出變換；解不等式時，進(jìn)行的是一系列等價變換．不等式的概念的證明．求商比較法的步驟是做商--變形--判斷（與1比大小），它的依據(jù)是：當(dāng)＞0時，＞比商法適用具有乘積形式結(jié)構(gòu)特征的不等式的證明．

＞1，綜合法（持因?qū)Ч┡c分析法（執(zhí)果索因）是互逆過程．在實(shí)際應(yīng)用中，多種方法常常相互滲透，由分析法分析，用比較法或綜合法等方法書寫，表述簡單、條理清楚．運(yùn)用綜合法時，經(jīng)常應(yīng)用的基本不等式是：

應(yīng)用均值不等式時，一定要注意是否滿足公式適用的條件，若不滿足應(yīng)首先想到變形或變量代換使之滿足條件，或考慮從函數(shù)單調(diào)性入手．

證明不等式的其它方法，如利用函數(shù)單調(diào)性、反證法、放縮法、換元法、判別式法和數(shù)學(xué)歸納法等，也必須理解和掌握．

（4）不等式解法，包括一元一次不等式（組）、一元二次不等式（組）、分式不等式、高次不等式等有理不等式，簡單的無理不等式、指數(shù)不等式、對數(shù)不等式以及含有絕對值符號的不等式的求解和解集的確定．

形如的不等式（組）的解法和解集的確定要熟練掌握．它們是解各種類型不等式的基礎(chǔ)．高次不等式的解法是通過因式分解，將它化為一次或二次因式的乘積，然后用“序軸標(biāo)根法”求解集．解有理分式不等式時，一般先通過移項，把一邊化為零，另一邊化為因式之積或商，再等價轉(zhuǎn)化為高次不等式解之．

解無理不等式時，通常轉(zhuǎn)化為有理不等式組求解．常見的轉(zhuǎn)化有：

此外還可以通過換元法、圖象法等．

解含有絕對值符號的不等式關(guān)鍵是正確地脫去絕對值符號，轉(zhuǎn)化為有理不等式再求解，常見的轉(zhuǎn)化有：

含有多個絕對值的不等式，可采用“零點(diǎn)分區(qū)間”法求解．利用絕對值的幾何意義解含有絕對值符號的不等式，也是一種簡便的方法．此外，借助函數(shù)圖象也是一種好方法．

解簡單的指數(shù)、對數(shù)不等式時，常用的方法有同底法、轉(zhuǎn)化法、換元法和圖象法等．

換元法：多用于兩邊是和的形式，把原不等式換元成一元二次不等式或無理不等式等形式，或先兩邊取對數(shù)后換元，要注意取對數(shù)時其數(shù)必須為正，要注意新元的取值范圍．

轉(zhuǎn)化法：多用于指數(shù)不等式，通常對不等式兩邊取同底對數(shù)，轉(zhuǎn)化為對數(shù)不等式．要注意轉(zhuǎn)化的等價性．

2．考試說明對各部分內(nèi)容的要求：

（1）理解和掌握不等式的性質(zhì)及其證明，掌握證明不等式的幾種常用方法，掌握兩個（或三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這一定理，并能運(yùn)用上述性質(zhì)、定理和方法解決一些問題．

（2）在熟練掌握一元一次不等式（組）、一元二次不等式的解法的基礎(chǔ)上初步掌握其它一些簡單不等式的解法．

（3）會用不等式

解一些簡單的問題．

3．在高考中，以考查不等式的性質(zhì)、解法和最值方面的應(yīng)用為重點(diǎn)．不等式是數(shù)學(xué)各章知識交匯點(diǎn)之一．不等式與函數(shù)、方程、數(shù)列、三角、復(fù)數(shù)、立幾、解幾、排列組合數(shù)，二項式定理以及應(yīng)用題都有著廣泛的聯(lián)系．在知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)處命題，是近幾年考題的一個顯著特點(diǎn)．單獨(dú)考查不等式證明的試題，近幾年高考中沒有出現(xiàn)過．復(fù)習(xí)中要注意以下幾點(diǎn)：

（1）解不等式是求函數(shù)定義域和值域、參數(shù)取值范圍、方程根的討論等的重要途徑．熟練掌握各種類型不等式的解法，是高考的基本要求．

（2）應(yīng)用不等式知識解題的關(guān)鍵是建立不等量關(guān)系，其主要途徑有利用函數(shù)單調(diào)性、變量的有界性、重要不等式、判別式及研究對象的幾何意義等．

（3）在運(yùn)用重要不等式時，要學(xué)會常見的拆、并、湊、平方等技巧，以滿足“一正”（變量為正），“二定”（不等式一邊必須取定值），“三等”（存在滿足取等號的變量取值）．

（4）不等式應(yīng)用題、題源豐富、綜合性強(qiáng)．雖然近幾年試題的難度有所降低，但仍然是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)題型．試題一般以函數(shù)、數(shù)列、幾何體等為載體，解題過程涉及到均值不等式（和常積大，積常和小）、函數(shù)單調(diào)性、數(shù)列通項公式及前項和公式等知識．解答應(yīng)用題首先要認(rèn)真審題，篩選并提取有效信息，再尋找量與量的內(nèi)在聯(lián)系（列表是一種可行的辦法），在弄清題意的基礎(chǔ)上，建立起能反映數(shù)量間關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（建模）．

（5）涉及含參不等式的問題，在轉(zhuǎn)化不等式形式或求取解集時，要對參數(shù)取值范圍分類討論，討論中首先要考慮參數(shù)的總?cè)≈捣秶浯斡猛粯?biāo)準(zhǔn)對參數(shù)進(jìn)行劃分，做到不重不漏，最后應(yīng)該分參數(shù)不同取值范圍分別作出結(jié)論．

（6）解不等式、證明不等式和解與不等式知識有關(guān)的開放題、應(yīng)用題等．對數(shù)學(xué)基本能力和數(shù)學(xué)思想方法都有較高的要求，主要有分類討論、等價轉(zhuǎn)換、合理運(yùn)算．?dāng)?shù)形結(jié)合和邏輯思維能力．這對于適應(yīng)進(jìn)入高等學(xué)校學(xué)習(xí)和培養(yǎng)創(chuàng)新思維都具有重要意義．

第四篇：含絕對值不等式的解法習(xí)題課

第十一教時

三、補(bǔ)充：

例

七、已知函數(shù)f(x), g(x)在 R上是增函數(shù)，求證：f [g(x)]在 R上也是增函數(shù)。

例

八、函數(shù) f(x)在 [0, ???上單調(diào)遞減，求f(?x2)的遞減區(qū)間。

例

九、已知函數(shù) f(x)是定義在 R上的奇函數(shù)，給出下列命題：

1．f(0)= 0

2．若 f(x)在 [0, ???上有最小值 ?1，則 f(x)在???,0?上有最大值1。

3．若 f(x)在 [1, ???上為增函數(shù)，則 f(x)在 ???,?1?上為減函數(shù)。

4．若 x > 0時，f(x)= x2 ? 2x ,則 x < 0 時，f(x)= ? x2 ? 2x。其中正確的序號是：例

十、判斷 f(x)?

?x?x22?x?1?x?1 的奇偶性。

第五篇：無理不等式的解法教案

無理不等式

目的：通過分析典型類型例題，討論它們的解法，要求學(xué)生能正確地解答無理不等式。過程：

一、提出課題：無理不等式 — 關(guān)鍵是把它同解變形為有理不等式組

二、?f(x)?0???定義域g(x)型??g(x)?0???f(x)?g(x)?f(x)?

例一 解不等式3x?4?x?3?0

解：∵根式有意義 ∴必須有：??3x?4?0?x?3?0?x?3

又有 ∵ 原不等式可化為3x?4?x?3

12兩邊平方得：3x?4?x?3 解之：x?∴{x|x?3}?{x|x?}?{x|x?3}

三、?f(x)?0?f(x)?0?f(x)?g(x)型??g(x)?0或??f(x)?[g(x)]2?g(x)?0?

例二 解不等式?x2?3x?2?4?3x

解：原不等式等價于下列兩個不等式組得解集的并集：

?4?3x?0??x2?3x?2?0?2Ⅰ：??x?3x?2?0 Ⅱ：?

?4?3x?0??x2?3x?2?(4?3x)2?

4?x??364?解Ⅰ：?1?x?2??x?533?6?x??52? 解Ⅱ：

43?x?2

∴原不等式的解集為{x|65?x?2}

四、?f(x)?0?f(x)?g(x)型??g(x)?0?f(x)?[g(x)]2?

例三 解不等式2x2?6x?4?x?2

?2x2?6x?4?0?解：原不等式等價于?x?2?0

?2x2?6x?4?(x?2)2??x?2或x?1??{x|2?x?10或0?x?1}

??x??2?0?x?10?特別提醒注意：取等號的情況

五、例四 解不等式2x?1?x?1?1

解 ：要使不等式有意義必須：

1??2x?1?01?x?????x???22?x?1?0??x??1

原不等式可變形為 2x?1?1?非負(fù)

x?1 因為兩邊均為∴(2x?1?1)2?(x?1)2 即22x?1??(x?1)∵x+1≥0 ∴不等式的解為2x+1≥0 即 x??例五 解不等式9?x2?6x?x2?3 解：要使不等式有意義必須：?9?x2?0??3?x?3??0?x?3 ??20?x?6??6x?x?012

在0≤x≤3內(nèi) 0≤9?x2≤3 0≤6x?x2≤3 ∴9?x2>3?6x?x2 因為不等式兩邊均為非負(fù) 兩邊平方得：9?x2?9?6x?x2?66x?x2 即6x?x2>x 因為兩邊非負(fù)，再次平方：6x?x2?x2 解之0

解：定義域 x-1≥0 x≥1 原不等式可化為：x?1?1?3x?2

兩邊立方并整理得：(x?2)x?1?4(x?1)

在此條件下兩邊再平方, 整理得：(x?1)(x?2)(x?10)?0 解之并聯(lián)系定義域得原不等式的解為{x|1?x?2或x?10}

六、小結(jié)

七、作業(yè)：P24 練習(xí)1、2、3 P25習(xí)題 6.4 5 補(bǔ)充：解下列不等式

1．2x?3?3x?5?5x?6(x?2)2．3x?3?x?3?3x?x?3(x??3)

?5?213?x?1)s 3．4?1?x?2?x(4．(x?1)x2?x?2?0(x?2或x??1)5．2?x?x?1?1(?1?x?1?25)