第一篇：絕對值不等式的證明

絕對值不等式的證明

知識與技能：

1.理解絕對值的三角不等式，2．應用絕對值的三角不等式．

過程方法與能力：

培養學生的抽象能力和邏輯思維能力；提高分析問題、解決問題的能力.情感態度與價值觀：

讓學生通過對具體事例的觀察、歸納中找出規律，得出結論，培養學生解決應用問題的能力和嚴謹的學習態度。

教學重點：理解絕對值的三角不等式

應用絕對值的三角不等式．

教學難點：應用絕對值的三角不等式．

教學過程：

一、引入：

證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應用一般不等式的基本性質之外，經常還要用到關于絕對值的和、差、積、商的性質：

（1）a?b?a?b（2）a?b?a?b

a

bab（3）a?b?a?b（4）?(b?0)

請同學們思考一下，是否可以用絕對值的幾何意義說明上述性質存在的道理？ 實際上，性質a?b?a?b和a

b?a

b(b?0)可以從正負數和零的乘法、除法法則直

接推出；而絕對值的差的性質可以利用和的性質導出。因此，只要能夠證明a?b?a?b對于任意實數都成立即可。我們將在下面的例題中研究它的證明。

現在請同學們討論一個問題：設a為實數，a和a哪個大？ 顯然a?a，當且僅當a?0時等號成立（即在a?0時，等號成立。在a?0時，等號不成立）。同樣，a??a.當且僅當a?0時，等號成立。含有絕對值的不等式的證明中，常常利用a??a、a??a及絕對值的和的性質。

定理（絕對值三角形不等式）如果a,b

是實數，則

a?b≤a?b≤a?b

注：當a、b為復數或向量時結論也成立.特別注意等號成立的條件.定理推廣：

a1?a2???an≤a1?a2???an

當且僅當都a1，a2，?，an非正或都非負時取等號.探究：利用不等式的圖形解不等式1.x?1?x?1?1;2．x?2y?1..3．利用絕對值的幾何意義，解決問題：要使不等式x?4?x?3

二、典型例題：

例

1、證明（1）a?b?a?b，（2）a?b?a?b。

證明（1）如果a?b?0,那么a?b?a?b.所以a?b?a?b?a?b.如果a?b?0,那么a?b??(a?b).所以a?b??a?(?b)??(a?b)?a?b

（2）根據（1）的結果，有a?b??b?a?b?b，就是，a?b?b?a。所以，a?b?a?b。

例

2、證明 a?b?a?b?a?b。例

3、證明 a?b?a?c?b?c。思考：如何利用數軸給出例3的幾何解釋？

（設A，B，C為數軸上的3個點，分別表示數a，b，c，則線段AB?AC?CB.當且僅當C在A，B之間時，等號成立。這就是上面的例3。特別的，取c＝0（即C為原點），就得到例2的后半部分。）

探究：試利用絕對值的幾何意義，給出不等式a?b?a?b的幾何解釋？

含有絕對值的不等式常常相加減，得到較為復雜的不等式，這就需要利用例1，例2和例3的結果來證明。例

4、已知 x?a?

c

2,y?b?

c2，求證(x?y)?(a?b)?c.證明(x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b)?x?a?y?b（1）

?x?a?

c2,y?b?

c2c2?，c2

?c（2）

∴x?a?y?b?

由（1），（2）得：(x?y)?(a?b)?c 例

5、已知x?證明?x?

a4a4,y?

a6a6

.求證：2x?3y?a。

a2,3y?a2?a2a

2,y?，∴2x?，?a。

由例1及上式，2x?3y?2x?3y?

注意： 在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。但這種寫法，只能用于不等號方向相同的不等式。

三、小結：

借助圖形的直觀性來研究不等式的問題，是學習不等式的一個重要方法，特別是利用絕對值和絕對值不等式的幾何意義來解不等式或者證明不等式，往往能使問題變得直觀明了，幫助我們迅速而準確地尋找到問題的答案。關鍵是在遇到相關問題時，能否準確地把握不等式的圖形，從而有效地解決問題。

四、練習：

1、已知A?a?

2、已知x?a?

c2c

4,B?b?,y?b?

c2c6

.求證：(A?B)?(a?b)?c。

.求證：2x?3y?2a?3b?c。

五、作業： 1．求證

a?b1?a?b

?

a1?a

?

b1?b

a?b1?ab

.2．已知a?1,b?1.求證：?1.3．若?,?為任意實數，c為正數，求證：???(1?c)?(1?

1c)?

.（??

?

2??

?2?，而??c2

?

1c

?

c?

?2

1c

?）

4.a、b、c均為實數,a?b,b?c,a?c,5.已知函數f(x)?ax2?bx?c,當0≤x≤1時,f(x)≤1 求證:a?b?c≤17 作業：導學大課堂練習

課后反思：絕對值不等式的證明

求證:≤

a?b?2c?b?c?2a?c?a?2b

a?b?b?c?c?a

?2.

第二篇：絕對值不等式學案

絕對值不等式學案(1)

（一）知識點：.（三）鞏固練習：.（1）｜x＋4｜＞9(2)｜11

＋x｜≤ 1.不等式的基本性質：

2.絕對值的定義，即|a|=??_____a?0

?

_____a?0實數a的絕對值表示在數軸上所對應點A到

原點的距離，并且可以得到|a|≥0這一結論.3.按商品質量規定，商店出售的標明500 g的袋裝食鹽，其實際數與所標數相差

不能超過5 g，如何表達實際數與所標數的關系呢？

依據條件列出?

?________?5

?5，進而利用絕對值定義及其幾何意義將其表述成|x-500|≤5，即

?________一個含絕對值的不等式.（二）含絕對值不等式解法的探究

1.如何求解方程|x|=2?|x|=2的幾何意義是什么？

2.能表述|x|＞2,|x|＜2的幾何意義嗎？其解集是什么？

3.請嘗試歸納出一般情況下|x|＞a,|x|＜a（a＞0)的幾何意義及其解集？

4．解不等式|x-500|≤5.（三）歸納總結：|ax+b|＞c，|ax+b|＜c(c＞0)的解法？

第1頁

(3)｜2－x｜≥3

(5)｜5x－4｜＜6

（四）拓展延伸：.1.解不等式|x-1|+|2-x|＞3+x2.42

(4)｜x－23｜＜1

(6)｜1

x＋1｜≥2

解不等式|x+1|+|x-1|＜1

第2頁

第三篇：絕對值不等式教案

絕對值不等式的解法

教學目標：

1．理解并掌握ax?b?c與ax?b?c(c?0)型不等式的解法，并能初步地應用它解決問題。

2．培養數形結合的能力，培養通過換元轉化的思想方法，培養抽象思維的能力；

3．激發學習數學的熱情，培養勇于探索的精神，勇于創新

精神，同時體會事物之間普遍聯系的辯證思想。

重點：x?a與x?a(a?0)型不等式的解法。

難點：絕對值意義的應用，和應用x?a與x?a(a?0)型不等式 的解法解決ax?b?c與ax?b?c(c?0)型不等式。過程：

實數的絕對值是如何定義的？幾何意義是什么？ ?a,a?0? 絕對值的定義： | a | = ?0,a?0

??a,a?0? |a|的幾何意義：數軸上表示數a的點離開原點的距離。|x-a|(a≥0)的幾何意義是x在數軸上的對應點a的對應點之

間的距離。

實例：按商品質量規定，商店出售的標明500g的袋 裝食鹽，其實際數與所標數相差不能超過5g，設實際數是xg，那么，x應滿足什么關系？能不能用絕對值來表示？

?x?500?5,（?由絕對值的意義，也可以表示成500?x?5.?x?500?5.）

意圖：體會知識源于實踐又服務于實踐，從而激發學習熱情。

引出課題 新課

1．x?a(a?0)與x?a(a?0)型的不等式的解法。先看含絕對值的方程|x|=2 幾何意義：數軸上表示數x的點離開原點的距離等于2.∴x=⊥2 提問：x?2與x?2的幾何意義是什么？表示在數軸上應該是怎樣的？

數軸上表示數x的點離開原點的距離小（大）于2-2O2x-2O2x

即 不等式 x?2的解集是?x?2?x?2?

不等式 x?2 的解集是xx??2,或x?2.類似地，不等式x?a(a?0)|與x?a(a?0)的幾何意義是什么？解集又是什么？

即 不等式x?a(a?0)的解集是?x?a?x?a?;不等式x?a(a?0)的解集是xx?a,或x??a 小結：①解法：利用絕對值幾何意義 ②數形結合思想 2．ax?b?c,與ax?b?c(c?0)型的不等式的解法。

把 ax?b 看作一個整體時，可化為x?a(a?0)與

????x?a(a?0)型的不等式 來求解。

即 不等式ax?b?c(c?0)的解集為

?x|?c?ax?b?c?(c?0);不等式ax?b?c(c?0)的解集為

?x|ax?b??c,或ax?b?c?(c?0)例題

例1：解不等式x?500?5.解：由原不等式可得?5?x?500?5, 各加上500，得495?x?505, ∴原不等式的解集是?x495?x?505?.例2：解不等式2x?5?7.解：由原不等式可得2x?5??7,或2x?5?7.整理，得x??6,或x?1.∴原不等式的解集是xx??6,或x?1.練習：P52 1、2（1），（2）3（1）（2）小結

1．x?a與x?a(a?0)型不等式ax?b?c與

??ax?b?c(c?0)型不等式的解法與解集；

2．數形結合、換元、轉化的數學思想 作業P52 1、2（3），（4）3（3）（4）思考題 P52 4

第四篇：含絕對值符號的不等式的解法與證明

[本周內容]含絕對值符號的不等式的解法與證明

[重點難點]

1．實數絕對值的定義:

|a|=

這是去掉絕對值符號的依據，是解含絕對值符號的不等式的基礎。

2．最簡單的含絕對值符號的不等式的解。

若a>0時，則

|x|

|x|>a

注:這里利用實數絕對值的幾何意義是很容易理解上式的，即|x|可看作是數軸上的動點P(x)到原點的距離。

3．常用的同解變形

|f(x)|

|f(x)|>g(x)

|f(x)|<|g(x)|

4．三角形不等式:

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

例題選講:

例1．解不等式 |x2+4x-1|<4.............①

解:①-4g(x)； f2(x)

-aa。

-5

即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）。

例2．解不等式|x2-3|>2x...........①

解:①

即原不等式的解集（-∞，1）∪（3，+∞）。

例3．解不等式|

|≤1...........①-33

x<1或x>3。x2-3<-2x或x2-3>2x

x2+2x-3<0或x2-2x-3>0

解: ①

(2)

(3)(x+4)(3x+2)≤0,x≠1。

]。

-4≤x≤-|2x+3|2≤|x-1|2

(2x+3)2-(x-1)2≤0

(2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0。

∴原不等式的解集為[-4，-

例4．解不等式|x+1|+|x-2|<5...........①

分析:為了去掉絕對值符號，首先找到兩式的零點-1和2，它們把（-∞，+∞）分成了三個區間；（-∞，-1），[-1，2]，（2，+∞）。從而可將不等式①化為三個不等式組。求它們的解集的并集即可。

解:將不等式①化為三個不等式組

（I）

-2

（II）

-1≤x≤2；

（III）

2

∴原不等式的解集為(-2,-1)∪[-1,2]∪(2,3)，即（-2，3）。

例5．解不等式|x+1|+|x-2|<1。

解:∵ |x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，∴ 原不等式無解。

說明:本題沒有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判斷出結果。它提示我們今后解這一類問題，應先判斷。

例6．已知:|a|<1, |b|<1。求證:|

證法1：欲證①，只需證

只需證(a2+b2-a2b2-1)<0, 只需證-(a2-1)(b2-1)<0............②

∵ |a|<1, |b|<1。∴a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0。∴②式成立，∴ 原不等式成立。

證法2：欲證①，只需證-1<

只需證（只需證

·

<0, +1）（-1）<0，<1, <1，|<1.........①

只需證|a+b|<|1+ab|, 只需證(a+b)2<(1+ab)2, 只需證(a+b)2-(1+ab)2<0，只需證

<0，只需證

<0............③

∵ |a|<1, |b|<1, ∴ a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0，又(1+ab)2>0, ∴③式成立，∴ 原不等式成立。

例7．求證:

證法1:

∵

∵ 上式顯然成立，∴

又

證法2：這里只證明

分析:觀察兩式結構均為y=

≤

=

+

≤

成立。≤ |a+b|≤|a|+|b|。

|a+b|(1+|a|+|b|)≤(|a|+|b|)(1+|a+b|)

≤

≤

+。

≤+。

∴ 原命題成立。的形式，又∵|a+b|≤|a|+|b|，而原不等式要成立，只需證明函數在[0，+∞）上單調遞增即可。

證明:設0≤x1≤x2, 則

-=，∵ 0≤x1≤x2, ∴ x2-x1≥0, 1+x1>0, 1+x2>0, ∴

≥0。

∴-≥0, 即≥，設x1=|a+b|, x2=|a|+|b|

∵ |a+b|≤|a|+|b|，∴

參考練習:

≤。

1．解不等式 |x2+3x-8|≤10。

2．解不等式 |x+7|-|x-2|<3。

3．解不等式 |

4．解不等式 |log3x|+|log3(3-x)|≥1。

5．求y=

6．設f(x)=x2+ax+b是整系數二次三項式，求證:|f(1)|<

7．已知|x|<

參考答案:

1.[-6,-2]∪[-1, 3]；

2.(-∞,-1)；

3.[

4.提示:首先求定義域（0，3）。其次求出二零點1，2。分三個區間（0，1]，（1，2]，（2，3）解即可。解集（0，]∪[，3）。, 2)∪(6, +∞)； , |y|<, |z|<,(ξ>0)。求證:|x+2y-3z|<ξ。, |f(2)|<, |f(3)|<,不可能同時成立。的值域。

-3|>1。

5．提示:可用反解法解出sinx=

6．提示:用反證法

略證:假設|1+a+b|< , |4+2a+b|<，則解不等式||≤1得y∈[-4,-]。, 及|9+3a+b|<同時成立。

由題設a, b∈Z, ∴ 1+a+b∈Z，∴ 1+a+b=0.........①

同理4+2a+b=0.......② 9+3a+b=0.........③

由①，②解得a=-3, b=2。但不滿足③式，故假設不成立，即|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|不能同時小于

7．證明略。

第五篇：§2.4含絕對值的不等式（推薦）

§2.4含絕對值的不等式

班級姓名

一、學習目標

1、體會絕對值的幾何意義

2、會用變量代換的思想方法解含絕對值的不等式

二、重點、難點

重點：會用變量代換的思想方法解含絕對值的不等式 難點：會用變量代換的思想方法解含絕對值的不等式

三、課前預習

1、x?3的根是

2、a的幾何意義是

四、課堂探究

探究：

1、某工廠生產直徑為10cm的傳動軸，誤差不超過0.02cm為合格產品。若某技師生產的傳動軸直徑為dcm，經檢測屬合格品，則d滿足什么條件？

2、不等式x?3與x?3的解集在數軸上怎樣表示？

總結1：不等式x?a(a?0)的解集是

總結2：不等式f(x)?a(a?0)可化為

不等式f(x)?a(a?0)可化為問題解決：

商品房買賣合同上規定：（1）面積誤比差，即

產權登記面積-合同約定面積的絕對值在3%內（含3%）的，據實

合同約定面積

結算房款；

（2）面積誤比差的絕對值超過3%時，買房人有權退房。

王先生買房時合同約定的面積為120cm2，那么房屋竣工后，現場實測產權登記面積結果在什么范圍內時，他必須據實結算房款？結果在什么范圍時，他有權退房？

五、課堂練習

1、填空：

（1）不等式x?4的解集是（2）不等式x?9的解集是

不等式x?a(a?0)的解集是例題剖析

例1解下列不等式

（1）2x?1?0（2）

例2解不等式2x?3?7例3解不等式2x??5

（3）不等式2x?10的解集是

2、解下列不等式，并在數軸上表示它們的解集：

x?2 3

（1）x?5（2）x?2?5

（3）2x??3（4）2x?3?1

六、課后作業

必做題：書p34習題1、2；指導用書p28A組 選做題：指導用書p29B組

丁蜀中專?高一?學案