第一篇：立體幾何中不等式問題的證明方法

例談立體幾何中不等式問題的證明方法

立體幾何中的不等式問題具有很強的綜合性，解決這類問題既要有較強的空間想象能力，又要有嚴密的邏輯思維能力，因此有一定的難度．下面我們介紹幾種有關的解題方法．

1．利用最小角定理

例1．在直二面角??l??中，A??，B??，點A,B不全在棱l上，直線AB與平面?,?所成的角分別為?,?，求證：????90?．

證：如圖1，當AB與?,?都不垂直時，分別在?,?內作AC?l于C，BD?l于D，則AC??，BD??，??BAD??，?ABC??．

由最小角定理得?ABC??ABD，??????BAD??ABC??BAD??ABD?90．

當AB??或AB??時，易知????90?．

綜上即得????90?．

2．利用三角知識

例2．已知三棱錐P?ABC的側棱PA、PB、PC兩兩垂直，求證：0???BAC?90?，0??ABC?90，0??CAB?90． ?????

證：如圖2，則在?ABC中，由余弦定理得

cos?BAC?AB?AC?BC

2AB?AC

22222 222

2??(PA?PB)?(PA?PC)?(PB?PC)2AB?AC??PA2AB?AC?0，?0??BAC?90．

同理可證0??ABC?90，0??CAB?90．

3．利用一元二次方程根的判別式

例3．已知球O的半徑為定值r，它的外切圓錐的全面積為S，求證：S?8?r． 證：如圖3，作球O的外切圓錐的軸截面PAB，設球O

與圓錐底面直徑AB及母線PA分別切于點E和F．再設

AE?AF?t，則由?PAE∽?POF，2????

得

PEPF

?

AEOF

PF

?

4tr，由此有PF?

2rtt?r，?S??t??t(PF?t)?

2rt

t?r，即2?t4?St2?r2S?0．

時取等號．

∵t2為實數，???S2?8?r2S?0，即S?

8?r2，當且僅當t?

4．利用基本不等式

例4．已知三棱錐P?ABC的側面PAB、PBC、PCA兩兩垂直，且這三個側面與底面ABC所成的二面角分別為?、?、?，求證：cos?cos?cos??

9證：如圖4，由題設易得CP?平面PAB，在側面PAB內過點P作PE?AB于E，則CE?AB，∴?CEP??．設PA?a，PB?b，PC?c，則

PE?

?cos??

?CE??,同理，cos??，cos??

?

?cos?cos?cos?

?

?

5．利用函數的單調性

例5．如圖5，A、B是球O面上的兩點，?O是過A、B的大圓，?O1是過A、B的任意小圓，記l大為?O中劣弧?AB的長，記l小為?O1中 劣弧?AB的長，求證：l大?l?。?/p>

證：設OA?R，O1A?r(R?r)，?AOB?2?，?AO1B?2?．在等腰?AOB和等腰?AO1B中，由OA?OA1，知0?2??2???，即0??????/2．

?AB?2Rsin?，AB?2rsin?，?Rsin??rsin?，即

sin?sin?

?

rR

①．

設f(x)?

sinxx

(0?x?

?)，則f?(x)?

xcosx?sinx

x，再令g(x)?xcosx?sinx(0?x?

?

?)，則g?(x)?cosx?xsinx?cosx??xsinx?0．

∴g(x)在(0,?)上為減函數，故g(x)?g(0)?0，即xcosx?sinx?0，從而，當

0?x?時，有f?(x)?0，?f(x)在(0,?

?)上也為減函數．

?0?????，?rR

sin?

??

?

sin?

?，即

sin?sin?

?

??

②，由①、②兩式可得

??

?2?R?2?r?l大?l?。?/p>

6．利用平面幾何知識

?

例6．已知P、Q是正四面體ABCD內部的兩點，求證：?PAQ?60．

證：如圖6，過點A、P、Q作正四面體ABCD的截面

AEF．若E、F都不是?BCD的頂點，不妨設E、F分別是

棱BD、CD上異于端點的點，此時?P、Q兩點在?AEF內，??PAQ??EAF．又??ABE≌?CBE，?AE?CE．

?

而?EFC??EDF?60??BCF??ECF，?EF?CE?AE．

同理可得EF?AF，?EF是?AEF中最小的邊，故必有?EAF?60，??PAQ??EAF?60．

?

?

若E、F中有一個是?BCD的頂點，不妨設點F在D處．于是有，?PAQ??EAF??BAF?60．

?

第二篇：立體幾何證明方法

立體幾何證明方法

一、線線平行的證明方法：

1、利用平行四邊形。

2、利用三角形或梯形的中位線

3、如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。（線面平行的性質定理）

4、如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行的性質定理）

5、如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。（線面垂直的性質定理）

6、平行于同一條直線的兩條直線平行。

二、線面平行的證明方法：

1、定義法：直線與平面沒有公共點。

2、如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。（線面平行的判定定理）

3、兩個平面平行，其中一個平面內的任何一條直線必平行于另一個平面。

三、面面平行的證明方法：

1、定義法：兩平面沒有公共點。

2、如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。（面面平行的判定定理）

3、平行于同一平面的兩個平面平行

4、經過平面外一點，有且只有一個平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直線的兩個平面平行。

四、線線垂直的證明方法

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形對角線。

4、圓所對的圓周角是直角。

5、點在線上的射影。6利用向量來證明。

7、如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線就和這個平面內任意的直線都垂直。

8、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，則另一條也垂直于這條直線。

五、線面垂直的證明方法：

1、定義法：直線與平面內任意直線都垂直。

2、點在面內的射影。

3、如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。（線面垂直的判定定理）

4、如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。（面面垂直的性質定理）

5、兩條平行直線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于這個平面

6、一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面，則必垂直于另一個平面。

7、兩相交平面同時垂直于第三個平面，那么兩平面交線垂直于第三個平面。

8、過一點，有且只有一條直線與已知平面垂直。

9、過一點，有且只有一個平面與已知直線垂直。

六、面面垂直的證明方法：

1、定義法：兩個平面的二面角是直二面角。

2、如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）

3、如果一個平面與另一個平面的垂線平行，那么這兩個平面互相垂直。

4、如果一個平面與另一個平面的垂面平行，那么這兩個平面互相垂直。

第三篇：立體幾何證明問題

證明問題

例1.如圖，E、F分別是長方體邊形

.-的棱A、C的中點，求證：四邊形是平行四

例2.如圖所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過點A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD與E、F、G.求證：AE⊥SB.例3.如圖，長方體∠求證：

=90°.⊥

PQ

-中，P、Q、R分別為棱、、BC上的點，PQ//AB，連結，例4.已知有公共邊AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不同在一個平面內，P、Q分別是對角線AE、BD上的點，且AP=DQ，如圖所示.求證：PQ//平面

CBE.例5.如圖直角三角形ABC平面外一點S，且SA=SB=SC，且點D為斜邊AC的中點.（1）求證：SD⊥平面ABC.（2）若AB=AC，求證BD⊥平面

SAC.例6.如圖，在正方體

-中，M、N、E、F分別是棱、、、的中點.求證：平面AMN//平面

EFDB.例7.如圖（1）、（2），矩形ABCD中，已知AB=2AD，E為AB的中點，將ΔAED沿DE折起，使AB=AC.求證：平面ADE⊥平面

BCDE.

第四篇：證明不等式方法

不等式的證明是高中數學的一個難點，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯法多種多樣，本節通這一些實例，歸納整理證明不等式時常用的方法和技巧。1比較法

比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種?；舅枷胧前央y于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當求證的不等式兩端是分項式（或分式）時，常用作差比較，當求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數式時常用作商比較）

例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab

2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結合a+b≥0來說明作差后的正或負，從而達到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負。

∵（a3+b3)(a2b+ab2)

=a2(a-b)-b2(a-b)

=(a-b)(a2-b2)

證明： =(a-b)2(a+b)

又∵(a-b)2≥0a+b≥0

∴(a-b)2(a+b)≥0

即a3+b3≥a2b+ab2

例2 設a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba

分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小

證明：由a、b的對稱性，不妨解a＞b＞0則

aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b

∵ab0，∴ab1，a-b0

∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba

練習1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法

利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：

（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時，取等號）

（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當且僅當a=b時，取等號）

（3）若a、b同號，則 ba+ab≥2（當且僅當a=b時，取等號）

例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1-b2+b1-a2≤

1分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y2

2證明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1

∴b1-a2+a1-b2≤1，當且僅當a1+b2=1時，等號成立

練習2：若 ab0，證明a+1(a-b)b≥

33綜合法

綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發，根據不等式性質推算出要證明不等式。

例4，設a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252

證明：∵ a0，b0，a+b=1

∴ab≤14或1ab≥

4左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2

=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252

練習3：已知a、b、c為正數，n是正整數，且f(n)=1gan+bn+cn

3求證：2f（n）≤f（2n）

4分析法

從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個條件是可以證明或已經證明的不等式時，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。

例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

分析：觀察求證式為一個連鎖不等式，不易用比較法，又據觀察求證式等價于 ｜a-c｜＜c2-ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。

要證c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

只需證-c2-ab＜a-c＜c2-ab

證明：即證 ｜a-c｜＜c2-ab

即證(a-c)2＜c2-ab

即證 a2-2ac＜-ab

∵a＞0，∴即要證 a-2c＜-b 即需證2+b＜2c，即為已知

∴ 不等式成立

練習4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）

25放縮法

放縮法是在證明不等式時，把不等式的一邊適當放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強常用技巧有：（1）舍去一些正項（或負項），（2）在和或積中換大（或換?。┠承╉?，（3）擴大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福┑取?/p>

例6：已知a、b、c、d都是正數

求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

2分析：觀察式子特點，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。

證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞

ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=

1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d

∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2

綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2

練習5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜1

6換元法

換元法是許多實際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見的是三角換元。

(1)三角換元：

是一種常用的換元方法，在解代數問題時，使用適當的三角函數進行換元，把代數問題轉化成三角問題，充分利用三角函數的性質去解決問題。

例

7、若x、y∈R+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x，求證0＜A＜

1證明： ∵x，y∈R+，且x-y=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）

∴ A=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ

=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ

=sinθ

∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1

復習6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2-xy+y2≤

3(2)比值換元：

對于在已知條件中含有若干個等比式的問題，往往可先設一個輔助未知數表示這個比值，然后代入求證式，即可。

例8：已知 x-1=y+12=z-23，求證：x2+y2+z2≥431

4證明：設x-1=y+12=z-23=k

于是x=k+1，y=zk-1，z=3k+

2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2

=14(k+514)2+4314≥4314

7反證法

有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結論不成立，然后依據已知條件以及有關的定義、定理、公理，逐步推導出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結論，從而肯定原有結論是正確的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題，適宜用反證法。

例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤

2分析：本題已知為p、q的三次，而結論中只有一次，應考慮到用術立方根，同時用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。

證明：解設p+q＞2，那么p＞2-q

∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q

3將p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6＜0

即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤

2練習7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0.求證：a＞0，b＞0，c＞0

8數學歸納法

與自然數n有關的不等式，通?？紤]用數學歸納法來證明。用數學歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。

例10：設n∈N，且n＞1,求證：(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+12

分析：觀察求證式與n有關，可采用數學歸納法

證明：（1）當n=2時，左= 43，右=52

∵43＞52∴不等式成立

（2）假設n=k(k≥2，k∈n)時不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k-1)＞2k+12 那么當n=k+1時，(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)＞2k+12·(1+12k+1)①

要證①式左邊＞2k+32，只要證2k+12·

2k+22k+1＞2k+32②

對于②〈二〉2k+2＞2k+1·2k+3

〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3)

〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3

〈二〉4＞3③

∵③成立 ∴②成立，即當n=k+1時，原不等式成立

由（1）（2）證明可知，對一切n≥2（n∈N），原不等式成立

練習8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞132

49構造法

根據求證不等式的具體結構所證，通過構造函數、數列、合數和圖形等，達到證明的目的，這種方法則叫構造法。

1構造函數法

例11：證明不等式：x1-2x ＜x2（x≠0）

證明：設f（x）=x1-2x-x2（x≠0）

∵f(-x)

=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x

2=x1-2x-［1-(1-2x)］+x2=x1-2x-x+x2

=f（x）

∴f（x）的圖像表示y軸對稱

∵當x＞0時，1-2x＜0，故f（x）＜0

∴當x＜0時，據圖像的對稱性知f（x）＜0

∴當x≠0時，恒有f（x）＜0 即x1-2x＜x2（x≠0）

練習9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：b-b2-ab＜a＜b+b2-ab

2構造圖形法

例12：若f（x）=1+x2，a≠b，則|f（x）-f（b）|＜ |a-b|

分析：由1+x2 的結構可知這是直角坐標平面上兩點A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2

于是如下圖，設A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2 0B=1+b2

|AB|=|a-b|又0A|-|0B＜|AB|∴|f(a)-f(b)|＜|a-b|

練習10：設a≥c，b≥c，c≥0，求證 c(a-c)+c(b-c)≤ab

10添項法

某些不等式的證明若能優先考慮“添項”技巧，能得到快速求解的效果。

1倍數添項

若不等式中含有奇數項的和，可通過對不等式乘以2變成偶數項的和，然后分組利用已知不等式進行放縮。

例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當且僅當a=b=c時等號成立）證明：∵a、b、c∈R+

∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a·2bc+b·2ca+c·2ac)=3abc

當且僅當a=b，b=c，c=a即a=b=c時，等號成立。

2平方添項

運用此法必須注意原不等號的方向

例14 ：對于一切大于1的自然數n，求證：

(1+13)(1+15)…(1+12n-1＞ 2n+1 2)

證明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0時ba＞ b+ma+m

∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n-1)］2=（43、65…2n2n-1)（43、65…2n2n-1)＞（54、76…2n+12n)（43、65…2n2n-1)=2n+13＞ 2n+14＞

∴(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+1 2)

3平均值添項

例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC≤3

32分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術平均值添項sin π

3證明：先證命題：若x＞0，y＜π，則sinx+siny≤2sin x+y2（當且僅當x=y時等號成立）∵0＜x+y2＜ π，-π2＜ x-y2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosx-y

2∴上式成立

反復運用這個命題，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤2·2sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332

∴sinA+sinB≠sinC≤332

練習11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤18

4利用均值不等式等號成立的條件添項

例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求證a4+b4＞ 18

分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時，等號成立

證明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①

同理b4+3(12)4 ≥b②

∴a4+b4≥12(a+b)-6(12)4=12-6(12)4=18③

∵a≠b ∴①②中等號不成立∴③中等號不成立∴ 原不等式成立

1．是否存在常數c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對任意正數x,y恒成立？ 錯解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故說明c存在。

正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。要證不等式xx+2y+xx+2y≤23，因為x,y是正數，即證3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即證3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2，而此不等式恒成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。

6.2已知x,y,z∈R+，求證：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

錯解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz

錯因：根據不等式的性質：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,則ac bd，但 ac＞bd卻不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化簡得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，兩邊同除以x+y+z:

x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

6.3 設x+y>0，n為偶數，求證yn-1xn+xn-1yn≥

1x 1y

錯證：∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y

=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

n為偶數，∴ xnyn ＞0，又xn-yn和xn-1-yn-

1同號，∴yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

錯因：在x+y>0的條件下，n為偶數時，xn-yn和xn-1-yn-1不一定同號，應分x、y同號和異號兩種情況討論。

正解：應用比較法：

yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

① 當x>0,y>0時，(xn-yn)(xn-1-yn-1)≥ 0，(xy)n >0

所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

≥0故：yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

② 當x,y有一個是負值時，不妨設x>0,y<0，且x+y>0，所以x>|y|

又n為偶數時,所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)>0 又(xy)n >0，所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn ≥0即 yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

綜合①②知原不等式成立

第五篇：立體幾何常見證明方法

立體幾何方法歸納小結

一、線線平行的證明方法

1、根據公理4，證明兩直線都與第三條直線平行。

2、根據線面平行的性質定理，若直線a平行于平面A，過a的平面B與平面A相交于b，則 a//b。

3、根據線面垂直的性質定理，若直線a與直線b都與平面A垂直，則a//b。

4、根據面面平行的性質定理，若平面A//平面B，平面C與平面A和平面B的交線分別為直線 a與直線 b，則a//b。

????????

5、由向量共線定理，若AB?xCD，且AB、CD不共線，則向量AB所在的直線a與向量cd所在的直線b平行，即a//b。

二、線面平行的證明方法

1、根據線面平行的定義，證直線與平面沒有公共點。

2、根據線面平行的判定定理，若平面 A內存在一條直線b與平面外的直線a平行，則a//A。(用相似三角形或平行四邊形)

3、根據平面與平面平行的性質定理，若兩平面平行，則一個平面內的任一直線與另一個平面平行。

4、向量法，向量c與平面A法向量垂直，且向量c所在直線c不在平面內，則c//A。

三、面面平行的證明方法

1、根據定義，若兩平面沒有公共點，則兩平面平行。

2、根據兩平面平行的判定定理，一個平面內有兩相交直線與另一平面平行，則兩平面平行。

或根據兩平面平行的判定定理的推論，一平面內有兩相交直線與另一平面內兩相交直線平行，則兩平面平行。

3、垂直同一直線的兩平面平行。

4、平行同一平面的兩平面平行。

5、向量法，證明兩平面的法向量共線。

四、兩直線垂直的證明方法

1、根據定義,證明兩直線所成的角為90°

2、一直線垂直于兩平行直線中的一條,也垂直于另一條.3、一直線垂直于一個平面,則它垂直于平面內的所有直線.4、根據三垂線定理及逆定理,若平面內的直線垂直于平面的一條斜線(或斜線在平面內的射影),則它垂直于斜線在平面內的射影(或平面的斜線).5、向量法.五、線面垂直的證明方法

1、根據定義,證明一直線與平面內的任一(所有)直線垂直,則直線垂直于平面.2、根據判定定理,一直線垂直于平面內的兩相交直線,則直線垂直于平面.3、一直線垂直于兩平行平面中的一個,也垂直于另一個.4、兩平行直線中的一條垂直于一個平面,另一條也垂直于這個平面.5、根據兩平面垂直的性質定理,兩平面垂直,則一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.6、向量法,證明平面的法向量與表示該直線的向量共線.六、面面垂直的證明方法

1、根據面面垂直的定義，兩平面相交所成的二面角為直二面角，則兩平面垂直。

2、根據面面垂直的判定定理，一平面經過另一平面的一條垂線，則兩平面垂直。

3、一平面垂直于兩平行平面中的一個，也垂直于另一個。

4、向量法，證明兩平面的法向量垂直（即法向量的數量積為零）。

七、兩異面直線所成角的求法

1、根據定義，平移其中一條和另一條相交，然后在三角形中求角。

2、利用中位線，將兩異面直線平移至一特殊點（中位線的交點）然后在三角形中求角。

3、cos?=cos?1cos?2

4、向量法.八、直線與平面所成角的求法

1、根據定義，作出直線與平面所成角，然后在直角三角形中求角。

2、轉化為距離(sin?=h/l)

3、向量法，求出平面的法向量，然后求平面的斜線與法向量的夾角。（注意為正弦）注：對兩異面直線所成角和直線與平面所成角一定要注意角的范圍。九、二面角的求法

1、定義法，從二面角的棱上的某一點分別在兩個半平面內作棱的垂線，求兩條垂線所形成的角。

2、根據三垂線定理，先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求角。

3、射影面積法，先作出一個半平面內的某個多邊形，在另一個半平面內的射影多邊形，然后由公式 cosθ=s'/s（其中θ為二面角的平面角，s'為射影多邊形的面積，s為多邊形的面積）求出二面角的平面角。

4、向量法，求出兩個半平面的法向量，然后求兩法向量的夾角。（一般要先根據已知判斷二面角是銳角還是鈍角,否則要判斷指向，同內同外為補角）

5.公式法(異面直線上點距離公式和三類角公式)

十、點到平面的距離的求法

1、根據定義，直接求垂線段的長度。

2、向量法，利用公式

??????|PA?n|d=??|n|（其中PA為平面的一條斜線，向量n 為平面的一個法向量。

3、等體積法，主要用在四面體（三棱錐）中，根據四面體的體積等于1/3底面積×高，選取不同的底面積，求出其中一條高長。

十一、平面圖形翻折問題的處理方法

1、先比較翻折前后的圖形，弄清哪些量和位置關系在翻折過程中不變，哪些已發生變化，然后將不變的條件集中到立體圖形中，將問題歸結為一個條件與結論都已知的立體幾何問題。

2、有關翻折問題的計算，必須抓住在翻折過程中點、線、面之間的位置關系、數量關系中，哪些是變的，哪些沒變，尤其要抓住不變量。對計算幾何體上兩點之間的最短距離問題，要注意轉變為平面圖形求兩點間的距離來計算。

十二、要注意的問題

1、對推理論證與計算相結合的題目的解題原則是一作、二證、三計算。(向量法可省略證角，但必須交代如何建系，右手系)。

2、正方體中，兩個平行的正三角形截面把一條與它們垂直的體對角線三等分。

3、已知三條射線兩兩夾角，會求線面角和二面角(課堂筆記，只需會推導方法，不需強記公式)

4、適當時候，坐標法不方便時可以考慮基向量法，求向量模易出錯：ra?r2a。

5、求異面直線間的距離，若公垂線找不到，除向量法外，可以考慮構造平行平面或平行線面，轉化為點面距離求。