第一篇：立體幾何證明

立體幾何證明

高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

Ⅰ.平行關系：

線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

四個判定定理：

①若平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

②如果一個平面內有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行。

③如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。

④如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

從平面拓展到空間的角相等或互補的判定定理：

空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。

四個性質定理：

①一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行。

②兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行。

③垂直于同一平面的兩條直線平行。

④兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

標準只要求對于四個性質定理用綜合幾何的方法加以證明。對于其余的定理，在選修2的“空間向量與立體幾何”中利用向量的方法予以證明。

(2)立體幾何初步這部分，我們希望能使學生初步感受綜合幾何的證明。在處理證明時，要充分發揮幾何直觀的作用，而不是形式上的推導。例如，平行于同一平面的二直線平行的證明方法，有的老師就是采用了一種很

第二篇：立體幾何證明

1、（14分）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F為棱AD、AB的中點．（1）求證：EF∥平面CB1D1；

（2）求證：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

A

2.如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面邊長AB＝2，側棱

交B1C于點F，BB1的長為4，過點B作B1C的垂線交側棱CC1于點E，（1）求證：A1C⊥平面BDE；

?

D3．(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?90，BC?AC?2，AA1?4，為棱CC

1上的一動點，M、N分別為?ABD、?A1B1D的重心.（1）求證：MN?BC； ．

A

B

4.如圖，在三棱拄ABC?A1B1C1中，AB?側面BB1C1C1,?

1N 31 B1

（Ⅰ）求證：C1B?平面ABC；

?

A11

（Ⅱ）試在棱CC1(不包含端點C,C1)上確定一點E的位置,使得EA?EB1；.A

A1

B1

C

E

C15、如圖，P—ABCD是正四棱錐，ABCD?A

1BC11D1是正方體，其中AB?2,PA?

（1）求證：PA?B1D1；

6．（本小題滿分12分）

如圖，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥平面ABCD，|PA|=1。（1）BC邊上是否存在點Q，使得PQ⊥QD，并說明理由；（2）若BC邊上存在唯一的點Q使得PQ⊥QD，指出點Q的位置，7、如圖，在底面是矩形的四棱錐P?ABCD中，PA?面ABCD，PA=AB=1，BC=2（Ⅰ）求證：平面PDC?平面PAD；

8.正方體ABCD?A'B'C'D'中，求證：平面AB'D'//平面C'BD。

9..（14分）如圖所示，在斜邊為AB的Rt△ABC中，過A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.（1）求證：BC⊥面PAC；

P（2）求證：PB⊥面AMN.M

A10、已知E、F、G、H為空間四邊形ABCD的邊AB、BC、點，且ＥＨ∥ＦＧ． 求證：EH∥BD.(12分)

11、已知?ABC中?ACB?90，SA?面ABC，AD?SC，求證：AD?面S分)

12、已知正方體ABCD?A1BC11D1，O是底ABCD對角線的交點.求證：（１）C1O?面AB1D1；（2）AC?面AB1D1．(14分)

1?

CD、DA上的A

HD

SBC．(1

2A

F

C

BC

DAD

BC

1C

1．下列命題正確的是………………………………………………（）

B

A．三點確定一個平面B．經過一條直線和一個點確定一個平面 C．四邊形確定一個平面D．兩條相交直線確定一個平面

2．若直線a不平行于平面?，且a??，則下列結論成立的是（）A．?內的所有直線與a異面B．?內不存在與a平行的直線 C．?內存在唯一的直線與a平行D．?內的直線與a都相交

3．平行于同一平面的兩條直線的位置關系………………………（）A．平行B．相交C．異面D．平行、相交或異面

4．正方體ABCD?A'B'C'D'中，AB的中點為M，DD'的中點為N，異面直線B'M與CN所成的角

A．0?B．45?C．60?D．90?

5．平面?與平面?平行的條件可以是…………………………（）

A．?內有無窮多條直線都與?平行C．直線a??，直線b??且a//?，b//? B．直線a//?,a//?且直線a不在?內，也不在?內D．?內的任何直線都與?平行 6．已知兩個平面垂直，下列命題

①一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線 ②一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面的無數條直線 ③一個平面內的任一條直線必垂直于另一個平面

④過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面 其中正確的個數是…………………………………………（）A．3B．2C．1D．0

7．下列命題中錯誤的是……………………………………（）A． 如果平面???，那么平面?內所有直線都垂直于平面? B． 如果平面???，那么平面?一定存在直線平行于平面?

C．如果平面?不垂直于平面?，那么平面?內一定不存在直線垂直于平面? D．如果平面???，???，????l，那么l??

8．直線a//平面?，P??，那么過點P且平行于?的直線…………（）A． 只有一條，不在平面?內B．有無數條，不一定在?內C．只有一條，且在平面?內D．有無數條，一定在?內 9．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中

①BM與ED平行②CN與BE異面③CN與BM成60?

④DM與BN垂直 以上四個命題中，正確命題的序號是（）

A．①②③B．②④C．③④D．②③④

1.若一條直線與兩個平行平面中的一個平面平行，則這條直線與另一平面的位置關系是__________________ 3.平面內一點與平面外一點連線和這個平面內直線的關系是_______________ 4.已知直線a,b和平面?,且a?b,a??,則b與?的位置關系是______________

第三篇：立體幾何證明方法

立體幾何證明方法

一、線線平行的證明方法：

1、利用平行四邊形。

2、利用三角形或梯形的中位線

3、如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。（線面平行的性質定理）

4、如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行的性質定理）

5、如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。（線面垂直的性質定理）

6、平行于同一條直線的兩條直線平行。

二、線面平行的證明方法：

1、定義法：直線與平面沒有公共點。

2、如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。（線面平行的判定定理）

3、兩個平面平行，其中一個平面內的任何一條直線必平行于另一個平面。

三、面面平行的證明方法：

1、定義法：兩平面沒有公共點。

2、如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。（面面平行的判定定理）

3、平行于同一平面的兩個平面平行

4、經過平面外一點，有且只有一個平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直線的兩個平面平行。

四、線線垂直的證明方法

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形對角線。

4、圓所對的圓周角是直角。

5、點在線上的射影。6利用向量來證明。

7、如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線就和這個平面內任意的直線都垂直。

8、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，則另一條也垂直于這條直線。

五、線面垂直的證明方法：

1、定義法：直線與平面內任意直線都垂直。

2、點在面內的射影。

3、如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。（線面垂直的判定定理）

4、如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。（面面垂直的性質定理）

5、兩條平行直線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于這個平面

6、一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面，則必垂直于另一個平面。

7、兩相交平面同時垂直于第三個平面，那么兩平面交線垂直于第三個平面。

8、過一點，有且只有一條直線與已知平面垂直。

9、過一點，有且只有一個平面與已知直線垂直。

六、面面垂直的證明方法：

1、定義法：兩個平面的二面角是直二面角。

2、如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）

3、如果一個平面與另一個平面的垂線平行，那么這兩個平面互相垂直。

4、如果一個平面與另一個平面的垂面平行，那么這兩個平面互相垂直。

第四篇：立體幾何垂直證明范文

立體幾何專題----垂直證明

學習內容：線面垂直面面垂直

立體幾何中證明線面垂直或面面垂直都可轉化為 線線垂直，而證明線線垂直一般有以下的一些方法：（1）通過“平移”。（2）利用等腰三角形底邊上的中線的性質。（3）利用勾股定理。（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直徑所對的圓周角是直角，等等。

試題探究

一、通過“平移”,根據若a//b,且b?平面?,則a?平面?

1．在四棱錐P-ABCD中，△PBC為正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

12DC，E為PD中點.求證：AE⊥平面PDC.、2．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，點E為棱AB的中點． 求證：平面PCE⊥平面PCD；

3.如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形

BA?AD,CD?AD,CD?2AB,PA?底面ABCD,E為PC的中點, PA＝AD。

證明: BE?平面PDC;

二、利用等腰三角形底邊上的中線的性質

4、在三棱錐P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90?，AP?BP?AB，PC?AC．

（Ⅰ）求證：PC?AB；

P

（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小；A

B

C5、如圖，在三棱錐P?ABC中，⊿PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 o 證明：AB⊥PC

三、利用勾股定理

PA?CD,PA?1,PD?

6、如圖，四棱錐P?ABCD的底面是邊長為1的正方形，求證:PA?平面ABCD；

_A _D

_B_C7、如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?

（1）求證：AO?平面BCD；

（2）求異面直線AB與CD所成角的大小；B

E

四、利用三角形全等或三角行相似

8、正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點，求證：D1O⊥平面MAC.9、如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，過點B作B1C的垂線交側棱CC1于點E，交B1C于點F，求證：A1C⊥平面BDE；

五、利用直徑所對的圓周角是直角

10、如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，PA⊥平面ABC.（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圓周上一點，且與C分居直徑AB的兩側，試寫出圖中所有互相垂直的各對平面.P

A11、如圖，在圓錐PO中，已知PO，⊙O的直徑AB?2,C是狐AB的中點，D為AC的中點．證明：平面POD?

平面PAC;

第五篇：文科立體幾何證明

立體幾何證明題常見題型

1、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD?底面ABCD，PD?DC?1，E是PC的中

點，作EF?PB交PB于點F．

(I)證明： PA∥平面EDB；

(II)證明：PB⊥平面EFD；(III)求三棱錐P?DEF的體積．

2、如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD,AC?BD,垂足為H，PH是四棱錐的高。（Ⅰ）證明：平面PAC?平面PBD;

（Ⅱ）若AB?,?APB??ADB?60°,求四棱錐P?ABCD的體積。

B3、如圖，矩形ABCD中，AD?平面ABE，AE?EB?BC?2，F為CE上的點，且BF?平面ACE.（Ⅰ）求證：AE?平面BCE；（Ⅱ）求證；AE//平面BFD；

（Ⅲ）求三棱錐C?BGF的體積.4、如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直。

EF//AC，,CE=EF=1（Ⅰ）求證：AF//平面BDE；（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDF;

C

B

D

B

MA?平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分別為

5、在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MB、PB、PC的中點，且AD?PD?2MA.(Ⅰ)求證：平面EFG?平面PDC;(Ⅱ)求三棱錐P?MAB與四棱錐P?ABCD的體積之比.6、如圖所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE（1）求證：AE⊥平面BCE；（2）求證：AE∥平面BFD；

（3）求三棱錐C-BGF的體積。

Ｄ

G

Ａ

Ｃ

Ｂ

Ｅ

7、在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5。（如圖 所示）

（Ⅰ）證明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求三棱錐的體積

VS－ABC。

1，E為BC邊中點

D18、如圖在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝（1）求三棱錐D1-DBC的體積（2）證明BD1//平面C1DE

A

9，如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的A

交點，面CDE是等邊三角形，棱EFBC。

E

（I）證明FO∥平面CDE;；

（II）設BC?,證明EO?平面。

10、如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝

A

B

M

D

90°，AA1 ＝2，D 是A1B1 中點．（1）求證C1D ⊥平面A1B ；（2）當點F 在BB1 上什么位置時，會使得AB1 ⊥平面C1DF ？并證明你的結論。

11，如圖，△ABC 為正三角形，EC ⊥平面ABC，BD ∥CE，CE ＝CA ＝2 BD，M 是EA 的中點，求證：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA。

12、已知正方體ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點． 求證：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．

DAD

A

BBC

1C13、如圖平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF?

AD?2,G是EF的中點，2（1）求證平面AGC⊥平面BGC；（2）求空間四邊形AGBC的體積。

14、如圖，在直三棱柱(側棱與底面垂直的三棱柱)ABC?A1B1C1中，AB?8，AC的中點.（Ⅰ）求證：AB?A1C；（Ⅱ）求證：A1C∥ 面AB1D；

?6，BC?10，D是BC邊

15，如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE．（1）求證：AE⊥BE；（2）設M在線段AB上，且滿足AM＝2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面DAE.16 在三棱錐P?ABC中，PA?平面ABC，AB?BC?CA?3，M為AB的中點，四點P、A、M、C都在球O的球面上。（1）證明：平面PAB?平面PCM；

_P

_A_C

_M

_B17、如圖，已知AB?平面ACD，DE?平面ACD，三角形ACD為等邊三角形，AD?DE?2AB，F為CD的中點

（1）求證：AF//平面BCE；

（2）求證：平面BCE?平面CDE；

18、如圖所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D為AC的中點。（I）求證：B1C//平面A1BD；（II）求證：B1C1⊥平面ABB1A

（III）設E是CC1上一點，試確定E的位置，使平面A1BD⊥平面BDE，并說明理由。

P

AD中，PA?底

19、如圖，四棱錐P?ABCD面ABCD，AB?AD，AC?CD，B

?ABC?60?，PA?AB?BC，E是PC的中點．

（1）求證：CD?AE；（2）求證：PD?面ABE．

20、如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

AD.2（I）求證：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一點E，使CE∥平面

PAB？若存在，請確定E點的位置；若不存在，請說明理由.S

A

D

BC21、如圖，在四棱錐S?ABCD中，SA

?AB?2，SB?SD?ABCD是菱形，且?ABC?60?，E為

CD的中點．

（1）證明：CD?平面SAE；

（2）側棱SB上是否存在點F，使得CF//平面SAE？并證明你的結論．

22、在正三棱柱ABC?A1B1C1 中，E是AC中點，（1）求證：AB1//平面BEC1 ；（2）求證：平面BEC1?平面ACC1A1 ；

23.如圖, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點D是AB的中點，（I）求證：AC⊥BC1；

（II）求證：AC 1//平面CDB1；,24、如圖，在底面為平行四邊行的四棱錐P?ABCD中，AB?AC，PA?平面ABCD，且PA?AB，點E是PD的中點.（Ⅰ）求證：AC?PB；

（Ⅱ）求證：PB//平面AEC；

25．三棱柱ABC—A1B1C1的體積為V，P、Q分別為AA1、CC1上的點，且滿足AP=C1Q，則四棱錐B—APQC的體積是

1112A．VB．VC．VD．V

43B26．如圖1，在棱長為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P、Q是對角 線AC上的點，若PQ?

a，則三棱錐P?BDQ的體積為2

D