第一篇：立體幾何證明問題

證明問題

例1.如圖，E、F分別是長方體邊形

.-的棱A、C的中點，求證：四邊形是平行四

例2.如圖所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過點A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD與E、F、G.求證：AE⊥SB.例3.如圖，長方體∠求證：

=90°.⊥

PQ

-中，P、Q、R分別為棱、、BC上的點，PQ//AB，連結，例4.已知有公共邊AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不同在一個平面內，P、Q分別是對角線AE、BD上的點，且AP=DQ，如圖所示.求證：PQ//平面

CBE.例5.如圖直角三角形ABC平面外一點S，且SA=SB=SC，且點D為斜邊AC的中點.（1）求證：SD⊥平面ABC.（2）若AB=AC，求證BD⊥平面

SAC.例6.如圖，在正方體

-中，M、N、E、F分別是棱、、、的中點.求證：平面AMN//平面

EFDB.例7.如圖（1）、（2），矩形ABCD中，已知AB=2AD，E為AB的中點，將ΔAED沿DE折起，使AB=AC.求證：平面ADE⊥平面

BCDE.

第二篇：立體幾何證明

立體幾何證明

高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

Ⅰ.平行關系：

線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

四個判定定理：

①若平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

②如果一個平面內有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行。

③如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。

④如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

從平面拓展到空間的角相等或互補的判定定理：

空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。

四個性質定理：

①一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行。

②兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行。

③垂直于同一平面的兩條直線平行。

④兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

標準只要求對于四個性質定理用綜合幾何的方法加以證明。對于其余的定理，在選修2的“空間向量與立體幾何”中利用向量的方法予以證明。

(2)立體幾何初步這部分，我們希望能使學生初步感受綜合幾何的證明。在處理證明時，要充分發揮幾何直觀的作用，而不是形式上的推導。例如，平行于同一平面的二直線平行的證明方法，有的老師就是采用了一種很

第三篇：立體幾何證明

1、（14分）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F為棱AD、AB的中點．（1）求證：EF∥平面CB1D1；

（2）求證：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

A

2.如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面邊長AB＝2，側棱

交B1C于點F，BB1的長為4，過點B作B1C的垂線交側棱CC1于點E，（1）求證：A1C⊥平面BDE；

?

D3．(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?90，BC?AC?2，AA1?4，為棱CC

1上的一動點，M、N分別為?ABD、?A1B1D的重心.（1）求證：MN?BC； ．

A

B

4.如圖，在三棱拄ABC?A1B1C1中，AB?側面BB1C1C1,?

1N 31 B1

（Ⅰ）求證：C1B?平面ABC；

?

A11

（Ⅱ）試在棱CC1(不包含端點C,C1)上確定一點E的位置,使得EA?EB1；.A

A1

B1

C

E

C15、如圖，P—ABCD是正四棱錐，ABCD?A

1BC11D1是正方體，其中AB?2,PA?

（1）求證：PA?B1D1；

6．（本小題滿分12分）

如圖，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥平面ABCD，|PA|=1。（1）BC邊上是否存在點Q，使得PQ⊥QD，并說明理由；（2）若BC邊上存在唯一的點Q使得PQ⊥QD，指出點Q的位置，7、如圖，在底面是矩形的四棱錐P?ABCD中，PA?面ABCD，PA=AB=1，BC=2（Ⅰ）求證：平面PDC?平面PAD；

8.正方體ABCD?A'B'C'D'中，求證：平面AB'D'//平面C'BD。

9..（14分）如圖所示，在斜邊為AB的Rt△ABC中，過A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.（1）求證：BC⊥面PAC；

P（2）求證：PB⊥面AMN.M

A10、已知E、F、G、H為空間四邊形ABCD的邊AB、BC、點，且ＥＨ∥ＦＧ． 求證：EH∥BD.(12分)

11、已知?ABC中?ACB?90，SA?面ABC，AD?SC，求證：AD?面S分)

12、已知正方體ABCD?A1BC11D1，O是底ABCD對角線的交點.求證：（１）C1O?面AB1D1；（2）AC?面AB1D1．(14分)

1?

CD、DA上的A

HD

SBC．(1

2A

F

C

BC

DAD

BC

1C

1．下列命題正確的是………………………………………………（）

B

A．三點確定一個平面B．經過一條直線和一個點確定一個平面 C．四邊形確定一個平面D．兩條相交直線確定一個平面

2．若直線a不平行于平面?，且a??，則下列結論成立的是（）A．?內的所有直線與a異面B．?內不存在與a平行的直線 C．?內存在唯一的直線與a平行D．?內的直線與a都相交

3．平行于同一平面的兩條直線的位置關系………………………（）A．平行B．相交C．異面D．平行、相交或異面

4．正方體ABCD?A'B'C'D'中，AB的中點為M，DD'的中點為N，異面直線B'M與CN所成的角

A．0?B．45?C．60?D．90?

5．平面?與平面?平行的條件可以是…………………………（）

A．?內有無窮多條直線都與?平行C．直線a??，直線b??且a//?，b//? B．直線a//?,a//?且直線a不在?內，也不在?內D．?內的任何直線都與?平行 6．已知兩個平面垂直，下列命題

①一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線 ②一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面的無數條直線 ③一個平面內的任一條直線必垂直于另一個平面

④過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面 其中正確的個數是…………………………………………（）A．3B．2C．1D．0

7．下列命題中錯誤的是……………………………………（）A． 如果平面???，那么平面?內所有直線都垂直于平面? B． 如果平面???，那么平面?一定存在直線平行于平面?

C．如果平面?不垂直于平面?，那么平面?內一定不存在直線垂直于平面? D．如果平面???，???，????l，那么l??

8．直線a//平面?，P??，那么過點P且平行于?的直線…………（）A． 只有一條，不在平面?內B．有無數條，不一定在?內C．只有一條，且在平面?內D．有無數條，一定在?內 9．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中

①BM與ED平行②CN與BE異面③CN與BM成60?

④DM與BN垂直 以上四個命題中，正確命題的序號是（）

A．①②③B．②④C．③④D．②③④

1.若一條直線與兩個平行平面中的一個平面平行，則這條直線與另一平面的位置關系是__________________ 3.平面內一點與平面外一點連線和這個平面內直線的關系是_______________ 4.已知直線a,b和平面?,且a?b,a??,則b與?的位置關系是______________

第四篇：立體幾何的平行與證明問題

立體幾何

1．知識網絡

一、經典例題剖析

考點一 點線面的位置關系

1、設l是直線,a,β是兩個不同的平面（）

A．若l∥a,l∥β,則a∥β B．若l∥a,l⊥β,則a⊥β

C．若a⊥β,l⊥a,則l⊥β D．若a⊥β, l∥a,則l⊥β

2、下列命題正確的是（）

A．若兩條直線和同一個平面所成的角相等,則這兩條直線平行

B．若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行

C．若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行

D．若兩個平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面平行

3、已知空間三條直線l、m、n.若l與m異面,且l與n異面,則（）

A．m與n異面.B．m與n相交.C．m與n平行.D．m與n異面、相交、平行均有可能.4、（2013年高考江西卷（文15））如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上,且AB//CD,則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面個數為

_____________.D

1CB

考點二證明平行關系

5、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點，D C

BDE。求證： AC1//平面

6、（2013年高考陜西卷（文））如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O

為底面中心, A1O⊥平面ABCD, AB?AA1?

A

(Ⅰ)證明: A1BD //平面CD1B1;(Ⅱ)求三棱柱ABD-A1B1D1的體積.考點三證明垂直問題

7、（2013年高考遼寧卷（文））

如圖,AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點.(I)求證:BC?平面PAC；

(II)設Q為PA的中點，G為?AOC的重心，求證：QG//平面PBC.8、已知正方體ABCD?A1BC11D1，O是底ABCD對角線的交點.D1AD

BBC

1求證：(１)C1O∥面AB1D1；(2)AC?面AB1D1．1

C

綜合練習：

9、（2013年高考廣東卷（文））如圖4,在邊長為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC

邊上的點,AD?AE,F是BC的中點,AF與DE交于點G,將?ABF沿AF折起,得到如圖5所示的三棱錐A?BCF,其中BC?

.(1)證明:DE//平面BCF;(2)證明:CF?平面ABF;

圖

410、如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=證明：PQ⊥平面DCQ；

PD．

2AC?平面B'D'DB；BD'

?平面ACB'.11、正方體ABCD?A'B'C'D'中，求證：（1）（2）

第五篇：立體幾何證明方法

立體幾何證明方法

一、線線平行的證明方法：

1、利用平行四邊形。

2、利用三角形或梯形的中位線

3、如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。（線面平行的性質定理）

4、如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行的性質定理）

5、如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。（線面垂直的性質定理）

6、平行于同一條直線的兩條直線平行。

二、線面平行的證明方法：

1、定義法：直線與平面沒有公共點。

2、如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。（線面平行的判定定理）

3、兩個平面平行，其中一個平面內的任何一條直線必平行于另一個平面。

三、面面平行的證明方法：

1、定義法：兩平面沒有公共點。

2、如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。（面面平行的判定定理）

3、平行于同一平面的兩個平面平行

4、經過平面外一點，有且只有一個平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直線的兩個平面平行。

四、線線垂直的證明方法

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形對角線。

4、圓所對的圓周角是直角。

5、點在線上的射影。6利用向量來證明。

7、如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線就和這個平面內任意的直線都垂直。

8、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，則另一條也垂直于這條直線。

五、線面垂直的證明方法：

1、定義法：直線與平面內任意直線都垂直。

2、點在面內的射影。

3、如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。（線面垂直的判定定理）

4、如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。（面面垂直的性質定理）

5、兩條平行直線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于這個平面

6、一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面，則必垂直于另一個平面。

7、兩相交平面同時垂直于第三個平面，那么兩平面交線垂直于第三個平面。

8、過一點，有且只有一條直線與已知平面垂直。

9、過一點，有且只有一個平面與已知直線垂直。

六、面面垂直的證明方法：

1、定義法：兩個平面的二面角是直二面角。

2、如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）

3、如果一個平面與另一個平面的垂線平行，那么這兩個平面互相垂直。

4、如果一個平面與另一個平面的垂面平行，那么這兩個平面互相垂直。