第一篇：立體幾何問(wèn)題1

16.（遼寧理12）。已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=，?ASC??BSC?30?，則棱錐S—ABC的體積為

（A）3

【答案】C

（B）23（C）（D）1

第二篇：立體幾何證明問(wèn)題

證明問(wèn)題

例1.如圖，E、F分別是長(zhǎng)方體邊形

.-的棱A、C的中點(diǎn)，求證：四邊形是平行四

例2.如圖所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過(guò)點(diǎn)A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD與E、F、G.求證：AE⊥SB.例3.如圖，長(zhǎng)方體∠求證：

=90°.⊥

PQ

-中，P、Q、R分別為棱、、BC上的點(diǎn)，PQ//AB，連結(jié)，例4.已知有公共邊AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不同在一個(gè)平面內(nèi)，P、Q分別是對(duì)角線(xiàn)AE、BD上的點(diǎn)，且AP=DQ，如圖所示.求證：PQ//平面

CBE.例5.如圖直角三角形ABC平面外一點(diǎn)S，且SA=SB=SC，且點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn).（1）求證：SD⊥平面ABC.（2）若AB=AC，求證BD⊥平面

SAC.例6.如圖，在正方體

-中，M、N、E、F分別是棱、、、的中點(diǎn).求證：平面AMN//平面

EFDB.例7.如圖（1）、（2），矩形ABCD中，已知AB=2AD，E為AB的中點(diǎn)，將ΔAED沿DE折起，使AB=AC.求證：平面ADE⊥平面

BCDE.

第三篇：立體幾何線(xiàn)面平行問(wèn)題

線(xiàn)線(xiàn)問(wèn)題及線(xiàn)面平行問(wèn)題

一、知識(shí)點(diǎn) 1 1）相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）平行——在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；（3）異面——不在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)； ．．

2.公理4 ：推理模式：a//b,b//c?a//c．

3.等角定理：4.等角定理的推論:若兩條相交直線(xiàn)和另兩條相交直線(xiàn)分別平行,那么這兩條直線(xiàn)所成的銳角(或直角)相等.5.空間兩條異面直線(xiàn)的畫(huà)法

6．異面直線(xiàn)定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線(xiàn)，b

a

1AA

推理模式：A??,B??,l??,B?l?AB與l

7．異面直線(xiàn)所成的角：已知兩條異面直線(xiàn)a,b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線(xiàn)a?//a,b?//b，a?,b?所成的角的大小與點(diǎn)O的選擇無(wú)關(guān)，把a(bǔ)?,b?所成的銳角（或直角）叫異面直線(xiàn)a,b所成的角（或夾角）．為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O(0,?

28．異面直線(xiàn)垂直：如果兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角，則叫兩條異面直線(xiàn)垂直．兩條異面直線(xiàn)a,b 垂直，記作a?b．

9．求異面直線(xiàn)所成的角的方法：（1）通過(guò)平移，在一條直線(xiàn)上找一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)做另一直線(xiàn)的平行線(xiàn)；

（210．兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)、距離：和兩條異面直線(xiàn)都垂直相交．．．．

異面直線(xiàn)的的定義要注意“相交

11．異面直線(xiàn)間的距離：兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)在這兩條異面直線(xiàn)間的線(xiàn)段垂線(xiàn)段）的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線(xiàn)間的距離．

12．直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系（1）直線(xiàn)在平面內(nèi)（無(wú)數(shù)個(gè)公共a點(diǎn)）；（2）直線(xiàn)和平面相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）；（3）直

?線(xiàn)和平面平行（沒(méi)有公共點(diǎn)）——用兩分法進(jìn)行兩次分

類(lèi)．它們的圖形分別可表示為如下，符號(hào)分別可表示為a??，a???A，a//?． a?13．線(xiàn)面平行的判定定理：如果平面外的一條直線(xiàn)和平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行．推理模式：l??,m??,l//m?l//?．

14.線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這

相交，那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行．推理模式：l//?,l??,????m?l//m．

?lm個(gè)平面?

二、基本題型

1．判斷題（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）

（1）垂直于兩條異面直線(xiàn)的直線(xiàn)有且只有一條（）

（2）兩線(xiàn)段AB、CD不在同一平面內(nèi)，如果AC=BD，AD=BC，則AB⊥CD（）（3）在正方體中，相鄰兩側(cè)面的一對(duì)異面的對(duì)角線(xiàn)所成的角為60o（）（4）四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對(duì)邊垂直（）

2．右圖是正方體平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中

C

①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線(xiàn)；③CN與BM成60o角； ④DM與BN垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（）（A）①②③（B）②④（C）③④（DF

3．已知空間四邊形ABCD.(1)求證：對(duì)角線(xiàn)AC與BD是異面直線(xiàn);(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),試判斷四邊形EFGH的形狀;(3)若AB＝

BC＝CD＝DA,作出異面直線(xiàn)AC與BD的公垂線(xiàn)段.4．完成下列證明，已知直線(xiàn)a、b、c不共面，它們相交于點(diǎn)P，A?a，D?a，B?b，E?c求證：BD和AE證明：假設(shè)__ 共面于?，則點(diǎn)A、E、B、D都在平面__?A?a，D?a，∴__?γ.?P?a，∴P?__.?P?b，B?b，P?c，E?c∴__??，__??，這與____矛 ∴BD、E,F,G,H分別是空間四邊形四條邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，（1）求證四邊形EFGH是

2）若AC⊥BD時(shí)，求證：EFGH為矩形；（3）若BD=2，AC=6，求EG

?HF

；（4）

若AC、BD成30o角，AC=6，BD=4，求四邊形EFGH的面積；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC與BD間的距離.6 間四邊形ABCD中，AD?BC?2，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，EF?AD,BC7.在正方體ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B與B1D1所成角;(2)AC與BD1所成角.8．在長(zhǎng)方體ABCD?A?B?C?D中，已知AB=a，BC=b，AA?=c(a＞b)，求異面直線(xiàn)D?B與AC

9．如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別

是AB、PC1）求證：MN//平面PAD；（2）若MN?BC?4，PA? 求異面

直線(xiàn)PA與MN10．如圖,正方形ABCD與ABEF不在同一平面內(nèi),M、N分別在AC、BF上，且AM?FN求證：MN//平面CBE

參考答案：

1.（1）×（2）×（3）√（4）×2.C

3.證明：(1)∵ABCD是空間四邊形,∴A點(diǎn)不在平面BCD上,而C?平面BCD, ∴AC過(guò)平面BCD外一點(diǎn)A與平面BCD內(nèi)一點(diǎn)C, 又∵BD?平面BCD,且C?BD.∴AC與BD是異面直線(xiàn).(2)解如圖,∵E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),∴EF//AC,且EF=同理HG//AC,且HG=

212

AC.AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四邊形.又∵F,G分別為BC,CD的中點(diǎn),∴FG//BD,∴∠EFG是異面直線(xiàn)AC與BD所成的角.o

∵AC⊥BD,∴∠EFG=90.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,連EF,則EF即為所求.4.答案：假設(shè)BD、AE共面于?，則點(diǎn)A、E、B、D都在平面 ? ∵A?a，D?a，∴ a ??.∵P?a，P? ?.∵P?b，B?b，P?c，E?c.∴ b ??，c ??，這與a、b、c∴BD、AE5.證明（1）：連結(jié)AC,BD，∵E,F是?ABC的邊AB,BC上的中點(diǎn)，∴EF//AC，同理，HG//AC，∴EF//HG，同理，EH//FG，所以，四邊形EFGH證明（2）：由（1）四邊形EFGH∵EF//AC，EH//BD，∴由AC⊥BD得，EF?EH，∴EFGH為矩形.解（3）：由（1）四邊形EFGH∵BD=2，AC=6，∴EF?

2AC?3,EH?

BD?

1∴由平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì) EG?HF?2(EF

?EH)?20.B

D解（4）：由（1）四邊形EFGH∵BD=4，AC=6，∴EF?

又∵EF//AC，EH//BD，AC、BD成30o角，∴EF、EH成30o角，AC?3,EH?

BD?

2∴四邊形EFGH的面積 S?EF?EHsin30

?3.解（5）：分別取AC與BD的中點(diǎn)M、N,連接MN、MB、MD、NA、NC，∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝3 ∴MN?AC,MN?BD，∴MN是AC與BD的公垂線(xiàn)段 且MN?

MB

?NB

?2∴AC與BD間的距離為2.6.解：取BD中點(diǎn)G，連結(jié)EG,FG,EF，∵E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，∴EG//AD,FG//BC,且EG?

2AD?1,FG?

BC?1，∴異面直線(xiàn)AD,BC所成的角即為EG,FG所成的角，EG?FG?EF

2EG?FG

在?EGF中，cos?EGF???

?，G

F

D

∴?EGF?120，異面直線(xiàn)AD,BC所成的角為60．

7.解(1)如圖,連結(jié)BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1為平行四邊形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的對(duì)角線(xiàn).∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60,∵∠A1BD是銳角,∴∠A1BD是異面直線(xiàn)A1B與B1D1所成的角.∴A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點(diǎn)E,連EO,EA,EC.∵O為BD中點(diǎn),∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中點(diǎn),∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.又∴∠EOA是異面直線(xiàn)AC與BD1所成角,∴AC與BD1成角90.8.解(1)如圖,連結(jié)BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1為平行四邊形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的對(duì)角線(xiàn).∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形, ∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是銳角,∴∠A1BD是異面直線(xiàn)A1B與B1D1所成的角.∴A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點(diǎn)E,連EO,EA,EC.∵O為BD中點(diǎn),∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.o

在等腰△EAC中,∵O是AC的中點(diǎn),∴EO⊥AC,∴∠EOA=90.又∴∠EOA是異面直線(xiàn)AC與BD1所成角,∴AC與BD成角90o.9.略證（1）取PD的中點(diǎn)H，連接AH，?NH//DC,NH?

12DC

o

o

?

C

?NH//AM,NH?AM?AMNH為平行四邊形 ?MN//AH,MN?PAD,AH?PAD?MN//PAD

解(2): 連接AC并取其中點(diǎn)為O，連接OM、ON，則OM平行且等于BC的一半，ON平行且等

于PA的一半，所以?ONM就是異面直線(xiàn)PA與MN所成的角，由

MN?BC?

4，PA?OM=2，ON=

所以?ONM?300，即異面直線(xiàn)PA與MN成30010.略證：作MT//AB,NH//AB分別交BC、BE于T、H點(diǎn)

AM?FN??CMT≌BNH?MT?NH

從而有MNHT為平行四邊形?MN//TH?MN//CBE

E

第四篇：立體幾何的平行與證明問(wèn)題

立體幾何

1．知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

一、經(jīng)典例題剖析

考點(diǎn)一 點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系

1、設(shè)l是直線(xiàn),a,β是兩個(gè)不同的平面（）

A．若l∥a,l∥β,則a∥β B．若l∥a,l⊥β,則a⊥β

C．若a⊥β,l⊥a,則l⊥β D．若a⊥β, l∥a,則l⊥β

2、下列命題正確的是（）

A．若兩條直線(xiàn)和同一個(gè)平面所成的角相等,則這兩條直線(xiàn)平行

B．若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行

C．若一條直線(xiàn)平行于兩個(gè)相交平面,則這條直線(xiàn)與這兩個(gè)平面的交線(xiàn)平行

D．若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行

3、已知空間三條直線(xiàn)l、m、n.若l與m異面,且l與n異面,則（）

A．m與n異面.B．m與n相交.C．m與n平行.D．m與n異面、相交、平行均有可能.4、（2013年高考江西卷（文15））如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上,且AB//CD,則直線(xiàn)EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為

_____________.D

1CB

考點(diǎn)二證明平行關(guān)系

5、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點(diǎn)，D C

BDE。求證： AC1//平面

6、（2013年高考陜西卷（文））如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O

為底面中心, A1O⊥平面ABCD, AB?AA1?

A

(Ⅰ)證明: A1BD //平面CD1B1;(Ⅱ)求三棱柱ABD-A1B1D1的體積.考點(diǎn)三證明垂直問(wèn)題

7、（2013年高考遼寧卷（文））

如圖,AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點(diǎn).(I)求證:BC?平面PAC；

(II)設(shè)Q為PA的中點(diǎn)，G為?AOC的重心，求證：QG//平面PBC.8、已知正方體ABCD?A1BC11D1，O是底ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn).D1AD

BBC

1求證：(１)C1O∥面AB1D1；(2)AC?面AB1D1．1

C

綜合練習(xí)：

9、（2013年高考廣東卷（文））如圖4,在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC

邊上的點(diǎn),AD?AE,F是BC的中點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)G,將?ABF沿AF折起,得到如圖5所示的三棱錐A?BCF,其中BC?

.(1)證明:DE//平面BCF;(2)證明:CF?平面ABF;

圖

410、如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=證明：PQ⊥平面DCQ；

PD．

2AC?平面B'D'DB；BD'

?平面ACB'.11、正方體ABCD?A'B'C'D'中，求證：（1）（2）

第五篇：立體幾何中的最值問(wèn)題

立體幾何中的最值問(wèn)題

上猶中學(xué)數(shù)學(xué)教研組劉道生

普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試新課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)科考試大綱指出，通過(guò)考試，讓學(xué)生提高多種能力，其中空間想象能力是對(duì)空間形式的觀察、分析、抽象的能力.要在立體幾何學(xué)習(xí)中形成。立體幾何主要研究空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系，查遍近幾年全國(guó)各省市的高考題中，與空間圖形有關(guān)的線(xiàn)段、角、距離、面積、體積等最值問(wèn)題常常在高考試題中出現(xiàn)，并且成增長(zhǎng)趨勢(shì)。下面舉例說(shuō)明解決這類(lèi)問(wèn)題的常用方法。

策略

一、公理與定義法

例

1、在正四棱錐S-ABCD中，SO⊥平面ABCD于O，SO=2，S

底面邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P、Q分別在線(xiàn)段BD、SC上移動(dòng)，則P、Q兩點(diǎn)的最短距離為（）B

A.55 B.255 C.2D.1【解析】如圖1，由于點(diǎn)P、Q分別在線(xiàn)段BD、SC上移動(dòng)，先讓點(diǎn)P在BD上固定，Q在SC上移動(dòng)，當(dāng)OQ最小時(shí)，PQ最小。過(guò)O作OQ⊥SC，在Rt△SOC中，OQ?

P在BD上運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，PQ最小，2。又

5等于OQ的長(zhǎng)為2，也就是異面直線(xiàn)BD和SC的 5

公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)。故選B。

策略二建立函數(shù)法

例2正?ABC的邊長(zhǎng)為a，沿BC的平行線(xiàn)PQ折疊，使平面A?PQ?平面BCQP，求四棱錐的棱A?B取得最小值時(shí)，四棱錐A??BCQP的體積。

分析：棱A?B的長(zhǎng)是由A?點(diǎn)到PQ的距離變化而變化，因此我們可建立棱A?B與點(diǎn)A?到PQ的距離的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，從而求出棱A?B的最小值，進(jìn)而求出體積。

【解析】如圖所示，取PQ中點(diǎn)o，顯然AO?PQ，即A?O?PQ

?

由平面A?PQ?平面BCQP，則A?O?平面BCQP，如圖建立直角坐標(biāo)系O?xyz，設(shè)

?3?

1?，得 A?O?x，因正?ABC的邊長(zhǎng)為a，易知A??0,0,x?,O?0,0,0?,B?a?x,?a,0?2?2?????3?11

???A?A???0,0,?x???a?x,?a,0???a?x,?a,?x?? 2222????

3??1?2??5

2????a????x?2?2x2?ax?a2?2?x???a?xa??a?2??2???4?8???

即當(dāng)x?

3a時(shí)，A?Bmin?a 4

423?11?3133a??2??SBCPQ?A?O???a?a???a? ???33?44?2??464

?VA??BCPQ

評(píng)注：對(duì)于圖形的翻折問(wèn)題,關(guān)健是利用翻折前后不變的數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系；同時(shí)還

要仔細(xì)觀察翻折前后圖形的性質(zhì)。很多情況下，我們都是把這類(lèi)動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成目標(biāo)函數(shù)，最終利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值。策略三；解不等式法

例3求半徑為R的球內(nèi)接正三棱錐體積的最大值。

分析:要使球內(nèi)接正三棱錐的體積最大,則需正三棱錐的邊或高最大,而高過(guò)球心,則可尋球高與半徑之間的關(guān)系。

【解析】如右圖所示，設(shè)正三棱錐高O1A=h,底面邊長(zhǎng)為a由正三棱錐性質(zhì)可知O1B

又知OA=OB=R則在Rt?ABC中，2a)?R2?(h?R)2? a2?3h(2R?h)

3?hh???2R?h1hh??R3 2V=2h(2R?h)?

(2R?

h)??2233????

(當(dāng)且僅當(dāng)

h4

?2R?h，即h?R時(shí)，取等號(hào))?正三棱錐體積最大值為

策略四；變量分析法

例4 如圖已知在?ABC中，?C?90，PA⊥平面ABC，AE⊥PB交PB于E，AF⊥PC于F，當(dāng)AP=AB=2，?AEF??，當(dāng)?變化時(shí)，求三棱錐P-AEF體積的最大值。

分析：?的變化是由ＡＣ與ＢＣ的變化引起的，要求三棱錐P-AEF的體積，則需找到三棱錐P-AEF的底面積和高，高為定值時(shí)，底面積最大，則體積最大。

【解析】∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC∴ PA⊥BC

又∵BC⊥AC，PA

?AC?

∴ BC⊥平面PAC，AF?平面PAC，∴ BC⊥AF，又∵ AF⊥PC，PC?BC?C∴AF?平面PBC平面PBC，∴AF⊥EF ∴ EF是AE在平面PBC上的射影，∵AE⊥PB，∴EF⊥PB∴ PE⊥平面AEF

在三棱錐P-AEF中，∵AP=AB=2，AE⊥PB，∴PE?2，AE?2，AF?2sin?，1112

sin2? EF?2cos?，VP?AEF?S?AEF?PE???2sin??2cos??2?

3326

∵0???

?，∴0?2???，0?sin2??1∴ 當(dāng)??

?

時(shí)，VP?AEF取得最大值為

。6

策略五：展開(kāi)體圖法

例5.如圖3-1，四面體A-BCD的各面都是銳角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面α分別截棱AB、BC、CD、DA于點(diǎn)P、Q、R、S，A

C

則四邊形PQRS的周長(zhǎng)的最小值是（）

A.2a

B.2b

C.2c

D.a+b+c

D

圖

5【解析】如圖3-2，將四面體的側(cè)面展開(kāi)成平面圖形。由于四面體各

側(cè)面均為銳角三角形，且AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A與A’、D與D’在四面體中是同一點(diǎn)，且AD//BC//A'D'，AB//CD'，A、C、A’共線(xiàn)，D、B、D’共線(xiàn)，AA'?DD'?2BD。又四邊形PQRS在展開(kāi)圖中變?yōu)檎劬€(xiàn)S’PQRS，S’與S在四面體中是同

一點(diǎn)。因而當(dāng)P、Q、R在S’S上時(shí)，′

′

S'P?PQ?QR?RS最小，也就是四邊形

SPQRS周長(zhǎng)最小。又S'A?SA'，所以最小值L?SS'?DD'?2BD?2b。故選B。策略六 布列方程法

例

6、棱長(zhǎng)為2cm的正方形體容器盛滿(mǎn)水，把半徑為1cm的銅球放入水中剛好被淹沒(méi)，然后再放入一個(gè)鐵球，使它淹沒(méi)水中，要 使流出來(lái)的水量最多，這個(gè)鐵球的半徑應(yīng) 該為多大？

【解析】：過(guò)正方形對(duì)角線(xiàn)的截面圖如圖所示，AC1?2，AO?

3AS?AO?OS??1設(shè)小球的半徑r，tan?C1AC?

2在?AO1D中，AO1?r，∴AS?AO1?O1S∴?1?3r?r，解得r?2?3（cm）為所求。

策略

七、極限思想法

【解析】三棱錐P-ABC中，若棱PA=x,其余棱長(zhǎng)均為1，探討x是否有最值；2若正三棱錐底面棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)均為1，探討其側(cè)棱否有最值。

解析：如圖第1題：當(dāng)P-ABC為三棱錐時(shí)，x的最小極限是 P、A重合，取值為0，若?PBC繞BC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，PA變大，最大極限是P,A,B,C共面時(shí)，PA為菱形ABPC

第2題：若P在底面的射影為O,易知PO越小，側(cè)棱越小。故P、O重合時(shí)，側(cè)棱取最小極

PO無(wú)窮大時(shí)，側(cè)棱也無(wú)窮大?？芍獌深}所問(wèn)均無(wú)最值。策略

八、向量運(yùn)算法

例8.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-EFGH中，P是AF上的動(dòng)點(diǎn)，則GP+PB的最小值為_(kāi)______。

【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AD、AE所在直線(xiàn)為x，y，z軸，建立如圖4所示

?，0，x)，的空間直角坐標(biāo)系，則B（1，0，0），G（1，1，1）。根據(jù)題意設(shè)P（x，0，x），則BP?(x?1?

GP?(x?1，?1，x?1)，那么

GP?PB?2x2?4x?3?2x2?2x?

12??2

2??211??????????x????0??

?2?(x?1)2??0??2?2??2????????

?2?1??1??2

???x????0??可以看成x軸正半軸上一點(diǎn)式子(x?1)??0?（x，??2?2??2???

0，0）到xAy平面上兩點(diǎn)?1?

??2??11?2，0?、?，的距離之和，其最小值為。所以0???2??22?

2GP+PB的最小值為2??

?2?2。2

[規(guī)律小結(jié)]

建立函數(shù)法是一種常用的最值方法，很多情況下，我們都是把這類(lèi)動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成目標(biāo)函數(shù)，最終利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值。解題途徑很多，在函數(shù)建成后，可用一次函數(shù)的端點(diǎn)法；二次數(shù)的配方法、公試法； 有界函數(shù)界值法（如三角函數(shù)等）及高階函數(shù)的拐點(diǎn)導(dǎo)數(shù)法等。

公理與定義法通常以公理與定義作依據(jù)，直接推理問(wèn)題的最大值與最小值，一般的公理與定理有：兩點(diǎn)之間以線(xiàn)段為最短，分居在兩異面直線(xiàn)上的兩點(diǎn)的連線(xiàn)段中，以它們的公垂線(xiàn)段為短。球面上任意兩點(diǎn)間的連線(xiàn)中以過(guò)這兩點(diǎn)與球心的平面所得圓的劣弧長(zhǎng)為最短等。如果直接建立函數(shù)關(guān)系求之比較困難，而運(yùn)用兩異面直線(xiàn)公垂線(xiàn)段最短則是解決問(wèn)題的捷徑。

解不等式法是解最值問(wèn)題的常用方法、在立體幾何中同樣可利用不等式的性質(zhì)和一些變

a2?b

2?ab量的特殊不等關(guān)系求解：如

ab?

a?b

最小角定理所建立的不等關(guān)系2

等等。

展開(kāi)體圖法是求立體幾何最值的一種特殊方法，也是一種常用的方法，它可將幾何題表面展開(kāi)，也可將幾何體內(nèi)部的某些滿(mǎn)足條件的部分面展開(kāi)成平面，這樣能使求解問(wèn)題，變得十分直觀，由難化易。

變量分析法是我們要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，在幾何體中的點(diǎn)、線(xiàn)、面，哪些在動(dòng)，哪些不動(dòng)，要分析透徹，明白它們之間的相互關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化成求某些線(xiàn)段或角等一些量的求解最值總題的方法。

除了上述5種常用方法外，還有一些使用并不普遍的特殊方法，可以讓我們達(dá)到求解最值問(wèn)題的目的，這就是：布列方程法、極限思想法、向量計(jì)算法等等其各法的特點(diǎn)與普遍性，大家可以通過(guò)前述實(shí)例感受其精彩內(nèi)涵與真理所在。

在解題時(shí)，通常應(yīng)注意分析題目中所有的條件，首先應(yīng)該在充分理解題意的基礎(chǔ)上，分析是否能用公理與定義直接解決題中問(wèn)題；如果不能，再看是否可將問(wèn)題條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)，若能寫(xiě)出確定的表意函數(shù)，則可用建立函數(shù)法求解；再不能，則要考慮其中是否存在不等關(guān)系，看是否能運(yùn)用解等不式法求解；還不行則應(yīng)考慮是否可將其體圖展開(kāi)成平面，這樣依次從本文所標(biāo)定的方法順序思考，必能找到解題的途徑。