第一篇：立體幾何教材分析

《數學必修模塊2》立體幾何教材分析

長沙市二十六中

為了更好地組織實施好本模塊的教學，我們高一年級數學備課組成員以問題為載體，主要對如下課題進行了研究：（1）課標中所提倡的教育理念是什么？（2）新課標與原來的教學大綱有什么不同？（3）本模塊的教學內容包括哪些，每一部分的教學內容是如何展開和深入的，它需要達到的三維目標是什么？（4）新教材與舊教材比較，在內容和結構特征上都發生了哪些變化？為什么這樣變化？它所要達到的目的是什么？（5）如何把握立體幾何初步教學難度？

（一）研究體會第一，通過對《數學2》的探索，我們深切體會到它具有如下特色：

1、在內容安排上，通過研讀課標和新舊教材的如下對比，我們發現新課程《數學2》中立體幾何初步的內容體現了從整體到局部，從具體到抽象的原則，而舊教材這部分的內容遵循的是從局部到整體的原則。

同時在內容的難度要求上，《數學2》與舊教材比較,難度進行了降低,并且引入了合情推理.2、突顯“數學探究”和“數學文化”。

3、所選擇的素材貼近學生的生活實際，激發了學生學習數學的興趣，并且在生活中自覺樹立起了數學意識，如在第一章空間幾何體中，習題1.3A組第5題煙筒的直觀圖，第6題鐵路的鋪設，B組第1題獎杯的三視圖，教材簡單組合體三視圖中的礦泉水瓶，紀念碑，杠鈴等。

4、注重與各學科之間的融合，主要是與信息技術、物理、化學等學科的融合。通過與其他學科的融合，幫助學生在學習的過程中，自覺樹立起了聯系的觀點，拓展了學生對問題的認識深度和廣度，有利于學生體驗數學作為基礎學科的價值。

5、在教科書中，各節根據需要，開設了“思考”、“觀察”和“探究”等欄目，把學生作為學習的主體來編排內容，符合新課程的理念，有利于學生開展自主和合作學習，實現教師教學和學生學習的雙重行為方式的轉變。

6、在教材中所穿插的“閱讀與思考”等內容，能很好地反映數學的歷史、數學的應用和發展的最新信息，有利于幫助學生認識數學是人類文化的重要組成部分。

7、在編排方面，在每章均有章頭圖和引言，作為本章內容的導入，使學生對該章學習的內容產生懸念，發生興趣，從而初步了解學習該章內容的必要性。

8、增加了教材旁注，并且多處提到解決問題的基本數學思想方法，如直線與平面平行判定定理的旁注：定理告訴我們，可以通過直線間的平行，推證直線與平面平行，這是處理空間位置關系的一種常用方法，即將直線與平面平行關系（空間問題）轉化為直線間平行關系（平面問題）。緊跟著例1完了以后，又指出：今后要證明一條直線與這個平面平行，只要在這個平面內找出一條直線平行與已知直線平行，就可以斷定已知直線與這個平面平行。這有利于提高學生自主學習的能力，使學生不但學會數學，而且會學數學。

第二 根據新課程的特色，我們積極探索和實踐，轉變教學方式，努力實現新課程理念和編者的意圖：

1、認真研讀課標，站在一個整體、全局的高度把握好教學的深淺度。

（1）從整套教材來看立體幾何教學、學習的要求不是一步到位，而是分階段，分層次，多角度的。

一共分為三個階段

第一階段 必修課程：數學2 立體幾何初步

第二階段 選修系列2：空間向量與立體幾何

第三階段 選修系列3-3，球面上的幾何

系列3-5，歐拉公式與閉曲面分類

立體幾何的學習也是分層次的：

第一層次：對幾何體的認識，依賴于學生的直觀感受，不做任何推理的要求。

第二層次：以長方體為載體（包括其它的實物模型、身邊的實際例子）對圖形（模型）進行觀察、實驗和說理，引入合情推理。第三層次：嚴格的推理證明。如線面平行、垂直的性質定理的證明。第四層次：空間向量與了立體幾何，用代數的方法研究幾何問題。

為此，我們在教學時必須進行分階段，分層次，多角度地教學，更多地關注學生學習的情感，防止學生對立體幾何學習出現畏懼心理，喪失學習的信心。

（2）正確理解立體幾何初步中，較容易處理的問題采用合情推理和綜合方法處理，而較難處理的問題放在后面采用代數的方法（選修部分-空間向量與立體幾何）的目的，一是有利于剛開始把更多的時間和精力放在培養學生空間感和對數學思想方法的掌握上。二是有利于化難為易，改變學生對立體幾何的態度，建立起學生學好立體幾何的信心。三是有利于加強幾何與代數的聯系，培養學生數形結合的思想，完善學生對數學的認知結構。

2、在立體幾何初步的教學中，注意利用學生身邊的實物模型進行教學，遵循由直觀到抽象，由感性認識到理性認識，強調平面問題與空間問題的互相轉化方法和思想。

3、利用“思考”、“觀察”和“探究”等欄目，培養學生自主學習的能力和合作

學習的精神，增強學生嘗新的意識。

在本模塊的教學和學習中，師生所遇到的困難主要有：

1、教與學的深淺度不好把握；

2、學生的課外輔導用書很多與課標不相符合；

3、整體編排內容覆蓋面過廣且容量大與課時少之間的矛盾；

4、學生學習方式和方法還不能適應高中新課程的要求；

5、學生用信息技術解決數學問題的能力比較弱。

所采取的克服方法：

關于第1個困難的克服，上述已經談及。

關于第2個困難的克服，主要是向學生推薦好的資料，有選擇的應用資料。關于第3個困難的克服，主要抓住教學內容的本質、重點、難點和關鍵，正確把握好教學深淺度，有的放矢地授課，培養學生自主學習和探究的能力，其次利用課余時間進行適當輔導。

關于第4個困難的克服，主要是通過開設學習方法講座，向學生介紹自主學習的方式及方法；介紹高中數學的特點及應采取的學習方法；大力開展研究性學習活動。

關于第5個困難的克服，重要是利用課余時間，加強對學生使用數學軟件能力的培訓，特別是讓學生學會使用《幾何畫板》。

三 模塊反思

（一）經驗教訓

（1）備課時，認真研讀《高中數學課程標準》中有關數學2的相關內容，做到心中有課標，以課標審視教材中所提供的素材是否符合要求，是否需要更換，即樹立起正確的教材觀：用教材教，而不是教教材，如球的體積和表面積，根據課標要求只需了解公式即可，為此，在處理這一節時，我們應只要求學生初步了解公式導出過程中所隱含的數學思想方法，并不要求理解證明過程。

（2）在教學內容與課時安排上，大膽突破小節與小節之間的框架結構束縛，如在“1.1.1柱、錐、臺、球的結構”和“1.1.2簡單組合體的結構特征”中，我們是這樣安排課時的：第1課時安排學習“柱、錐的結構特征”，在第2課時安排學習“臺、球和簡單的結構特征”。

（3）抓住內容的本質和重點，有的放矢地授課，培養學生自主學習和探究的能力，如“空間幾何體的三視圖”，由于來自課改地區的學生以前學過這部分的知識，并且“柱、錐、臺、球的三視圖”是“簡單組合體的三視圖”的基礎，因此在教學時，前部分的內容主要由教師引導學生完成學習，后一部分的內容則可由學生自主學習完成，教師給予檢查反饋。

（4）在“第二章 點、直線、平面之間的位置關系”教學中，注意利用學生身邊的實物模型進行教學，遵循由直觀到抽象，由感性認識到理性認識，強調平面問題與空間問題之間的互相轉化方法和思想，把重點放在引導學生如何學上，使學生的自學能力得到提高。

（5）學習掌握使用信息技術處理問題的方法

如第一章復習參考題B組第3題：你見過如圖1所示的紙簍嗎？仔細觀察它的幾何結構，可以發現，它可以由多條直線圍成，你知道它是怎么形成的嗎？

對于教材中的這道題，如果只靠學生的憑空思考，許多學生是無法解決的，為此，老師可以讓學生利用幾何畫板做如下數學實驗：如圖2所示的正方體，棱長為1，其中?、?'底面和上底面中心，如果以??'為軸，轉動正方體。（1）如果跟蹤線段??

'，那么它留下的軌跡是什么圖形？（2）如果跟蹤正方體的一條對角線，如?C'，那么它留下的軌跡是什么圖形？（3）你認為應跟蹤哪一條線C

段，它所留下的軌跡才能得到紙簍面？隨著正方體的轉動和學生不斷調整跟蹤的線段，可以發現正方體側面對角線留下的軌跡即是紙簍面。此題也可以在A組第2題的基礎上啟發學生得出答案。但同樣要借助《幾何畫板》演示，在教具方面，注意黑板、實物模型和多媒體三者之間的合理相互配合使用，發揮各自的優點，一般情況下，重要的定義、定理、數學基本思想方法等在教學的過程中學生后繼需要用來幫助解題的內容，則應板書：需要動態演示的可用多媒體（如簡單幾何體的結構特征）；實物模型則由更有利于學生觀察，省去做課件的時間。在教學中注重強調自然語言，數學符號語言和圖形語言的使用，特別是圖形語言的使用，應讓學生養成習慣，圖形語言有諸多優點。

（二）三點建議

（1）建議1.3.2球的體積和表面積的公式推導過程，作為學生的閱讀材料；

（2）“經過直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面”和“經過兩條相交直線，有且只有一個平面”這兩個結論，從教學的角度來考慮，我們認為把他們調整為平面公理2的推論更好一些，而不是作為課后的判斷題。

（3）通過《數學2》從表那些所選擇的素材，編排的內容，結構和設計等方面是比較科學的、合理的，能很好的體現《高中數學課程標準》的要求和理念，但我們認為《課標》在課程安排上普遍感到時間不夠用，可彈性差，我們建議做什么事情都不能一刀切，應充分考慮到數學的基礎性和重要性，考慮每個學校學生水平的差距性，合理地安排課時，給我們的教學留有一定的彈性。

第二篇：《立體幾何初步》教材分析——楊帆

數學必修2第一章立體幾何初步章節分析

（楊帆 陜西師范大學 710062）

幾何學是研究現實世界中物體的形狀、大小和位置關系的學科，而三維空間是人們生存的現實空間．本章將按照由整體到局部的研究方法，研究“簡單幾何體、直觀圖、三視圖、空間圖形的基本關系和公理、平行關系、垂直關系以及簡單幾何體的面積和體積”，對三維空間的幾何對象進行直觀感知、操作確認、思辨論證．

1.教材內容的變化

新課標新增了三視圖與三視圖和實物圖的轉換，這些內容與初中階段“空間與圖形”中的“視圖與投影”緊密銜接，而《舊大綱》中 “直線、平面、簡單幾何體”沒有這部分內容．增加這部分內容的主要目的是通過三視圖以及空間幾何體與其三視圖的互相轉化，對空間圖形進行整體上的認識，培養和發展學生的空間想象能力、幾何直觀能力，更全面地把握空間幾何體．

新課標也減少了一些內容：如異面直線所成的角，異面直線的公垂線，異面直線的距離，點到平面的距離，直線和平面所成的角，三垂線定理及其逆定理，平行平面間的距離，多面體，正多面體．

2.教學目標

2.1知識目標

基礎知識：

（1）理解柱、錐、臺、球的結構特征；

（2）了解二面角及其平面角的概念；

（3）掌握空間點、直線、與平面之間的位置關系分類（重點）．

基本技能：

（1）理解三視圖畫法的規則，能畫簡單幾何體的三視圖；

（2）掌握斜二測畫法，能作簡單幾何體的直觀圖；

（3）了解柱、錐、臺、球表面積和體積的計算公式，并能計算一些簡單組合體的表面積和體積；

（4）理解并掌握平行關系和垂直關系的判斷和性質（重點）；

（5）能利用公理和基本定理證明簡單的幾何命題（重點）．

2.2過程目標

（1）培養和發展學生的空間想象力與幾何直觀能力．

新課程立體幾何初步新增加了三視圖以及與實物圖之間的轉換．新增這些內容的目的就是為了讓學生更好的認識我們所生活的這個三維空間，能夠準確地描述現實世界與圖形之間的關系，能從課本還原到現實，來解決生活、生產中的各種問題，發展學生對數學知識的應用意識．例如，平行關系和垂直關系中都是從生活中的平行或垂直關系出發，引入新課，進而進行探究，最后回到生活中來解決實際問題．此外，教師也應注重學生畫圖能力的培養，特別是立體圖形直觀圖的畫法．良好的空間想象能力是學生應該具備的基本數學素養，對于學生更好的生存與發展具有重要意義．

（2）培養學生自主的合情推理與演繹推理能力．

《標準》在立體幾何初步部分，要求學生首先通過觀察實物模型，空間幾何體等，直觀認識和理解空間圖形的性質以及點、線、面的位置關系，并用數學語言進行表述．這種由一般到特殊，從具體到抽象的推理、歸納、并抽象的過程更易于學生的理論創新．而以往的教材只注重知識的強化和變式應用來鍛煉學生的邏輯推理能力，卻忽略了知識的發現過程和呈現方式．新課程強調數學的本質，強調數學思維品質的培養．我們可以適當弱化演繹推理，更多地強調從具體情境或前提出發，進行合情推理，轉向更全面的教育價值．

2.3情感目標

舊教材將內容去頭去尾燒中段呈現給學生，學生既不知道知識“從哪里來，又不知道到哪里去？”，新課程通過直觀感知、操作確認，獲得幾何圖形的性質，這需要學生從身邊的幾何實體出發，動手做一做去猜想和驗證一些命題．體驗定理完整的探究過程，讓學生感受到了概念的發是自然形成的，而不是數學家發明出來強加于人的、無用的．

3．知識結構與教學安排

3.1知識結構

3.2課時安排

§1.1簡單旋轉體

§1.2簡單多面體

§2直觀圖約1課時

§3.1簡單組合體的三視圖約1課時

§3.2由三視圖還原成實物圖約1課時

§4.1空間圖形的基本關系的認識約1課時

§4.2空間圖形的公理約2課時

§5.1平行關系的判定約1課時

§5.2平行關系的性質約2課時

§6.1垂直關系的判定約2課時

§6.2垂直關系的性質約1課時

§7.1簡單幾何體的側面積約1課時

§7.2棱柱、棱錐、棱臺和圓柱、圓錐、圓臺的體積約1課時

§7.3球的表面積和體積約1課時共1課時

4．教學重難點

4.1教學重點

（1）空間中點、線、面的位置關系

立體幾何初步要求借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面位置關系的基礎上，抽象出空間線、面位置關系的定義，以空間幾何的上述定義和公理為出發點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中平行和垂直關系的判定和性質．

（2）三種數學語言：自然語言、圖形語言、和符號語言的轉化

數學擁有多種語言，這是區別于其他學科的典型特征．學生要學會從圖形入手，有序地建立圖形、文字、和符號這三種語言之間的聯系．特別是在公理或定理教學中，要同時使用三種語言進行描述．培養符號語言的圖象化事實上培養了直覺思維的發展，使文字語言符號化培養了思維的邏輯性，文字語言數學化培養了學生的數學應用意識．

4.2教學難點

（1）三視圖的認識

三視圖屬于新課程新增內容，在三視圖的教學中，組合體的三視圖和依據三視圖判別幾何體是教學的難點．特別是對于三視圖還原為實物圖，教師可以實物為對象，如先畫出一幅主視圖，讓學生用蘿卜切出滿足主視圖的幾何體，滿足條件的幾何體可能有很多，教師可以繼續限制幾何體的左視圖，學生繼續修改幾何體，循序漸進，最后發展通過三視圖來切幾何體的能力，這個過程對培養學生的空間想象能力至關重要．本節課的教學需要學生動手操作，教師可借此節課培養學生對立體幾何的興趣．

（2）立體幾何的證明

標準對立體幾何內容是分層設計的．因此，立體幾何中的證明也要分層，不能一步到位．本章學習了4條公理，4條判定定理，四條性質定理和1條從平面拓展到空間的角相等或互補的判定定理，標準只要求對于四個性質定理用綜合幾何的方法加以證明．對于其余的定理，在選修2的“空間向量與立體幾何”中利用向量的方法予以證明．所以利用幾何直觀證明是我們培養的重點，要相應弱化形式證明．我們所要求的證明應該是較為簡單的命題，即能用定理進行簡單推理，而非強調技巧的證明．此處所應用的反證法又是一難點，教師可以逐步引導學生去理解應用．

（3）培養學生形成空間想象能力和幾何直觀能力（重難點）

5.教學建議

（1）站在全局的角度了解學生，把握新課的定位．

新課改已經由義務教育到高中教育全面推行，很多高中老師卻只關心高中的課標變化，而忽略了學生在初中的幾何基礎，學生學習最重要的因素就是學生已經知道了什么，這樣才能了解學生的最近發展區，對學生提出適度的要求，以免造成學生過重的負擔或浪費他們的能力．只有立足整體，通過聯系初中平面幾何中的知識，將其在三維空間中進行推廣或演變，將前后知識連結為整體，增強學生知識的系統性．

（2）主次分明，對于課標不要求的點到為止．

本章的重點在第三節到第六節，簡單幾何體的體積、球的體積和表面積，根據課標要求只需了解公式．在教這一節時，我們只要求學生初步了解公式導出過程中所隱含的數學思想方法，并不要求理解其證明過程．

（3）書中有的旁白是對定義的補充，有的是方法指導，教師不得忽略，要做適當的講解．

第三篇：必修2《立體幾何初步》教材分析與建議

必修2《立體幾何初步》教材分析與建議

一．《課程標準》關于《立體幾何初步》的表述及教學要求

1、表述：

《普通高中數學課程標準》（以下簡稱《課程標準》）指出：幾何學是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數學學科。人們通常采用直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法認識和探索幾何圖形及其性質。三維空間是人類生存的現實空間，認識空間圖形，培養和發展學生的空間想像能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力，是高中階段數學必修系列課程的基本要求。在立體幾何初步部分，學生將先從對空間幾何體的整體觀察入手，認識空間圖形；再以長方體為載體，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系；能用數學語言表述有關平行、垂直的性質與判定，并對某些結論進行論證。學生還將了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法。

2、教學要求：

空間幾何體

（1）利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形，認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構。

（2）能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會使用材料（如紙板）制作模型，會用斜二側畫法畫出它們的直觀圖。

（3）通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。

（4）完成實習作業，如畫出某些建筑的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎上，尺寸、線條等不作嚴格要求）。

（5）了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）。

點、線、面之間的位置關系

（1）借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上，抽象出空間線、面位置關系的定義，并了解如下可作為推理依據的公理和定理：

◆公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。

◆公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

◆公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。◆公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行。

◆定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。

（２）以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發點，通過直觀感知、操作確認、思辯論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定。

通過直觀感知、操作確認，歸納出以下判定定理：

◆平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

◆一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

◆一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。

◆一個平面過另一個平面的垂直線，則兩個平面垂直。

通過直觀感知，操作確認，歸納出以下性質定理，并加以證明。

◆一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行。

◆兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行。

◆垂直于同一個平面的兩條直線平行。

◆兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

（3）能運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題?！稑藴省放c原《大綱》比較，在要求上的主要變化有⑴對于“空間幾何體”：

《教學大綱》要求：了解概念，掌握性質；

《課程標準》則要求：認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征?！墩n程標準》把重點放在了空間想像能力上，對概念、性質則降低了要求。⑵對于“點、線、面之間的位置關系”：

《課程標準》把重點放在了定性研究（平行和垂直）上，定量研究(角和距離)在必修中不作要求（移到選修中），對線、面垂直的判定定理不證明，移到空間向量中再證。分段設計，分層遞進。

⑶對知識發生的過程提出了較高的要求：

多處使用了“觀察”、“認識”、“畫出”、“直觀感知、操作確認，歸納”等情感、態度與價值要求的行為動詞。對空間幾何體的要求是直觀感知；對線、面關系則要求操作確認、思辨論證；對判定定理的要求是操作確認、合情推理；對性質定理則要求思辨論證、邏輯推理。(4)不要求用反證法證明簡單的問題。

三、新課程教材和大綱教材處理的變化

（1）從整體到局部、具體到抽象大綱教材點、線、面 → 柱、錐、臺、球； 課標教材柱、錐、臺、球 → 點、線、面。

（2）強調幾何直觀，合情推理與邏輯推理并重，適當滲透公理化思想。（3）螺旋上升，分層遞進，逐步到位。

呈現上的變化。在內容呈現上，通過直觀感知、操作確認，獲得幾何圖形的性質，并通過簡單的推理發現、論證一些幾何性質。教材在內容的設計上不是以論證幾何為主線展開幾何內容，而是先使學生在特殊情境下通過直觀感知、操作確認，對空間的點、線、面之間的位置關系有一定的感性認識，在此基礎上進一步通過直觀感知、操作確認，歸納出有關空間圖形位置關系的一些判定定理和性質定理，并對性質定理加以邏輯證明。不是不要證明，而是完善過程,既要發展演繹推理能力，也要發展合情推理能力。

（5）教學內容增減：

刪除（或在選修課內體現的）：

1、異面直線所成的角的計算。

2、直線與平面所成角的計算。

3、三垂線定理及其逆定理。

4、二面角及其平面角的計算。

5、多面體及歐拉公式。

6、原教材中有4個公理，4個推論，14個定理（都需證明）（不包含以例題出現的定理）。新教材中有4個公理，9個定理（4個需證明）。增加:

1、簡單空間圖形的三視圖；

專設“空間幾何體的三視圖和直觀圖”這一節，重點在于培養空間想像能力。

2、臺體的表面積和體積等內容。

四、浙江省數學學科關于《立體幾何初步》的教學指導建議

第一章 空間幾何體(8課時)

難點:如何讓學生概括柱、錐、臺、球的結構特征。教學建議:

新課標在幾何數學中強調幾何學習的直觀性，強調實物、模型對幾何學習的作用。因此對柱、錐、臺、球的學習需要從實物圖形的感知出發，抽象出其本質特征，來建立多面體、旋轉體的概念，進一步研究它們的結構和分類。課外可讓學生動手做一做，更直接的感受空間幾何圖形的特征。如建議學生用紙板或游戲棒或細鐵絲（作骨架）做出下列幾何體的模型：

⑴正方體；⑵長方體；⑶三棱錐；⑷四棱錐；⑸三棱臺。學生通過動手做，親身體驗柱、錐、臺的結構特征，必會幫助學生逐步形成空間想像能力。

重點:讓學生畫出組合體的三視圖，用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖。難點：識別三視圖所表示的空間幾何體。教學建議：

1、先讓學生明確畫好空間圖形的必要性。

2、向學生介紹空間圖形在平行投影和中心投影下的表現形式，（三視圖是正投影的主要應用，斜二側畫法是斜投影的應用）；進而理解畫三視圖和直觀圖的基本要求，掌握畫三視圖和直觀圖的基本技能，豐富學生的空間想象能力。

在三視圖的教學中要通過學生的親身體驗來完成，教師應該充分利用“探究”欄目中提出的問題，讓學生在探究中學會三視圖的畫法，體會三視圖的作用，同時要讓學生感到三視圖缺乏空間圖形的立體感，為我們進一步學習直觀圖的畫法埋下伏筆。

為突破本節的難點“識別三視圖所表示的空間幾何體”，先舉例分析根據三視圖找對應物體，再由簡單圖形入手分析識別方法，所選的例題不必太難，注意例題的梯度性。

用斜二測畫法畫直觀圖，關鍵是掌握畫水平放置的平面圖形，它是畫空間幾何體直觀圖的基礎。而水平放置的平面圖形的畫法可以歸結為確定點的位置的畫法。在平面上確定點的位置我們可以借助直角坐標系來完成，因此畫水平放置的直角坐標系是學生首先要掌握的方法。通過例題的教學使學生明確畫直觀圖的基本要求。

教學中可設計用斜二側畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖及幾何體的三視圖的問題，讓學生動手去畫。讓學生用所學的投影知識，解答下面的問題：

⑴畫水平放置的正六邊形的直觀圖；

⑵畫一個五棱柱，其中底面五邊形為正五邊形，俯視圖也 是正五邊形； ⑶已知某個簡單幾何體的三視圖，用斜二側畫法畫出它的直觀圖。

重點：讓學生了解柱體、錐體、臺體、球的表面積和體積計算公式。難點：球的表面積與體積公式的推導。

教學建議：

1、應從學生熟悉的正方體、長方體的側面展開圖入手探究展開圖和表面積的關系。

2、對于課本通過“思考”提出的“如何根據圓柱、圓錐的幾何結構特征，求它的表面積”的問題，可以進行探究教學，充分發揮學生的主觀能動性，并進一步把它推廣到圓臺，并最終把他們都統一到圓臺的表面積公式下。

3、通過對球的表面積、體積公式的運用，加深學生對公式的認識，突出公式在實際問題解決中的作 第二章：點、直線、平面之間的位置關系（10課時）2.1空間點、直線、平面之間的位置關系（3課時）

文字語言、符號語言與圖形語言的轉化；對異面直線的認識。教學建議：

可以先給出一些實物圖片，旨在激發學生學習空間圖形的興趣，然后引入最簡單的幾何體——長方體模型，有關點、線、面用彩色來突出，讓學生仔細的觀察；設計一些實例，再給出實物圖片，讓學生覺得四個公理確實是顯而易見的；設計一幅實物圖片和直觀圖形進行對比，使學生從平面到空間理解等角定理，顯得更直觀、更可信。

2.2直線、平面平行的判定及其性質（３課時）

重點： 通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面、平面與平面平行的判定定理和性質定理。

難點：性質定理的證明，線線平行、線面平行、面面平行這三種平行關系的聯系與應用。

教學建議可以先給出一些實物圖片，旨在激發學生學習的興趣，讓學生覺得直線和平面平行，平面和平面平

行在生活中處處可見；

長方體模型中有關點、線、面最好用彩色來突出，這樣顯得更直觀，讓學生仔細的觀察“教室”這一長方體模型和其他長方體模型的線面的位置關系，容易得出直線和直面平行的判定定理，平面和平面平行的判定定理以及直線和平面平行的性質定理，平面和平面平行的性質定理；

例題和習題的設計要有意識的考慮長方體、正方體模型以及一些不太規則的圖形。

2.3直線、平面垂直的判定及其性質（３課時）

重點：通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質定理。難點：性質定理的證明，線線垂直、線面垂直、面面垂直三種關系的聯系與應用。教學建議：

1、先做一個小實驗，再結合長方體 模型和教室里的有關實物，正確理解 直線和平面垂直的定義。

小實驗：如右圖，拿一塊教學用的直角三角板，放在墻角，使三角板的直角頂點C與墻角重合，直角邊AC所在直線與 墻角所在直線重合，將三角板繞AC轉動，在轉動過程中，直角邊CB與地面緊貼，這就表示，AC與地直垂直。

2、在講授直線和平面垂直的判定定理時，同《2。2直線、平面平行的判定及其性質》一樣，先引導學生觀察一個長方體模型（或圖形），注重引導學生經歷直觀感知、操作確認的過程，由此“抽象概括”出直線和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理，在此基礎上，再回到長方體模型教室里的有關實物來理解直線和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理，將更直觀、更深刻。

直線和平面垂直的判定定理和平面垂直的判定定理，只要求學生理解和應用，不要求進行證明。

3、講清與二面角有關的概念即可，教師不能講得太多。

4、在講授直線和平面垂直的性質定理、平面和平面垂直的性質定理時，先引導學生觀察長方體模型，注重引導學生經歷直觀感知、操作確認、思辯論證的過程，從而提高學生的幾何的直觀能力和幾何的論證能力。在此基礎上，再回到長方體模型和教室里的有關實物來理解直線和平面垂直的性質定理、平面和平面垂直的性質定理，將更直觀、更深刻。

5、本章教學中應重視文字語言、符號語言和圖形語言的相互“翻譯”轉換。

6、在講完這一節后，應該引導學生把直線和直線垂直、直線和平面垂直、平面和平面垂直這三種垂直關系進行比較。

五、本章教學中應注意的幾個問題

1、明確空間幾何體的結構的教學目標：認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構，發展幾何直觀能力。從空間幾何體的結構特征、畫三視圖和直觀圖、度量計算三個角度展開，引導學生認識空間幾何體。

2、加強幾何直觀、合情推理教學，適當進行思辨論證，從幾何直觀、合情推理、邏輯推理等多角度培養學生空間想象能力。

3、注意從不同角度認識幾何體 幾何體的分類 ——比較法的應用；

描述幾何體結構特征的方法——組成幾何體的元素及其位置關系，運用已經認識的結構特征描述簡單幾何體的結構；

4、充分使用長方體模型，5、注意概念定理的發生發展過程；

6、重視問題表達數學化的教學與練習：借用數學記號，不用或少用漢字；

7、注意內容與呈現的變化。（加強過程，合情推理；從整體到局部，采用直觀感知、操作確認、思辯論證、度量計算研究幾何；內容刪多增少，不要過度加深、擴全。）

第四篇：立體幾何解題分析

關于高考立體幾何復習建議

立體幾何是高中數學的重要內容之一。也是高考考查的重要內容，高考對直體幾何的考查呈現出比較明顯的規律。無論是試題的數量。還是試題的難度，都體現出相對的穩定性。存高考試卷中必有一個立體幾何解答題。這個試題一般設有2～3個小問，或證明平行與垂直，或計算角與距離。在突出考查空間想象能力的同時，考查思維能力與運算能力。另外還有1～2個選擇題或填空題。這幾個小題在考查基礎知識的同時，突出考查對圖形的理解與想象能力，考查創新意識。從難度來看，立體幾何解答題屬于中等題，應是大多數同學得分的試題：在選擇題、填空題中，近幾年考察三視圖的題型比較多，對空間想象能力和創新能力要求較高。

一、成績數據分析

從2012年我校高考成績數據分析來看，“立體幾何”部分占填空1道，大題1道。其中填空題第10題，滿分5分，我校得分1.90分，低于同類校0.99分，低于全市校1.07分。解答題第17題，滿分13分，我校得分4.68分，低于同類校2.26分，低于全市校2.25分，其中第一問滿分4分，我校得分2.71分，低于同類校0.58分，低于全市校0.35分；第二問滿分4分，我校得分1.65分，低于同類校1.20分，低于全市校1.03分；第三問滿分5分，我校得分0.32分，低于同類校0.48分，低于全市校0.87分。

二、存在問題

在立體幾何中，畫出空間圖形的直觀圖，對空間圖形中位置關系的識別，恰當地變換處理圖形，運用空間圖形解決問題是學好立體幾何的關鍵，是空間想象能力的核心成分。在高三立體幾何復習教學中，我發現學生在畫圖、識圖、用圖中存在不少問題。因此，有必要探究個中原因，反思我們的教學。

（1）基本作圖能力薄弱

在高三復習中，發現不少學生隨手畫圖，不用直尺；有的學生畫出的圖形線條不簡潔，虛實線不分，缺乏立體感。此外，學生的認知結構中沒有儲存足夠的基本立體幾何模型，從而想不到借助基本圖形來判斷復雜的位置關系?；咀鲌D能力的薄弱影響了學生對圖形的觀察與分析，制約了識圖能力的提高。

（2）數學語言轉換能力不強

空間想象能力要求學生能借助圖形來反映用文字語言或符號語言所表達的空間圖形或位置關系。即從語言或式子中提取關鍵信息，在頭腦中形成空間圖形的“表象”，再畫出其直觀圖，就是說先想圖，后畫圖。這里進行了兩次轉化，一是文字語言或符號語言轉化為圖形語言，二是空間向平面的轉化，而大部分學生就是在轉化的過程中出現問題。

（3）識圖、用圖的能力欠缺

學好立體幾何要求學生具有熟練的識圖、用圖能力，即從復雜的圖形中區別出基本圖形，并通過對基本圖形的分析，識別出基本元素之間的基本關系。學生往往對圖形仔細觀察不夠，推理分析不深，不能克服由空間到平面所產生的錯覺，從而不能正確認識各元素的空間位置和圖形的空間結構。

三、反思與建議

對上述存在問題，我認為與老師對作圖教學重視不夠、示范不夠、指導不夠，學生的作圖、識圖、用圖訓練不夠有密切關系。由于高考對作圖基本不考，所以有的老師干脆把“斜二測畫法”晾在一邊，砍掉不教了。在實際教學中，圖形教學“草草收場”，習題教學“匆忙登場”；重視解題訓練，忽視讀圖、識圖能力培養；重視嚴密推理，忽視耐心觀察而獲取感性認識的現象屢見不鮮。針對此種現象我提出下列幾點建議與老師們共同探討：

（1）重視基本作圖技能的訓練，培養學生的作圖能力

立體幾何離不開圖形，學好立體幾何應從圖形入手，學會畫圖、識圖、用圖。教師首先要高度重視作圖教學，把圖形教學落實到具體行動上來。要認識到培養空間想象能力，必須過好作圖這一基礎關，而教學不僅僅是為了考試，而是為了學生的數學素質全面提高和終身的發展，老師們應從這個高度出發，重視圖形教學。其次要從最基本的平面圖形的直觀圖、幾何體的直觀圖入手，作好示范、嚴格要求，引導學生作出一個個漂亮而富有立體感的直觀圖，豐富學生的美感和想象力。

（2）強化概念教學、夯實空間想象的基礎

立體幾何圖形的特征是通過概念來描述的，對概念的深刻理解是解題的基礎，學生只有正確理解了概念，才能在頭腦中想象并勾畫出相應的幾何圖形，分

解出解題需要的元素。概念既是思維的基本元素，又是空間想象的出發點。要抓住概念的本質特征和關鍵要素進行教學弄清概念中包含哪些基本元素，以何種位置關系出現。使學生能多角度多層面透視概念，形成對概念的深刻理解。

（3）突出圖形變換和轉化的訓練，提高學生的圖形處理的能力

熟練地對空間圖形進行變形處理，是學好立體幾何的硬功夫，也是空間想象能力深化的標志。在教學中，我們應該有意識地加強這方面的訓練，使學生在運動變化中認識圖形，理解圖形，使空間圖形在學生面前不再僵化、呆板，而變得靈活、有生氣。一方面要加強對圖形的分割、補全、折疊、展開、剪拼等變形的訓練，通過對圖形的直觀處理為解題提供幫助、使解題過程簡潔、明快。另一方面要加強對圖形的平移變形處理的訓練。

（4）滲透數學思想方法提升空間想象能力

數學思想是對數學知識理性的、本質的、高度抽象的和概括的認識；數學方法是解決和研究數學問題，并達到目的的方法、手段、途徑或程序。數學思想方法是數學精髓之所在，是教學的重點。立體幾何教學中，我們主要要突出降維思想和類比思維方法的教學。

最后還是要引領學生深刻理解課本知識，強化知識重點、彌補知識弱點和盲點，使知識和能力產生良性遷移，爭取達到弄通一題帶動一類題的效果，提高課堂教學效益，有效提高學生復習效率，使高考復習更見成效。

王玨

2012．10

第五篇：立體幾何題型分析

立體幾何題型分析

（一）例

1、一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長是acm

解：因為正方體的對角線等于球的直徑，求球的體積

所以球的直徑

2R=，所以球的半徑

R=

2a，所以球的體積V?

43?R?

343

?（2a)?

3a

跟蹤練習：

①已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是（）

A.16?B.20?C.24?D.32?

②一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為。

③一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長是4cm，則球的體積是，則球的表面積是。④一個正方體的頂點都在球面上，它的球的直徑是8cm，正方體的表面積是。⑤一個正方體的頂點都在球面上，它的球的表面積是48?cm，正方體的表面積是。

例

2、已知圓錐表面積為am2，且它的側面展開圖是個半圓，求這個圓錐的底面直徑。

解：設圓錐的底面直徑是2r，母線是l； 依題意：?l?2?r即l?2r；所以?r2r??r?a 即3?r

2?a，即r?，所以圓錐的底面直徑2r?

3?

(m)

跟蹤練習：

①已知圓錐側面積為2m，且它的側面展開圖是個半圓，則圓錐的底面半徑是

②已知圓錐的底面半徑為r，側面展開圖是個半圓，則這個圓錐的表面積是，體積是。③已知圓錐的母線長為4 cm，側面展開圖是個半圓，則這個圓錐的表面積是，體積是。

④已知圓錐體積積為

3且它的側面展開圖是個半圓，則這個圓錐的底面直徑是，母線長是，例

3、如圖，圓柱內有一個三棱柱，三棱柱的底面在圓柱底面內，并且底面是正三角形，如果圓柱的體積是V

底面直徑與母線長相等，那么三棱柱的體積是多少？

解：設圓柱底面直徑2r，則母線長為2r，??r22r?V?2?r3?V

??

即則：??3

2)2r?V三棱柱??V三棱柱?

?4?2

所以

V三棱柱?

22?

?

4?

跟蹤練習：①如圖，圓柱內有一個三棱柱，三棱柱的底面在圓柱底面內，并且底面是正三角形，如果圓柱的底面半徑是2，底面直徑與母線長相等，那么三棱柱的體積是多少？

②如圖，圓柱內有一個三棱柱，三棱柱的底面在圓柱底面內，并且底面是正三角形，如果圓柱的側面積是16?，底面直徑與母線長相等，那么三棱柱的體積是多少？

③如圖，圓柱內有一個三棱柱，三棱柱的底面在圓柱底面內，并且底面是正三角形，如果三棱柱的底面邊長是3，底面直徑與母線長相等，那么圓柱的體積是多少？

④如圖，圓柱內有一個三棱柱，三棱柱的底面在圓柱底面內，并且底面是正三角形，如果三棱柱的體積是9，底面直徑與母線長相等，那么圓柱的體積是多少？

例

4、如圖，將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，求棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比

解：設正方體過一個頂點的三條棱的長分別是a,b,c

則截下的棱錐的體積=

3?

2abc?

abc，正方體的體積= abc

棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比=

6abc16

=abc

5abc?

跟蹤練習：

①將一個正方體截去四個角后得到一個四面體，則這個四面體的體積是正方體體積的幾分之幾？ ②將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，則截去的棱錐的體積是正方體體積幾分之幾？ ③將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，則剩下的幾何體的體積是正方體體積的幾分之幾？④一個正方體體積為12，截去四個角后得到一個四面體，則這個四面體的體積是。⑤一個長方體體積為18，沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，則剩下的幾何體的體積是

例

5、已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S?ABC

如圖求它的表面積與體積。解：表面積

=

4?，1

2四面體的高h?

4a)

?

?

a

a

所以體積V?

3C

跟蹤練習：

①已知三棱錐S?ABC的底面是邊長為6的等邊三角形，側棱長為5，且頂點在底面的射影是底面三角形的中心，.求它的表面積與體積。

①已知三棱錐S?ABC的底面是等邊三角形，側棱長為5，高是3，且頂點在底面的射影是底面三角形的中心，.求它的表面積與體積。

例

5、已知圓柱的底面直徑與高都等于一球的直徑，求證：（1）球的體積等于圓柱體積的（2）球的表面積等于圓柱的側面積

解：（1）設球的半徑為R，則圓柱的體積V??R2R?2?R球的體積V球?

3；

?R?

?2?R?

V所以球的體積等于圓柱體積的23

（2）圓柱的側面積S?2?R?2R?4?R=球的表面積

跟蹤練習：

①已知圓柱的底面直徑與高都等于一球的直徑，球的體積為

32?3，則圓柱的表面積是圓柱的體積

②已知圓柱的底面直徑與高都等于一球的直徑，圓柱的表面積是16?，則球的半徑是圓柱的體積③一個球的體積是

32?3

cm，則它的表面積

例

6、已知圓臺的上、下底面半徑分別是r,R,且側面面積等于兩底面積之和，求圓臺的母線長。

解：設圓臺的母線長為l，由題意：?(R?r)l??(R?r)所以l?

R?rR?r

2跟蹤練習：①一個三棱柱形容器中盛有水，當底面ABC水平放置時，液面高為12，若側面AABB水平放置

時，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點，則棱柱的高為

②一個三棱柱形容器中盛有水，水的容積是6，當底面ABC水平放置時，液面高為6，若側面AA1B1B水平放置時，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點，則棱柱的體積

選擇題：

1、下列命題正確的序號是（）⑴空間中到定點的距離等于定長的點的集合是個球面；⑵圓臺上、下底

面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；⑶圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的； ⑷圓臺的所有平行于底面的截面都是圓；⑸旋轉體所有軸截面是全等的軸對稱平面圖形。A、⑴⑶⑷⑸B、⑴⑶⑷C⑴⑵⑶⑷D⑶⑷⑸

2、下列命題正確的是（）

A 有兩個面互相平行；其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱 ；

B 有兩個面互相平行；其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；

C有兩個面互相平行；其余各面都是平行四邊形；每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱 ；D

用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺。

3、下列幾何體是臺體的是（）

A

B

C

D）

①正方體

A．①②

②圓錐

B．①③

③三棱臺 C．①④

④正四棱錐 D．②④

5、下列正確命題的序號是（）①角的水平放置的直觀圖一定是角；②相等的角在直觀圖中一定相等； ③相等的線段在直觀圖中一定相等；④若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的線段仍然平行。A ①②B ②③C ①④D ①③

6、利用斜二測畫法得到的①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形； ③正方形的直觀圖是正方形；④菱形的直觀圖是菱形。

以上結論正確的是（）A ①②B ②③C ①④D ①③

7、不共面的四點可以確定平面的個數是（）A、1個`B、2個C、3個D、4個

8、共點的三條直線可以確定平面的個數是（）A、1B、2C、1或3D、49、下列命題：①平面?和平面?相交，它們只有有限個公共點；②經過一條直線和這條直線外的一點，有且

只有一個平面；③經過兩條相交直線，有且只有一個平面；④如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合。正確命題的序號是（）

A、③`B、③④C、①③D、②③④

10、下列命題正確的是（）

A、經過三點確定一個平面；B、經過一條直線和一個點確定一個平面； C、四邊形確定一個平面；D、兩兩相交且不共線的三條直線確定一個平面。