第一篇：立體幾何2018高考

2018年06月11日青岡一中的高中數(shù)學(xué)組卷

一．選擇題（共11小題）

1．中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（）

A． B． C． D．

2．已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A．12π B．12π C．8

π

D．10π

3．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為（）A． B． C．

D．

4．在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=成角的余弦值為（）A． B． C．

D．，則異面直線AD1與DB1所5．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）

第1頁(yè)（共23頁(yè)）

A．2 B．4 C．6 D．8

6．在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長(zhǎng)方體的體積為（）A．8 B．6 C．8

D．8

7．設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且面積為9A．12，則三棱錐D﹣ABC體積的最大值為（）B．18 C．2D．54

8．某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（）

第2頁(yè)（共23頁(yè)）

A．2 B．2 C．3 D．2

10．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（）A． B．

C．

D．

11．已知四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角為θ3，則（）

A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ

1二．解答題（共8小題）

12．已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，半徑為2．（1）設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為4，求圓錐的體積；

（2）設(shè)PO=4，OA、OB是底面半徑，且∠AOB=90°，M為線段AB的中點(diǎn)，如圖．求異面直線PM與OB所成的角的大小．

13．如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把△DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF⊥BF．（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值．

第3頁(yè)（共23頁(yè)）

14．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=BC=2（1）證明：PO⊥平面ABC；，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)．

（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且MC=2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離．

15．如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB=2，AD=2（Ⅰ）求證：AD⊥BC；

（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．，∠BAD=90°．

16．如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧的點(diǎn)．

（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；

所在平面垂直，M是上異于C，D（2）在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC∥平面PBD？說(shuō)明理由．

第4頁(yè)（共23頁(yè)）

17．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧上異于C，D的點(diǎn)．

（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；

所在平面垂直，M是（2）當(dāng)三棱錐M﹣ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．

18．在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1． 求證：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．

19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：PE⊥BC；

（Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）求證：EF∥平面PCD．

第5頁(yè)（共23頁(yè)）

第6頁(yè)（共23頁(yè)）

2018年06月11日青岡一中的高中數(shù)學(xué)組卷

參考答案與試題解析

一．選擇題（共11小題）

1．中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（）

A． B． C． D．

【解答】解：由題意可知，如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，小的長(zhǎng)方體，是榫頭，從圖形看出，輪廓是長(zhǎng)方形，內(nèi)含一個(gè)長(zhǎng)方形，并且一條邊重合，另外3邊是虛線，所以木構(gòu)件的俯視圖是A．

故選：A．

2．已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A．12π B．12π C．8

π

D．10π

【解答】解：設(shè)圓柱的底面直徑為2R，則高為2R，圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，可得：4R2=8，解得R=，第7頁(yè)（共23頁(yè)）

則該圓柱的表面積為：故選：D．

=10π．

3．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為（）A． B． C．

D．

【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長(zhǎng)為2，則A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），C（0，2，0），=（﹣2，2，1），=（0，﹣2，0），設(shè)異面直線AE與CD所成角為θ，則cosθ===，sinθ==，∴tanθ=．

∴異面直線AE與CD所成角的正切值為．

故選：C．

第8頁(yè)（共23頁(yè)）

1為z軸，建立空間直角DD

4．在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=成角的余弦值為（）A． B． C．

D．，則異面直線AD1與DB1所【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，），D（0，0，0），∴A（1，0，0），D1（0，0，B1（1，1，），），=（﹣1，0，=（1，1，），設(shè)異面直線AD1與DB1所成角為θ，則cosθ=

=

=，． ∴異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為故選：C．

5．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）

第9頁(yè)（共23頁(yè)）

A．2 B．4 C．6 D．8

【解答】解：根據(jù)三視圖：該幾何體為底面為直角梯形的四棱柱．

如圖所示：故該幾何體的體積為：V=故選：C．

．

6．在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長(zhǎng)方體的體積為（）A．8 B．6 C．8

D．8

【解答】解：長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，即∠AC1B=30°，可得BC1=可得BB1=

=

2．=8

．

=2

．

所以該長(zhǎng)方體的體積為：2×故選：C．

第10頁(yè)（共23頁(yè)）

7．設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且面積為9A．12，則三棱錐D﹣ABC體積的最大值為（）B．18 C．2D．54

【解答】解：△ABC為等邊三角形且面積為9，可得，解得AB=6，球心為O，三角形ABC 的外心為O′，顯然D在O′O的延長(zhǎng)線與球的交點(diǎn)如圖： O′C==，OO′=

=2，則三棱錐D﹣ABC高的最大值為：6，則三棱錐D﹣ABC體積的最大值為：故選：B．

=18

．

8．某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（）

第11頁(yè)（共23頁(yè)）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：四棱錐的三視圖對(duì)應(yīng)的直觀圖為：PA⊥底面ABCD，AC=，CD=，可得三角形PCD不是直角三角形． PC=3，PD=2所以側(cè)面中有3個(gè)直角三角形，分別為：△PAB，△PBC，△PAD． 故選：C．

9．某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（）

第12頁(yè)（共23頁(yè)）

A．2 B．2 C．3 D．2

【解答】解：由題意可知幾何體是圓柱，底面周長(zhǎng)16，高為：2，直觀圖以及側(cè)面展開圖如圖：

圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度：故選：B．

10．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（）A． B．

C．

D．

=2．

【解答】解：正方體的所有棱中，實(shí)際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，如圖：所示的正六邊形平行的平面，并且正六邊形時(shí)，α截此正方體所得截面面積的最大，此時(shí)正六邊形的邊長(zhǎng)故選：A．

明明就的最大值為：6×

=

．

11．已知四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角為θ3，則（）

A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1

第13頁(yè)（共23頁(yè)）

【解答】解：∵由題意可知S在底面ABCD的射影為正方形ABCD的中心． 過(guò)E作EF∥BC，交CD于F，過(guò)底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，連接SN，取CD中點(diǎn)M，連接SM，OM，OE，則EN=OM，則θ1=∠SEN，θ2=∠SEO，θ3=∠SMO． 顯然，θ1，θ2，θ3均為銳角． ∵tanθ1=∴θ1≥θ3，又sinθ3=∴θ3≥θ2． 故選：D．，sinθ2=，SE≥SM，=，tanθ3=，SN≥SO，二．解答題（共8小題）

12．已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，半徑為2．（1）設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為4，求圓錐的體積；

（2）設(shè)PO=4，OA、OB是底面半徑，且∠AOB=90°，M為線段AB的中點(diǎn)，如圖．求異面直線PM與OB所成的角的大小．

【解答】解：（1）∵圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，半徑為2，圓錐的母線長(zhǎng)為4，第14頁(yè)（共23頁(yè)）

∴圓錐的體積V==

=．

（2）∵PO=4，OA，OB是底面半徑，且∠AOB=90°，M為線段AB的中點(diǎn)，∴以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），設(shè)異面直線PM與OB所成的角為θ，則cosθ==

=

．

∴θ=arccos．

∴異面直線PM與OB所成的角的為arccos

．

13．如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以把△DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF⊥BF．（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值．

第15頁(yè)（共23頁(yè)）

DF為折痕

【解答】（1）證明：由題意，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，則，由于四邊形ABCD為正方形，所以EF⊥BC． 由于PF⊥BF，EF∩PF=F，則BF⊥平面PEF．

又因?yàn)锽F?平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．（2）在平面DEF中，過(guò)P作PH⊥EF于點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)DH，由于EF為面ABCD和面PEF的交線，PH⊥EF，則PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．

在三棱錐P﹣DEF中，可以利用等體積法求PH，因?yàn)镈E∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，又因?yàn)椤鱌DF≌△CDF，所以∠FPD=∠FCD=90°，所以PF⊥PD，由于DE∩PD=D，則PF⊥平面PDE，故VF﹣PDE=，因?yàn)锽F∥DA且BF⊥面PEF，所以DA⊥面PEF，所以DE⊥EP．

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2a，則PD=2a，DE=a 在△PDE中，所以故VF﹣PDE=，，第16頁(yè)（共23頁(yè)）

又因?yàn)樗訮H==，=，． 所以在△PHD中，sin∠PDH=即∠PDH為DP與平面ABFD所成角的正弦值為：

14．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=BC=2（1）證明：PO⊥平面ABC；

（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且MC=2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離．，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)．

【解答】（1）證明：∵AB=BC=2角形，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角三又O為AC的中點(diǎn)，∴OA=OB=OC，∵PA=PB=PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=0，∴PO⊥平面ABC；（2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，PO=在△COM中，OM=S，=

．

=××=，第17頁(yè)（共23頁(yè)）

S△COM==．，設(shè)點(diǎn)C到平面POM的距離為d．由VP﹣OMC=VC﹣POM?解得d=，． ∴點(diǎn)C到平面POM的距離為

15．如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB=2，AD=2（Ⅰ）求證：AD⊥BC；

（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．，∠BAD=90°．

【解答】（Ⅰ）證明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC；

（Ⅱ）解：取棱AC的中點(diǎn)N，連接MN，ND，∵M(jìn)為棱AB的中點(diǎn)，故MN∥BC，∴∠DMN（或其補(bǔ)角）為異面直線BC與MD所成角，在Rt△DAM中，AM=1，故DM=∵AD⊥平面ABC，故AD⊥AC，在Rt△DAN中，AN=1，故DN=，在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cos∠DMN=∴異面直線BC與MD所成角的余弦值為

；

．

（Ⅲ）解：連接CM，∵△ABC為等邊三角形，M為邊AB的中點(diǎn)，故CM⊥AB，CM=，第18頁(yè)（共23頁(yè)）

又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM?平面ABC，故CM⊥平面ABD，則∠CDM為直線CD與平面ABD所成角． 在Rt△CAD中，CD=在Rt△CMD中，sin∠CDM=，．

． ∴直線CD與平面ABD所成角的正弦值為

16．如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧的點(diǎn)．

（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC∥平面PBD？說(shuō)明理由．

所在平面垂直，M是

上異于C，D

【解答】（1）證明：矩形ABCD所在平面與半圓弦半圓弦所在平面，CM?半圓弦

所在平面，所在平面垂直，所以AD⊥∴CM⊥AD，M是上異于C，D的點(diǎn)．∴CM⊥DM，DM∩AD=D，∴CD⊥平面AMD，CD?平面CMB，∴平面AMD⊥平面BMC；（2）解：存在P是AM的中點(diǎn)，理由：

連接BD交AC于O，取AM的中點(diǎn)P，連接OP，可得MC∥OP，MC?平面BDP，OP?平面BDP，第19頁(yè)（共23頁(yè)）

所以MC∥平面PBD．

17．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧上異于C，D的點(diǎn)．

（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）當(dāng)三棱錐M﹣ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．

所在平面垂直，M是

【解答】解：（1）證明：在半圓中，DM⊥MC，∵正方形ABCD所在的平面與半圓弧∴AD⊥平面BCM，則AD⊥MC，∵AD∩DM=D，∴MC⊥平面ADM，∵M(jìn)C?平面MBC，∴平面AMD⊥平面BMC．（2）∵△ABC的面積為定值，∴要使三棱錐M﹣ABC體積最大，則三棱錐的高最大，此時(shí)M為圓弧的中點(diǎn)，建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示的空間直角坐標(biāo)系如圖 ∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），則平面MCD的法向量=（1，0，0），設(shè)平面MAB的法向量為=（x，y，z）

第20頁(yè)（共23頁(yè)）

所在平面垂直，則=（0，2，0），=（﹣2，1，1），由?=2y=0，?=﹣2x+y+z=0，令x=1，則y=0，z=2，即=（1，0，2），則cos＜，＞=

=

=，則面MAB與面MCD所成二面角的正弦值sinα=

=

．

18．在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1． 求證：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．

【解答】證明：（1）平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1，?AB∥平面A1B1C；

（2）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，?四邊形ABB1A1是菱形，⊥AB1⊥A1B．

第21頁(yè)（共23頁(yè)）

在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1?AB1⊥BC． ∴

?AB1⊥面A1BC，且AB1?平面ABB1A1?平面ABB1A1⊥平面A1BC．

19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：PE⊥BC；

（Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）求證：EF∥平面PCD．

【解答】證明：（Ⅰ）PA=PD，E為AD的中點(diǎn)，可得PE⊥AD，底面ABCD為矩形，可得BC∥AD，則PE⊥BC；

（Ⅱ）由于平面PAB和平面PCD有一個(gè)公共點(diǎn)P，且AB∥CD，在平面PAB內(nèi)過(guò)P作直線PG∥AB，可得PG∥CD，即有平面PAB∩平面PCD=PG，由平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，可得AB⊥平面PAD，即有AB⊥PA，PA⊥PG；

同理可得CD⊥PD，即有PD⊥PG，可得∠APD為平面PAB和平面PCD的平面角，第22頁(yè)（共23頁(yè)）

由PA⊥PD，可得平面PAB⊥平面PCD；

（Ⅲ）取PC的中點(diǎn)H，連接DH，F(xiàn)H，在三角形PCD中，F(xiàn)H為中位線，可得FH∥BC，F(xiàn)H=BC，由DE∥BC，DE=BC，可得DE=FH，DE∥FH，四邊形EFHD為平行四邊形，可得EF∥DH，EF?平面PCD，DH?平面PCD，即有EF∥平面PCD．

第23頁(yè)（共23頁(yè)）

第二篇：2011屆高考數(shù)學(xué)立體幾何證明題

空間直線、平面的平行與垂直問(wèn)題

一、“線線平行”與“線面平行”的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，“線面平行”與“面面平行”的轉(zhuǎn)化問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)：

一）位置關(guān)系：平行：沒(méi)有公共點(diǎn)．

相交：至少有一個(gè)公共點(diǎn)，必有一條公共直線，公共點(diǎn)都在公共直線上．

相交包括垂直相交和斜交．

二）平行的判定：

（１）定義：沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面平行．（常用于反證）

（２）判定定理：若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一平面，則這兩個(gè)平面平行．（線面平行得面面平行）

（３）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．

（４）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行．

（５）過(guò)已知平面外一點(diǎn)作這個(gè)平面的平行平面有且只有一個(gè)．

三）平行的性質(zhì)：

定義：兩個(gè)平行平面沒(méi)有公共點(diǎn)．（常用于反證）

性質(zhì)定理一：若一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面都相交，則兩交線平行．（面面平行得線線平行，用于判定兩直線平行）

性質(zhì)定理二：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面內(nèi)的所有直線平行于另一個(gè)平面．（面面平行得線面平行，用于判定線面平行）

一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，必垂直于另一個(gè)平面．（用來(lái)判定直線與平面垂直）

一般地，一條直線與兩個(gè)平行平面所成的角相等，但反之不然．

夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等．特別地，兩個(gè)平行平面間的距離處處相等．

二、“線線垂直”到“線面垂直”“線面垂直” 到“線線垂直”及三垂線定理

1、斜線長(zhǎng)定理——從平面外一點(diǎn)所引的垂線段和斜線段中

①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)；

②相等的兩條斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng)；

③垂線段比任何一條斜線段都短

2、直線與平面所成的角

一條直線若是平面的斜線，那么它和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線與平面所成的角。特別地，若這條直線是平面的垂線，那么這條直線與平面所成的角是直角;如果這條直線平行于這個(gè)平面,那么直線與平面所成的角是0。?0???90????

結(jié)論：斜線與平面所成的角，是這條直線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中最小的角。

3、三垂線定理及逆定理

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面內(nèi)的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

逆定理：在平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直。

其主要作用有：①證明問(wèn)題：如線線、線面、面面垂直的證明；

例題

1、（將線面平行轉(zhuǎn)變?yōu)榫€線平行）：如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P?ABCD中，AB?AC，PA?平面ABCD，且PA?AB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).（Ⅱ）求證：PB//平面AEC；

2、如圖，在五面體ABCDEF中，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，面CDE是等邊三角形，棱EF//BC．

?

2（1）證明FO//平面CDE；（線面平行時(shí)用）（2）設(shè)BC?直時(shí)用）

3、（將線面平行轉(zhuǎn)變?yōu)槊婷嫫叫校┤鐖D,長(zhǎng)方體

ABCD-A1B1C1D1中，E、P分別是BC、A1D1的中點(diǎn),M、N分別是AE、CD1的中點(diǎn)，AD=AA1?a,AB=2a,（線面垂D，證明EO?平面CDF．

（Ⅰ）求證：MN//平面ADD1A1；

4、如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB//DC,AC?BD,AC與BD相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn)，又BO

?2,PO?

PB?PD.（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M在棱PC上，且

PMMC

??,問(wèn)?為何值時(shí)，PC?

平面BMD。

5、（將面面垂直轉(zhuǎn)變?yōu)榫€面垂直）如圖，四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上.（Ⅰ）求證：平面AEC?平面PDB；

（可用空間向量做）

6、（線線垂直先證線面垂直）：如圖：三棱錐v?ABC中，AH?側(cè)面VBC且H是?VBC的重心，BE是VC邊上的高（1）求證：VC?AB7、如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn)，PA?1，P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O。

（Ⅰ）證明PA⊥BF；

8、（利用空間向量解決線面平行垂直問(wèn)題）如圖，平面PAC?平面ABC，?ABC

是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E,F,O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC?16，PA?PC?10．

（I）設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG//平面BOE；

第三篇：2018年高考二輪復(fù)習(xí)專題——立體幾何(文科)

專題五

空間中的平行與垂直

類型一 空間線面位置關(guān)系的判斷

[典例1](1)已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則（）知識(shí)梳理：

1、平面中的平行有哪些？

2、空間中的平行有哪些？如何推導(dǎo)？（定理、性質(zhì)用圖示展示）

3、平面中的垂直有哪些？

4、空間中的垂直有哪些？如何推導(dǎo)？（定理、性質(zhì)用圖示展示）

1．(2017·高考全國(guó)卷Ⅰ)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()

2．(2016·高考浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則（）A．m∥l

B．m∥n

C．n⊥l

D．m⊥n

3．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m?α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等． 其中正確的命題有______．(填寫所有正確命題的編號(hào))4．(2017·高考全國(guó)卷Ⅲ)如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)證明：AC⊥BD；

(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD.若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α與β相交，且交線垂直于l

D．α與β相交，且交線平行于l(2)已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面．下列說(shuō)法正確的是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n

B．若m⊥α，n?α，則m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α

D．若m∥α，m⊥n，則n⊥α

變式1．如本例(2)改為設(shè)m，n是空間兩條直線，α，β是空間兩個(gè)平面，則下列命題中不正確的是(A．當(dāng)n⊥α?xí)r，“n⊥β”是“α∥β”的充要條件 B．當(dāng)m?α?xí)r，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件 C．當(dāng)m?α?xí)r，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分條件 D．當(dāng)m?α?xí)r，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要條件 [自我挑戰(zhàn)]

1.m、n是空間中兩條不同直線，α、β是兩個(gè)不同平面，下面有四個(gè)命題： ①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α?n∥β； ③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β.其中，所有真命題的序號(hào)是________．

(1)證明：平面AEC⊥平面BED.(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐EACD的體積為6

3，求該三棱錐的側(cè)面積．)自我挑戰(zhàn)：如圖，在四棱錐PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，類型三 立體幾何中的折疊、探索問(wèn)題

[典例3](2017·山東濟(jì)南模擬)如圖(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE＝2.將△ADE沿DE折起到△A′DE的位置，使A′C⊥CD，如圖(2)．(1)求證：DE∥平面A′BC；(2)求證：A′C⊥BE；

(3)線段A′D上是否存在點(diǎn)F，使平面CFE⊥平面A′DE？若存在，求出DF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.[互動(dòng)遷移1] 在本例條件下，證明平面BEF⊥平面ABCD.[互動(dòng)遷移2] 在本例條件下，若AB＝BC，求證：BE⊥平面PAC.[變式訓(xùn)練](2017·山東卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示．四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A1E⊥平面ABCD.(1)證明：A1O∥平面B1CD1；

(2)設(shè)M是OD的中點(diǎn)，證明：平面A1EM⊥平面B1CD1.[母題變式]

本例的條件不變，在線段BE上是否存在點(diǎn)H，使平面A′BE⊥平面A′CH?

(1)試在線段A′C上確定一點(diǎn)H，使FH∥平面A′BE.(2)試求三棱錐A′EBC的外接球的半徑與三棱錐A′EBC的表面積．

第四篇：高考復(fù)習(xí)專題---立體幾何垂直關(guān)系證明

5．（2006年福建卷）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?（I）求證：AO?平面BCD；

BE

4.(2006年湖南卷）如圖4,已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2,AB=4.(Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD;

B

圖

14．（福建19）（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD,底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O為AD中點(diǎn).(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD；

20．（全國(guó)Ⅱ20）（本小題滿分12分）

如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB?4，點(diǎn)E在CC1上且C1E?3EC．

?平面BED；（Ⅰ）證明：AC

1DA1

A

10.如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點(diǎn)，且AC=BC=a，∠VDC=θ

E C ???

?0????。

2??

（Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD；

26．三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1，?BAC?90?，A1A?平面ABC，A1A?AB?AC?2AC11?2，D為BC中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面A1AD?平面BCC1B1；

A1 B1

C1

A

3．（2006年浙江卷）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面

為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點(diǎn).(Ⅰ)求證：PB⊥DM;

1．（2006年北京卷）如圖，在底面為平行四邊表的四棱錐P?ABCD中，AB?AC，PA?平面ABCD，且PA?AB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：AC?PB；（Ⅱ）求證：PB//平面AEC12．（天津?理?19題）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA?，AC?CD，?ABC?60°，底面ABC，AB?ADP

B

C

PA?AB?BC，E是PC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明CD?AE；

（Ⅱ）證明PD?平面ABE；

A

B

D

第五篇：近四年高考立體幾何試題分析

近四年高考立體幾何試題分析

鄧學(xué)賓

摘要：本文研究近四年高考立體幾何試題，目的在于對(duì)高中立體幾何部分內(nèi)容有更深刻全面的認(rèn)識(shí)和把握，為將來(lái)的教學(xué)工作做準(zhǔn)備，對(duì)近四年高考立體幾何試題分類、整理、分析、總結(jié)得出一些關(guān)于高考立體幾何題解題技巧和應(yīng)對(duì)策略，這些解題技巧和應(yīng)對(duì)策略對(duì)教師和學(xué)生都有一定的幫助.關(guān)鍵詞：立體幾何、距離、二面角、平面角、體積、三視圖、棱錐、棱柱.本文研究近四年高考立體幾何試題，目的在于對(duì)高中立體幾何部分內(nèi)容有更深刻全面的認(rèn)識(shí)和把握，為將來(lái)的教學(xué)工作做準(zhǔn)備，立體幾何在高中數(shù)學(xué)中有較高的地位，每年高考中立體幾何試題分值所占比例在百分之十二到百分之二十之間；這次本人對(duì)近四年高考中立體幾何試題分類、整理、分析、總結(jié)并查閱相關(guān)資料得出一些關(guān)于高考立體幾何題解題技巧和應(yīng)對(duì)策略，這些解題技巧和應(yīng)對(duì)策略對(duì)教師和學(xué)生都有一定的幫助.從近四年全國(guó)和自主命題各個(gè)省市以及近年實(shí)行新課標(biāo)的省高考立體幾何試題分析，立體幾何題一般還是一道解答題，二至三道填空題或選擇題.隨著新的課程改革的擴(kuò)大，立體幾何考題也正朝著：“多一點(diǎn)思考，少一點(diǎn)計(jì)算”的方向發(fā)展，但是總體來(lái)看實(shí)行新課標(biāo)的省份立體幾何部分內(nèi)容還是有兩點(diǎn)變化一是分成“立體幾何初步”和“空間向量與立體幾何”兩部分，形成螺旋式排列 ；二是增刪了一些內(nèi)容，全體考生增加了三視圖，而文科考生減少了“空間向量與立體幾何”部分的內(nèi)容，新課程中刪去了圓柱、圓錐、圓臺(tái)的內(nèi)容，只保留了球、對(duì)球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積計(jì)算公式的內(nèi)容，并且還是降低為了解，不要求記憶的公式，由于課程內(nèi)容的變化，高考對(duì)這部分內(nèi)容考查要求也進(jìn)行了相應(yīng)的調(diào)整，刪去的內(nèi)容不再考查，但是多面體學(xué)生在高中以前就學(xué)過(guò)相應(yīng)的計(jì)算公式，因此在給出公式的情況下，高考試題也在考查.縱 觀全國(guó)所有考卷立體幾何部分內(nèi)容側(cè)重考查學(xué)生的空間概念、邏輯思維能力空間想象能力及運(yùn)算能力.高考立體幾何試題在選擇題，填空題中側(cè)重立體幾何中的概念型、空間想象型、簡(jiǎn)單計(jì)算型問(wèn)題，而解答題則側(cè)重立體幾何中的邏輯推理型問(wèn)題，一般與棱柱和棱錐有關(guān)，主要考查線線關(guān)系、線面關(guān)系和面面關(guān)系及空間角、距離、面積與體積的計(jì)算，其解題方法一般都在兩種以上并且一般用空間向量來(lái)求解.近幾年只要是涉及空間向量應(yīng)用于立體幾何的高考試題，都著重考查運(yùn)用空間向量求異面直線所成的角、二面角，證明線線平行線面平行和證明異面直線垂直和線面垂直等基本問(wèn)題.一、考點(diǎn)分析

1.從命題形式來(lái)看，立體幾何內(nèi)容的命題形式最為多變，在主、客觀題中均有考查，客觀題主要考查基本概念及考查簡(jiǎn)單的空間角和距離的計(jì)算，在繼續(xù)保留傳統(tǒng)的“四選一”的選擇題型上，還嘗試開發(fā)了“多選填空”、“構(gòu)造填空”等題型，并且這種命題形式也在不斷完善和翻新，而解答題中還是以棱柱與棱錐為依托，設(shè)計(jì)為三個(gè)小問(wèn)題，第一小問(wèn)一般是考查線線、線面、面面的位置關(guān)系；后面兩問(wèn)考查空間角、空間距離、面積、體積等度量關(guān)系，其解題思路是“作—證—求”,強(qiáng)調(diào)作圖，證明和計(jì)算相結(jié)合.2．從內(nèi)容上來(lái)看，主要考查：

（1）直線和平面的各種位置關(guān)系的判定和性質(zhì)、三視圖，這類試題一般難度不大，多為選擇題和填空題及解答題第一問(wèn)；

（2）角的計(jì)算問(wèn)題，試題中常見(jiàn)的是異面直線所處的角，直線與平面所成的角，平面與平面所處的二面角，這類試題有一定的難度和需要一定的解題技巧，通常要把它們轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；

（3）求距離，試題中常見(jiàn)的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線與直線的距離、直線到平面的距離，要特別注意此類問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方法；

（4）簡(jiǎn)單幾何體側(cè)面積和表面積問(wèn)題，解此類問(wèn)題除特殊幾何體現(xiàn)成公式外，還可側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化為求平面圖形的面積問(wèn)題；

（5）體積問(wèn)題，要注意解題技巧，如等積變換，割補(bǔ)思想的應(yīng)用.3．從方法上來(lái)看，主要考查：

（1）推理計(jì)算法，如解答題注重理論的推導(dǎo)和計(jì)算相結(jié)合；

（2）考查轉(zhuǎn)化的思想方法，如經(jīng)常把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)解決，平行與垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化證明；

（3）考查模型化方法和整體考慮問(wèn)題、處理問(wèn)題的方法，如有時(shí)把整體納入不同的幾何背景之中，從而從宏觀上把握形體，巧妙地把問(wèn)題解決；

（4）考查割補(bǔ)法、等積變換法、以及變化運(yùn)動(dòng)的思想方法、極限方法等.4．從能力上看，著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是“四會(huì)”：

（1）會(huì)根據(jù)題設(shè)條件畫出適合題意的圖形及添加適當(dāng)?shù)妮o助線（面）；（2）會(huì)根據(jù)題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關(guān)線面的位置關(guān)系；（3）會(huì)作出直觀，虛實(shí)分明的圖形；

（4）會(huì)對(duì)圖形或其某部分進(jìn)行展開或?qū)嵭懈钛a(bǔ)法；考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力和探索能力.二、題型示例