第一篇：立體幾何證明(高考篇)文科

立體幾何專項習題

1.（11山東19）（本小題滿分12分）

如圖，在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD是平行四邊形，AB=2AD,AD=A1B1, ∠ BAD=60?,（Ⅰ）證明：AA1⊥ BD;

（Ⅱ）證明：CC1∥ABD

2.（10山東20）（本小題滿分12分）

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA?平面ABCD，PD//MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，且AD?PD?2M.A

（I）求證：平面EFG?平面PDC；

（II）求三棱錐P?MAB與四棱錐P?ABCD的體積

之比.3（09山東18）（本小題滿分12分）

如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分別是棱AD，AA1的中點.D1 C

1A1 B1

ED1

E

4（08山東文 19）（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD?平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD?2AD?

8，AB?2DC? P（Ⅰ）設M是PC上的一點，證明：平面MBD?平面PAD；（Ⅱ）求四棱錐P?ABCD的體積．

D

A5、如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD，點F是棱PD的中點，P點E在棱CD上移動.⑴ 當點E為CD的中點時，試判斷直線EF 與平面PAC的關系，并說明理由； F⑵ 求證：PE⊥AF.A

B6、如圖，四棱錐P—ABCD中，PA?平面ABCD，底面ABCD 是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E為PC中點．(I)求證：平面PDC?平面PAD；

(II)求證：BE//平面PADM C B EE

C

B

第二篇：文科立體幾何證明

立體幾何證明題常見題型

1、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD?底面ABCD，PD?DC?1，E是PC的中

點，作EF?PB交PB于點F．

(I)證明： PA∥平面EDB；

(II)證明：PB⊥平面EFD；(III)求三棱錐P?DEF的體積．

2、如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD,AC?BD,垂足為H，PH是四棱錐的高。（Ⅰ）證明：平面PAC?平面PBD;

（Ⅱ）若AB?,?APB??ADB?60°,求四棱錐P?ABCD的體積。

B3、如圖，矩形ABCD中，AD?平面ABE，AE?EB?BC?2，F為CE上的點，且BF?平面ACE.（Ⅰ）求證：AE?平面BCE；（Ⅱ）求證；AE//平面BFD；

（Ⅲ）求三棱錐C?BGF的體積.4、如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直。

EF//AC，,CE=EF=1（Ⅰ）求證：AF//平面BDE；（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDF;

C

B

D

B

MA?平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分別為

5、在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MB、PB、PC的中點，且AD?PD?2MA.(Ⅰ)求證：平面EFG?平面PDC;(Ⅱ)求三棱錐P?MAB與四棱錐P?ABCD的體積之比.6、如圖所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE（1）求證：AE⊥平面BCE；（2）求證：AE∥平面BFD；

（3）求三棱錐C-BGF的體積。

Ｄ

G

Ａ

Ｃ

Ｂ

Ｅ

7、在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5。（如圖 所示）

（Ⅰ）證明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求三棱錐的體積

VS－ABC。

1，E為BC邊中點

D18、如圖在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝（1）求三棱錐D1-DBC的體積（2）證明BD1//平面C1DE

A

9，如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的A

交點，面CDE是等邊三角形，棱EFBC。

E

（I）證明FO∥平面CDE;；

（II）設BC?,證明EO?平面。

10、如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝

A

B

M

D

90°，AA1 ＝2，D 是A1B1 中點．（1）求證C1D ⊥平面A1B ；（2）當點F 在BB1 上什么位置時，會使得AB1 ⊥平面C1DF ？并證明你的結論。

11，如圖，△ABC 為正三角形，EC ⊥平面ABC，BD ∥CE，CE ＝CA ＝2 BD，M 是EA 的中點，求證：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA。

12、已知正方體ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點． 求證：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．

DAD

A

BBC

1C13、如圖平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF?

AD?2,G是EF的中點，2（1）求證平面AGC⊥平面BGC；（2）求空間四邊形AGBC的體積。

14、如圖，在直三棱柱(側棱與底面垂直的三棱柱)ABC?A1B1C1中，AB?8，AC的中點.（Ⅰ）求證：AB?A1C；（Ⅱ）求證：A1C∥ 面AB1D；

?6，BC?10，D是BC邊

15，如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE．（1）求證：AE⊥BE；（2）設M在線段AB上，且滿足AM＝2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面DAE.16 在三棱錐P?ABC中，PA?平面ABC，AB?BC?CA?3，M為AB的中點，四點P、A、M、C都在球O的球面上。（1）證明：平面PAB?平面PCM；

_P

_A_C

_M

_B17、如圖，已知AB?平面ACD，DE?平面ACD，三角形ACD為等邊三角形，AD?DE?2AB，F為CD的中點

（1）求證：AF//平面BCE；

（2）求證：平面BCE?平面CDE；

18、如圖所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D為AC的中點。（I）求證：B1C//平面A1BD；（II）求證：B1C1⊥平面ABB1A

（III）設E是CC1上一點，試確定E的位置，使平面A1BD⊥平面BDE，并說明理由。

P

AD中，PA?底

19、如圖，四棱錐P?ABCD面ABCD，AB?AD，AC?CD，B

?ABC?60?，PA?AB?BC，E是PC的中點．

（1）求證：CD?AE；（2）求證：PD?面ABE．

20、如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

AD.2（I）求證：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一點E，使CE∥平面

PAB？若存在，請確定E點的位置；若不存在，請說明理由.S

A

D

BC21、如圖，在四棱錐S?ABCD中，SA

?AB?2，SB?SD?ABCD是菱形，且?ABC?60?，E為

CD的中點．

（1）證明：CD?平面SAE；

（2）側棱SB上是否存在點F，使得CF//平面SAE？并證明你的結論．

22、在正三棱柱ABC?A1B1C1 中，E是AC中點，（1）求證：AB1//平面BEC1 ；（2）求證：平面BEC1?平面ACC1A1 ；

23.如圖, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點D是AB的中點，（I）求證：AC⊥BC1；

（II）求證：AC 1//平面CDB1；,24、如圖，在底面為平行四邊行的四棱錐P?ABCD中，AB?AC，PA?平面ABCD，且PA?AB，點E是PD的中點.（Ⅰ）求證：AC?PB；

（Ⅱ）求證：PB//平面AEC；

25．三棱柱ABC—A1B1C1的體積為V，P、Q分別為AA1、CC1上的點，且滿足AP=C1Q，則四棱錐B—APQC的體積是

1112A．VB．VC．VD．V

43B26．如圖1，在棱長為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P、Q是對角 線AC上的點，若PQ?

a，則三棱錐P?BDQ的體積為2

D

第三篇：2018年高考二輪復習專題——立體幾何(文科)

專題五

空間中的平行與垂直

類型一 空間線面位置關系的判斷

[典例1](1)已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則（）知識梳理：

1、平面中的平行有哪些？

2、空間中的平行有哪些？如何推導？（定理、性質用圖示展示）

3、平面中的垂直有哪些？

4、空間中的垂直有哪些？如何推導？（定理、性質用圖示展示）

1．(2017·高考全國卷Ⅰ)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()

2．(2016·高考浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則（）A．m∥l

B．m∥n

C．n⊥l

D．m⊥n

3．(2016·全國卷Ⅱ)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m?α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等． 其中正確的命題有______．(填寫所有正確命題的編號)4．(2017·高考全國卷Ⅲ)如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)證明：AC⊥BD；

(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD.若E為棱BD上與D不重合的點，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α與β相交，且交線垂直于l

D．α與β相交，且交線平行于l(2)已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面．下列說法正確的是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n

B．若m⊥α，n?α，則m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α

D．若m∥α，m⊥n，則n⊥α

變式1．如本例(2)改為設m，n是空間兩條直線，α，β是空間兩個平面，則下列命題中不正確的是(A．當n⊥α時，“n⊥β”是“α∥β”的充要條件 B．當m?α時，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件 C．當m?α時，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分條件 D．當m?α時，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要條件 [自我挑戰]

1.m、n是空間中兩條不同直線，α、β是兩個不同平面，下面有四個命題： ①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α?n∥β； ③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β.其中，所有真命題的序號是________．

(1)證明：平面AEC⊥平面BED.(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐EACD的體積為6

3，求該三棱錐的側面積．)自我挑戰：如圖，在四棱錐PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，類型三 立體幾何中的折疊、探索問題

[典例3](2017·山東濟南模擬)如圖(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE＝2.將△ADE沿DE折起到△A′DE的位置，使A′C⊥CD，如圖(2)．(1)求證：DE∥平面A′BC；(2)求證：A′C⊥BE；

(3)線段A′D上是否存在點F，使平面CFE⊥平面A′DE？若存在，求出DF的長；若不存在，請說明理由．

PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點，求證：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.[互動遷移1] 在本例條件下，證明平面BEF⊥平面ABCD.[互動遷移2] 在本例條件下，若AB＝BC，求證：BE⊥平面PAC.[變式訓練](2017·山東卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示．四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點，E為AD的中點，A1E⊥平面ABCD.(1)證明：A1O∥平面B1CD1；

(2)設M是OD的中點，證明：平面A1EM⊥平面B1CD1.[母題變式]

本例的條件不變，在線段BE上是否存在點H，使平面A′BE⊥平面A′CH?

(1)試在線段A′C上確定一點H，使FH∥平面A′BE.(2)試求三棱錐A′EBC的外接球的半徑與三棱錐A′EBC的表面積．

第四篇：立體幾何證明

立體幾何證明

高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

Ⅰ.平行關系：

線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

四個判定定理：

①若平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

②如果一個平面內有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行。

③如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。

④如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

從平面拓展到空間的角相等或互補的判定定理：

空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。

四個性質定理：

①一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行。

②兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行。

③垂直于同一平面的兩條直線平行。

④兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

標準只要求對于四個性質定理用綜合幾何的方法加以證明。對于其余的定理，在選修2的“空間向量與立體幾何”中利用向量的方法予以證明。

(2)立體幾何初步這部分，我們希望能使學生初步感受綜合幾何的證明。在處理證明時，要充分發揮幾何直觀的作用，而不是形式上的推導。例如，平行于同一平面的二直線平行的證明方法，有的老師就是采用了一種很

第五篇：立體幾何證明

1、（14分）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F為棱AD、AB的中點．（1）求證：EF∥平面CB1D1；

（2）求證：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

A

2.如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面邊長AB＝2，側棱

交B1C于點F，BB1的長為4，過點B作B1C的垂線交側棱CC1于點E，（1）求證：A1C⊥平面BDE；

?

D3．(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?90，BC?AC?2，AA1?4，為棱CC

1上的一動點，M、N分別為?ABD、?A1B1D的重心.（1）求證：MN?BC； ．

A

B

4.如圖，在三棱拄ABC?A1B1C1中，AB?側面BB1C1C1,?

1N 31 B1

（Ⅰ）求證：C1B?平面ABC；

?

A11

（Ⅱ）試在棱CC1(不包含端點C,C1)上確定一點E的位置,使得EA?EB1；.A

A1

B1

C

E

C15、如圖，P—ABCD是正四棱錐，ABCD?A

1BC11D1是正方體，其中AB?2,PA?

（1）求證：PA?B1D1；

6．（本小題滿分12分）

如圖，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥平面ABCD，|PA|=1。（1）BC邊上是否存在點Q，使得PQ⊥QD，并說明理由；（2）若BC邊上存在唯一的點Q使得PQ⊥QD，指出點Q的位置，7、如圖，在底面是矩形的四棱錐P?ABCD中，PA?面ABCD，PA=AB=1，BC=2（Ⅰ）求證：平面PDC?平面PAD；

8.正方體ABCD?A'B'C'D'中，求證：平面AB'D'//平面C'BD。

9..（14分）如圖所示，在斜邊為AB的Rt△ABC中，過A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.（1）求證：BC⊥面PAC；

P（2）求證：PB⊥面AMN.M

A10、已知E、F、G、H為空間四邊形ABCD的邊AB、BC、點，且ＥＨ∥ＦＧ． 求證：EH∥BD.(12分)

11、已知?ABC中?ACB?90，SA?面ABC，AD?SC，求證：AD?面S分)

12、已知正方體ABCD?A1BC11D1，O是底ABCD對角線的交點.求證：（１）C1O?面AB1D1；（2）AC?面AB1D1．(14分)

1?

CD、DA上的A

HD

SBC．(1

2A

F

C

BC

DAD

BC

1C

1．下列命題正確的是………………………………………………（）

B

A．三點確定一個平面B．經過一條直線和一個點確定一個平面 C．四邊形確定一個平面D．兩條相交直線確定一個平面

2．若直線a不平行于平面?，且a??，則下列結論成立的是（）A．?內的所有直線與a異面B．?內不存在與a平行的直線 C．?內存在唯一的直線與a平行D．?內的直線與a都相交

3．平行于同一平面的兩條直線的位置關系………………………（）A．平行B．相交C．異面D．平行、相交或異面

4．正方體ABCD?A'B'C'D'中，AB的中點為M，DD'的中點為N，異面直線B'M與CN所成的角

A．0?B．45?C．60?D．90?

5．平面?與平面?平行的條件可以是…………………………（）

A．?內有無窮多條直線都與?平行C．直線a??，直線b??且a//?，b//? B．直線a//?,a//?且直線a不在?內，也不在?內D．?內的任何直線都與?平行 6．已知兩個平面垂直，下列命題

①一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線 ②一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面的無數條直線 ③一個平面內的任一條直線必垂直于另一個平面

④過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面 其中正確的個數是…………………………………………（）A．3B．2C．1D．0

7．下列命題中錯誤的是……………………………………（）A． 如果平面???，那么平面?內所有直線都垂直于平面? B． 如果平面???，那么平面?一定存在直線平行于平面?

C．如果平面?不垂直于平面?，那么平面?內一定不存在直線垂直于平面? D．如果平面???，???，????l，那么l??

8．直線a//平面?，P??，那么過點P且平行于?的直線…………（）A． 只有一條，不在平面?內B．有無數條，不一定在?內C．只有一條，且在平面?內D．有無數條，一定在?內 9．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中

①BM與ED平行②CN與BE異面③CN與BM成60?

④DM與BN垂直 以上四個命題中，正確命題的序號是（）

A．①②③B．②④C．③④D．②③④

1.若一條直線與兩個平行平面中的一個平面平行，則這條直線與另一平面的位置關系是__________________ 3.平面內一點與平面外一點連線和這個平面內直線的關系是_______________ 4.已知直線a,b和平面?,且a?b,a??,則b與?的位置關系是______________