第一篇：立體幾何證明方法

立體幾何證明方法

一、線線平行的證明方法：

1、利用平行四邊形。

2、利用三角形或梯形的中位線

3、如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行。（線面平行的性質(zhì)定理）

4、如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行的性質(zhì)定理）

5、如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。（線面垂直的性質(zhì)定理）

6、平行于同一條直線的兩條直線平行。

二、線面平行的證明方法：

1、定義法：直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)。

2、如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。（線面平行的判定定理）

3、兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線必平行于另一個(gè)平面。

三、面面平行的證明方法：

1、定義法：兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)。

2、如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。（面面平行的判定定理）

3、平行于同一平面的兩個(gè)平面平行

4、經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行。

四、線線垂直的證明方法

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形對(duì)角線。

4、圓所對(duì)的圓周角是直角。

5、點(diǎn)在線上的射影。6利用向量來(lái)證明。

7、如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線就和這個(gè)平面內(nèi)任意的直線都垂直。

8、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，則另一條也垂直于這條直線。

五、線面垂直的證明方法：

1、定義法：直線與平面內(nèi)任意直線都垂直。

2、點(diǎn)在面內(nèi)的射影。

3、如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。（線面垂直的判定定理）

4、如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。（面面垂直的性質(zhì)定理）

5、兩條平行直線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面

6、一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面，則必垂直于另一個(gè)平面。

7、兩相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，那么兩平面交線垂直于第三個(gè)平面。

8、過(guò)一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知平面垂直。

9、過(guò)一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直。

六、面面垂直的證明方法：

1、定義法：兩個(gè)平面的二面角是直二面角。

2、如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）

3、如果一個(gè)平面與另一個(gè)平面的垂線平行，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

4、如果一個(gè)平面與另一個(gè)平面的垂面平行，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

第二篇：立體幾何的證明方法

立體幾何的證明方法

1．線面平行的證明方法

2．兩線平行的證明方法

5.面面垂直的證明方法

6.線線垂直的證明方法

7、空間平行、垂直之間的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系：

應(yīng)用判定定理時(shí)，注意由“低維”到“高維”： “線線平行”?“線面平行”?“面面平行”； 應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，注意由“高維”到“低維”： “面面平行”?“線面平行”?“線線平行”．

(1)利用判定定理時(shí)，由“低維”到“高維”；利用性質(zhì)定理或定義時(shí)，由“高維”到“低維”；(2)線面垂直是核心，聯(lián)系線線垂直，面面垂直，線線垂直是基礎(chǔ)．

例1．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)面對(duì)角線AB1，BC1上分別有兩點(diǎn)E、F，且B1E＝C1F，求證：EF∥平面ABCD.D為C1C 例2．如圖，三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，且A1A?底面ABC，的中點(diǎn)，AB1與A1B相交于點(diǎn)O，連結(jié)OD，（1）求證：OD//平面ABC；（2）求證：AB1?平面A1BD。

例3． 如圖，已知棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1?面ABCD，?DAB?60?，AD?AA1?1，F(xiàn)為棱AA1的中點(diǎn)，M為線段BD1的中點(diǎn)，（1）求證：MF//面ABCD；（2）判斷直線MF與平面BDD1B1的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）求三棱錐D1?BDF的體積.A

C1

B1

M

F

C

第三篇：立體幾何常見(jiàn)證明方法

立體幾何方法歸納小結(jié)

一、線線平行的證明方法

1、根據(jù)公理4，證明兩直線都與第三條直線平行。

2、根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，若直線a平行于平面A，過(guò)a的平面B與平面A相交于b，則 a//b。

3、根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，若直線a與直線b都與平面A垂直，則a//b。

4、根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，若平面A//平面B，平面C與平面A和平面B的交線分別為直線 a與直線 b，則a//b。????????

5、由向量共線定理，若AB?xCD，且AB、CD不共線，則向量AB所在的直線a與向量cd所在的直線b平行，即a//b。

二、線面平行的證明方法

1、根據(jù)線面平行的定義，證直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)。

2、根據(jù)線面平行的判定定理，若平面 A內(nèi)存在一條直線b與平面外的直線a平行，則a//A。(用相似三角形或平行四邊形)

3、根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理，若兩平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一個(gè)平面平行。

4、向量法，向量c與平面A法向量垂直，且向量c所在直線c不在平面內(nèi)，則c//A。

三、面面平行的證明方法

1、根據(jù)定義，若兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩平面平行。

2、根據(jù)兩平面平行的判定定理，一個(gè)平面內(nèi)有兩相交直線與另一平面平行，則兩平面平行。

或根據(jù)兩平面平行的判定定理的推論，一平面內(nèi)有兩相交直線與另一平面內(nèi)兩相交直線平行，則兩平面平行。

3、垂直同一直線的兩平面平行。

4、平行同一平面的兩平面平行。

5、向量法，證明兩平面的法向量共線。

四、兩直線垂直的證明方法

1、根據(jù)定義,證明兩直線所成的角為90°

2、一直線垂直于兩平行直線中的一條,也垂直于另一條.3、一直線垂直于一個(gè)平面,則它垂直于平面內(nèi)的所有直線.4、根據(jù)三垂線定理及逆定理,若平面內(nèi)的直線垂直于平面的一條斜線(或斜線在平面內(nèi)的射影),則它垂直于斜線在平面內(nèi)的射影(或平面的斜線).5、向量法.五、線面垂直的證明方法

1、根據(jù)定義,證明一直線與平面內(nèi)的任一(所有)直線垂直,則直線垂直于平面.2、根據(jù)判定定理,一直線垂直于平面內(nèi)的兩相交直線,則直線垂直于平面.3、一直線垂直于兩平行平面中的一個(gè),也垂直于另一個(gè).4、兩平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,另一條也垂直于這個(gè)平面.5、根據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理,兩平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.6、向量法,證明平面的法向量與表示該直線的向量共線.六、面面垂直的證明方法

1、根據(jù)面面垂直的定義，兩平面相交所成的二面角為直二面角，則兩平面垂直。

2、根據(jù)面面垂直的判定定理，一平面經(jīng)過(guò)另一平面的一條垂線，則兩平面垂直。

3、一平面垂直于兩平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè)。

4、向量法，證明兩平面的法向量垂直（即法向量的數(shù)量積為零）。

七、兩異面直線所成角的求法

1、根據(jù)定義，平移其中一條和另一條相交，然后在三角形中求角。

2、利用中位線，將兩異面直線平移至一特殊點(diǎn)（中位線的交點(diǎn)）然后在三角形中求角。

3、cos?=cos?1cos?

24、向量法.八、直線與平面所成角的求法

1、根據(jù)定義，作出直線與平面所成角，然后在直角三角形中求角。

2、轉(zhuǎn)化為距離(sin?=h/l)

3、向量法，求出平面的法向量，然后求平面的斜線與法向量的夾角。（注意為正弦）

注：對(duì)兩異面直線所成角和直線與平面所成角一定要注意角的范圍。

九、二面角的求法

1、定義法，從二面角的棱上的某一點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，求兩條垂線所形成的角。

2、根據(jù)三垂線定理，先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求角。

3、射影面積法，先作出一個(gè)半平面內(nèi)的某個(gè)多邊形，在另一個(gè)半平面內(nèi)的射影多邊形，然后由公式 cosθ=s'/s（其中θ為二面角的平面角，s'為射影多邊形的面積，s為多邊形的面積）求出二面角的平面角。

4、向量法，求出兩個(gè)半平面的法向量，然后求兩法向量的夾角。（一般要先根據(jù)已知判斷二面角是銳角還是鈍角,否則要判斷指向，同內(nèi)同外為補(bǔ)角）

5.公式法(異面直線上點(diǎn)距離公式和三類角公式)

十、點(diǎn)到平面的距離的求法

1、根據(jù)定義，直接求垂線段的長(zhǎng)度。

2、向量法，利用公式??????|PA?n|d=|n|（其中PA為平面的一條斜

線，向量n 為平面的一個(gè)法向量。

3、等體積法，主要用在四面體（三棱錐）中，根據(jù)四面體的體積等于1/3底面積×高，選取不同的底面積，求出其中一條高長(zhǎng)。

十一、平面圖形翻折問(wèn)題的處理方法

1、先比較翻折前后的圖形，弄清哪些量和位置關(guān)系在翻折過(guò)程中不變，哪些已發(fā)生變化，然后將不變的條件集中到立體圖形中，將問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)條件與結(jié)論都已知的立體幾何問(wèn)題。

2、有關(guān)翻折問(wèn)題的計(jì)算，必須抓住在翻折過(guò)程中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系中，哪些是變的，哪些沒(méi)變，尤其要抓住不變量。對(duì)計(jì)算幾何體上兩點(diǎn)之間的最短距離問(wèn)題，要注意轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎴D形求兩點(diǎn)間的距離來(lái)計(jì)算。

十二、要注意的問(wèn)題

1、對(duì)推理論證與計(jì)算相結(jié)合的題目的解題原則是一作、二證、三計(jì)算。(向量法可省略證角，但必須交代如何建系，右手系)。

2、正方體中，兩個(gè)平行的正三角形截面把一條與它們垂直的體對(duì)角線三等分。

3、已知三條射線兩兩夾角，會(huì)求線面角和二面角(課堂筆記，只需會(huì)推導(dǎo)方法，不需強(qiáng)記公式)

4、適當(dāng)時(shí)候，坐標(biāo)法不方便時(shí)可以考慮基向量法，求向量

模易出錯(cuò)：r

a?。

5、求異面直線間的距離，若公垂線找不到，除向量法外，可以考慮構(gòu)造平行平面或平行線面，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離求。

第四篇：立體幾何題證明方法

立體幾何題型與方法

1．平面的基本性質(zhì)：掌握三個(gè)公理及推論，會(huì)說(shuō)明共點(diǎn)、共線、共面問(wèn)題。

(1)證明點(diǎn)共線的問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)（依據(jù)：由點(diǎn)在線上，線在面內(nèi)，推出點(diǎn)在面內(nèi)），這樣可根據(jù)公理2證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的公共直線上。(2)證明共點(diǎn)問(wèn)題，一般是先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明這點(diǎn)在第三條直線上，而這一點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，這第三條直線是這兩個(gè)平面的交線。(3).證共面問(wèn)題一般先根據(jù)一部分條件確定一個(gè)平面，然后再證明其余的也在這個(gè)平面內(nèi)，或者用同一法證明兩平面重合2.空間直線（1）空間直線位置關(guān)系三種：相交、平行、異面.相交直線：共面有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：共面沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任一平面內(nèi)，無(wú)公共點(diǎn)[注]：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.（×）（也可能兩條直線平行，也可能是點(diǎn)和直線等）②直線在平面外，指的位置關(guān)系是平行或相交

③若直線a、b異面，a平行于平面，b與 的關(guān)系是相交、平行、在平面 內(nèi).④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點(diǎn).⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.（×）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）⑥在同一平面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等，則斜線長(zhǎng)相等.（×）（并非是從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段）⑦ 是夾在兩平行平面間的線段，若，則 的位置關(guān)系為相交或平行或異面.⑧異面直線判定定理：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）

（2）.平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等（如右圖）.推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.（3）.兩異面直線的距離：公垂線段的長(zhǎng)度.空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.[注]： 是異面直線，則過(guò)l外一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P且與l 都平行平面有一個(gè)或沒(méi)有，但與 l距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi).（或 在這個(gè)做出的平面內(nèi)不能叫 與 l平行的平面）

3.直線與平面平行、直線與平面垂直.（1）.空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).（2）.直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.（“線線平行? 線面平行”）[注]：①直線l與平面?內(nèi)一條直線m平行，則l∥m.（×）（平面外一條直線）②直線 l與平面 ?內(nèi)一條直線m相交，則 l與平面?相交.（×）（平面外一條直線）

③若直線l與平面?平行，則?內(nèi)必存在無(wú)數(shù)條直線與?平行.（√）

④兩條平行線中一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面.（×）（可能在此平面內(nèi)）

⑤平行于同一個(gè)平面的兩直線平行.（×）（兩直線可能相交或者異面）

⑥直線l與平面?、? 所成角相等，則（?、?可能相交）?∥?.（×）

（3）.直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行?線線平行”）

（4）.直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直.三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.（“線線垂直?線面垂直”）

直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.性質(zhì)：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.（5）.a.垂線段和斜線段長(zhǎng)定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段較長(zhǎng)；②相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段射影較長(zhǎng)；③垂線段比任何一條斜線段短.[注]：垂線在平面的射影為一個(gè)點(diǎn).[一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.（×）]b.射影定理推論：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上。

4.平面平行與平面垂直.（1）.空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行.（2）.平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.（“線面平行?面面平行”）推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.[注]：一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面.（3）.兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行?線線平行”）

（4）.兩個(gè)平面垂直判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.兩個(gè)平面垂直判定二：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面垂直于這個(gè)平面.注：如果兩個(gè)二面角的平面分別對(duì)應(yīng)互相垂直，則兩個(gè)二面角沒(méi)有什么關(guān)系.（5）.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.5.（1）.棱柱.a.①直棱柱側(cè)面積：（c為底面周長(zhǎng)，h是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形得出的.②斜棱住側(cè)面積：（c是斜棱柱直截面周長(zhǎng)，h 是斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為平行四邊形得出的.b.{四棱柱} {平行六面體} {直平行六面體} {長(zhǎng)方體} {正四棱柱} {正方體}.{直四棱柱} {平行六面體}={直平行六面體}.c.棱柱具有的性質(zhì)：①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形.②棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.③過(guò)棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.注：①棱柱有一個(gè)側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測(cè)是直棱柱.（×）（直棱柱不能保證底面是矩形,可如圖）②（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.d.平行六面體：定理一：平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.[注]：四棱柱的對(duì)角線不一定相交于一點(diǎn).定理二：長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和.推論一：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為，則.推論二：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為，則.[注]：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四棱柱的兩個(gè)平行的平面可以為矩形）

②各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行）

③對(duì)角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長(zhǎng)方體.（×）（只能推出對(duì)角線相等，推不出底面為矩形）

④棱柱成為直棱柱的一個(gè)必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直.（兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件）

（2）.棱錐：棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.[注]：①一個(gè)三棱錐四個(gè)面可以都為直角三角形.②一個(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐；所以.a.①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面正多邊形的中心.[注]：i.正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）

ii.正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正三角形，側(cè)棱與底棱不一定相等

iii.正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.②正棱錐的側(cè)面積：（底面周長(zhǎng)c，斜高為h）

③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：（側(cè)面與底面成的二面角為）

注：S為任意多邊形的面積（可分別求多個(gè)三角形面積和的方法）.b.棱錐具有的性質(zhì)：①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.c.特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置：

①棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.④棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.⑤三棱錐有兩組對(duì)棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心.⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心.⑦每個(gè)四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑；

⑧每個(gè)四面體都有內(nèi)切球，球心 是四面體各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離等于半徑.[注]：i.各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（×）（各個(gè)側(cè)面的等腰三角形不知是否全等）ii.若一個(gè)三棱錐，兩條相對(duì)棱互相垂直，則第三組相對(duì)棱必然垂直.iii.空間四邊形OABC且四邊長(zhǎng)相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形.iv.若是四邊長(zhǎng)與對(duì)角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊是一定是正方形.（3）.球：a.球的截面是一個(gè)圓面.①球的表面積公式：.②球的體積公式：.b.緯度、經(jīng)度：①緯度：地球上一點(diǎn) 的緯度是指經(jīng)過(guò) 點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).②經(jīng)度：地球上 兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個(gè)半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn) 的經(jīng)線是本初子午線時(shí)，這個(gè)二面角的度數(shù)就是 點(diǎn)的經(jīng)度.附：①圓柱體積：（r為半徑，h為高）②圓錐體積：（r為半徑，h為高）

③錐體體積：（為底面積，為高）

（1）.①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長(zhǎng)為a,.注：球內(nèi)切于四面體：。

②外接球：球外接于正四面體，一、經(jīng)典例題剖析

1、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，（I）求證：AC⊥BC1；（II）求證：AC 1//平面CDB1；

2、如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB,PC的中點(diǎn).(Ⅰ)證明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱錐E—ABC的體積V.3、已知某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8，高為4的等腰三角形，側(cè)視圖（或稱左視圖）是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6，高為4的等腰三角形．

（1）求該幾何體的體積V；（2）求該幾何體的側(cè)面積S．

4、如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，其中BD是圓的直徑∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP～△BAD.(1)求線段PD的長(zhǎng)；(2)若PC，求三棱錐P-ABC的體積.B

1P

B AD題3題4（第7題）

5、弧AEC是半徑為a的半圓，AC為直徑，點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為線段AD外一點(diǎn)

F滿足FC?平面BED,FB=a（1）證明：EB?FD（2）求點(diǎn)B到平面FED的距離.6．如圖, 在三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?3，CC1?平面ABC，BC?4，AB?5,AA1?4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，（1）求證：AC?BC1；（2）求證：AC1?平面

CDB1；（3）求三棱錐C1?CDB1的體積。

7、如圖，在底面是菱形的四棱錐S—ABCD中，SA=AB=2，SB?SD?（1）證明：BD?平面SAC；

（2）問(wèn)：側(cè)棱SD上是否存在點(diǎn)E，使得SB//平面ACD？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（3）若?BAD?120，求幾何體A—SBD的體積。

8．某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖4所示。墩的上半部分是正四棱錐P?EFGH，下半部分是長(zhǎng)方體0ABCD?EFGH。圖

5、圖6分別是該標(biāo)識(shí)墩的正（主）視圖和俯視圖。（1）請(qǐng)畫(huà)出該安全標(biāo)識(shí)墩的側(cè)（左）視圖；

（2）求該安全標(biāo)識(shí)墩的體積；（3）證明：直線BD?平面PEG.（第題）（第9 題）

9．如圖，已知△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC?平面ABC ,AB?2，tan?EAB?（1）證明：平面ACD?平面ADE；（2）記AC?x，V(x)表示三棱錐A－CBE的體積，求V(x)的表達(dá)式；（3）當(dāng)V(x)取得最大值時(shí)，求證：AD=CE．

10．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E在棱CC1的延長(zhǎng)線上，且CC1?C1E?BC?1AB?1．

2（Ⅰ）求證：D1E∥平面ACB1；（Ⅱ）求證：平面D1B1E?平面DCB1；（Ⅲ）求四面體D1B1AC的體積．

11、如圖（1），?ABC是等腰直角三角形，AC?BC?4，E、F分別為AC、AB的中點(diǎn)，將?AEF沿EF折起，使A?在平面BCEF上的射影O恰為EC的中點(diǎn)，得到圖（2）．

（1）求證：EF?A?C；（2）求三棱錐F?A?BC的體積．

AA

DM

BBB

CC（第12題）（第11題）（第13題）11

1?12.如圖，已知四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//DC，?ABC?45，DC?1，AB?2，PA?平面ABCD，PA?1．（1）求證：AB//平面PCD；的中點(diǎn)，求三棱錐M—ACD的體積．（2）求證：BC?平面PAC；（3）若M是PC

BC?3.13.如圖,在三棱柱ABC?A側(cè)棱AA1?底面ABC,AB?BC,D為AC的中點(diǎn), A1B1C1中，1A?AB?2,（1）求證：AB1//平面BC1D；(2)求四棱錐B?AAC11D的體積.13．如圖，三角形ABC中，AC=BC=2AB，ABED是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分

2別是EC、BD的中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：GF//底面ABC；（Ⅱ）求證：AC⊥平面EBC；

（Ⅲ）求幾何體ADEBC的體積V。

14．如圖,長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB?AA1?1,AD?2,E是BC的中點(diǎn).(Ⅰ)求證：直線BB1//平面D1DE；(Ⅱ)求證：平面A1AE?平面D1DE；(Ⅲ)求三棱錐A?A1DE的體積.C

（第14題）A1 BD1 1 A D AB E（第15題）

第五篇：立體幾何常見(jiàn)證明方法

立體幾何方法歸納小結(jié)

一、線線平行的證明方法

1、根據(jù)公理4，證明兩直線都與第三條直線平行。

2、根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，若直線a平行于平面A，過(guò)a的平面B與平面A相交于b，則 a//b。

3、根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，若直線a與直線b都與平面A垂直，則a//b。

4、根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，若平面A//平面B，平面C與平面A和平面B的交線分別為直線 a與直線 b，則a//b。

????????

5、由向量共線定理，若AB?xCD，且AB、CD不共線，則向量AB所在的直線a與向量cd所在的直線b平行，即a//b。

二、線面平行的證明方法

1、根據(jù)線面平行的定義，證直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)。

2、根據(jù)線面平行的判定定理，若平面 A內(nèi)存在一條直線b與平面外的直線a平行，則a//A。(用相似三角形或平行四邊形)

3、根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理，若兩平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一個(gè)平面平行。

4、向量法，向量c與平面A法向量垂直，且向量c所在直線c不在平面內(nèi)，則c//A。

三、面面平行的證明方法

1、根據(jù)定義，若兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩平面平行。

2、根據(jù)兩平面平行的判定定理，一個(gè)平面內(nèi)有兩相交直線與另一平面平行，則兩平面平行。

或根據(jù)兩平面平行的判定定理的推論，一平面內(nèi)有兩相交直線與另一平面內(nèi)兩相交直線平行，則兩平面平行。

3、垂直同一直線的兩平面平行。

4、平行同一平面的兩平面平行。

5、向量法，證明兩平面的法向量共線。

四、兩直線垂直的證明方法

1、根據(jù)定義,證明兩直線所成的角為90°

2、一直線垂直于兩平行直線中的一條,也垂直于另一條.3、一直線垂直于一個(gè)平面,則它垂直于平面內(nèi)的所有直線.4、根據(jù)三垂線定理及逆定理,若平面內(nèi)的直線垂直于平面的一條斜線(或斜線在平面內(nèi)的射影),則它垂直于斜線在平面內(nèi)的射影(或平面的斜線).5、向量法.五、線面垂直的證明方法

1、根據(jù)定義,證明一直線與平面內(nèi)的任一(所有)直線垂直,則直線垂直于平面.2、根據(jù)判定定理,一直線垂直于平面內(nèi)的兩相交直線,則直線垂直于平面.3、一直線垂直于兩平行平面中的一個(gè),也垂直于另一個(gè).4、兩平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,另一條也垂直于這個(gè)平面.5、根據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理,兩平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.6、向量法,證明平面的法向量與表示該直線的向量共線.六、面面垂直的證明方法

1、根據(jù)面面垂直的定義，兩平面相交所成的二面角為直二面角，則兩平面垂直。

2、根據(jù)面面垂直的判定定理，一平面經(jīng)過(guò)另一平面的一條垂線，則兩平面垂直。

3、一平面垂直于兩平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè)。

4、向量法，證明兩平面的法向量垂直（即法向量的數(shù)量積為零）。

七、兩異面直線所成角的求法

1、根據(jù)定義，平移其中一條和另一條相交，然后在三角形中求角。

2、利用中位線，將兩異面直線平移至一特殊點(diǎn)（中位線的交點(diǎn)）然后在三角形中求角。

3、cos?=cos?1cos?2

4、向量法.八、直線與平面所成角的求法

1、根據(jù)定義，作出直線與平面所成角，然后在直角三角形中求角。

2、轉(zhuǎn)化為距離(sin?=h/l)

3、向量法，求出平面的法向量，然后求平面的斜線與法向量的夾角。（注意為正弦）注：對(duì)兩異面直線所成角和直線與平面所成角一定要注意角的范圍。九、二面角的求法

1、定義法，從二面角的棱上的某一點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，求兩條垂線所形成的角。

2、根據(jù)三垂線定理，先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求角。

3、射影面積法，先作出一個(gè)半平面內(nèi)的某個(gè)多邊形，在另一個(gè)半平面內(nèi)的射影多邊形，然后由公式 cosθ=s'/s（其中θ為二面角的平面角，s'為射影多邊形的面積，s為多邊形的面積）求出二面角的平面角。

4、向量法，求出兩個(gè)半平面的法向量，然后求兩法向量的夾角。（一般要先根據(jù)已知判斷二面角是銳角還是鈍角,否則要判斷指向，同內(nèi)同外為補(bǔ)角）

5.公式法(異面直線上點(diǎn)距離公式和三類角公式)

十、點(diǎn)到平面的距離的求法

1、根據(jù)定義，直接求垂線段的長(zhǎng)度。

2、向量法，利用公式

??????|PA?n|d=??|n|（其中PA為平面的一條斜線，向量n 為平面的一個(gè)法向量。

3、等體積法，主要用在四面體（三棱錐）中，根據(jù)四面體的體積等于1/3底面積×高，選取不同的底面積，求出其中一條高長(zhǎng)。

十一、平面圖形翻折問(wèn)題的處理方法

1、先比較翻折前后的圖形，弄清哪些量和位置關(guān)系在翻折過(guò)程中不變，哪些已發(fā)生變化，然后將不變的條件集中到立體圖形中，將問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)條件與結(jié)論都已知的立體幾何問(wèn)題。

2、有關(guān)翻折問(wèn)題的計(jì)算，必須抓住在翻折過(guò)程中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系中，哪些是變的，哪些沒(méi)變，尤其要抓住不變量。對(duì)計(jì)算幾何體上兩點(diǎn)之間的最短距離問(wèn)題，要注意轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎴D形求兩點(diǎn)間的距離來(lái)計(jì)算。

十二、要注意的問(wèn)題

1、對(duì)推理論證與計(jì)算相結(jié)合的題目的解題原則是一作、二證、三計(jì)算。(向量法可省略證角，但必須交代如何建系，右手系)。

2、正方體中，兩個(gè)平行的正三角形截面把一條與它們垂直的體對(duì)角線三等分。

3、已知三條射線兩兩夾角，會(huì)求線面角和二面角(課堂筆記，只需會(huì)推導(dǎo)方法，不需強(qiáng)記公式)

4、適當(dāng)時(shí)候，坐標(biāo)法不方便時(shí)可以考慮基向量法，求向量模易出錯(cuò)：ra?r2a。

5、求異面直線間的距離，若公垂線找不到，除向量法外，可以考慮構(gòu)造平行平面或平行線面，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離求。