第一篇：立體幾何垂直證明范文

立體幾何專題----垂直證明

學習內容：線面垂直面面垂直

立體幾何中證明線面垂直或面面垂直都可轉化為 線線垂直，而證明線線垂直一般有以下的一些方法：（1）通過“平移”。（2）利用等腰三角形底邊上的中線的性質。（3）利用勾股定理。（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直徑所對的圓周角是直角，等等。

試題探究

一、通過“平移”,根據若a//b,且b?平面?,則a?平面?

1．在四棱錐P-ABCD中，△PBC為正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

12DC，E為PD中點.求證：AE⊥平面PDC.、2．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，點E為棱AB的中點． 求證：平面PCE⊥平面PCD；

3.如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形

BA?AD,CD?AD,CD?2AB,PA?底面ABCD,E為PC的中點, PA＝AD。

證明: BE?平面PDC;

二、利用等腰三角形底邊上的中線的性質

4、在三棱錐P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90?，AP?BP?AB，PC?AC．

（Ⅰ）求證：PC?AB；

P

（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小；A

B

C5、如圖，在三棱錐P?ABC中，⊿PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 o 證明：AB⊥PC

三、利用勾股定理

PA?CD,PA?1,PD?

6、如圖，四棱錐P?ABCD的底面是邊長為1的正方形，求證:PA?平面ABCD；

_A _D

_B_C7、如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?

（1）求證：AO?平面BCD；

（2）求異面直線AB與CD所成角的大小；B

E

四、利用三角形全等或三角行相似

8、正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點，求證：D1O⊥平面MAC.9、如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，過點B作B1C的垂線交側棱CC1于點E，交B1C于點F，求證：A1C⊥平面BDE；

五、利用直徑所對的圓周角是直角

10、如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，PA⊥平面ABC.（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圓周上一點，且與C分居直徑AB的兩側，試寫出圖中所有互相垂直的各對平面.P

A11、如圖，在圓錐PO中，已知PO，⊙O的直徑AB?2,C是狐AB的中點，D為AC的中點．證明：平面POD?

平面PAC;

第二篇：高中立體幾何證明垂直的專題訓練

高中立體幾何證明垂直的專題訓練

深圳龍崗區東升學校—— 羅虎勝

立體幾何中證明線面垂直或面面垂直都可轉化為 線線垂直，而證明線線垂直一般有以下的一些方法：（1）通過“平移”。

（2）利用等腰三角形底邊上的中線的性質。（3）利用勾股定理。

（4）利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直徑所對的圓周角是直角，等等。

(1)通過“平移”,根據若a//b,且b?平面?,則a?平面?

1．在四棱錐P-ABCD中，△PBC為正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

DC，2E為PD中點.求證：AE⊥平面PDC.分析：取PC的中點F，易證AE//BF，易證

BF⊥平面PDC

2．如圖，四棱錐P－ABCDABCD，∠PDA=45°，點E為棱AB的中點． 求證：平面PCE⊥平面PCD；

分析：取PC的中點G，易證EG//AF，又易證AF于是EG⊥平面PCD,則平面PCE⊥平面PCD

（第2題圖）

3、如圖所示，在四棱錐P?AB中，A?B平面,PAB//CD,PD?AD,E是PB的中點，F是CD上的點，且

DF?

AB,PH為?PAD中AD邊上的高。

2（1）證明：PH?平面ABCD；

（2）若PH?1，AD?FC?1，求三棱錐E?BCF的體積；（3）證明：EF?平面PAB.分析：要證EF?平面PAB，只要把FE平移到DG，也即是取AP的中點G，易證EF//GD, 易證DG⊥平面PAB

4.如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形

BA?AD,CD?AD,CD?2AB,PA?底面ABCD,E為PC的中點, PA＝AD。證明: BE?平面PDC;

分析：取PD的中點F，易證AF//BE, 易證AF⊥平面PDC

（2）利用等腰三角形底邊上的中線的性質

5、在三棱錐P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90?，PC?AC．AP?BP?AB，（Ⅰ）求證：PC?AB；

（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小；

P

A

C

B6、如圖，在三棱錐P?ABC中，⊿PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 o 證明：AB⊥PC

因為?PAB是等邊三角形，?PAC??PBC?90?, 所以Rt?PBC?Rt?PAC,可得AC?BC。如圖，取AB中點D，連結PD,CD, 則PD?AB,CD?AB, 所以AB?平面PDC, 所以AB?PC。

（3）利用勾股定理

7、如圖，四棱錐P?ABCD的底面是邊長為

1的正方形，PA?CD,PA?1,PD?求證:PA?平面ABCD；

_ B

_ A

_D

_C8、如圖1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB?AD，且AB?AD?

CD?1．

2現以AD為一邊向形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面

ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點，如圖2．（1）求證：AM∥平面BEC；

（2）求證：BC?平面BDE；

E

M

E

C

F

MC

B

A9、如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?（1）求證：AO?平面BCD；

（2）求異面直線AB與CD所成角的大小；

（1）證明：連結OC?BO?DO,AB?AD,?AO?BD.B

E

?BO?DO,BC?CD,?

CO?BD.在?AOC中，由已知可得AO?1,CO? 而AC?2,?AO2?CO2?AC2,??AOC?90o,即AO?OC.?BD?OC?O, ?AO?平面BCD,BC?CD，側面SAB為等邊三角形，10、如圖，四棱錐S?ABCD中，AB?BC

AB?BC?2,CD?SD?1．

（Ⅰ）證明：SD?平面SAB;

（Ⅱ）求AB與平面SBC所成角的大小．

解法一：

（I）取AB中點E，連結DE，則四邊形

BCDE為

矩形，DE=CB=2，連結SE，則SE?AB,SE?又SD=1，故ED?SE?SD，所以?DSE為直角。

由AB?DE,AB?SE,DE?SE?E，得AB?平面SDE，所以AB?SD。SD與兩條相交直線AB、SE都垂直。

所以SD?平面SAB。

（4）利用三角形全等或三角行相似

11．正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點，求證：D1O⊥平面MAC.分析：法一：取AB的中點E，連A1E,OE,易證△ABM≌A1AE, 于是AM⊥A1E,又∵OE⊥平面ABB1A1∴OE⊥AM, ∴AM⊥平面OEA1D1∴AM⊥D1O

法二：連OM,易證△D1DO∽OBM,于是D1O⊥OM

12．如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點.求證：AB1⊥平面A1BD；

分析： 取BC的中點E，連AE,B1E,易證△DCB≌△EBB1，從而BD⊥EB113、.如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，過點B作B1C的垂線交側棱CC1于點E，交B1C于點F，求證：A1C⊥平面BDE；

（5）利用直徑所對的圓周角是直角

AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，PA⊥平面ABC.）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圓周上一點，且與C分居直徑AB的兩側，試寫出圖中所有互

相垂直的各對平面.P

A15、如圖，在圓錐PO中，已知POO的直徑AB?2,C是狐AB的中點，D為

AC的中點．證明：平面POD?平面PAC;

16、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD．以BD的中點O為球心、BD為直徑的球面交PD于點M．

求證：平面ABM⊥平面PCD； ．

證：依題設，Ｍ在以ＢＤ為直徑的球面上，則ＢＭ⊥ＰＤ.因為ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，則ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，則ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.B

第三篇：高考復習專題---立體幾何垂直關系證明

5．（2006年福建卷）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?（I）求證：AO?平面BCD；

BE

4.(2006年湖南卷）如圖4,已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2,AB=4.(Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD;

B

圖

14．（福建19）（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA＝PD,底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O為AD中點.(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD；

20．（全國Ⅱ20）（本小題滿分12分）

如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB?4，點E在CC1上且C1E?3EC．

?平面BED；（Ⅰ）證明：AC

1DA1

A

10.如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且AC=BC=a，∠VDC=θ

E C ???

?0????。

2??

（Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD；

26．三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1，?BAC?90?，A1A?平面ABC，A1A?AB?AC?2AC11?2，D為BC中點．（Ⅰ）證明：平面A1AD?平面BCC1B1；

A1 B1

C1

A

3．（2006年浙江卷）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面

為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點.(Ⅰ)求證：PB⊥DM;

1．（2006年北京卷）如圖，在底面為平行四邊表的四棱錐P?ABCD中，AB?AC，PA?平面ABCD，且PA?AB，點E是PD的中點.（Ⅰ）求證：AC?PB；（Ⅱ）求證：PB//平面AEC12．（天津?理?19題）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA?，AC?CD，?ABC?60°，底面ABC，AB?ADP

B

C

PA?AB?BC，E是PC的中點．

（Ⅰ）證明CD?AE；

（Ⅱ）證明PD?平面ABE；

A

B

D

第四篇：高一立體幾何平行垂直證明基礎練習

高一垂直證明基礎練習專項

1、點線面位置關系判定問題

解題方法與技巧：在判定點線面的位置關系時，通常有兩個切入點（1）集合：點、線點、面的位置關系從集合的從屬關系來判定；線、面都是點集，所以在考慮線面關系時從集合與集合的包含關系或者集合與集合的交、并、補關系來判定；（2）幾何：把集合與幾何關系結合來判定線線，線面，面面關系

例1、設是三個不重合的平面，l是直線，給出下列命題

①若，則；

②若l上兩點到的距離相等，則；

③若

④若

其中正確的命題是

（）

A．①②

B．②③

C．②④

D．③④

解析：

①由面面垂直關系已知不成立，可能垂直也可能相交平行。錯誤；②由點到面距離易知直線還可能和平面相交；③因為所以在平面β內一定有一直線垂直α所以正確④根據平行關系易知正確

答案選D

練習1、設，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是（）

（A）若，則

（B）若，則

（C）若，則

（D）若，則

練習2、給定下列四個命題：

（）

①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；

②若一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；

③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；.④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.其中，為真命題的是

A．①和②

B．②和③

C．③和④

D．②和④

練習3.（2009浙江卷文）設是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（）

A．若，則

B．若，則

C．若，則

D．若，則

練習4．順次連接空間四邊形各邊中點所成的四邊形必定是（）

A、平行四邊形

B、菱形

C、正方形

D、梯形

練習題答案：練習1：B；練習2：

D；練習3：

C；練習4：

A；

2、空間中線面的平行垂直證明

例1：如圖：四棱錐—中，底面是平行四邊形，為側棱的中點，證明：∥平面

解析：

證明PC平行于面EBD，只需在面EBD內找一條直線和已知直線平行即可

E為中點，首先考慮構造等腰三角形中位線，取AC中點O連接EO即可

證明：取AC的中點O,連接EO，例2：三棱柱—中，為的中點，為的中點，為的中點，證明：平面∥平面

解析：面面平行的證明定理，證明兩平面內兩組相交直線平行，即把面面

平行問題轉化為線線平行問題，按解決線線平行的思路即可解決問題

證明：連接BC1,EF

分別為BC、B1C1、BB1、CC1的中點，例3：如圖：四棱錐—中，⊥平面，底面是矩形，為的中點，⊥，證明：⊥

解析：線線垂直的證明分同平面直線垂直證明和異平面垂直證明，在處理異平面垂直證

明問題時，優先考慮證明一直線垂直于另一直線所在平面，轉化為線面垂直證明問題

即證明PD垂直于面BEF即可

證明：點

例4：如圖：四棱錐—中，⊥平面，底面是矩形，證明：平面⊥平面

練習1：如圖：四棱錐—中，底面是平行四邊形，為側棱的中點，證明：∥平面

練習2：如圖：三棱柱—中，為的中點，證明：∥平面

練習3：如圖：三棱柱—中，為的中點，證明：∥平面

練習4：如圖：四棱錐—中，底面是平行四邊形，、分別為、的中點，證明：∥平面

練習5：如圖：三棱柱—中，、分別為、的中點，證明：∥平面

練習6：如圖：四棱錐—中，底面是平行四邊形，、分別為、的中點，證明：∥平面

練習7：如圖：三棱柱—中，為的中點，為的中點，證明：∥平面

練習8：如圖：四棱錐—中，⊥平面，底面是梯形，∥，，為的中點，證明：⊥

練習9：如圖：直三棱柱—中，，、分別為、的中點，為的中點，證明：⊥

練習10：如圖：四棱錐—中，⊥平面，⊥，，⊥，⊥，為的中點，證明：⊥

練習11：如圖：四棱錐—中，底面是矩形，平面⊥平面，證明：平面⊥平面

練習12：如圖：五面體中，是正方形，⊥平面，∥，證明：平面⊥平面

練習13：如圖：四棱錐—中，⊥平面，是菱形，為的中點，證明：平面⊥平面

練習14：如圖：四棱錐—中，平面⊥平面，，證明：平面⊥平面

第五篇：立體幾何證明

立體幾何證明

高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

Ⅰ.平行關系：

線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

四個判定定理：

①若平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

②如果一個平面內有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行。

③如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。

④如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

從平面拓展到空間的角相等或互補的判定定理：

空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。

四個性質定理：

①一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行。

②兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行。

③垂直于同一平面的兩條直線平行。

④兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

標準只要求對于四個性質定理用綜合幾何的方法加以證明。對于其余的定理，在選修2的“空間向量與立體幾何”中利用向量的方法予以證明。

(2)立體幾何初步這部分，我們希望能使學生初步感受綜合幾何的證明。在處理證明時，要充分發揮幾何直觀的作用，而不是形式上的推導。例如，平行于同一平面的二直線平行的證明方法，有的老師就是采用了一種很