第一篇：8.7 立體幾何中的向量方法Ⅰ——證明平行與垂直

§8.7 立體幾何中的向量方法Ⅰ——證明

平行與垂直

(時間：45分鐘 滿分：100分)

一、選擇題(每小題7分，共35分)

????????1.已知空間三點A（0,2,3），B（-2,1,6），C（1，-1,5）若a

a分別與AB,AC垂

直，則向量a為??

A.?1，1，1?

B.?－1，－1，－1?

C.?1，1，1?或?－1，－1，－1?

D.?1，－1，1?或?－1，1，－1?,2.已知a＝?1，1，1?，b＝?0，2，－1?，c＝ma＋nb＋?4，－4，1?.若c與a及b都垂直，則m，n的值分別為??,A.－1，2B.1，－2C.1，2D.－1，－

23.已知a＝?1,?,?，b＝??3,?,?

A??35?22???15??滿足a∥b，則λ等于?? 2?2992.B.C.－D.－ 3223????????????????????4.已知AB＝?1，5，－2?，BC＝?3，1，z?，若AB⊥BC，BP＝?x－1，y，－3?，且BP⊥平面ABC，則實數x，y，z分別為???A.33154015，－，4B.，－，4 77774040，－2，4D.4，－15 77C.5.若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是??,A.a＝?1，0，0?，n＝?－2，0，0?

B.a＝?1，3，5?，n＝?1，0，1?

C.a＝?0，2，1?，n＝?－1，0，－1?

D.a＝?1，－1，3?，n＝?0，3，1?

二、填空題?每小題7分，共21分?

6.設a＝?1，2，0?，b＝?1，0，1?，則“c＝(,?,?的條件.7.若|a|，b＝?1，2，－2?，c＝?2，3，6?，且a⊥b，a⊥c，則a＝.,8.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是棱BC、DD1上的點，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值為

三、解答題?共44分?

9.?14分?已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為BB1、C1D1的中點，建立適當的坐標系，求平面AMN的一個法向量

10．(15分)如圖，已知ABCD—A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA

1上，點F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求證：E，B，F，D1四點共面；

2(2)若點G在BC上，BG＝，點M在BB1上，GM⊥BF，垂足為H，求證：

3EM⊥面BCC1B1.11．(15分)如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB2，AF

＝1，M是線段EF的中點．

求證：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.答案

1.C2.A3.B4.B5.D

6.充分不必要7.??23132)”是“c⊥a，c⊥b且c為單位向量”31??181??18,2,?或?，?2,??8.1 5??55??

5.9.解 以D為原點，DA、DC、DD1所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系?如圖所示?.,設

正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，則A?1，0，0?，M(1，1，11)，N(0，1)).∴2

2??????1??????1?AM??1,0,?,AN??0，1?設平面AMN的一個法向量為2???2?

n＝?x，y，z?,?????1?n?AM?y?z?0??2? ?????n?AN??x?1y?z?0??2

令y＝2，∴x＝－3，z＝－4.∴n＝(－3,2，－4)．

∴(－3,2，－4)為平面AMN的一個法向量．

????10.證明 建立如圖所示的坐標系，則BE＝(3,0,1)，????→BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

?????????????→???→所以BD1=BE+BF，故BD1，BE，BF共面．

又它們有公共點B，所以E、B、F、D1四點共面．

(2)如圖，設M(0,0，z)，?????2→0，－z?，而BF＝(0，3，2)，GM＝?3??

得z＝1.?????→2由題設得GM?BF=??3?z?2?0，3????因為M(0,0，1)，E（3,0,1），所以ME＝(3,0,0)．

→→又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，從而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.11.證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，設AC∩BD＝N，連接NE.則點N、E的坐標分別為 ?22，0?、(0,0,1)． 2?2?

?????22∴NE＝－1?.2?2?

又點A、M的坐標分別是，0)、?22?22→，AM＝?－，1?.，1，22?2??2?????→∴NE＝AM且NE與AM不共線．∴NE∥AM.又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.????22?→?(2)由（1）知AM＝1，∵D(2，0,0)，F22，1)，DF＝(0，2，2?2?

1)．

→→→→AM·DF＝0.∴AM⊥DF.→→同理AM⊥BF，又DF∩BF

＝

F，∴AM⊥平面BDF.

第二篇：立體幾何中的向量方法----證明平行與垂直練習題

§8.7 立體幾何中的向量方法（Ⅰ）----證明平行與垂直

一、選擇題

1．若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，則()．

A．l1∥l2B．l1⊥l

2C．l1與l2相交但不垂直D．以上均不正確

2．直線l1，l2相互垂直，則下列向量可能是這兩條直線的方向向量的是()

A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)

B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)

C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)

D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)

35?15???3．已知a＝?1，－，b＝?－3，λ，－滿足a∥b，則λ等于()． 22?2???

2992A.B.C．－D．－ 322

34．若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是()．

A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)

B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)

C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)

D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)

5．若平面α，β平行，則下面可以是這兩個平面的法向量的是()

A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)

B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)

C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)

D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)

6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實數λ等于()．

62636065A.B.C.D.7777

7．已知平面α內有一個點A(2，－1,2)，α的一個法向量為n＝(3,1,2)，則下列點P中，在平面α內的是()

A．(1，－1,1)3??B.?1，3，2??

??

C.?1，－3，2??

二、填空題

??

D.?－1，3，－

2??

8．兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，則

l1與l2的位置關系是_______．

9．平面α的一個法向量n＝(0,1，－1)，如果直線l⊥平面α，則直線l的單位方向向量是s＝________.→

＝0的_______．

→

12．已知→AB＝(1,5，－2)，→BC＝(3,1，z)，若→AB⊥→BC，→BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實數x，y，z分別為________．

三、解答題

13．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：

→

11．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，則平面ABC的單位法向量是________．

→

→

→

→

→

10．已知點A，B，C∈平面α，點P?α，則AP·AB＝0，且AP·AC＝0是AP·BC

a，b，c.14.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點．求證：

MN∥平面A1BD.證明 法一 如圖所示，以D為原點，DA、DC、DD1所在直

線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，???1?

則M?0，1，N?，1，1?，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，2???2?→

1??

1于是MN＝?，0，2??

2設平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． ?x＋z＝0，則n·DA1＝0，且n·DB＝0，得?

?x＋y＝0.→

→

取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． →

1??1

又MN·n＝?，0，·(1，－1，－1)＝0，2??2→

∴MN⊥n，又MN?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.15．如圖，已知ABCDA1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA1上，點F在CC1上，且AE＝FC1＝

1.(1)求證：E，B，F，D1四點共面；

(2)若點G在BC上，BG＝M在BB1上，GM⊥BF，垂足為H，求證：EM⊥面

BCC1B1.→→

證明(1)建立如圖所示的坐標系，則BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

→→

→→→→

所以BD1＝BE＋BF，故BD1、BE、BF共面． 又它們有公共點B，所以E、B、F、D1四點共面．(2)如圖，設M(0,0，z)，→

→→

2??

則GM＝?0，－，z?，而BF＝(0,3,2)，3??

→→

由題設得GM·BF＝－×3＋z·2＝0，得z＝1.→

因為M(0,0,1)，E(3,0,1)，所以ME＝(3,0,0)． →

→

又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→

所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，從而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.16．如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是線段EF的中點．

求證：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，設AC∩BD＝N，連接NE.則點N、E的坐標分別為 ?22?

?，0?、(0,0,1)．

2?2?→?22?∴NE＝?－，－1?.2?2?

?2?

2又點A、M的坐標分別是2，2，0)、?，1?

2?2

?

→

?22?∴AM＝?－，－1?.2?2?

→→

∴NE＝AM且NE與AM不共線．∴NE∥AM.又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.?22?

(2)由(1)知AM＝?－，－1?，2?2?

→

∵D2，0,0)，F(2，2，1)，∴DF＝(0，2，1)→→

∴AM·DF＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.→

第三篇：45立體幾何中的向量方法(Ⅰ)——證明平行與垂直

第45課時立體幾何中的向量方法(Ⅰ)

——證明平行與垂直

編者：劉智娟審核：陳彩余 班級_________

學號_________

姓名_________第一部分 預習案

一、學習目標

1.理解直線的方向向量與平面的法向量；能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直和平行關系

2.了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用

二、知識回顧

1．直線的方向向量與平面的法向量

(1)直線l上的向量e(e≠0)以及與e共線的向量叫做直線l的方向向量．

(2)如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面α，那么稱向量n垂直于平面α，記作n⊥α.此時，我們把向量n叫做平面α的法向量．

2．用向量證明空間中的平行關系

(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)? v1∥v

2(2)設直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個不共線向量v1和v2，則l∥α或l?α?存在兩個實數x，y，使＝xv1＋yv2

(3)設直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l∥α或l?α?⊥.(4)設平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1 ∥u2.3．用向量證明空間中的垂直關系

v2＝0.(1)設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·

(2)設直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥α?∥

u2＝0.(3)設平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·

三、基礎訓練

1．兩條不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2，0,2)，則l1與l2的位置關系是__________

→→→→→2．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實數x，y，z分別為______________．

b＝(2,0,4)，c＝(－4，3．已知＝(－2，－3,1)，－6,2)，則下列結論正確的序號是________． ①∥c，b∥c;②∥b，⊥c； ③∥，⊥;④以上都不對．

→→4．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，則平面ABC的單位法向量為____________．

5．若平面α、β的法向量分別為v1＝(2，－3,5)，v2＝(－3,1，－4)，則α、β的位置關系為____________．

第二部分探究案

探究一 利用空間向量證明平行問題

問題

1、如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點．

求證：PB∥平面EFG.探究二利用空間向量證明垂直問題

問題

2、如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．

求證：AB1⊥平面A1BD.探究三 利用空間向量解決探索性問題

問題

3、如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點．

(1)求證：B1E⊥AD1；

(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．

問題

4、如圖所示，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的2倍，P為側棱SD上的點．(1)求證：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，則側棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由．

我的收獲

第三部分訓練案見附頁

第四篇：9-5用向量方法證明平行與垂直

2012-2013學第一學期數學理科一輪復習導學案編號：9-5班級：姓名：學習小組：組內評價：教師評價：

例2．（線線垂直）

如圖所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°.BC＝1，AA1＝，M是例5．（面面平行）

如圖所示：正方體AC1中，M，N，E，F分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點．求證：平CC1的中點．求證：AB1⊥A1M.例3．（線面平行）

在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點．求證：MN∥平面A1BD.例4．（線面垂直）

在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為棱AB和BC的中點，試在棱B1B上找一點M，使得D1M⊥平面EFB1.第三頁

面AMN∥平面EFDB.例6。（面面垂直）

如圖，底面ABCD是正方形，SA?底面ABCD，且SA?AB平面ABCD.第四頁E是SC中點.求證：

平面BDE?y，2012-2013學第一學期數學理科一輪復習導學案編號：9-5班級：姓名：學習小組：組內評價：教師評價：

8．平面α的一個法向量為v1＝(1,2,1)，平面β的一個法向量v2＝－(2,4,2)，則平面α與平面β()A．平行

B．垂直C．相交

D．不能確定

9．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點，則()A．面AED∥面A1FD1B．面AED⊥面A1FD1 C．面AED與面A1FD相交但不垂直D．以上都不對

10．已知l∥α，且l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為?

1?1，2，2??，則m＝________.11．如右上圖所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個點Q滿足PQ⊥QD，則a的值等于________．

9.如下圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點． 證明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.第三頁

10.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E、F、G分別是BB1、DD1、DC的中點，求證：(1)平面ADE∥平面B1C1F；(2)平面ADE⊥平面A1D1G；

(3)在AE上求一點M，使得A1M⊥平面DAE.11.如圖所示,PD⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為正方形,AB=2,E是PB的中點,cos〈DP,AE〉=33

.(1)建立適當的空間坐標系,寫出點E的坐標；(2)在平面PAD內求一點F,使EF

⊥平面

PCB

.第四頁

第五篇：立體幾何中平行與垂直的證明

立體幾何中平行與垂直的證明

姓名

2.掌握正確的判定和證明平行與垂直的方法.D

1【學習目標】1.通過學習更進一步掌握空間中線面的位置關系;

例1．已知正方體ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點．

求證：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．【反思與小結】1.證明線面平行的方法：2.證明線面垂直的方法：

AD

C1

BC【變式一】如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中,AD?AA1?1,AB?1，點E在棱AB上移動。求證：D1E⊥A1D；

【反思與小結】1．證明線線垂直的方法：

1． 談談對“點E在棱AB上移動”轉化的動態思考 2． 比較正方體、正四棱柱、長方體

【變式二A】如圖平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩

形，且AF?

D

1A

E

B

C

C

AD?2,G是EF的中點，2（1）求證平面AGC⊥平面BGC；（2）求空間四邊形AGBC的體積。

反思與小結1．證明面面垂直的方法：2．如果把【變式二A】的圖復原有什么新的認識？ 【變式二B】.如圖，在直三棱柱(側棱與底面垂直的三棱柱)ABC?A1B1C1中，AB?8，AC?6，BC

（Ⅰ）求證：

?10，D是BC邊的中點.AB?A1C；（Ⅱ）求證：AC1∥ 面AB1D；

【反思與小結】和前面證明線線垂直、線面平行比較有什么新的認識？ 【變式三】如圖組合體中，三棱柱ABC?A1B1C1的側面ABB1A1 是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A、B重合一個點.（Ⅰ）求證：無論點C如何運動，平面A1BC?平面A1AC；

（Ⅱ）當點C是弧AB的中點時，求四棱錐A1?BCC1B1與圓柱的體積比．

【反思與小結】

1．觀察兩個圖之間的變化聯系，寫出感受。

2．和【變式一】進行比較，談談你把握動態問題的新體會

【變式四】如圖，四邊形ABCD

為矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F 為CE上的點，且BF⊥平面ACE．

（1）求證：AE⊥BE；

（2）設M在線段AB上，且滿足AM＝2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面DAE.【反思與小結】1．和前面兩個動態問題比較，解答本題的思路和方法有什么不同？ _P【變式五】如圖5所示，在三棱錐P?ABC中，PA?平面ABC，AB?BC?CA?3，M為AB的中點，四點P、A、M、C都在球O的球面上。

（1）證明：平面PAB?平面PCM；（2）證明：線段PC的中點為球O的球心；

【反思與小結】1．探討球與正方體、長方體等與球體之間的關系。

2．結合前面幾組圖形的分割變化規律，說明正方體、正四棱

柱、長方體、直三棱柱、四棱錐、三棱錐的變化聯系。

3．總結立幾中證明“平行與垂直”的思路和方法

課后練習

1．如圖所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D為AC的中點。（I）求證：B1C//平面A1BD；

（II）求證：B1C1⊥平面ABB1A

（III）設E是CC1上一點，試確定E的位置，使平面A1BD⊥平面BDE，并說明理由。

2.如圖，已知AB?平面ACD，DE?平面ACD，三角形ACD

為等邊三角形，AD?DE?2AB，F為CD的中點

（1）求證：AF//平面BCE；

（2）求證：平面BCE?平面CDE；

P1． 如圖，四棱錐P?ABCD中，PA?底面ABCD，AB?AD，AC?CD，?ABC?60?，PA?AB?BC，E是PC的中點．（1）求證：CD?AE；

A

D（2）求證：PD?面ABE．

2． 如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=_A_M_B_C1AD.2B

（I）求證：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一點E，使CE∥平面PAB？若

存在，請確定E點的位置；若不存在，請說明理由.5.如圖，在四棱錐S?ABCD中，SA?AB?

2，SB?SD?底面ABCD是菱形，且?ABC?60?，E為CD的中點．

（1）證明：CD?平面SAE；

（2）側棱SB上是否存在點F，使得CF//平面SAE？并證明你的結論． D【課后記】1．設計思路（1）兩課時； C（2）認識棱柱與棱錐之間的內在聯系；

（3）掌握探尋幾何證明的思路和方法；

（4）強調書寫的規范性

2．實際效果：

（1）用時兩節半課；

（2）平行掌握的比較好，但垂直問題需要繼續加強。尤其是面面垂直問題轉化為線面垂直后便不知所措。