第一篇：空間中的垂直和平行的證明方法（精選）

2.平面的基本性質(zhì)

公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線.公理3經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.根據(jù)上面的公理，可得以下推論.推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.4.空間線面的位置關(guān)系

(1)直線與直線

異面()

(2)直線和平面

()

(3)平面與平面(無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn))

5.異面直線的判定

證明兩條直線是異面直線通常采用反證法.有時(shí)也可用定理“平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線，與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線”.6.線面平行與垂直的判定

(1)兩直線平行的判定

①定義：在同一個(gè)平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線平行.②如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,則a∥b.③平行于同一直線的兩直線平行，即若a∥b,b∥c,則a∥c.④垂直于同一平面的兩直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b

⑤兩平行平面與同一個(gè)平面相交，那么兩條交線平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,則a∥b

⑥如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，則a∥b.(2)兩直線垂直的判定

①定義：若兩直線成90°角，則這兩直線互相垂直.②一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即若b∥c,a⊥b,則a⊥c

③一條直線垂直于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線.即若a⊥α,b?α，a⊥b.

④三垂線定理和它的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，若和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直.⑤如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面的垂線垂直.即若a∥α,b⊥α,則a⊥b.⑥三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，則a⊥b,b⊥c,c⊥a.(3)直線與平面平行的判定

①定義：若一條直線和平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則這直線與這個(gè)平面平行.②如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個(gè)平面平行.即若a

③兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面，即若α∥β,l?α,b?α，a∥b,則a∥α.?α，則l

?α，B??α，則l∥β.④如果一個(gè)平面和平面外的一條直線都垂直于同一平面，那么這條直線和這個(gè)平面平行.即若α⊥β,l⊥β，l∥α.⑤在一個(gè)平面同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如果它們與這個(gè)平面的距離相等，那么過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)的直線與這個(gè)平面平行，即若A

α，A、B在α同側(cè)，且A、B到α等距，則AB∥α.⑥兩個(gè)平行平面外的一條直線與其中一個(gè)平面平行，也與另一個(gè)平面平行，即若α∥β,a

β.⑦如果一條直線與一個(gè)平面垂直，則平面外與這條直線垂直的直線與該平面平行，即若a⊥α,b?α，a?β，a∥α，則α∥?α，b⊥a，則b∥α.⑧如果兩條平行直線中的一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面(或在這個(gè)平面內(nèi))，即若a∥b,a∥α,b∥α(或b?α)

(4)直線與平面垂直的判定

①定義：若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直.②如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.即若m

m,l⊥n,則l⊥α.③如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,則l⊥α.④一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面，即若α∥β,l⊥β，則l⊥α.⑤如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面，即若α⊥β,a∩β=α，ll⊥a,則l⊥α.⑥如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,則a⊥γ.(5)兩平面平行的判定

①定義：如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面平行，即無(wú)公共點(diǎn)?α，n?α，m∩n=B,l⊥?β，?α∥β.②如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，即若a,b

∥β.③垂直于同一直線的兩平面平行.即若α⊥a,β⊥a,則α∥β.④平行于同一平面的兩平面平行.即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.?α，a∩b=P,a∥β,b∥β,則α

⑤一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行，即若a,b

∥c,b∥d,則α∥β.(6)兩平面垂直的判定 ?α,c,d?β,a∩b=P,a

①定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°

②如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即若l⊥β,l?α⊥β.?α，則α⊥β.③一個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè).即若α∥β，α⊥γ，則β⊥γ.7.直線在平面內(nèi)的判定

(1)利用公理1：一直線上不重合的兩點(diǎn)在平面內(nèi)，則這條直線在平面內(nèi).(2)若兩個(gè)平面互相垂直，則經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，則AB?α.(3)過(guò)一點(diǎn)和一條已知直線垂直的所有直線，都在過(guò)此點(diǎn)而垂直于已知直線的平面內(nèi)，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，則a?α.(4)過(guò)平面外一點(diǎn)和該平面平行的直線，都在過(guò)此點(diǎn)而與該平面平行的平面內(nèi)，即若P?α，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，則a?β.(5)如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過(guò)這個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)與這條直線平行的直線必在這個(gè)平面內(nèi)，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,則b?α.

第二篇：用向量方法證明空間中的平行與垂直

用向量方法證明空間中的平行與垂直

1.已知直線a的方向向量為a，平面α的法向量為n，下列結(jié)論成立的是(C)

A．若a∥n，則a∥αB．若a·n＝0，則a⊥α

C．若a∥n，則a⊥αD．若a·n＝0，則a∥α

解析：由方向向量和平面法向量的定義可知應(yīng)選C.對(duì)于選項(xiàng)D，直線a?平面α也滿足a·n＝0.2.已知α，β是兩個(gè)不重合的平面，其法向量分別為n1，n2，給出下列結(jié)論：

①若n1∥n2，則α∥β；②若n1∥n2，則α⊥β；

③若n1·n2＝0，則α⊥β；④若n1·n2＝0，則α∥β.其中正確的是(A)

A．①③B．①④

C．②③D．②④

→平行的一個(gè)向量的坐 3.(原創(chuàng))已知A(3，－2,1)，B(4，－5,3)，則與向量AB

標(biāo)是(C)

1A．(3，1,1)B．(－1，－3,2)

13C．(－2，2，－1)D．(2，－3，－ 2)

→＝(1，－3,2)＝－2(－131)，解析：AB22

13→所以與向量AB平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)是(－2，2，－1)，故選C.4.設(shè)l1的方向向量為a＝(1,2，－2)，l2的方向向量為b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，則m等于 2.5.設(shè)平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k＝ 4.解析：因?yàn)棣痢桅拢?－2，－4，k)＝λ(1,2，－ 2)，所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4.→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)．若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，6.已知AB

4015且BP⊥平面ABC，則實(shí)數(shù)x＝ 7，y＝ －7，z＝ 4.?→·→＝x－1＋5y＋6＝0解析：由已知?BPAB

→·→＝3?x－1?＋y－3z＝0?BPBC

4015解得x＝7，y＝－7z＝4.→·→＝3＋5－2z＝0ABBC，7.(原創(chuàng))若a＝(2,1，－3)，b＝(－1,5，3)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為 58.解析：因?yàn)閍·b＝(2,1，－3)·(－1,5，3)＝0，所以a⊥b，又|a|＝22，|b|29，所以以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為

|a|·|b|＝22×29＝258.8.如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC＝16，PA＝PC＝10.設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG∥平面BOE

.證明：如圖，連接OP，因?yàn)镻A＝PC，AB＝BC，所以PO⊥AC，BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，所以可以以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz

.則O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(xiàn)(4, 0,3)．由題意，得G(0,4,0)．

→＝(8,0,0)，OE→＝(0，－4,3)，因?yàn)镺B

設(shè)平面BOE的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，→??n·OB＝0?x＝0則?，即?，→＝0?－4y＋3z＝0?OE?n·

取y＝3，則z＝4，所以n＝(0,3,4)．

→＝(－4,4，－3)，得n·→＝0.由FGFG

又直線FG不在平面BOE內(nèi)，所以FG∥平面BOE

.9.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA

＝AD＝2，E，F(xiàn)，H分別是線段PA，PD，AB的中點(diǎn)．

(1)求證：PB∥平面EFH；

(2)求證：PD⊥平面AHF

.證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，H(1，0,0)．

→＝(2,0，－2)，EH→＝(1,0，－1)，(1)因?yàn)镻B

→＝2EH→，所以PB

因?yàn)镻B?平面EFH，且EH?平面EFH，所以PB∥平面EFH.→＝(0,2，－2)，AH→＝(1,0,0)，AF→＝(0,1,1)，(2)因?yàn)镻D

→·→＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，所以PDAF

→·→＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，PDAH

所以PD⊥AF，PD⊥AH，又因?yàn)锳F∩AH＝A，所以PD⊥平面AHF.

第三篇：傳統(tǒng)方法證明平行與垂直

立體幾何——證明平行與垂直

證明平行

Ⅰ、線面平行：證明線面平行就證明線平行于面內(nèi)線。（數(shù)學(xué)語(yǔ)言）

性質(zhì)：直線a與平面α平行，過(guò)直線a的某一平面，若與平面α相交，則直線a就平行于這條交線。Ⅱ、面面平行：證明面面平行，只需證明一個(gè)面內(nèi)有一組相交線與另一平面平行。（數(shù)學(xué)語(yǔ)言）性質(zhì)：兩平行平面與第三個(gè)平面相交則兩交線平行。

可看出線線平行是證明平行中的基礎(chǔ)。

Ⅲ、證明線線平行的方法：中位線法、平行四邊形法。

這兩種方法的應(yīng)用在證明線面平行中表現(xiàn)的尤為突出。具體如下：

證明線面平形關(guān)鍵是找到平面內(nèi)與線平行的那條線。我們的方法是將所證直線朝所證平面的端點(diǎn)或中點(diǎn)平移得到與直線平行的直線，根據(jù)得到直線與原直線長(zhǎng)為2倍關(guān)系還是相等決定在說(shuō)明線線平行時(shí)用中位線法還是平行四邊形法。（1）中位線法（正方形）

（2012浙江）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為BAD＝120°，且PA⊥

平面ABCD，PA＝M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)． 證明：MN∥平面ABCD；

?

?A'B'C'，??AC??AA',點(diǎn)M，NBAC?90（2012 遼寧）如圖，直三棱柱ABC，AB

'B和B'C'的中心。分別為A

//平面A'ACC'（I）證明：MN；

BC'

B

C

'?MN?C（II）若二面角A為直二面角，求?的值。

在中位線法中由底邊與中位線端點(diǎn)連線延長(zhǎng)線的交點(diǎn)確定用到的三角形。（2）平行四邊形法（45套D5套）

（2010安徽）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，EF?FB，AB?2EF，?BFC?90?，BF?FC，H為BC的中點(diǎn)。

EF

DC

A

求證：FH∥平面EDB；

(2010北京)如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥，CE=EF=1.求證：AF∥平面BDE；

通過(guò)證明另一組對(duì)邊平行且相等來(lái)證四邊形為平行四邊形，通過(guò)證另一組對(duì)邊平行且等于第三條線的一半來(lái)證明其平行且相等。

證明垂直

Ⅰ、線面垂直：證線垂直于面就證明線垂直于面內(nèi)一組相交線。（數(shù)學(xué)語(yǔ)言）

性質(zhì)：若直線a垂直于平面α則a垂直于α內(nèi)的所有直線。（證明異面直線平行）

1、如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，證明：BD⊥平面PAC。

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=

中點(diǎn)，DC1⊥BD。

（1）證明：DC1⊥平面BCD；

12AA1，D是棱AA1的2Ⅱ、面面垂直：證面面垂直就證面內(nèi)有一條線垂直于另一平面。（數(shù)學(xué)語(yǔ)言）性質(zhì)：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。

Ⅲ、證明線線垂直的方法（證明異面直線垂直）

（1）由線面垂直的性質(zhì)（即證線垂直于線就證線垂直于線所在的一個(gè)面）

（2012天津）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.證明PC⊥AD；

DP

（2012·安徽卷）平面圖形ABB1A1C1C如圖1－4(1)所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C15.證明：AA1⊥BC

（2）勾股定理（證明共面直線垂直）（11年大綱全國(guó)）如圖，棱錐S?ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1。

證明：SD⊥平面SAB；

第四篇：證明平行與垂直

§9.8 立體幾何中的向量方法Ⅰ——證明

平行與垂直

(時(shí)間：45分鐘 滿分：100分)

一、選擇題(每小題7分，共35分)

????????1.已知空間三點(diǎn)A（0,2,3），B（-2,1,6），C（1，-1,5）若a

a分別與AB,AC垂

直，則向量a為??

A.?1，1，1?

B.?－1，－1，－1?

C.?1，1，1?或?－1，－1，－1?

D.?1，－1，1?或?－1，1，－1?,2.已知a＝?1，1，1?，b＝?0，2，－1?，c＝ma＋nb＋?4，－4，1?.若c與a及b都垂直，則m，n的值分別為??,A.－1，2B.1，－2C.1，2D.－1，－

23.已知a＝?1,?,?，b＝??3,?,?

A??35?22???15??滿足a∥b，則λ等于?? 2?2992.B.C.－D.－ 3???2?23????????????????4.已知AB＝?1，5，－2?，BC＝?3，1，z?，若AB⊥BC，BP＝?x－1，y，－3?，且BP⊥平面ABC，則實(shí)數(shù)x，y，z分別為???A.15401533，－，4B.，－，4 77774040，－2，4D.4，－15 77C.5.若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是??,A.a＝?1，0，0?，n＝?－2，0，0?

B.a＝?1，3，5?，n＝?1，0，1?

C.a＝?0，2，1?，n＝?－1，0，－1?

D.a＝?1，－1，3?，n＝?0，3，1?

二、填空題?每小題6分，共24分?

6.設(shè)a＝?1，2，0?，b＝?1，0，1?，則“c＝(的條件.7.若|a|

b＝?1，2，－2?，c＝?2，3，6?，且a⊥b，a⊥c，則a＝.,8.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E、F分別是棱BC、DD1上的點(diǎn)，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值為

212,?,?)”是“c⊥a，c⊥b且c為單位向量”33

3?????9.設(shè)A是空間任一點(diǎn)，n為空間內(nèi)任一非零向量，則適合條件AM·n=0的點(diǎn)M的軌跡

是.三、解答題?共41分?

10.（13分）已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為BB1、C1D1的中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求平面AMN的一個(gè)法向量.

11．(14分)如圖，已知ABCD—A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為3的正

方體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面；

2(2)若點(diǎn)G在BC上，BG＝，點(diǎn)M在BB1上，GM⊥BF，3垂足為H，求證：EM⊥面BCC1B1.12．(14分)如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平

面互相垂直，AB2，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．

求證：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.答案

1.C2.A3.B4.B5.D

6.充分不必要7.??1??181??18,2,?或?，?2,??8.1 5??55??

5.9.過(guò)A點(diǎn)且以n為法向量的平面

10.解 以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系?如圖所示?.,設(shè)正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則A?1，0，0?，M(1，1，11)，N(0，1)).22??????1??????1?∴AM??1,0,?,AN??0，1?設(shè)平面AMN的一個(gè)法向量為n＝?x，y，z?, 2???2?

?????1?n?AM?y?z?0??2? ????1?n?AN??x?y?z?0??

2令y＝2，∴x＝－3，z＝－4.∴n＝(－3,2，－4)．

∴(－3,2，－4)為平面AMN的一個(gè)法向量．

????11.證明 建立如圖所示的坐標(biāo)系，則BE＝(3,0,1)，????→BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

?????????????→???→所以BD1=BE+BF，故BD1，BE，BF共面．

又它們有公共點(diǎn)B，所以E、B、F、D1四點(diǎn)共面．

(2)如圖，設(shè)M(0,0，z)，?????2→0，－z?，而B(niǎo)F＝(0，3，2)，GM＝?3??

得z＝1.?????→2由題設(shè)得GM?BF=??3?z?2?0，3????因?yàn)镸(0,0，1)，E（3,0,1），所以ME＝(3,0,0)．

→→又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，從而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC∩BD＝N，連接NE.則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別為 ?，0?、(0,0,1)．

2?2?

?????∴NE＝－1?.2?2?

又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是2，2，0)、?22?22→，AM＝?－，1?.，1，22?2??2?????→∴NE＝AM且NE與AM不共線．∴NE∥AM.又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.22→(2)由（1）知AM＝?1?，∵D(2，0,0)，F(xiàn)2，2，1)，2?2?

????DF＝(0，2，1)．

→→→→AM·DF＝0.∴AM⊥DF.→→同理AM⊥BF，又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.

第五篇：空間中的平行關(guān)系的判斷與證明

2012高三復(fù)習(xí)教案-1

2課題：平行與垂直關(guān)系的證明

學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握線線平行、線面平行、面面平行的判定方法，并能熟練解決線面平行、面面平行的證明問(wèn)題.(注意平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化)學(xué)習(xí)重點(diǎn)：平行關(guān)系的證明

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：線線、線面、面面平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化。

一、主要知識(shí)及主要方法：

3.面面平行的證明：

（二）典例分析：例1．（1）a、b、c是條不重合的直線，?、?、?為三個(gè)不重合的平面，直線均不在平面內(nèi)，給出六個(gè)命題：

(1)

a∥c?a∥???∥c??∥c?

?a∥b;(2)?a∥b；(3)??∥?;(4)?????a∥?;b∥c?b∥???∥c?a∥c?

(5)

?∥???∥??

??∥??(6)???a∥?;其中正確的序號(hào)是_______?∥??a∥??

(2)．設(shè)有平面α、β和直線m、n，則m∥α的一個(gè)充分條件是()

A.α⊥β且m⊥βB.α∩β=n且m∥n C.m∥n且n∥αD.α∥β且mβ

例2．已知M、N、P是下列正方體各棱的中點(diǎn)，則AB//平面MNP的圖形序號(hào)是__________

①

②

③

B

④

A

例3．如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P?ABCD中AB?AC，PA?平面ABCD，且 PA?AB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)（.1）AC?PB

（2）PB//平面EAC

E

CD

例4．如下圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分別是C1C、B1C1、C1D1的中點(diǎn)，求證：（1）平面MNP∥平面A1BD.（2）AP⊥MN；

C

P

B

M

A

C

1例5．如圖，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1?

AB，點(diǎn)E、M分別為A1B、CC1的中點(diǎn)，2B、M三點(diǎn)的平面A1BMN交C1D1于點(diǎn)N。(1）求證：EM//平面A1B1C1D1；過(guò)點(diǎn)A（2）設(shè)

1、截面A1BMN把該正四棱柱截成的兩個(gè)幾何體的體積分別為V1、V2（V1＜V2），求V1∶V2的值.A

例6．如圖，設(shè)P為正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA?平面ABCD。M、N、O分別為BC、PA、BD的中點(diǎn)，(1)求證：BD?ON；(2)在直線AB上是否存在一點(diǎn)S，使得SN//平面PDM，若存在，求出S點(diǎn)位置；若不存在，說(shuō)明

理由。

D

A

例7．（09四）如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB?AE,FA?FE,?AEF?45(1)求證：EF?平面BCE；

(2)設(shè)線段CD、AE的中點(diǎn)分別為P、M，求證： PM∥平面BCE(3)求二面角F?BD?A的大小

?

B

C

M

E

B

D

P C

?

例8．如圖，DC?平面ABC，EB//DC，AC?BC?EB?2DC?2，?ACB?120，P,Q分別

為AE,AB的中點(diǎn)．

（1）證明：PQ//平面ACD；

（2）求AD與平面ABE所成角的正弦值．

例9．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，E、F分別是A點(diǎn)D在B1C1上，A1B、AC1的中點(diǎn)，1D?B1C。

?平面BB1C1C.求證：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD

例10．四邊形ABCD為矩形，AD?面ABE，AE?EB?BC?2。F為CE上的點(diǎn)且BF?面ACE(1)AE?BE

(2)求三棱錐D?AEC體積

(3)設(shè)M在線段上AB且AM?2MB在CE是否存在 一點(diǎn)N使MN//面DAE若存在確定點(diǎn)N位置，不存在說(shuō)明理由

D

C

F

A

B

E