第一篇：線面 線線面面平行垂直方法總結

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線線平行

1.如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。（一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.）

2.如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。3.【定義】同一平面內，兩直線無公共點，稱兩直線平行

3.【公理】平行于同一直線的兩條直線互相平行.（空間平行線傳遞性）4.【定理】同位角相等，或內錯角相等，或同旁內角互補，兩直線平行.5.平行線分線段成比例定理的逆定理

線面平行

1.面外一條線與面內一條線平行，或兩面有交線強調面外與面內（如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。）

2.面外一直線上不同兩點到面的距離相等，強調面外

3.如果連條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線平行 4.證明線面無交點

5.反證法（線與面相交，再推翻）

6.空間向量法，證明線一平行向量與面內一向量（x1x2-y1y2=0）7.【定義】直線與平面無公共點，稱直線與平面平行

8.X7【定理】如果兩個平面平行，那么其中一平面內的任一直線平行于另一平面.面面平行

1.如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

2.若兩個平面所夾的平行線段相等，則這兩個平面平行.3.【定理】一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，則這兩個平面平行.4.【定義】兩平面無公共點，稱兩平面平行.5.【公理】平行于同一平面的兩個平面互相平行.（空間平行面傳遞性）

6.【定理】一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.線線垂直

1如果一條直線垂直于一個平面，則這個平面上的任意一條直線都與這條直線垂直。2.三垂線定理：如果平面內的一條直線垂直于平面的血現在平面內的射影，則這

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條直線垂直于斜線。

線面垂直

1.如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

2.如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

面面垂直

1.如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

2.【性質】X2逆定理、X4、X6及垂直關系性質

主要性質

1.X1【定理】空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.（等角定理）

1.X2【定理】三條平行線截兩條直線，所得對應線段成比例.（平行線分線段成比例定理）

直線在平面內判定方法

1.【定義】直線與平面有無數個公共點，稱直線在平面內.2.【公理】如果一條直線上兩點在一平面內，那么這條直線在此平面內.3.【公理】任意兩點確定一條直線，不共線的三點確定一個平面；兩相交直線、兩平行直線確定一平面.4.【性質】X3及垂直關系性質

5.X3【定理】過平面內一點的直線平行于此平面的一條平行線，則此直線在這個平面內.直線在平面外判定方法

1.【定理】平面外一直線與平面內一直線平行，則該直線與此平面平行.2.【性質】X5、X7及垂直關系性質

主要性質

3.X4【定理】一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.4.X5【定理】平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個平面，則另一條也平行于這個平面.所有權歸張志濤所有

【性質】

1.【性質】X8逆定理、X9及垂直關系性質

2.X8【定理】夾在兩個平行平面間的平行線段相等.3.X9【結論】經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.（存在性與唯一性）

第二篇：線線平行垂直,線面平行垂直,面面平行垂直判定與性質

1.線線平行

判定：a用向量，方向向量平行b一條直線平行于另一個平面，則它平行于它所在平面與那個平面的交線。C若一平面與兩平行平面相交，則兩交線平行。D同時與一平面垂直的兩直線平行。E同時平行于一條直線的兩直線平行。

性質：貌似沒啥性質，一般是證明線面關系的時候先證明線線關系。

2.線線垂直

判定：a向量，方向向量垂直b直線垂直于平面，則直線與平面中的任意直線都垂直c第一條直線與第二條直線平行，第一條垂直于第三條，則第二條也垂直于第三條d把兩直線放在一個平面中，利用平面幾何各種判定方法，如等腰三角形的底和高等。E（重點）三垂線定理：平面內的一條直線，如果和過平面的一條斜線在平面內的射影垂直，那么它就和這條斜線垂直。三垂線逆定理：在平面內的一條直線，如果和過平面的一條斜線垂直，那么它也垂直于斜線在平面內的射影。（這個比較重要，記不住的話找一下例題，多看看圖就好了）性質：貌似也沒什么性質，一般也是要證明線面關系的時候用到它。注意：第一條直線垂直于第二條直線，第一條直線垂直于第三條直線，則第二條直線與第三條直線可垂直可平行也可普通相交。

3,線面平行

判定：a面外一條線與面內一條線平行。（常用）b空間向量法，證明線一平行向量與面內一向量（x1x2-y1y2=0）（常用）c面外一直線上不同兩點到面的距離相等d證明線面無交點（定義）e反證法（線與面相交，再推翻）

性質：平面外一條直線與此平面平行，則過這條直線的任意平面與此平面的交線與該直線平行。

4.線面垂直

判定:a一條線和平面內兩條相交直線都垂直,那么這條直線和這個平面垂直b兩個平面垂直,其中一個平面內的直線垂直兩平面的交線，那么這條直線和這個平面垂直c直線的方向向量與平面的法向量平行

性質：如果兩條直線同時垂直一個平面，那么這兩條直線平行。

5.面面平行

判定a一個平面內的兩條相交直線分別與另一個平面平行,則這兩個平面平行。（常用）b如果兩平面同時垂直于一條直線，則兩平面平行（大題一般不用）

性質：a兩個平面平行，在一個平面內的任意一條直線平行于另外一個平面b兩個平面平行，和一個平面垂直的直線必垂直于另外一個平面c兩個平行平面，分別和第三個平面相交，交線平行d平行平面所截的線段對應成比例（這個是推論，不好描述，書上或練習冊上應該有類似的題）

6.面面垂直

判定：一個面如果過另外一個面的垂線，那么這兩個面相互垂直

性質：a如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。b如果兩個平面垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內。C如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面。D三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直。

第三篇：關于線線、線面及面面平行的問題

關于線線、線面及面面平行的問題

典型例題：

例1.（2012年四川省文5分）下列命題正確的是【】

A、若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行

B、若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行

C、若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行

D、若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行

【答案】C。

【考點】立體幾何的線、面位置關系及線面的判定和性質。

【解析】若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以A錯；一個平面不在同一條直線的三點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行，故B錯；若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯；故選項C正確。故選C。

例2.（2012年浙江省文5分）設l是直線，α，β是兩個不同的平面【】

A.若l∥α，l∥β，則a∥βB.若l∥α，l⊥β，則α⊥β

C.若α⊥β，l⊥α，則l⊥βD.若α⊥β, l∥α，則l⊥β

【答案】B。【考點】線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性質。

【解析】利用面面垂直的判定定理可證明B是正確的，對于其它選項，可利用舉反例法證明其是錯誤命題：

A，若l∥α，l∥β，則滿足題意的兩平面可能相交，排除A；

B，若l∥α，l⊥β，則在平面α內存在一條直線垂直于平面β，從而兩平面垂直，故B正確； C，若α⊥β，l⊥α，則l可能在平面β內，排除C；

D，若α⊥β, l∥α，則l可能與β平行，相交，排除D。

故選 B。

例3.（2012年山東省文12分）如圖，幾何體E－ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB=CD，EC⊥BD.(Ⅰ)求證：BE=DE；

(Ⅱ)若∠BCD=1200，M為線段AE的中點，求證：DM∥平面

BEC.【答案】解：(Ⅰ)證明：取BD中點為O，連接OC，OE，∵BC=CD，∴CO⊥BD，又∵EC⊥BD，CO∩EC=C，∴BD⊥平面OCE.。

又∵OE?平面OCE.，∴BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分線。

∴BE=DE。

(Ⅱ)取AB中點N，連接MN，DN，∵M是AE的中點，∴MN∥BE。

∵△ABD是等邊三角形，∴DN⊥AB，∠ABD＝60°。

∵∠BCD＝120°，BC=CD，∴∠CBD＝30°。

∴∠ABC＝60°+30°＝90°，即BC⊥AB。

∴ND∥BC。

又∵MN∩ND=N，BE∩BC=B，∴平面MND∥平面BEC。

又∵DM?平面MND，∴DM∥平面BEC。

【考點】線面垂直和平行的證明，線段垂直平分線的判定和性質，等邊三角

形的性質。

【解析】(Ⅰ)要證BE=DE，只要證點E是BD垂直平分線上的點即可。故取BD中點為O，連接OC，OE，由已知證明BD⊥OE即可。

(Ⅱ)要證DM∥平面BEC只要證明DM在一個平行于平面BEC的另一個平面上，故取AB中點N，連接MN，DN，證明平面MND∥平面BEC即可。

例4.（2012年福建省理13分）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD中點．

（I）求證：B1E⊥AD1；

（II）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由；（III）若二面角A－B1E－A1的大小為30°，求AB的長．

→→→【答案】解：（I）如圖，以A為原點，AB，AD，AA1的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系。

a?設AB＝a，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E??2，1，0?，B1(a,0,1)。

aa→→→→－，1，－1?，AB1＝(a,0,1)，AE＝?，1，0?。∴AD1＝(0,1,1)，B1E＝??2??2?

a→→∵AD1·B1E0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1。2

→（II）假設在棱AA1上存在一點P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此時DP＝(0，－1，z0)。

又設平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．

ax＋z＝0，??→→∵n⊥平面B1AE，∴n⊥AB1，n⊥AE，得?ax2y＝0.a1，－a?。取x＝1，得平面B1AE的一個法向量n＝?2??

a1→要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP，即－az0＝0，解得z0＝。22

1又DP?平面B1AE，∴存在點P，滿足DP∥平面B1AE，此時AP＝。2

（III）連接A1D，B1C，由長方體ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D。

∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C。又由（I）知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD1⊥平面DCB1A1。

→→∴AD1是平面A1B1E的一個法向量，此時AD1＝(0,1,1)。

→n·AD→設AD1與n所成的角為θ，則cosθ＝＝→|n||AD1|

a??a ∵二面角A－B1E－A1的大小為30°，∴|cosθ|＝cos30°

3a＝3a＝2，即AB的長為2。2

【考點】用空間向量求平面間的夾角，空間中直線與直線之間的位置關系，直線與平面平行的判定。

→→→【解析】（Ⅰ）由題意及所給的圖形，以A為原點，AB，AD，AA1的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向

→→建立空間直角坐標系。設AB＝a，給出圖形中各點的坐標，可求出向量AD1和B1E 的坐標，驗證其數量積

為0即可證出兩線段垂直。

（II）由題意，可先假設在棱AA1上存在一點P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，求出平面B1AE法向量，可法向量與直線DP的方向向量內積為0，由此方程解出z0的值，若能解出，則說明存在，若不存在符合條件的z0的值，說明不存在這樣的點

P滿足題意。

（III）由題設條件，可求面夾二面角的兩個平面的法向量，利用兩平面的夾角為30°建立關于a的方程，解出a的值即可得出AB的長。

第四篇：線線、線面平行垂直的證明

空間線面、面面平行垂直的證明

12.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為AB、BC的中點，（Ⅰ）求證：EF//面A1C1B。（Ⅱ）B1D⊥面A1C1B。

D'

3.如圖，在正方形ABCD?A'B'C'D'，A'（1）求證：A'B//平面ACD'；

（2）求證：平面ACD'?平面DD'B。

A

4.如圖，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中點，求證：(1)FD∥平面ABC;(2)AF⊥平面EDB.C'

C

B

5.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是AC和BD的交點.求證：（Ⅰ）OC1∥平面AB1D1；（Ⅱ）平面ACC1?平面AB1D1．

DA

C1

C

(5題圖)

6.如圖，長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?1，AA1?2，點P為

DD1的中點。

（1）求三棱錐D?PAC的體積；（2）求證：直線BD1∥平面PAC；（3）求證：直線PB1?平面PAC.C1

D1

B1

A1

P

DC

B

A

7.如圖，在四棱錐P?ABCD，底面ABCD是正方形，側棱

PD?底面ABCD，PD?DC，E是PC的中點，作EF?PB于點F。

（1）證明：PA//平面EDB；（2）證明：DE?BC

（3）證明：PB?平面EFD。

8.ABCD?A1B1C1D1是長方體，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱

A

AA1?2，E是側棱BB1的中點.（Ⅰ）求證：AE?平面A1D1E；

(Ⅱ)求三棱錐A?C1D1E的體積.

第五篇：線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定 經典試題

線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定

1、如圖，在四棱錐P－ABCD中，2、如圖，棱柱

PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，ABC?A1B1C1的側面 BCC1B1是菱形，B1C?A1B ∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．證明：平面AB1C?平面A1BC

1；

(1)求證：CD⊥AE；

(2)求證：PD⊥面ABE.3、如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形。?DAB?60,AB?2AD,PD? 底面ABCD，證明：PA?BD4、如圖所示，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點 ?（Ⅰ）求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值；

（Ⅱ）證明：平面ABM⊥平面A1B1M

1面面垂直的性質

1、S是△ABC所在平面外一點，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求證AB⊥BC.S

A C2、在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 證明:AB⊥平面VAD

V D

C B3、如圖，平行四邊形ABCD中，?DAB?60，AB?2,AD?4將 ?

?CBD沿BD折起到?EBD的位置，使平面EDB?平面ABD

求證：AB?DE4、如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點

求證：（1）直線EF‖平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

(第16題圖)