第一篇：A 證明線線平行的方法

A 證明線線平行的方法：

①面面平行的判定：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

②線面平行的性質：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行。③平行線的定義：在同一平面內不相交的兩條直線。

④基本性質四：平行于同一直線的兩直線互相平行。

B 證明線面平行的方法：

①面面平行的性質：如果不在一個平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

②線面平行的性質：如果不在一個平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

③定義：直線a與平面ａ沒有公共點，則直線與平面平行。

C 證明面面平行的方法：

①定義：如果兩個平面沒有公共點，則這兩個平面互相平行。②面面平行的判定：如果一個平面內有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

③面面平行的性質：如果一個平面內有兩條直線分別平行于另一個平面的兩條直線，則這兩個平面平行。

第二篇：110909用向量的方法來證明線線垂直

廣州藝術學校美術繪畫專業3708855611-09-09

用向量的方法來處理線線垂直

異面的線線垂直通常都要化成線線垂直，但是很多學生不清楚應該找哪一個線面垂直，用向量的方法就避免了找的過程。

1、在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求證VB⊥AC

???????????????證明：（1）建立向量：設AB?a，AC?b，AV?c

1VA=VC：（2）翻譯條件：○?????????????VC?VA?AC??c?b，得

???|c|?|?c?b|化簡得：___________________________________

??????????????AB=BC：BC?BA?AC??b?a，得○

_____________，化簡得_______________________________________

???????????????（3）翻譯結論：VB⊥AC：VB?VA?AB??c?a，要證明：(?c?a)?b?0

計算過程：

2、（同上題）在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求證VB⊥AC

???????????????證明：設BA?a，BC?b，BV?c3、在三棱錐A—BCD中，AB⊥平面BCD，DC=DB，E為BC中點，求證：AC⊥DE；

???????????????證明：（1）建立向量：設BD?a，BC?b，BA?cAB⊥平面翻譯條件：○????????BCD：c?a,c?b，得c?a?0,c?b?0DC=DB：○?????????????????DC?DB?BC??a?b，得：|?a?b|?|a|

化簡得：_______________________________E○????????1????1?為BC中點：BE?EC?BC?b 2

2??????????????翻譯結論：AC⊥DE：AC?AB?BC??c?b

?????????????1?DE?DB?BE??a?b 2???1?要證明：(?c?b)?(?a?b)?0 2

計算過程：

4、如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，?DAB?60?，AB?2AD，PD?底面ABCD．證明：PA?BD；

???????????????證明：設設DA?a，DC?b，DP?c

1底面翻譯條件：○?????????ABCD為平行四邊形：AB?DC?b

????????????????02?DAB?60?：AD?AB?|AD|?|AB|?cos60= ○

3○??AB?2AD：|b|?2|a|

4PD?底面ABCD：_________________________________________ ○

翻譯結論：

5、如圖，在三棱錐P?ABC中，⊿PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 o

證明：AB⊥PC6、如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA。OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1，P為AC的中點，Q在AB上且AB=3AQ，證明：PQ⊥OA；

7、如圖5.在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的棱形，且∠DAB=60?，PA?PD?E是BCC的中點.證明：（1）AD⊥DE（2）AD⊥PB8、已知在三棱錐S--ABC中，BC⊥平面SAC，AD⊥SC于D，求證：AD⊥SB

???????????????證明：（1）建立向量：設CA?a，CB?b，CS?cBC⊥平面SAC：_______________________________ 翻譯條件：○

??????????????

2AD⊥SC：AD?AC?CD??a?kc（不知道D點位于SC什么位置）○

得：___________________________________

?????????????翻譯結論：AD⊥SB：SB?SC?CB??c?b

要證明： ______________________________________

第三篇：第二節用空間向量證明線線垂直與線面垂直

第二節用空間向量證明線線垂直與線面垂直

一、空間向量及其數量積

1、在空間，既有大小又有方向的量稱為空間向量。用AB或a表示，其中向量的大小稱為向量的長度或

或a。正如平面向量可用坐標(x,y.)表示，空間向量也可用坐標(x,y,z)表示。若已知點A坐標為（x1，y1，z1）,點B坐標為（x2，y2，z2）則向量AB=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）即是終點坐標減起點坐標。222在空間，知道向量=（x，y，z

x?y?z ?

2、空間向量數量積

① 已知兩個非零向量a、b，在空間任取一點O，作OA=a，OB=b，則角∠AOB叫向量a與b的夾角，記作＜a，b＞規定，若0≤＜a，b＞≤?，若＜a，b＞=

⊥。

② 已知空間兩個向量a、b

COS＜a，b＞叫向量a、b的數量積，記作a?b

COS＜，＞若⊥?a?＝０

③ 若已知空間向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2）則a?b＝x1x2+y1y2+z1z2，COS＜a，?，稱a與b垂直，記作a2?

??x1x2?y1y2?z1z

2x1?y1?z1?x2?y2?z2222222

例１ 如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=900,D1、E1分別為A1B1、A1C1中點，若BC=CA=CC1，求向BD1與AE1所成角的余弦值。

B

D1 1Ｃ

6練習：已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，B1E1=D1F1=

F

C1B

1C

DB

二、利用向量證線線垂直與線面垂直

A1B

1，求向量BE1與DF1所成角的余弦值。

4例2 在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求證A1C⊥平面AB1D1

CC

練習：在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P為DD1的中點，求證：B1O⊥平面PAC。

A

例3 如圖，PA⊥矩形ABCD所在平面，M, N分別是AB ,PC中點（1）求證：MN⊥CD

（2）若∠PDA=45，求證：MN⊥平面PCD

6N M

B

C

練習：正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是棱D1D中點，N是AD中點，P為棱A1B1上任一點。求證：NP⊥AM

作業：

A1

C1

M C 1.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是BB1中點，O是底面ABCD中心，求證：OE⊥平面D1AC.2.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，O ,M分別是BD1, AA1中點，求證：OM是異面直線AA1和BD1的公垂線.DA13、如圖，直三棱柱ABC-—A1B1C1中，∠ACB=90，AC=1，CB=2，側棱AA1=1，側面AA1B1B的兩

條對角線交點為D，B1C1的中點為M。求證：CD⊥平面BDM

6AB B1

4在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F分別為棱AB和BC的中點，M為棱B1B

上任一點，當

B1M

值為多少時能使D1M⊥平面EFB1 MB

A

E5、如圖，?ABC為正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F為BE中點，求證：AF⊥BD

C

A6、如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中B1C1=A1C1，A1B⊥AC1。求證：A1B⊥B1C

Ａ

Ａ111

第四篇：線面 線線面面平行垂直方法總結

所有權歸張志濤所有

線線平行

1.如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。（一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.）

2.如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。3.【定義】同一平面內，兩直線無公共點，稱兩直線平行

3.【公理】平行于同一直線的兩條直線互相平行.（空間平行線傳遞性）4.【定理】同位角相等，或內錯角相等，或同旁內角互補，兩直線平行.5.平行線分線段成比例定理的逆定理

線面平行

1.面外一條線與面內一條線平行，或兩面有交線強調面外與面內（如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。）

2.面外一直線上不同兩點到面的距離相等，強調面外

3.如果連條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線平行 4.證明線面無交點

5.反證法（線與面相交，再推翻）

6.空間向量法，證明線一平行向量與面內一向量（x1x2-y1y2=0）7.【定義】直線與平面無公共點，稱直線與平面平行

8.X7【定理】如果兩個平面平行，那么其中一平面內的任一直線平行于另一平面.面面平行

1.如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

2.若兩個平面所夾的平行線段相等，則這兩個平面平行.3.【定理】一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，則這兩個平面平行.4.【定義】兩平面無公共點，稱兩平面平行.5.【公理】平行于同一平面的兩個平面互相平行.（空間平行面傳遞性）

6.【定理】一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.線線垂直

1如果一條直線垂直于一個平面，則這個平面上的任意一條直線都與這條直線垂直。2.三垂線定理：如果平面內的一條直線垂直于平面的血現在平面內的射影，則這

所有權歸張志濤所有

條直線垂直于斜線。

線面垂直

1.如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

2.如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

面面垂直

1.如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

2.【性質】X2逆定理、X4、X6及垂直關系性質

主要性質

1.X1【定理】空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.（等角定理）

1.X2【定理】三條平行線截兩條直線，所得對應線段成比例.（平行線分線段成比例定理）

直線在平面內判定方法

1.【定義】直線與平面有無數個公共點，稱直線在平面內.2.【公理】如果一條直線上兩點在一平面內，那么這條直線在此平面內.3.【公理】任意兩點確定一條直線，不共線的三點確定一個平面；兩相交直線、兩平行直線確定一平面.4.【性質】X3及垂直關系性質

5.X3【定理】過平面內一點的直線平行于此平面的一條平行線，則此直線在這個平面內.直線在平面外判定方法

1.【定理】平面外一直線與平面內一直線平行，則該直線與此平面平行.2.【性質】X5、X7及垂直關系性質

主要性質

3.X4【定理】一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.4.X5【定理】平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個平面，則另一條也平行于這個平面.所有權歸張志濤所有

【性質】

1.【性質】X8逆定理、X9及垂直關系性質

2.X8【定理】夾在兩個平行平面間的平行線段相等.3.X9【結論】經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.（存在性與唯一性）

第五篇：線線平行的證明

線與線平行的證明

一。定義：同在一個平面內，不相交的兩條直線平行。

二。利用幾何圖形：三角形中中位線、邊成比例，平行四邊形等

三。公理四，平行于同一條直線的兩條直線。

四。線面平行的性質

五。面面平行的性質。

一例1.設平面α、β、γ，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a//b.求證：a∥b∥c.二例2.如圖，已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點，E，F分別是PA，BD上的點且PE∶EA?BF∶FD，求證：EF//平面PBC．

答案：證明：連結AF并延長交

于．連結，BFMFPEBFPEMF???，又由已知，∴． FDFAEAFDEAFA

由平面幾何知識可得EF//PM，又EF?PBC，PM?平面PBC，∴EF//平面PBC

． ∵AD//BC，∴

E，F分別是棱BC，C1D1的中點，求二。例3.如圖，在正方體ABCD?A1BC11D1中，證：EF//平面BB1D1D．

答案：證明：如圖，取D1B1的中點O，連接OF，OB，11∵OF平行且等于B1C1，BE平行且等于B1C1，2

2∴OF平行且等于BE，則OFEB為平行四邊形，∴EF//BO．

∵EF?平面BB1D1D，BO?平面BB1D1D，∴EF//平面BB1D1D．

三、四第1題.已知????a，????m，????b，且m//?，求證：a//b． 答案：證明：

????m??

??

m//???m//a??a//b．

?????a??同理?m//b?

第9題.如圖，在正方體ABCD?A1BC11D1中，試作出過AC且與直線D1B平行的截面，并說明理由．

答案：解：如圖，連接DB交AC于點O，取D1D的中點M，連接MA，MC，則截面MAC即為所求作的截面．

∵MO為△D1DB的中位線，∴D1B//MO．

∵D1B?平面MAC，MO?平面MAC，∴D1B//平面MAC，則截面MAC為過AC且與直線D1B平行的截面．

第20題.如圖，在四棱錐P?ABCD中，ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點．

求證：MN//平面PAD．

答案：證明：如圖，取CD的中點E，連接NE，ME ∵M，N分別是AB，PC的中點，∴NE//PD，ME//AD，可證明NE//平面PAD，ME//平面PAD． 又NE?ME?E，∴平面MNE//平面PAD，又MN?平面MNE，∴MN//平面PAD．

第7題.如圖，已知P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，M為PB的中點，求證：PD//平面MAC．

答案：證明：連接AC、BD交點為O，連接MO，則MO為△BDP的中位線，∴PD//MO．

∵PD?平面MAC，MO?平面MAC，∴PD//

平面MAC．