第一篇：證明平行的方法

證明平行的方法

高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

Ⅰ.平行關系：

線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

方法1：

兩組對邊分別平行方法2：對角線互相平分方法3：一組對邊平行且相等樓上的：試問

兩組對邊相等

證明兩直線平行1.垂直于同一直線的各直線平行。2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。3.平行四邊形的對邊平行。4.三角形的中位線平行于第三邊。5.梯形的中位線平行于兩底。6.平行于同一直線的兩直線平行。7.一條直線截三角形的兩邊(或延長線)所得的線段對應成比例，則這條直線平行于第三邊。證明兩條直線互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。4.鄰補角的平分線互相垂直。5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的對角線互相垂直。*10.在圓中平分弦(或弧)的直徑垂直于弦。*11.利用半圓上的圓周角是直角。

在空間中一定是平行四邊形嗎?

證明兩直線平行1.垂直于同一直線的各直線平行。2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。3.平行四邊形的對邊平行。4.三角形的中位線平行于第三邊。5.梯形的中位線平行于兩底。6.平行于同一直線的兩直線平行。7.一條直線截三角形的兩邊(或延長線)所得的線段對應成比例，則這條直線平行于第三邊。證明兩條直線互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。4.鄰補角的平分線互相垂直。5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的對角線互相垂直。*10.在圓中平分弦(或弧)的直徑垂直于弦。

第二篇：證明平行的方法

空間的平行關系

1． 證明線線平行的方法：

(1)面面平行的判定：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

（2）線面平行的性質：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行。

（3）平行線的定義：在同一平面內不相交的兩條直線。

(4)基本性質四：平行于同一直線的兩直線互相平行。

（5）線面垂直的性質:垂直同一平面都兩條直線平行

2.證明線面平行的方法：

①面面平行的性質：如果不在一個平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

②線面平行的性質：如果不在一個平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

③定義：直線a與平面ａ沒有公共點，則直線與平面平行。

3.證明面面平行的方法：

(1)定義：如果兩個平面沒有公共點，則這兩個平面互相平行。

（2）面面平行的判定：如果一個平面內有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

（3）面面平行的性質：如果一個平面內有兩條直線分別平行于另一個平面的兩條直線，則這兩個平面平行。

（4）線面垂直的性質：垂直通一條直線的兩個平面平行

（5）面面平行的判定定理:同時與第三個平面平行的兩平面平行

第三篇：證明面面平行的方法

證明面面平行的方法

利用向量方法判斷空間位置關系,其難點是線面平行與面面垂直關系問題.應用下面的兩個定理,將可建立一種簡單的程序化的解題模式.定理1設MA→、MB→不共線,pQ→=xMA→+yMB→(x,y∈R),則①p∈平面MABpQ平面MAB;②p平面MABpQ∥平面MAB.定理2設向量AB→、AC→不共線,DE→、DF→垂直于同一平面的兩個平面互相平行

這個是錯誤的，比如立方體相鄰三個面，兩兩垂直，顯然不符合你說的平行條件，證明面面平行可以用垂直于同一直線來證，但垂直于同一平面是錯的2

1,線面垂直到面面垂直，直線a垂直于平面1，直線a平行與或包含于平面2，所以平面1垂直于平面2

2，(最白癡的一個)平面1垂直于平面2，平面1平行于平面3，所以平面3垂直于平面2

3，通過2面角的夾角，如果2面角的夾角是90度，那么兩個平面也是垂直的這些方法前面都要通過其他方法證明，一步步才能證到這兒，譬如方法1，要先證明線面垂直，所以你也得知道線面垂直的證法有哪些。學立體幾何，重要的是空間感，沒事多揣摩揣摩比劃比劃，把每個定理的內容用圖形表示出來，并記在腦子中，這樣考試的時候才能看到圖和題就會知道用什么定理了，熟記并熟練掌握哪些定理的運用才行。還有像這樣比較好，證明每個東西都有哪些方法，有幾種途徑，那么做題的時候想不起來用哪個就可以根據題目條件一步步排除，并選擇對的方法，一般老師上課都會總結的。還是好好聽課吧~~

判定：

平面平行的判定一如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

平面平行的判定二垂直于同一條直線的兩個平面平行。

性質：

平面平行的性質一如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

平面平行的性質二如果一條直線在一個平面內，那么與此平面平行的平面與該直線平行。

這五個條件?哪五個?

判定一中：兩條相交的直線是可以確定一個平面的，所以“兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。”

判定二中。如果一個直線垂直與一個平面，那么直線垂直于平面內的所有直線，則有垂直于同一條直線的兩個平面平行。

線線平行證2條線成倍數就行，倍數屬于R線面平行找面的法向量，它的法向量與線平行就OK面面平行先找兩個面的法向量，只要2個法向量成成倍數就行

第四篇：證明線面平行的方法

證明線面平行的方法

線面平行重點難點剖析

線面平行關系的判斷和證明是空間線面位置關系的研究重點之一，它包括直線與直線的平行，直線與平面的平行以及平面與平面的平行.本節復習包括首先要系統梳理有關判斷、證明線面平行關系的各種依據，其中既包括有關定義、公理，還包括相應的判定定理或性質定理.梳理中不僅要明確有關判斷、證明各有哪些依據，還要體會不同的依據在思維策略上給我們的指導.例如判斷線面平行可有三種思維策略：

(1)從概念考慮，即依據線面平行的定義作思考，這就需要證明直線和平面沒有公共點.證明方法通常選擇反證法.(2)從降級角度考慮，即通過證明線線平行來證明線面平行.其依據為：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.證明方法通常是把平面外的這條直線經過平移，移到這個平面中去.(3)從升級角度考慮，即通過證明面面平行來證明線面平行.其依據為：兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面.證明方法是找出一個與這個平面平行的平面，并且使這條直線正好在所找的平面內.其中思維策略的選擇不僅要注意建立這種意識，還要根據不同問題的不同條件，才能作出恰當的選擇.在復習中應注意積累這種思考、選擇的經驗.2題目如圖1,已知四邊形ABCD,ABEF為兩個正方形,MN分別在其對角線BF和AC上,且FM=AN,求證:MN∥平面EBC.一、找“線線平行”思考1如圖2,過M作MH∥EF交BE于H,則MHEF=BBMF.過N作NG∥AB交BC于G,則NGAB=CANC.由于四邊形ABCD,ABEF為兩個全等正方形,則BF=AC,EF=AB,又因為FM=AN,所以MH∥NG且MH=NG,故四邊形MHGN為平行四邊形,所以MN∥平面EBC.思考2如圖3,連結AM并延長交BE于K,則CK在平面EBC內.由題意,知△AFM∽△BKM,則AMMK=BFMM,因為FM=AN,BF=AC,則FMBM=ANNC,所以在△ACK中,有AMMK=ANNC,則MN∥CK,所以MN∥平面EBC.注在平面內找一條直線與平面外直線平行,通常有兩種方法可找:①構造平行四邊形;②構造三角形,利用對應邊成比例.二、找“面面平行”思考3如圖4,過M作MH∥BE,交AB于H,連結NH,則BMBF=BBHA.由于四邊形ABCD,ABEF為全等的的正方形,又因為FM=AN,則有BMBF=CCNA,所以在3

線面的我已經給你了

我來補充線線的1.垂直于同一平面的兩條直線平行

2.平行于同一直線的兩條直線平行

3.一個平面與另外兩個平行平面相交,那么2條交線也平行

4.兩條直線的方向向量共線,則兩條直線平行

第五篇：線面平行證明的常用方法

湖北民族學院學報（自然科學版）20081

2線面平行證明的常用方法

摘要：立體幾何在高考解答題中每年是必考內容，線面平行的證明經常出現,很多同學總覺得證明方法很多很繁,在這里給大家用作輔助線的常用方法及空間坐標系的方法進行闡述。

關鍵詞：找平行線；找第三個點；作平行平面；建立空間坐標系

立體幾何在高考解答題中每年是必考內容，必有一個證明題；證明的內容包括以下內容：平行與垂直（線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直等），我們現在對線面平行這一方面作如下探討：

在線面平行這節里有三個重要的定理：

直線與平面平行的判定性定理：如果不在一個平面內的一條直線和平面內的一條

直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

直線與平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平

面和這個平面相交，那么這條直線和這個交線平行。

平面與平面平行的性質定理：如果兩個平面是平行，那么在其中一個平面內的直

線和另一個平面平行。

從前面兩個定理不難發現：要證線面平行(那么這條直線一定是平行于這個平面的),由性質定理可以得到這樣一個結論：只要過這條直線作一個與平面相交的平面，那這個直線一定是與交線平行得。這樣我們就可以找到與平面內的直線平行的直線。那么關鍵是怎樣作一個平面與已知平面相交且過直線的平面。下面給大家介紹

方法一：兩平行線能確定一個平面，過已知直線的兩個端點作兩條平行線使它們

與已知平面相交，關鍵：找平行線，使得所作平面與已知平面的交線。

（08浙江卷）如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，?BCF=?CEF=90?,AD=3,EF=2。求證：AE//平面DCF.分析：過點E作EG//AD交FC于G，DG就是平面

與平面DCF的交線，那么只要證明AE//DG即可。

證明：過點E作EG?CF交CF于G，連結DG，可得四邊形BCGE為矩形，又ABCD為矩形，∥EG，從而四邊形ADGE為平行四邊形，所以AD 故AE∥DG．

因為AE?平面DCF，DG?平面DCF，所以AE∥平面DCF．

方法二：直線與直線外一點有且僅有一個平面，關鍵：找第三個點,使得所作平

面與已知平面的交線。

（06北京卷）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P?ABCD中，AB?AC，PA?平面ABCD，且PA?AB，點E是PD的中點.求證：PB//平面AEC.分析：由D、P、B三點的平面與已知平面AEC的交線最易找，第三個點選其它的點均不好找交線.證明：連接BD，與 AC 相交于 O，連接

∵ABCD 是平行四邊形，∴O 是 BD 的中點又 E 是 PD 的中點∴EO∥PB.又 PB?平面 AEC，EO?平面 AEC，∴PB∥平面 AEC.方法三：兩個平面是平行, 其中一個平面內的直線和另一個平面平行,關鍵：作

平行平面，使得過所證直線作與已知平面平行的平面

（０８安徽卷）如圖，在四棱錐O?ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，?

?ABC?, OA?底面ABCD, OA?2,M為OA的中點，N為BC的中

點，證明：直線MN‖平面OCD 分析：M為OA的中點,找OA(或AD)中點,再連線。

證明：取OB中點E，連接ME，NE

?ME‖AB,AB‖CD，?ME‖CD

又?NE‖OC,?平面MNE‖平面OCD ?MN‖平面OCD

方法四：（向量法）所證直線與已知平面的法向量垂直，關鍵：建立空間坐標系

（或找空間一組基底）及平面的法向量。

（07全國Ⅱ?理）如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為正方形，側棱SD⊥底面ABCD，E，F分別為AB，SC的中點．證明EF∥平面SAD；

分析：因為側棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空間直角坐標系及相應的點的坐標。

證明：如圖，建立空間直角坐標系D?xyz．

0，0)，S(0，0，b)，則B(a，a，0)，C(0，a，0)，設A(a，E?a?a，0?

?，F?0ab??2??2?2?，?

????EF??b??a，0??

2?．

?因為y軸垂直與平面SAD，故可設平面的法向量為n?

=（0，1，0）

????則：EF?n???b??a，0?

2?

（?0，1，0）?

?

=0 因此????EF?n?

所以EF∥平面SAD．