第一篇：證明平行與垂直

§9.8 立體幾何中的向量方法Ⅰ——證明

平行與垂直

(時間：45分鐘 滿分：100分)

一、選擇題(每小題7分，共35分)

????????1.已知空間三點A（0,2,3），B（-2,1,6），C（1，-1,5）若a

a分別與AB,AC垂

直，則向量a為??

A.?1，1，1?

B.?－1，－1，－1?

C.?1，1，1?或?－1，－1，－1?

D.?1，－1，1?或?－1，1，－1?,2.已知a＝?1，1，1?，b＝?0，2，－1?，c＝ma＋nb＋?4，－4，1?.若c與a及b都垂直，則m，n的值分別為??,A.－1，2B.1，－2C.1，2D.－1，－

23.已知a＝?1,?,?，b＝??3,?,?

A??35?22???15??滿足a∥b，則λ等于?? 2?2992.B.C.－D.－ 3???2?23????????????????4.已知AB＝?1，5，－2?，BC＝?3，1，z?，若AB⊥BC，BP＝?x－1，y，－3?，且BP⊥平面ABC，則實數x，y，z分別為???A.15401533，－，4B.，－，4 77774040，－2，4D.4，－15 77C.5.若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是??,A.a＝?1，0，0?，n＝?－2，0，0?

B.a＝?1，3，5?，n＝?1，0，1?

C.a＝?0，2，1?，n＝?－1，0，－1?

D.a＝?1，－1，3?，n＝?0，3，1?

二、填空題?每小題6分，共24分?

6.設a＝?1，2，0?，b＝?1，0，1?，則“c＝(的條件.7.若|a|

b＝?1，2，－2?，c＝?2，3，6?，且a⊥b，a⊥c，則a＝.,8.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是棱BC、DD1上的點，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值為

212,?,?)”是“c⊥a，c⊥b且c為單位向量”33

3?????9.設A是空間任一點，n為空間內任一非零向量，則適合條件AM·n=0的點M的軌跡

是.三、解答題?共41分?

10.（13分）已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為BB1、C1D1的中點，建立適當的坐標系，求平面AMN的一個法向量.

11．(14分)如圖，已知ABCD—A1B1C1D1是棱長為3的正

方體，點E在AA1上，點F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求證：E，B，F，D1四點共面；

2(2)若點G在BC上，BG＝，點M在BB1上，GM⊥BF，3垂足為H，求證：EM⊥面BCC1B1.12．(14分)如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平

面互相垂直，AB2，AF＝1，M是線段EF的中點．

求證：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.答案

1.C2.A3.B4.B5.D

6.充分不必要7.??1??181??18,2,?或?，?2,??8.1 5??55??

5.9.過A點且以n為法向量的平面

10.解 以D為原點，DA、DC、DD1所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系?如圖所示?.,設正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，則A?1，0，0?，M(1，1，11)，N(0，1)).22??????1??????1?∴AM??1,0,?,AN??0，1?設平面AMN的一個法向量為n＝?x，y，z?, 2???2?

?????1?n?AM?y?z?0??2? ????1?n?AN??x?y?z?0??

2令y＝2，∴x＝－3，z＝－4.∴n＝(－3,2，－4)．

∴(－3,2，－4)為平面AMN的一個法向量．

????11.證明 建立如圖所示的坐標系，則BE＝(3,0,1)，????→BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

?????????????→???→所以BD1=BE+BF，故BD1，BE，BF共面．

又它們有公共點B，所以E、B、F、D1四點共面．

(2)如圖，設M(0,0，z)，?????2→0，－z?，而BF＝(0，3，2)，GM＝?3??

得z＝1.?????→2由題設得GM?BF=??3?z?2?0，3????因為M(0,0，1)，E（3,0,1），所以ME＝(3,0,0)．

→→又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，從而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，設AC∩BD＝N，連接NE.則點N、E的坐標分別為 ?，0?、(0,0,1)．

2?2?

?????∴NE＝－1?.2?2?

又點A、M的坐標分別是2，2，0)、?22?22→，AM＝?－，1?.，1，22?2??2?????→∴NE＝AM且NE與AM不共線．∴NE∥AM.又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.22→(2)由（1）知AM＝?1?，∵D(2，0,0)，F2，2，1)，2?2?

????DF＝(0，2，1)．

→→→→AM·DF＝0.∴AM⊥DF.→→同理AM⊥BF，又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.

第二篇：平行與垂直的證明

立體幾何中平行與垂直的證明

1．已知正方體ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點． 求證：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．

ADBC

1D

B

C

2．如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中,AD?AA1?1,AB?1，點E在棱AB上移動。求證：D1E⊥A1D；

3．如圖平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF?

A

E

B

C

AD?2,G是EF的中點，2（1）求證平面AGC⊥平面BGC；（2）求空間四邊形AGBC的體積。

4．如圖，在直三棱柱(側棱與底面垂直的三棱柱)ABC?A1B1C1中，AB?8，AC?6，BC?10，D是BC邊的中點.（Ⅰ）求證：

5．如圖組合體中，三棱柱ABC?A1B1C1的側面ABB1A1 是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A、B重合一個點.（Ⅰ）求證：無論點C如何運動，平面A1BC?平面A1AC；

（Ⅱ）當點C是弧AB的中點時，求四棱錐A1?BCC1B1與圓柱的體積比．

6．如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F 為CE上的點，且BF⊥平面ACE．（1）求證：AE⊥BE；

（2）設M在線段AB上，且滿足AM＝2MB，試在線段CE

上確定一點N，使得MN∥平面DAE.7．如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中:（1）求異面直線BC1與AA1所成的角的大小；（2）求三棱錐B

1?A1C

1B的體積。（3）求證：B1D?

平面A1C1B

AB?A1C；（Ⅱ）求證：AC1∥ 面AB1D；

8． 如圖：S是平行四邊形ABCD平面外一點，M,N分別是

SA,BD上的點，且

AMBN

=，求證：MN//平面SBC SMND

P

9． 如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，點E是PD的中點．

（Ⅰ）求證：AC⊥PB；（Ⅱ）求證：PB∥平面AEC．

E

A

B

D C

10．在多面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，平面CDE是等邊三角形，棱EF//BC且EF=

BC．

2（I）證明：FO∥平面CDE；

（II）設BC=CD,證明EO⊥平面CDF．

11． 如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱 PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．

（Ⅰ）證明PA//平面EDB；（Ⅱ）證明PB⊥平面EFD．

12．如圖，四棱錐P?ABCD中，PA?底面ABCD，AB?AD，AC?CD，?ABC?60?，PA?AB?BC，E是PC的中點．

（1）求證：CD?AE；（2）求證：PD?面ABE．

13.如圖在三棱錐P?ABC中，PA?平面ABC，C E

C

P

B

A

DB

_P

AB?BC?CA?3，M為AB的中點，四點P、A、M、C

都在球O的球面上。

（1）證明：平面PAB?平面PCM；（2）證明：線段PC的中點為球O的球心；

14.如圖，在四棱錐S?ABCD中，SA?AB?2，SB?SD? ABCD是菱形，且?ABC?60?，E為CD的中點．

（1）證明：CD?平面SAE；

（2）側棱SB上是否存在點F，使得CF//平面SAE？并證明你的結論．

_A_C

_M

_B

D

C

課后練習

1．如圖所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D為AC的中點。（I）求證：B1C//平面A1BD；（II）求證：B1C1⊥平面ABB1A

（III）設E是CC1上一點，試確定E的位置，使平面A1BD⊥平面 BDE，并說明理由。

2.如圖，已知AB?平面ACD，DE?平面ACD，三角形ACD 為等邊三角形，AD?DE?2AB，F為CD的中點（1）求證：AF//平面BCE；

（2）求證：平面BCE?平面CDE；

1． 如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD為直 角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

AD.2

（I）求證：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一點E，使CE∥平面PAB？若 存在，請確定E點的位置；若不存在，請說明理由.5.如圖，在四棱錐S?ABCD中，SA?AB?

2，SB?SD?底面ABCD是菱形，且?ABC?60?，E為CD的中點．

（1）證明：CD?平面SAE；

（2）側棱SB上是否存在點F，使得CF//平面SAE？并證明你的結論．

D

C

【課后記】 1．設計思路（1）兩課時；

（2）認識棱柱與棱錐之間的內在聯系；（3）掌握探尋幾何證明的思路和方法；（4）強調書寫的規范性 2．實際效果：

（1）用時兩節半課；

（2）平行掌握的比較好，但垂直問題需要繼續加強。尤其是面面垂直問題轉化為線面垂直后便不知所措。

第三篇：傳統方法證明平行與垂直

立體幾何——證明平行與垂直

證明平行

Ⅰ、線面平行：證明線面平行就證明線平行于面內線。（數學語言）

性質：直線a與平面α平行，過直線a的某一平面，若與平面α相交，則直線a就平行于這條交線。Ⅱ、面面平行：證明面面平行，只需證明一個面內有一組相交線與另一平面平行。（數學語言）性質：兩平行平面與第三個平面相交則兩交線平行。

可看出線線平行是證明平行中的基礎。

Ⅲ、證明線線平行的方法：中位線法、平行四邊形法。

這兩種方法的應用在證明線面平行中表現的尤為突出。具體如下：

證明線面平形關鍵是找到平面內與線平行的那條線。我們的方法是將所證直線朝所證平面的端點或中點平移得到與直線平行的直線，根據得到直線與原直線長為2倍關系還是相等決定在說明線線平行時用中位線法還是平行四邊形法。（1）中位線法（正方形）

（2012浙江）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為BAD＝120°，且PA⊥

平面ABCD，PA＝M，N分別為PB，PD的中點． 證明：MN∥平面ABCD；

?

?A'B'C'，??AC??AA',點M，NBAC?90（2012 遼寧）如圖，直三棱柱ABC，AB

'B和B'C'的中心。分別為A

//平面A'ACC'（I）證明：MN；

BC'

B

C

'?MN?C（II）若二面角A為直二面角，求?的值。

在中位線法中由底邊與中位線端點連線延長線的交點確定用到的三角形。（2）平行四邊形法（45套D5套）

（2010安徽）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，EF?FB，AB?2EF，?BFC?90?，BF?FC，H為BC的中點。

EF

DC

A

求證：FH∥平面EDB；

(2010北京)如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥，CE=EF=1.求證：AF∥平面BDE；

通過證明另一組對邊平行且相等來證四邊形為平行四邊形，通過證另一組對邊平行且等于第三條線的一半來證明其平行且相等。

證明垂直

Ⅰ、線面垂直：證線垂直于面就證明線垂直于面內一組相交線。（數學語言）

性質：若直線a垂直于平面α則a垂直于α內的所有直線。（證明異面直線平行）

1、如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，證明：BD⊥平面PAC。

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=

中點，DC1⊥BD。

（1）證明：DC1⊥平面BCD；

12AA1，D是棱AA1的2Ⅱ、面面垂直：證面面垂直就證面內有一條線垂直于另一平面。（數學語言）性質：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

Ⅲ、證明線線垂直的方法（證明異面直線垂直）

（1）由線面垂直的性質（即證線垂直于線就證線垂直于線所在的一個面）

（2012天津）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.證明PC⊥AD；

DP

（2012·安徽卷）平面圖形ABB1A1C1C如圖1－4(1)所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C15.證明：AA1⊥BC

（2）勾股定理（證明共面直線垂直）（11年大綱全國）如圖，棱錐S?ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1。

證明：SD⊥平面SAB；

第四篇：空間幾何——平行與垂直證明

三、“平行關系”常見證明方法

（一）直線與直線平行的證明

1)利用某些平面圖形的特性：如平行四邊形的對邊互相平行

2)利用三角形中位線性質

3)利用空間平行線的傳遞性（即公理4）：

平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

4)利用直線與平面平行的性質定理： a∥c?a∥bb∥c

如果一條直線與一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。

a∥?

a??β a ?a∥

b

α b ????b

5)利用平面與平面平行的性質定理：

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行．?//???????a??a//b

??

??b??

6)利用直線與平面垂直的性質定理：

垂直于同一個平面的兩條直線互相平行。

ba?????a∥

b7)利用平面內直線與直線垂直的性質：

8)利用定義：在同一個平面內且兩條直線沒有公共點

（二）直線與平面平行的證明

1)利用直線與平面平行的判定定理：

平面外的一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

a??b??

?a∥?

b

a∥b

2)利用平面與平面平行的性質推論：

兩個平面互相平行，則其中一個平面內的任一直線平行于另一個平面。

a??

?∥?

?a∥?

a

β

3)利用定義：直線在平面外，且直線與平面沒有公共點

（二）平面與平面平行的證明

常見證明方法：

1)利用平面與平面平行的判定定理：

一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

a??b??a∩b?Pa//?b//?

?//?

b

2)利用某些空間幾何體的特性：如正方體的上下底面互相平行等 3)利用定義：兩個平面沒有公共點

三、“垂直關系”常見證明方法

（一）直線與直線垂直的證明

1)利用某些平面圖形的特性：如直角三角形的兩條直角邊互相垂直等。2)看夾角：兩條共（異）面直線的夾角為90°，則兩直線互相垂直。3)利用直線與平面垂直的性質：

如果一條直線與一個平面垂直，則這條直線垂直于此平面內的所有直線。

a??

b??

?b?a

b

a

4)利用平面與平面垂直的性質推論：

如果兩個平面互相垂直，在這兩個平面內分別作垂直于交線的直線，則這兩條直線互相垂直。

???????l

a??b??a?lb?l

?a?

b

5)利用常用結論：

① 如果兩條直線互相平行，且其中一條直線垂直于第三條直線，則另

一條直線也垂直于第三條直線。

a∥b

a?c

?b?

c

② 如果有一條直線垂直于一個平面，另一條直線平行于此平面，那么

這兩條直線互相垂直。

a??

b∥?

?a?b

b

（二）直線與平面垂直的證明

1)利用某些空間幾何體的特性：如長方體側棱垂直于底面等

2)看直線與平面所成的角：如果直線與平面所成的角是直角，則這條直線垂

直于此平面。

3)利用直線與平面垂直的判定定理：

a??b??a?b?Al?al?b

???

??l?????

l

b

A

a

4)利用平面與平面垂直的性質定理：

兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

???????l

a??a?l

?

????

a

l

5)利用常用結論：

①

a∥bb??

?a??

② 兩個平面平行，一直線垂直于其中一個平面，則該直線也垂直于另一

個平面。

?∥?

a??

?

a??

（三）平面與平面垂直的證明

1)利用某些空間幾何體的特性：如長方體側面垂直于底面等

2)看二面角：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角（即平面角

是直角的二面角），就說這連個平面互相垂直。3)利用平面與平面垂直的判定定理

一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

a??a??

???

?

?

a

?

第五篇：證明空間線面平行與垂直

證明空間平行與垂直

? 知識梳理

一、直線與平面平行

1.判定方法

（1）定義法：直線與平面無公共點。

(2）判定定理： a??

b??a//ba//?

?//?

（3）其他方法：a//?a??

a//?

2.性質定理：a

?? a//b

????b

二、平面與平面平行

1.判定方法

（1）定義法：兩平面無公共點。

a//?

b//?

（2）判定定理：a?? ?//?

b??

a?b?P

（3）其他方法：a??a//? ?//?;?//? a???//?

?//?

2.性質定理：????a a//b

????b

三、直線與平面垂直

（1）定義：如果一條直線與一個平面內的所有直線都垂直，則這條直線和這個平面垂直。

（2）判定方法

① 用定義.a?ba?c

② 判定定理:b?c?Aa??

b??

c??

a??

③ 推論: b??

a//b

（3）性質 ①

a??a??

a?b②a//bb??b??

四、平面與平面垂直

（1）定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直線二面角，就說這兩個平面互相垂直。

a??

（2）判定定理 ???

a??

（3）性質

???????l

①性質定理???

a??

a?l

???????l②A?l

P??

PA??垂足為A???????④PA??

P??PA??

? “轉化思想”

面面平行線面平行 線線平行 面面垂直線面垂直 線線垂直

例題1.如圖, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點D是AB的中點，（I）求證：AC⊥BC1；（II）求證：AC 1//平面CDB1；例

題2.如圖，在棱長為2的正方體

ABCD?A1B1C1D1中,O為BD1的中點,M為BC的中點,N為AB的中點，P為BB1的中點.（I）求證：BD1?B1C；（II）求證BD1?平面MNP；

例題3.如圖，在三棱錐V?ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且AC?BC?a，∠VDC???0???（I）求證：平面VAB⊥平面VCD；

??

π??． 2?

π

（II）試確定角?的值，使得直線BC與平面VAB所成的角為．

Ｄ

例題4.（福建省福州三中2008屆高三第三次月考）如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長都是2，D是棱AC的中點，E是棱CC1的中點，AE交A1D于點H.BB

（1）求證：AE?平面A1BD；

（2）求二面角D?BA1?A的大小（用反三角函數表示）；

A1

CHA

C