第一篇：線面平行證明“三板斧”

線面平行證明“三板斧”

線面平行是高考的重點，也是平行關系中的核心。在證明線面平行的過程中，如何快速的找到證明的思路，此文的目的就在于此。將證明的過程程序化，可以幫助學生形成良好的思維習慣，也可以引導學生學會去總結。

第一斧：從結論出發，假定線面平行成立，利用線面平行的性質，在平面內找到與已知直線的平行線。

例１：如圖正方體ABCD?A1BCＥ為11D1中，DD1的中點，試判斷BD1與平面AEC的位置關系，并說明理由。

招式講解：三點確定一個平面，已知直線只需再有一點即可確定一個BD1已有二點，平面。為了更直觀的找到兩平面的交線，選擇第三點時有技巧可尋。平面AEC將空間分為兩個部分，第三點可選在與線段BD1的另一側，本題中即Ｄ點。三點組成的三角形，除BD1的另兩邊BD，則兩交點形成的直線與BD1平DD1必然與平面AEC相交，行。在實際證明過程中，兩交點在題中的位置越特殊，越有可能為正確的輔助線。

證明展示 證明：連結BD與ＡＣ交于點Ｏ，連結OE

?Ｅ、Ｏ分別為DD1、BD中點

?OE//BD

1又?OE?平面AEC，BD1?平面AEC

?BD1//平面AEC

招式點評

優點：招式簡潔，證明過程簡易。

缺點：與平面的交點若不是特殊點，會出現能找出平行線，但難于證明的情況。再有就是平面的另一面可能在題目中難以找到第三點。實戰試招１：

如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD的底面ABCD是菱形，點Ｆ為PC中點，求證：

PA//平面BFD

D

第二斧：以平面外的直線作平行四邊形

例2：如圖，正方體ABCD?A1BCE為A1B111D1，上任意一點，求證：AE//平面DC1

招式講解：通過平行四邊行找平行線是高中

立體幾何中的常見手段。若能夠找到平行四

邊行的相鄰兩邊，則就能作出平行四邊形。

本題中AE可做為平行四邊形的一邊，則另一

邊可以是A1E,EB1,AB,AD,AA1，若考慮到可在題目中較為容易的畫平形

四邊形則只有EB1和AD。這時，可以發現以AE,AD兩邊所作的平行四邊形為本題所要的。

證明展示

證明：過E點作AD的平行線，交C1D1與F點，連結DF

?EF//A1D1，A1E//D1F

?四邊形A1EFD1為平行四邊形 ?EF?A1D1

?EF//AD且EF?AD

?四邊形ADFE為平行四邊行

?AE//DF又?AE?平面DC1,DF?平面DC1

?AE//平面DC1

招式點評

優點：招式本身的關鍵在于平行四邊行，同學們比較熟悉，因此接受起來比較快。

缺點：找平行四邊形的思維過程中可能的情況比較多，要一個一個去排除，需要一定的邏輯思維能力。再有，招式本身不能解決所有題目要注意變招。

實戰試招

2如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1中，E為B1C1的中點，F為AA1的中點，求證：A1E//平面BCF 1

第三斧：選證明面面平行，再由線平行的定義過度到線面平行。

例3：如圖，四棱錐P?ABCD，底面ABCD

為正方形，E，F，G分別為PC,PD,BC的中點，求證：PA//平面EFG 招式講解： 面面平行到線面平行的方法中，尋找與平面EFG平行的平面是解題的關鍵，而尋找平行平面遵循一定的方法其實是很容易找到的。兩條相交直線可以確定一個平面，已知直線PA可以看作是一條，我們只需要找EF,EG,FG中三條邊中任何一條線的平行線即可。但所找的平行線還需滿足一個條件，與已知直線PA相交。題目中，EF與FG的平行線都很容易找到，比如我們找到滿足要求的EF的平行線AB，則PA與AB所組成的平面PAB就是我們所要找到平面。接下來我們的任務就是證明平面PAB//平面EFG。

證明展示

證明：?E,F分別為PC與PD中點

?EF//DC,又?DC//AB

?EF//AB,又?EF?平面EFG,AB?平面EFG

?AB//平面EFG

?E,G分別為PC,BC中點

?PB//EG,又?EG?平面EFG,PB?平面EFG

?PB//平面EFG

又?AB?PB?B

?平面PAB//平面EFG ?PA?平面PAB

?PA//平面EFG

招式點評

優點:與前二斧而言使用范圍最廣的招式,套路式的方法很容易找到證明的思路。大部分的題目都可以使用這招得到解決，只不過是證明過程的長度有所不同而已。

缺點：由于證明面面平行，必須先證兩個線面平行，所以不論題目難易過程都較長。步驟多，要寫好要下一番功夫。

實戰試招

3如圖，在直三棱柱（側棱與底面垂直的三棱柱）D為BC的中點，求證：AC1//平面AB1D

總結：線面平行證明的三種方法中，多數題目其實都可以用第一、二種方法得到解決，因此前二種方法是首先。第三種方法雖然證明過程長，但其思路是很固定的，實踐過程中更容易為同學們所掌握。一個題目可能有幾種證法，同學們練習時可以三種方法都去試一試，看看有幾種辦法可以解決。在熟悉以后，解題過程中可按照招式一、二、三的順序依次去思考。

另：對于考試中的另一重點，垂直關系就很難總結為平行中一樣固定的模式，但解題時也有一定規律可尋，詳情在另一文中講述。

地址:廣東省中山市小欖鎮小欖中學 姓名:劉曉聰

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第二篇：證明線面平行

證明線面平行

一，面外一條線與面內一條線平行，或兩面有交線強調面外與面內

二，面外一直線上不同兩點到面的距離相等，強調面外

三，證明線面無交點

四，反證法(線與面相交，再推翻)

五，空間向量法，證明線一平行向量與面內一向量(x1x2-y1y2=0)

【直線與平面平行的判定】

定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

【判斷直線與平面平行的方法】

(1)利用定義：證明直線與平面無公共點;

(2)利用判定定理：從直線與直線平行得到直線與平面平行;

(3)利用面面平行的性質：兩個平面平行，則一個平面內的直線必平行于另一個平面

線面平行

【直線與平面平行的判定】

定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

【判斷直線與平面平行的方法】

(1)利用定義：證明直線與平面無公共點;

(2)利用判定定理：從直線與直線平行得到直線與平面平行;

(3)利用面面平行的性質：兩個平面平行，則一個平面內的直線必平行于另一個平面。

【平面與直線平行的性質】

定理：一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

此定理揭示了直線與平面平行中蘊含著直線與直線平行。通過直線與平面平行可得到直線與直線平行。這給出了一種作平行線的重要方法。

注意：直線與平面平行，不代表與這個平面所有的直線都平行，但直線與平面垂直，那么這條直線與這個平面內的所有直線都垂直。

本題就用到一個關鍵概念：重心三分中線

設E為BD的中點，連接AE，CE

則M在AE上，且有AM=2ME

N在CE上，且有CN=2NE

在三角形ACE中，因為，EM:EA=1:3

EN:EC=1:3

所以，MN//AC

AC屬于平面ACD，MN不在平面ACD內，即無公共點

所以，MN//平面ACD

本題就用到一個關鍵概念：重心三分中線

設E為BD的中點，連接AE，CE

則M在AE上，且有AM=2ME

N在CE上，且有CN=2NE

在三角形ACE中，因為，EM:EA=1:3

EN:EC=1:3

所以，MN//AC

AC屬于平面ACD，MN不在平面ACD內，即無公共點

所以，MN//平面ACD

第三篇：線面平行證明

線面平行證明“三板斧”

第一斧：從結論出發，假定線面平行成立，利用線面平行的性質，在平面

內找到與已知直線的平行線。

例１：如圖正方體ABCD?A1B1C1D1中，Ｅ為DD1的中點，試判斷BD1與平面AEC的位置關系，并說明理由。

練習：

如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD的底面ABCD是菱形，點Ｆ為PC中點，求證：PA//平面BFD

第二斧：以平面外的直線作平行四邊形

D

例2：如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1，E為A1B1上任意一點，求證：AE//平面DC

1練習：

如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1中，E為B1C1的中點，F為AA1的中點，求證：

A1E//平面B1CF

第三斧：選證明面面平行，再由線平行的定義過度到線面平行。

例3：如圖，四棱錐P?ABCD，底面ABCD為正方形，E，F，G分別為PC,PD,BC的中點，求證：PA//平面EFG

練習：如圖，在直三棱柱（側棱與底面垂直的三棱柱）D為BC的中點，求證：

AC1//平面AB1D

B

C

總結：線面平行證明的三種方法中，多數題目其實都可以用第一、二種方法得到解決，因此前二種方法是首先。第三種方法雖然證明過程長，但其思路是很固定的，實踐過程中更容易為同學們所掌握。一個題目可能有幾種證法，同學們練習時可以三種方法都去試一試，看看有幾種辦法可以解決。在熟悉以后，解題過程中可按照招式一、二、三的順序依次去思考。

1.如圖，在四棱錐P?ABCD中，ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點．

求證：MN//平面PAD．

2.如圖，在正四棱錐P?ABCD中，PA?AB?a,點E在棱PC上． 問點E在何處時，PA//平面EBD，并加以證明.P

E

C

A

B

3.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, D為AC的中點,求證:AB1//平面BC1D；

AA

D

C

B1

C1

4．在四面體ABCD中，M，N分別是面△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是________.5．如下圖所示，四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得到AB//面MNP的圖形的序號的是

①②③④

6.如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長是2，3，D是AC的中點.求證：B1C//平面A1BD.A

7．a，b是兩條異面直線，A是不在a，b上的點，則下列結論成立的是

A．過A有且只有一個平面平行于a，bB．過A至少有一個平面平行于a，b

C．過A有無數個平面平行于a，bD．過A且平行a，b的平面可能不存在8．設平面?∥β，A，C∈?，B，D∈β，直線AB與CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，則CS=_____________.9.如下圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為棱AB，CC1的中點，在平面ADD1A1內且與平面D1EF平行的直線()

A．不存在B．有1條C．有2條D．有無數條

10.如圖所示：設P

上的點，AMDN且?MBNP

11.求證：MN//平面PBC如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F，P，Q分別是BC，C1D1，AD1，BD的中點．

（１）求證：PQ//平面DCC1D1（２）求PQ的長．

（３）求證：EF//平面BB1D1D．

第四篇：線面平行證明經典練習題

1、在底面為平行四邊形的四棱錐P—ABCD中，點E是 PD的中點。求證：PB//平面 AEC

E

B

D C2、在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分別是AB，PC的中點。求證：MN//平面PAD

D

B3、在三棱柱ABC—A1B1C1中，D是 AC的中點。

求證：AB1//平面DBC1 C'A'

A4、在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD對角線的交點。

求證：C1O//平面AD1B15、已知ABC-A1B1C1是底面為正三角形的棱柱，D是

AC的中點。求證：AB1//平面DBC

1C

B16、正四棱錐S?ABCD中，E是側棱SC的中點。

求證：直線SA//平面BDE

C

A7、已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點． 求證：AF//平面PEC

P

C

A8、ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，E是棱BC的中點。

求證：BD1//平面C1DE

9.在三棱柱ABC?A1B1C1中，D為BC中點.求證：A1B//平面ADC1；

C1 B1 A

B

第五篇：證明線面平行的方法

證明線面平行的方法

線面平行重點難點剖析

線面平行關系的判斷和證明是空間線面位置關系的研究重點之一，它包括直線與直線的平行，直線與平面的平行以及平面與平面的平行.本節復習包括首先要系統梳理有關判斷、證明線面平行關系的各種依據，其中既包括有關定義、公理，還包括相應的判定定理或性質定理.梳理中不僅要明確有關判斷、證明各有哪些依據，還要體會不同的依據在思維策略上給我們的指導.例如判斷線面平行可有三種思維策略：

(1)從概念考慮，即依據線面平行的定義作思考，這就需要證明直線和平面沒有公共點.證明方法通常選擇反證法.(2)從降級角度考慮，即通過證明線線平行來證明線面平行.其依據為：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.證明方法通常是把平面外的這條直線經過平移，移到這個平面中去.(3)從升級角度考慮，即通過證明面面平行來證明線面平行.其依據為：兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面.證明方法是找出一個與這個平面平行的平面，并且使這條直線正好在所找的平面內.其中思維策略的選擇不僅要注意建立這種意識，還要根據不同問題的不同條件，才能作出恰當的選擇.在復習中應注意積累這種思考、選擇的經驗.2題目如圖1,已知四邊形ABCD,ABEF為兩個正方形,MN分別在其對角線BF和AC上,且FM=AN,求證:MN∥平面EBC.一、找“線線平行”思考1如圖2,過M作MH∥EF交BE于H,則MHEF=BBMF.過N作NG∥AB交BC于G,則NGAB=CANC.由于四邊形ABCD,ABEF為兩個全等正方形,則BF=AC,EF=AB,又因為FM=AN,所以MH∥NG且MH=NG,故四邊形MHGN為平行四邊形,所以MN∥平面EBC.思考2如圖3,連結AM并延長交BE于K,則CK在平面EBC內.由題意,知△AFM∽△BKM,則AMMK=BFMM,因為FM=AN,BF=AC,則FMBM=ANNC,所以在△ACK中,有AMMK=ANNC,則MN∥CK,所以MN∥平面EBC.注在平面內找一條直線與平面外直線平行,通常有兩種方法可找:①構造平行四邊形;②構造三角形,利用對應邊成比例.二、找“面面平行”思考3如圖4,過M作MH∥BE,交AB于H,連結NH,則BMBF=BBHA.由于四邊形ABCD,ABEF為全等的的正方形,又因為FM=AN,則有BMBF=CCNA,所以在3

線面的我已經給你了

我來補充線線的1.垂直于同一平面的兩條直線平行

2.平行于同一直線的兩條直線平行

3.一個平面與另外兩個平行平面相交,那么2條交線也平行

4.兩條直線的方向向量共線,則兩條直線平行