第一篇：關于線面平行問題的探討

關于線面平行問題的探討

劉玉揚中市第二高級中學 中學二級教師

摘要:本文重要通過幾個例題，對高考中常見的線面平行問題做一些簡單的探討，主要討論如何運用判定定理來證明線面平行問題。

關鍵詞: 高考 線面平行 立體幾何

正文

直線和平面平行是立體幾何初步中的一類重要題

型，如何判斷并證明線面平行，也是歷年高考中的常見

題型。本文擬從幾個經典的線面平行例題出發，結合往

年高考題對線面平行做進一步的探討。

【例1】如圖，E，F，G，H分別是空間四邊

形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，求證：

（1）四點E,F,G,H共面；（2）BD//平面EFGH，AC//平面EFGH。

分析：（1）要證明E,F,G,H四點共面，可以根據公理3的第3個推論，證明這四點所在的兩條直線EH和FG平行，或者直線EF和HG平行；

（2）易得，BD//FG，AC//EF，從而根據線面平行的判定定理證明。解：（1）?E,F分別為AB，BC的中點，?EF//AC

同理HG//AC，從而EF//HG

所以，直線EF和直線HG可以確定一個平面?，?E?直線EF，直線EF??，?E??。同理，F,G,H??

故E,F,G,H四點共面。

（2）由（1）知，EF//AC，又?EF?面EFGH，AC?面EFGH，?AC//面EFGH。同理，BD

//面EFGH

點撥：本題是蘇教版數學必修2第36頁習題第3題，第（2）問主要考查線面平行的判定定理，比較簡單。

【探究一】將上例改為：E，F，G，分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，的中點，試在邊DA上找一點H，使得四點E,F,G,H共面，并討論當BD和AC滿足什么關系時，四邊形EFGH為菱形、正方形？

分析：本題可以利用線面平行的性質定理，將HG看成是平面EFGH與平面ACD的交線，從而EF//HG，從而易知四邊形EFGH為平行四邊形，再根據邊的關系進一步探討平行四邊形ABCD的形狀。

解：?E,F分別為邊AB，BC的中點，?EF//AC

又?EF?面ACD，AC?平面ACD

?EF//面ACD

?E,F,G,H四點共面，即平面EFGH?平面ACD?HG

從而，EF//HG，故HG//AC，所以，H為邊DA的中點。11AC，GH//AC，所以EFGH，故四邊形EFGH為平行四2

211邊形。當EF?FG，即AC?BD，也即AC?BD時，四邊形EFGH為菱形；22

當AC?BD時，有EF?FG，從而，當AC?BD且AC?BD時，四邊形EFGH易得，EF//為正方形。

【探究二】如果將例1中的E,F,G,H是各邊中點弱化，改為：在空間四面體ABCD

G，H分別是邊AB，BC，CD，DA上的點，中，且滿足E，F，AEAHCFCG??，EBHDFBGD

結論還成立嗎？

分析：要證明四點共線以及線面平行，只要找到線線平行就可

以了。例1中，遇到中點經常聯系到中位線得到平行，其實，得到

平行的方法還有很多，思維不能定勢，在做立體幾何題目的時候要

注意思維的靈活性，抓住線面平行判定的常用方法，找準線線平行

就可以了。

牛刀小試：[2011·北京卷改]如圖，在四面體PABC中，PC?AB，點D，E，F，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點．

(1)求證：?DE//平面BCP；

(2)求證：四邊形DEFG為矩形；

解：(1)證明：?D，E分別為AP，AC的中點，?DE//PC

又DE?平面BCP，PC?平面BCP

?

DE//平面BCP

(2)?點D，E，F，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點．

?DE//PC//FG，DG//AB//EF

?四邊形DEFG為平行四邊形．

又?PC?AB，?DE?DG，從而平行四邊形DEFG為矩形．

點評：證明線面平行的方法一般有三種：定義法、線面平行的判定定理、面面平行的性質。而在高考中，常見的是運用判定定理來證明，這就需要在平面內找一條直線與已知直線平行。上面這幾個題目找平行線都不難，下面我們再分析一下，一般情況下如何找平行線。

【例2】如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是B1C，BD的中點，求證：MN//平面AA1B1B。

分析：只要在平面AA1B1B中找到一條直線與MN平行即可。一種方法，因為M，N分別是B1C，BD的中點，容易聯想到中位線，連結AB1和AC，易得MN//AB1；其次，可以將點C看成投影中心，MN在平面AA1，故MN//AB1B1B的投影正好是AB1。除了用判定定理之外，本題還可以取BC的中點G，通過證明平面MNG//平面AA1B1B得到MN//平面AA1B1B。

解：連結AB1和AC，因為M，N分別是B1C，BD的中點，故MN//AB1，又MN?平面AA1B1B，AB1?平面AA1B1B，所以，MN//平面AA1B1B。

【探究一】將原題改為：正方體ABCD?A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CM?DN，求證：MN//平面AA1B1B。

分析：將中點弱化為線段上的點，并沒有改變由線線平行得到線面平行的本質，只是在找平行線時遇到了困難。用中心投影的方法，本題非常簡單，但是不用這個方法，怎么找出交線呢？顯然，CN必和AB相交，設交點為E，CM?A1B1?B1，從而，B1E可看做是

MN//平面AA過MN的平面CMN與平面AA1B1B成立，根據線面平1B1B的交線，若結論

行的性質定理，必有MN//B1E，也就是說，只要我們能夠證明MN//B1E，就可以證明最終的結論了。而要證明MN//B1E，根據已知條件，結合正方體的特點，證明并不難。

證明：如圖，延長CN交直線AB于點E，連結B1E。?CM?DN，?

而CMDN?，MB1NBDNCNCMCN?，從而?，即有MN//B1E，又MN?平面AA1B1B，?NBNEMB1NE

B1E?平面AA1B1B，所以，MN//平面AA1B1B。

點評：本題是將線面平行的問題放在正方體這個背景中，但是，實際解決問題時，我們完全可以僅僅將這個問題放在四棱錐B1?ABCD中，適當改變

相應的條件。

【探究二】如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD

為

菱形，?BAD?60?，Q為AD的中點，點M在線段PC上，PM?tPC，試確定實數t的值，使得PA//平面MQB。

分析：如圖，MN是過PA的平面PAC與平面MQB的交線，若PA//平面MQB，PMANANAQ1????PCACAN?NCAQ?BC3。則有PA//MN，從而

解：連結AC交BQ于點N，則過PA的平面PAC與平面MQB的交線為MN，若

PMAN?，PA//平面MQB，由線面平行的性質定理，知PA//MN。從而，t?PCAC

ANAQ1ANAN11??，所以???，即又在菱形ABCD中，有NCBC2ACAN?NC1?2

31t?。3t?

點評：解決這類探究性的命題，其基本方法就是將結論當作已知條件。立體幾何中這類題型往往不是很難，只要能夠抓住條件，如本題，充分運用線面平行的判定、性質定理，化難為易。

牛刀小試：如圖，平面內兩個正方形ABCD與ABEF，點M,N分別在對角線AC,FB上，且AM:MC?FN:NB，沿AB折成直二面角。（1）證明：折疊后MN//平面CBE；

（2）若AM:MC?2:3，在線段AB上是否存在一點G，使平面MGN//平面CBE？若存在，試確定點G的位置。

分析：這是一類創新的題型——折疊問題，要能夠把握折疊前后的不變量，問題就可以

迎刃而解。解決第二問時，只要根據面面平行的判定定理，由第一問的結論，再在面ABCD內過M點作AB的垂線，垂足即為點G。對于第一問，既可以通過面面平行來證，也可以在平面CBE內找一條直線與MN平行即可，還是可以利用線面平行的性質定理，延長AN交BE于點H，則直線CH為過MN的平面AMN與平面CBE的交線，則只要證明MN//CH即可，與例2的“探究二”類似。

解：（1）延長AN交BE于點H，則由AF//BE知，所以ANFNFNAM??，而，NHNBNBMCAMAN?，從而MN//CH。又因為MN?平面CBE，CN?平面CBE，所以，MCNH

MN//平面CBE；

（2）若平面MGN//平面CBE，由平面ABC?平面MNG?MG，AGAM2??。平面ABC?平面CBE?CB知MG//BC，從而，GBMC3

【小結】本文通過兩個例題，對高考中常見的線面平行這一類重要證明題型做了簡單的分析，并根據例題進一步展開，探討一般情況下如何找線線平行，進而根據判定定理來證明線面平行，當然，線面平行大體上有三種證法，由于篇幅限制，本文主要對判定定理進行了

拓展，希望對同學們在復習這部分內容時有所幫助。

參考文獻：

[1]鮑啟靜.線面平行之常見題型[N].中學生數理化.2008（2）

[2]崔君強.好記好用得“光照法”證明線面平行[N].中學生數學.2011-6月上（419）

[3]張心誠.不同背景下的同一類線面平行問題[N].中學生數理化.2008（10）

第二篇：立體幾何線面平行問題

線線問題及線面平行問題

一、知識點 1 1）相交——有且只有一個公共點；（2）平行——在同一平面內，沒有公共點；（3）異面——不在任何一個平面內，沒有公共點； ．．

2.公理4 ：推理模式：a//b,b//c?a//c．

3.等角定理：4.等角定理的推論:若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.5.空間兩條異面直線的畫法

6．異面直線定理：連結平面內一點與平面外一點的直線，b

a

1AA

推理模式：A??,B??,l??,B?l?AB與l

7．異面直線所成的角：已知兩條異面直線a,b，經過空間任一點O作直線a?//a,b?//b，a?,b?所成的角的大小與點O的選擇無關，把a?,b?所成的銳角（或直角）叫異面直線a,b所成的角（或夾角）．為了簡便，點O(0,?

28．異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直．兩條異面直線a,b 垂直，記作a?b．

9．求異面直線所成的角的方法：（1）通過平移，在一條直線上找一點，過該點做另一直線的平行線；

（210．兩條異面直線的公垂線、距離：和兩條異面直線都垂直相交．．．．

異面直線的的定義要注意“相交

11．異面直線間的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段垂線段）的長度，叫做兩條異面直線間的距離．

12．直線和平面的位置關系（1）直線在平面內（無數個公共a點）；（2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）；（3）直

?線和平面平行（沒有公共點）——用兩分法進行兩次分

類．它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為a??，a???A，a//?． a?13．線面平行的判定定理：如果平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．推理模式：l??,m??,l//m?l//?．

14.線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這

相交，那么這條直線和交線平行．推理模式：l//?,l??,????m?l//m．

?lm個平面?

二、基本題型

1．判斷題（對的打“√”，錯的打“×”）

（1）垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條（）

（2）兩線段AB、CD不在同一平面內，如果AC=BD，AD=BC，則AB⊥CD（）（3）在正方體中，相鄰兩側面的一對異面的對角線所成的角為60o（）（4）四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對邊垂直（）

2．右圖是正方體平面展開圖，在這個正方體中

C

①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60o角； ④DM與BN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是（）（A）①②③（B）②④（C）③④（DF

3．已知空間四邊形ABCD.(1)求證：對角線AC與BD是異面直線;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點,試判斷四邊形EFGH的形狀;(3)若AB＝

BC＝CD＝DA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.4．完成下列證明，已知直線a、b、c不共面，它們相交于點P，A?a，D?a，B?b，E?c求證：BD和AE證明：假設__ 共面于?，則點A、E、B、D都在平面__?A?a，D?a，∴__?γ.?P?a，∴P?__.?P?b，B?b，P?c，E?c∴__??，__??，這與____矛 ∴BD、E,F,G,H分別是空間四邊形四條邊AB,BC,CD,DA的中點，（1）求證四邊形EFGH是

2）若AC⊥BD時，求證：EFGH為矩形；（3）若BD=2，AC=6，求EG

?HF

；（4）

若AC、BD成30o角，AC=6，BD=4，求四邊形EFGH的面積；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC與BD間的距離.6 間四邊形ABCD中，AD?BC?2，E,F分別是AB,CD的中點，EF?AD,BC7.在正方體ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B與B1D1所成角;(2)AC與BD1所成角.8．在長方體ABCD?A?B?C?D中，已知AB=a，BC=b，AA?=c(a＞b)，求異面直線D?B與AC

9．如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別

是AB、PC1）求證：MN//平面PAD；（2）若MN?BC?4，PA? 求異面

直線PA與MN10．如圖,正方形ABCD與ABEF不在同一平面內,M、N分別在AC、BF上，且AM?FN求證：MN//平面CBE

參考答案：

1.（1）×（2）×（3）√（4）×2.C

3.證明：(1)∵ABCD是空間四邊形,∴A點不在平面BCD上,而C?平面BCD, ∴AC過平面BCD外一點A與平面BCD內一點C, 又∵BD?平面BCD,且C?BD.∴AC與BD是異面直線.(2)解如圖,∵E,F分別為AB,BC的中點,∴EF//AC,且EF=同理HG//AC,且HG=

212

AC.AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四邊形.又∵F,G分別為BC,CD的中點,∴FG//BD,∴∠EFG是異面直線AC與BD所成的角.o

∵AC⊥BD,∴∠EFG=90.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中點E,AC中點F,連EF,則EF即為所求.4.答案：假設BD、AE共面于?，則點A、E、B、D都在平面 ? ∵A?a，D?a，∴ a ??.∵P?a，P? ?.∵P?b，B?b，P?c，E?c.∴ b ??，c ??，這與a、b、c∴BD、AE5.證明（1）：連結AC,BD，∵E,F是?ABC的邊AB,BC上的中點，∴EF//AC，同理，HG//AC，∴EF//HG，同理，EH//FG，所以，四邊形EFGH證明（2）：由（1）四邊形EFGH∵EF//AC，EH//BD，∴由AC⊥BD得，EF?EH，∴EFGH為矩形.解（3）：由（1）四邊形EFGH∵BD=2，AC=6，∴EF?

2AC?3,EH?

BD?

1∴由平行四邊形的對角線的性質 EG?HF?2(EF

?EH)?20.B

D解（4）：由（1）四邊形EFGH∵BD=4，AC=6，∴EF?

又∵EF//AC，EH//BD，AC、BD成30o角，∴EF、EH成30o角，AC?3,EH?

BD?

2∴四邊形EFGH的面積 S?EF?EHsin30

?3.解（5）：分別取AC與BD的中點M、N,連接MN、MB、MD、NA、NC，∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝3 ∴MN?AC,MN?BD，∴MN是AC與BD的公垂線段 且MN?

MB

?NB

?2∴AC與BD間的距離為2.6.解：取BD中點G，連結EG,FG,EF，∵E,F分別是AB,CD的中點，∴EG//AD,FG//BC,且EG?

2AD?1,FG?

BC?1，∴異面直線AD,BC所成的角即為EG,FG所成的角，EG?FG?EF

2EG?FG

在?EGF中，cos?EGF???

?，G

F

D

∴?EGF?120，異面直線AD,BC所成的角為60．

7.解(1)如圖,連結BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1為平行四邊形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的對角線.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60,∵∠A1BD是銳角,∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角.∴A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點E,連EO,EA,EC.∵O為BD中點,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中點,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.又∴∠EOA是異面直線AC與BD1所成角,∴AC與BD1成角90.8.解(1)如圖,連結BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1為平行四邊形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的對角線.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形, ∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是銳角,∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角.∴A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點E,連EO,EA,EC.∵O為BD中點,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.o

在等腰△EAC中,∵O是AC的中點,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90.又∴∠EOA是異面直線AC與BD1所成角,∴AC與BD成角90o.9.略證（1）取PD的中點H，連接AH，?NH//DC,NH?

12DC

o

o

?

C

?NH//AM,NH?AM?AMNH為平行四邊形 ?MN//AH,MN?PAD,AH?PAD?MN//PAD

解(2): 連接AC并取其中點為O，連接OM、ON，則OM平行且等于BC的一半，ON平行且等

于PA的一半，所以?ONM就是異面直線PA與MN所成的角，由

MN?BC?

4，PA?OM=2，ON=

所以?ONM?300，即異面直線PA與MN成30010.略證：作MT//AB,NH//AB分別交BC、BE于T、H點

AM?FN??CMT≌BNH?MT?NH

從而有MNHT為平行四邊形?MN//TH?MN//CBE

E

第三篇：線面平行教案

§2.2.1 直線與平面平行的判定

【教學目標】

（1）識記直線與平面平行的判定定理并會應用證明簡單的幾何問題；（2）進一步培養學生觀察、發現的能力和空間想象能力；（3）讓學生了解空間與平面互相轉換的數學思想。【教學重難點】

重點、難點：直線與平面平行的判定定理及應用。【教學過程】

（一）創設情景、揭示課題

引導學生觀察身邊的實物，如教材第54頁觀察題：封面所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關系？如何去確定這種關系呢？這就是我們本節課所要學習的內容。

（二）研探新知

1、觀察

①當門扇繞著一邊轉動時，門扇轉動的一邊所在直線與門框所在平面具有什么樣的位置關系？②將課本放在桌面上，翻動書的封面，封面邊緣所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關系？

問題本質：門扇兩邊平行；書的封面的對邊平行 從情境抽象出圖形語言a

?

b

探究問題：

平面?外的直線a平行平面?內的直線b ③直線a,b共面嗎？ ④直線a與平面?相交嗎？

課本P55探究學生思考后，小組共同探討，得出以下結論 直線與平面平行的判定定理：

簡記為： 符號表示：

2、典例

例1 求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行于經過另外兩邊所在的平面。

變式訓練 ：如圖，在空間四面體A?BCD中,E,F,M,N分別為各棱的中點，變式一(學生口頭表達)①四邊形EFMN是什么四邊形？

②若AC?BD，四邊形EFMN是什么四邊形？

B

③若AC?BD，四邊形EFMN是什么四邊形？ C

變式二

①直線AC與平面EFMN的位置關系是什么？請證明？

②在這圖中，你能找出哪些線面平行關系？

例

2、如圖，已知P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，M

求證：PD//平面MAC．

變式訓練：如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，試作出過AC且與直線D1B平行的截面，并說明理由．

（三）效果檢測

1.直線a//直線b,b?平面?,則a與?的位置關系是：（）

A a//?B a//?或a??C a??Da//?或a??或a與?相交 2.a是平面?外的一條直線，可得出a//?的條件是：（）A a與?內的一條直線不相交B a與?內的兩條直線不相交

C a與?內的無數條直線不相交D a與?內的任意一條直線都不相交。

3、過空間一點作與兩條異面直線都平行的平面，這樣的平面（）A不存在B有且只有一個或不存在C有且只有一個D有無數個

4、下列三個命題正確的個數為（）

（1）如果一條直線不在平面內，則這條直線與該面平行

（2）過直線外一點，可以作無數個面與該面平行

（3）如果一條直線與平面平行，則它與平面內的任意直線平行 A0B1C2D3 5.下面四個命題中：

①平面外的直線就是平面的平行線。②平行于同一平面的兩條直線平行 ③過平面外一點可做無數條直線和這個平面平行。④三角形ABC中，AB//平面?，延長CA,CB, 分別交?于E,F兩點，則AB//EF.正確命題的序號是：

6.如圖，在四棱錐P?ABCD中，ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點．

求證：MN//平面PAD．

7.如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD,AB=4，BC=CD=2，AA1?2,E,E1,F分別是AD,AA1,AB的中點，證明：EE1//平面FCC

1【作業布置】

1、教材第62頁習題2.2 A組第3題；

2、預習：如何判定兩個平面平行？

第四篇：證明線面平行

證明線面平行

一，面外一條線與面內一條線平行，或兩面有交線強調面外與面內

二，面外一直線上不同兩點到面的距離相等，強調面外

三，證明線面無交點

四，反證法(線與面相交，再推翻)

五，空間向量法，證明線一平行向量與面內一向量(x1x2-y1y2=0)

【直線與平面平行的判定】

定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

【判斷直線與平面平行的方法】

(1)利用定義：證明直線與平面無公共點;

(2)利用判定定理：從直線與直線平行得到直線與平面平行;

(3)利用面面平行的性質：兩個平面平行，則一個平面內的直線必平行于另一個平面

線面平行

【直線與平面平行的判定】

定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

【判斷直線與平面平行的方法】

(1)利用定義：證明直線與平面無公共點;

(2)利用判定定理：從直線與直線平行得到直線與平面平行;

(3)利用面面平行的性質：兩個平面平行，則一個平面內的直線必平行于另一個平面。

【平面與直線平行的性質】

定理：一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

此定理揭示了直線與平面平行中蘊含著直線與直線平行。通過直線與平面平行可得到直線與直線平行。這給出了一種作平行線的重要方法。

注意：直線與平面平行，不代表與這個平面所有的直線都平行，但直線與平面垂直，那么這條直線與這個平面內的所有直線都垂直。

本題就用到一個關鍵概念：重心三分中線

設E為BD的中點，連接AE，CE

則M在AE上，且有AM=2ME

N在CE上，且有CN=2NE

在三角形ACE中，因為，EM:EA=1:3

EN:EC=1:3

所以，MN//AC

AC屬于平面ACD，MN不在平面ACD內，即無公共點

所以，MN//平面ACD

本題就用到一個關鍵概念：重心三分中線

設E為BD的中點，連接AE，CE

則M在AE上，且有AM=2ME

N在CE上，且有CN=2NE

在三角形ACE中，因為，EM:EA=1:3

EN:EC=1:3

所以，MN//AC

AC屬于平面ACD，MN不在平面ACD內，即無公共點

所以，MN//平面ACD

第五篇：線面平行證明

線面平行證明“三板斧”

第一斧：從結論出發，假定線面平行成立，利用線面平行的性質，在平面

內找到與已知直線的平行線。

例１：如圖正方體ABCD?A1B1C1D1中，Ｅ為DD1的中點，試判斷BD1與平面AEC的位置關系，并說明理由。

練習：

如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD的底面ABCD是菱形，點Ｆ為PC中點，求證：PA//平面BFD

第二斧：以平面外的直線作平行四邊形

D

例2：如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1，E為A1B1上任意一點，求證：AE//平面DC

1練習：

如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1中，E為B1C1的中點，F為AA1的中點，求證：

A1E//平面B1CF

第三斧：選證明面面平行，再由線平行的定義過度到線面平行。

例3：如圖，四棱錐P?ABCD，底面ABCD為正方形，E，F，G分別為PC,PD,BC的中點，求證：PA//平面EFG

練習：如圖，在直三棱柱（側棱與底面垂直的三棱柱）D為BC的中點，求證：

AC1//平面AB1D

B

C

總結：線面平行證明的三種方法中，多數題目其實都可以用第一、二種方法得到解決，因此前二種方法是首先。第三種方法雖然證明過程長，但其思路是很固定的，實踐過程中更容易為同學們所掌握。一個題目可能有幾種證法，同學們練習時可以三種方法都去試一試，看看有幾種辦法可以解決。在熟悉以后，解題過程中可按照招式一、二、三的順序依次去思考。

1.如圖，在四棱錐P?ABCD中，ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點．

求證：MN//平面PAD．

2.如圖，在正四棱錐P?ABCD中，PA?AB?a,點E在棱PC上． 問點E在何處時，PA//平面EBD，并加以證明.P

E

C

A

B

3.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, D為AC的中點,求證:AB1//平面BC1D；

AA

D

C

B1

C1

4．在四面體ABCD中，M，N分別是面△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是________.5．如下圖所示，四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得到AB//面MNP的圖形的序號的是

①②③④

6.如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長是2，3，D是AC的中點.求證：B1C//平面A1BD.A

7．a，b是兩條異面直線，A是不在a，b上的點，則下列結論成立的是

A．過A有且只有一個平面平行于a，bB．過A至少有一個平面平行于a，b

C．過A有無數個平面平行于a，bD．過A且平行a，b的平面可能不存在8．設平面?∥β，A，C∈?，B，D∈β，直線AB與CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，則CS=_____________.9.如下圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為棱AB，CC1的中點，在平面ADD1A1內且與平面D1EF平行的直線()

A．不存在B．有1條C．有2條D．有無數條

10.如圖所示：設P

上的點，AMDN且?MBNP

11.求證：MN//平面PBC如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F，P，Q分別是BC，C1D1，AD1，BD的中點．

（１）求證：PQ//平面DCC1D1（２）求PQ的長．

（３）求證：EF//平面BB1D1D．