第一篇：1.初中證明直線垂直、平行的方法

證明兩條直線垂直（直角）的常用方法

（一）相交線與平行線

1.定義法：兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

2.兩條平行線中有一條垂直第三直線，則另一條也垂直第三直線。即：若a‖b，a⊥c，則b⊥c。

3.鄰補角的平分線互相垂直。

4.到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。

（二）三角形

5.證直角三角形：直角三角形的兩直角邊互相垂直。①三角形的兩內角互余，則第三個內角為直角。

②三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則這邊所對的內角為直角。

③勾股定理的逆定理：三角形一邊的平方等于其他兩邊的平方和，則這邊所對的內角為直角。

6.三線合一法：等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。7.三角形相似法：證一個三角形與直角三角形相似。8.三角形全等法：證一個三角形與直角三角形全等。

（三）四邊形

9.矩形的兩鄰邊互相垂直。

10.菱形的兩條對角線互相垂直平分，且平分每一組對角。

（四）圓

12.半圓或直徑所對的圓周角是直角。13.圓的切線垂直于過切點的半徑。

（五）圖形變換法

14.軸對稱圖形的對稱軸垂直平分對應點之間的連線。15.同一法或反證法（不要求掌握）

證明直線平行的常用方法

（一）平行線與相交線：

1.在同一平面內，兩條不相交的直線互相平行。

2.在同一平面內，垂直于同一直線的兩直線互相平行。3.平行于同一直線的兩直線互相平行。4.平行線的判定方法：

（1）同位角相等，兩直線平行；（2）內錯角相等，兩直線平行；（3）同旁內角互補，兩直線平行。

（二）三角形

5.三角形中位線定理：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半。

6.一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，則這條直線平行于三角形的第三邊。

（三）四邊形 7.平行四邊形的兩組對邊互相平行。8.梯形的兩底邊平行。

9.梯形的中位線平行于兩底。

（四）同一法或反證法（不要求掌握）

證明兩線段相等的常用方法

（一）三角形

1.等角對等邊：兩線段在同一三角形中，證明等腰或等邊三角形。2.證明三角形全等：全等三角形的對應邊相等。

3.三線合一：等腰三角形頂角的平分線或底邊上的高平分底邊。

4.線段中垂線性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩端的距離相等。5.角平分線性質：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。6.過三角形一邊的中點平行于另一邊的直線必平分第三邊。

（二）特殊四邊形

7.平行四邊形的對邊相等、對角線互相平分。8.矩形的對角線相等，菱形的四條邊都相等。9.等腰梯形兩腰相等，兩條對角線相等。

（三）圓

10.同圓或等圓的半徑相等。

11.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦。

12.圓的旋轉不變性：同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弦或兩條弧中有一組量相等，那么對應的其余各組量也相等。

13.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。

（四）其他

14.等量代換：若a=b，b=c，則a=c。

15.等式性質：若a=b，則a-c=b-c；若?，則a=b。

16..等量的一半相等。

17.計算長度：證明兩線段相等。

18.面積相等法：面積相等的三角形（或平行四邊形），若底（高）相等，則高（底）相等。

19.平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。20.圖形變換法

（1）軸對稱圖形（或成軸對稱的兩個圖形）的對應線段相等，對應角相等。（2）平移、軸反射、旋轉不改變圖形的形狀與大小。（3）位似變換不改變圖形的形狀。22.同一法或反證法（不要求掌握）

acbc證明兩角相等的常用方法

（一）平行線與相交線

1.同角（或等角）的余角相等、補角相等。2.兩直線平行，同位角相等、內錯角相等。

3.證角平分線：到角的兩邊距離相等的點，在角的平分線上。

（二）三角形

5.全等三角形的對應角相等。

6.相似三角形的對應角相等。7.同一個三角形中，等邊對等角。

8.三線合一：等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線與頂角平分線互相重合。

（三）特殊四邊形

9.平行四邊形的對角相等。

10.菱形的對角線互相垂直平分，且平分每一組對角。

（四）圓

11.同圓等圓中，同弧或等弧所對的圓周角、圓心角相等。

12.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分這兩條切線的夾角。

13.圓的內接四邊形的每一個外角等于它的內對角。14.補充：圓的弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。

（五）15.計算角度，證明兩角相等。

16.等量代換：若a=b，b=c，則a=c。17.等式性質。

18.等量的一半相等。

19.等量加等量，其和相等；等量減等量，其差相等。20.若?，則a=b.21.若a+c=b+c，則a=b.22.圖形變換法

（1）軸對稱圖形(或成軸對稱的兩個圖形)的對應線段相等，對應角相等。（2）平移、軸反射、旋轉不改變圖形的形狀與大小。（3）位似變換不改變圖形的形狀。23.同一法或反證法（不要求掌握）acbc證明線段的和差倍分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。4.取長線段的中點，再證其一半等于短線段。

5.三角形中位線定理：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半。6.直角三角形中30度銳角所對的直角邊等于斜邊的一半。7.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。8.利用相似三角形對應邊比例的性質。9.利用銳角的三角函數值。

證明角的和差倍分

1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。2.利用角平分線的定義。

3.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。

證明比例式或等積式

1.利用相似三角形對應線段成比例。2.平行線分線段成比例：兩條直線被一組平行線所截，截得的對應線段的長度成比例。3.直角三角形射影定理：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。4.利用比利式或等積式化得。

5.與圓有關的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。

第二篇：初中幾何證明兩直線平行和垂直的方法

初中幾何證明兩直線平行和垂直的方法大全

三、證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。

3.平行四邊形的對邊平行。

4.三角形的中位線平行于第三邊。

5.梯形的中位線平行于兩底。

6.平行于同一直線的兩直線平行。

7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線平行于第三邊。

四、證明兩直線互相垂直

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。

3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。

4.鄰補角的平分線互相垂直。

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的對角線互相垂直。

10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦。

11.利用半圓上的圓周角是直角。

第三篇：證明直線平行

證明直線平行

證明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c證明:假使b、c不平行則b、c交于一點O又因為a‖b,a‖c所以過O有b、c兩條直線平行于a這就與平行公理矛盾所以假使不成立所以b‖c由同位角相等，兩直線平行，可推出：內錯角相等，兩直線平行。同旁內角互補，兩直線平行。因為a‖b,a‖c,所以b‖c(平行公理的推論)

2“兩直線平行，同位角相等.”是公理，是無法證明的，書上給的也只是說明而已，并沒有給出嚴格證明，而“兩直線平行，內錯角相等“則是由上面的公理推導出來的，利用了對等角相等做了一個替換，上面兩位給出的都不是嚴格的證明。

一、怎樣證明兩直線平行證明兩直線平行的常用定理(性質)有:1.兩直線平行的判定定理:①同位角相等,兩直線平行;②內錯角相等,兩直線平行;③同旁內角互補,兩直線平行;④平行(或垂直)于同一直線的兩直線平行.2、三角形或梯形的中位線定理.3、如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.4、平行四邊形的性質定理.5、若一直線上有兩點在另一直線的同旁).(A)藝l=匕3(B)/2=藝3(C)匕4二藝5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行線判定定理可判斷答案選C認六一值!小人﹃夕叱的一試勺洲洲川JLZE一B/（一、圖月一飛/匕一|求且它們到該直線的距離相等,則兩直線平行.例1(2003年南通市)已知:如圖l,下列條件中,不能判斷直線l,//l:的是(B).例2(2003年泉州市)如圖2,△注Bc中,匕BAC的平分線AD交BC于D,④O過點A,且和BC切于D,和AB、Ac分別交B于E、F,設EF交AD于C,連結DF.(l)求證:EF//Bc

(1)根據定義。證明兩個平面沒有公共點。

由于兩個平面平行的定義是否定形式，所以直接判定兩個平面平行較困難，因此通常用反證法證明。

(2)根據判定定理。證明一個平面內有兩條相交直線都與另一個平面平行。

(3)根據“垂直于同一條直線的兩個平面平行”，證明兩個平面都與同一條直線垂直。

2.兩個平行平面的判定定理與性質定理不僅都與直線和平面的平行有邏輯關系，而且也和直線與直線的平行有密切聯系。就是說，一方面，平面與平面的平行要用線面、線線的平行來判定;另一方面，平面

與平面平行的性質定理又可看作平行線的判定定理。這樣，在一定條件下，線線平行、線面平行、面面平行就可以互相轉化。

3.兩個平行平面有無數條公垂線，它們都是互相平行的直線。夾在兩個平行平面之間的公垂線段相等。

因此公垂線段的長度是唯一的，把這公垂線段的長度叫作兩個平行平面間的距離。顯然這個距離也等于其中一個平面上任意一點到另一個平面的垂線段的長度。

兩條異面直線的距離、平行于平面的直線和平面的距離、兩個平行平面間的距離，都歸結為兩點之間的距離。

1.兩個平面的位置關系，同平面內兩條直線的位置關系相類似，可以從有無公共點來區分。因此，空間不重合的兩個平面的位置關系有：

(1)平行—沒有公共點;

(2)相交—有無數個公共點，且這些公共點的集合是一條直線。

注意：在作圖中，要表示兩個平面平行時，應把表示這兩個平面的平行四邊形畫成對應邊平行。

2.兩個平面平行的判定定理表述為：

4.兩個平面平行具有如下性質：

(1)兩個平行平面中,一個平面內的直線必平行于另一個平面。

簡述為：“若面面平行,則線面平行”。

(2)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

簡述為：“若面面平行,則線線平行”。

(3)如果兩個平行平面中一個垂直于一條直線，那么另一個也與這條直線垂直。

(4)夾在兩個平行平面間的平行線段相等

用反證法

A平面垂直與一條直線，設平面和直線的交點為p

B平面垂直與一條直線，設平面和直線的交點為Q

假設A和B不平行，那么一定有交點。

設有交點R，那么

做三角形pQR

pR垂直pQQR垂直pQ

沒有這樣的三角形。因為三角形的內角和為180

所以A一定平行于B

第四篇：Z證明直線垂直的方法

證明直線垂直的方法

（一）相交線與平行線：

①兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角，則這兩條直線互相垂直。②兩平行線中有一條垂直第三直線，則另一條也垂直第三直線。

（二）三角形：

①直角三角形的兩直角邊互相垂直。

②三角形的兩內角互余，則第三個內角為直角。

③三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則這邊所對的內角為直角（圖1）。

④三角形一邊的平方等于其他兩邊的平方和，則這邊所對的內角為直角。⑤三角形（或多邊形）一邊上的高垂直于這條邊。

⑥等腰三角形頂角的平分線、或底邊上的中線垂直于底邊。

（三）四邊形：

①矩形的兩鄰邊互相垂直。

②菱形的兩對角線互相幫助垂直。

（四）圓：

①平分弦（非直徑）的直徑垂直于這條弦，平分弦所對的弧的直徑垂直于這條弦。②半圓或直徑所對的圓周角是直角（圖2）。

③圓的切線垂直于過切點的半徑。

④相交現圓的連心線垂直于兩圓的公共弦。

證明直線平行的方法

（一）平行線與相交線：

①在同一平面內兩條不相交的直線平行。

②同平行、或同垂直于第三直線 的兩條直線平行。

③同位角相等、或內錯角相等、或外錯角相等、或同旁內角互補、或同旁外角互補的兩條直線平行。

（二）三角形：

①三角形的中位線平行于第三邊。

②一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，則這條直線平行于三角形的第三邊（圖3、4）。

（三）四邊形：

①平行四邊形的對邊平行。

②梯形的兩底邊平行。

③梯形的中位線平行于兩底。

（四）圓：

①夾兩等弧且在圓內不相交的二弦平行（圖5）。

②二等圓的兩條外公切線平行。

第五篇：證明兩直線垂直的方法

證明兩直線垂直的方法

1.矩形四個內角

2.三角形中的兩角之和為90°，則另一角必為直角

3.證明兩直線中的一條是等腰三角形的底邊，另一邊是頂角平分線或底邊上的中線

4.勾股定理逆定理

5.圓直徑所對的圓周角

6.垂徑定理的判定

7.利用菱形的對角線互相垂直

8.利用正方形的對角線互相垂直

9.圓的切線垂直于過切點的半徑

10.證這兩直線中的一直線與第三直線平行，另一直線與第三直線垂直；或證明這兩直線各與已知的兩垂線平行

11.相交兩圓的連心線垂直平分公共弦

12.軸對稱那類的圖形，對應點垂直于軸

13.到線段兩邊距離相等的點在這個線段的中垂線上

14.如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

15.與直角三角形相似的三角形 對應角是直角

16.與直角三角形全等的三角形 對應角是直角

17.利用鄰角相等：兩直線相交所成的兩個鄰角相等，可確定兩直線垂直

18.點到直線最短的線段

19.45圓周角所對的圓心角

20.等邊三角形中，任一頂點與內心所在直線垂直于底邊

21.利用已知的直角或其余角：證兩直線的夾角等于已知的直角，或證明兩直線的夾角是兩銳角互余的三角形的第三角

22.矩形中位線垂直他所在的兩邊

23.利用反證法、同一法

24.平面直角坐標系x、y軸垂直