第一篇：立體幾何的平行與證明問題

立體幾何

1．知識網絡

一、經典例題剖析

考點一 點線面的位置關系

1、設l是直線,a,β是兩個不同的平面（）

A．若l∥a,l∥β,則a∥β B．若l∥a,l⊥β,則a⊥β

C．若a⊥β,l⊥a,則l⊥β D．若a⊥β, l∥a,則l⊥β

2、下列命題正確的是（）

A．若兩條直線和同一個平面所成的角相等,則這兩條直線平行

B．若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行

C．若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行

D．若兩個平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面平行

3、已知空間三條直線l、m、n.若l與m異面,且l與n異面,則（）

A．m與n異面.B．m與n相交.C．m與n平行.D．m與n異面、相交、平行均有可能.4、（2013年高考江西卷（文15））如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上,且AB//CD,則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面個數為

_____________.D

1CB

考點二證明平行關系

5、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點，D C

BDE。求證： AC1//平面

6、（2013年高考陜西卷（文））如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O

為底面中心, A1O⊥平面ABCD, AB?AA1?

A

(Ⅰ)證明: A1BD //平面CD1B1;(Ⅱ)求三棱柱ABD-A1B1D1的體積.考點三證明垂直問題

7、（2013年高考遼寧卷（文））

如圖,AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點.(I)求證:BC?平面PAC；

(II)設Q為PA的中點，G為?AOC的重心，求證：QG//平面PBC.8、已知正方體ABCD?A1BC11D1，O是底ABCD對角線的交點.D1AD

BBC

1求證：(１)C1O∥面AB1D1；(2)AC?面AB1D1．1

C

綜合練習：

9、（2013年高考廣東卷（文））如圖4,在邊長為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC

邊上的點,AD?AE,F是BC的中點,AF與DE交于點G,將?ABF沿AF折起,得到如圖5所示的三棱錐A?BCF,其中BC?

.(1)證明:DE//平面BCF;(2)證明:CF?平面ABF;

圖

410、如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=證明：PQ⊥平面DCQ；

PD．

2AC?平面B'D'DB；BD'

?平面ACB'.11、正方體ABCD?A'B'C'D'中，求證：（1）（2）

第二篇：立體幾何線面平行問題

線線問題及線面平行問題

一、知識點 1 1）相交——有且只有一個公共點；（2）平行——在同一平面內，沒有公共點；（3）異面——不在任何一個平面內，沒有公共點； ．．

2.公理4 ：推理模式：a//b,b//c?a//c．

3.等角定理：4.等角定理的推論:若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.5.空間兩條異面直線的畫法

6．異面直線定理：連結平面內一點與平面外一點的直線，b

a

1AA

推理模式：A??,B??,l??,B?l?AB與l

7．異面直線所成的角：已知兩條異面直線a,b，經過空間任一點O作直線a?//a,b?//b，a?,b?所成的角的大小與點O的選擇無關，把a?,b?所成的銳角（或直角）叫異面直線a,b所成的角（或夾角）．為了簡便，點O(0,?

28．異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直．兩條異面直線a,b 垂直，記作a?b．

9．求異面直線所成的角的方法：（1）通過平移，在一條直線上找一點，過該點做另一直線的平行線；

（210．兩條異面直線的公垂線、距離：和兩條異面直線都垂直相交．．．．

異面直線的的定義要注意“相交

11．異面直線間的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段垂線段）的長度，叫做兩條異面直線間的距離．

12．直線和平面的位置關系（1）直線在平面內（無數個公共a點）；（2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）；（3）直

?線和平面平行（沒有公共點）——用兩分法進行兩次分

類．它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為a??，a???A，a//?． a?13．線面平行的判定定理：如果平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．推理模式：l??,m??,l//m?l//?．

14.線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這

相交，那么這條直線和交線平行．推理模式：l//?,l??,????m?l//m．

?lm個平面?

二、基本題型

1．判斷題（對的打“√”，錯的打“×”）

（1）垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條（）

（2）兩線段AB、CD不在同一平面內，如果AC=BD，AD=BC，則AB⊥CD（）（3）在正方體中，相鄰兩側面的一對異面的對角線所成的角為60o（）（4）四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對邊垂直（）

2．右圖是正方體平面展開圖，在這個正方體中

C

①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60o角； ④DM與BN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是（）（A）①②③（B）②④（C）③④（DF

3．已知空間四邊形ABCD.(1)求證：對角線AC與BD是異面直線;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點,試判斷四邊形EFGH的形狀;(3)若AB＝

BC＝CD＝DA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.4．完成下列證明，已知直線a、b、c不共面，它們相交于點P，A?a，D?a，B?b，E?c求證：BD和AE證明：假設__ 共面于?，則點A、E、B、D都在平面__?A?a，D?a，∴__?γ.?P?a，∴P?__.?P?b，B?b，P?c，E?c∴__??，__??，這與____矛 ∴BD、E,F,G,H分別是空間四邊形四條邊AB,BC,CD,DA的中點，（1）求證四邊形EFGH是

2）若AC⊥BD時，求證：EFGH為矩形；（3）若BD=2，AC=6，求EG

?HF

；（4）

若AC、BD成30o角，AC=6，BD=4，求四邊形EFGH的面積；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC與BD間的距離.6 間四邊形ABCD中，AD?BC?2，E,F分別是AB,CD的中點，EF?AD,BC7.在正方體ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B與B1D1所成角;(2)AC與BD1所成角.8．在長方體ABCD?A?B?C?D中，已知AB=a，BC=b，AA?=c(a＞b)，求異面直線D?B與AC

9．如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別

是AB、PC1）求證：MN//平面PAD；（2）若MN?BC?4，PA? 求異面

直線PA與MN10．如圖,正方形ABCD與ABEF不在同一平面內,M、N分別在AC、BF上，且AM?FN求證：MN//平面CBE

參考答案：

1.（1）×（2）×（3）√（4）×2.C

3.證明：(1)∵ABCD是空間四邊形,∴A點不在平面BCD上,而C?平面BCD, ∴AC過平面BCD外一點A與平面BCD內一點C, 又∵BD?平面BCD,且C?BD.∴AC與BD是異面直線.(2)解如圖,∵E,F分別為AB,BC的中點,∴EF//AC,且EF=同理HG//AC,且HG=

212

AC.AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四邊形.又∵F,G分別為BC,CD的中點,∴FG//BD,∴∠EFG是異面直線AC與BD所成的角.o

∵AC⊥BD,∴∠EFG=90.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中點E,AC中點F,連EF,則EF即為所求.4.答案：假設BD、AE共面于?，則點A、E、B、D都在平面 ? ∵A?a，D?a，∴ a ??.∵P?a，P? ?.∵P?b，B?b，P?c，E?c.∴ b ??，c ??，這與a、b、c∴BD、AE5.證明（1）：連結AC,BD，∵E,F是?ABC的邊AB,BC上的中點，∴EF//AC，同理，HG//AC，∴EF//HG，同理，EH//FG，所以，四邊形EFGH證明（2）：由（1）四邊形EFGH∵EF//AC，EH//BD，∴由AC⊥BD得，EF?EH，∴EFGH為矩形.解（3）：由（1）四邊形EFGH∵BD=2，AC=6，∴EF?

2AC?3,EH?

BD?

1∴由平行四邊形的對角線的性質 EG?HF?2(EF

?EH)?20.B

D解（4）：由（1）四邊形EFGH∵BD=4，AC=6，∴EF?

又∵EF//AC，EH//BD，AC、BD成30o角，∴EF、EH成30o角，AC?3,EH?

BD?

2∴四邊形EFGH的面積 S?EF?EHsin30

?3.解（5）：分別取AC與BD的中點M、N,連接MN、MB、MD、NA、NC，∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝3 ∴MN?AC,MN?BD，∴MN是AC與BD的公垂線段 且MN?

MB

?NB

?2∴AC與BD間的距離為2.6.解：取BD中點G，連結EG,FG,EF，∵E,F分別是AB,CD的中點，∴EG//AD,FG//BC,且EG?

2AD?1,FG?

BC?1，∴異面直線AD,BC所成的角即為EG,FG所成的角，EG?FG?EF

2EG?FG

在?EGF中，cos?EGF???

?，G

F

D

∴?EGF?120，異面直線AD,BC所成的角為60．

7.解(1)如圖,連結BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1為平行四邊形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的對角線.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60,∵∠A1BD是銳角,∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角.∴A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點E,連EO,EA,EC.∵O為BD中點,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中點,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.又∴∠EOA是異面直線AC與BD1所成角,∴AC與BD1成角90.8.解(1)如圖,連結BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1為平行四邊形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的對角線.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形, ∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是銳角,∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角.∴A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點E,連EO,EA,EC.∵O為BD中點,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.o

在等腰△EAC中,∵O是AC的中點,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90.又∴∠EOA是異面直線AC與BD1所成角,∴AC與BD成角90o.9.略證（1）取PD的中點H，連接AH，?NH//DC,NH?

12DC

o

o

?

C

?NH//AM,NH?AM?AMNH為平行四邊形 ?MN//AH,MN?PAD,AH?PAD?MN//PAD

解(2): 連接AC并取其中點為O，連接OM、ON，則OM平行且等于BC的一半，ON平行且等

于PA的一半，所以?ONM就是異面直線PA與MN所成的角，由

MN?BC?

4，PA?OM=2，ON=

所以?ONM?300，即異面直線PA與MN成30010.略證：作MT//AB,NH//AB分別交BC、BE于T、H點

AM?FN??CMT≌BNH?MT?NH

從而有MNHT為平行四邊形?MN//TH?MN//CBE

E

第三篇：立體幾何證明問題

證明問題

例1.如圖，E、F分別是長方體邊形

.-的棱A、C的中點，求證：四邊形是平行四

例2.如圖所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過點A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD與E、F、G.求證：AE⊥SB.例3.如圖，長方體∠求證：

=90°.⊥

PQ

-中，P、Q、R分別為棱、、BC上的點，PQ//AB，連結，例4.已知有公共邊AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不同在一個平面內，P、Q分別是對角線AE、BD上的點，且AP=DQ，如圖所示.求證：PQ//平面

CBE.例5.如圖直角三角形ABC平面外一點S，且SA=SB=SC，且點D為斜邊AC的中點.（1）求證：SD⊥平面ABC.（2）若AB=AC，求證BD⊥平面

SAC.例6.如圖，在正方體

-中，M、N、E、F分別是棱、、、的中點.求證：平面AMN//平面

EFDB.例7.如圖（1）、（2），矩形ABCD中，已知AB=2AD，E為AB的中點，將ΔAED沿DE折起，使AB=AC.求證：平面ADE⊥平面

BCDE.

第四篇：高中立體幾何證明平行的專題訓練

1． 如圖，四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，點E、F分別為棱AB、PD的中點．求證：AF∥平面PCE；

2、如圖，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，過A作AE⊥CD，垂足為E，G、F分別為AD、CE的中點，現將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC.（1）求證：求證：FG∥面BCD；

3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分別為AA1, CC1, AB的中點，M為BE的中點, AC⊥BE.求證： C1D∥平面B1FM.4、如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形,FAD

A

1BA?AD,CD?AD,CD=2AB, E為PC的中點, 證明:

EB//平面PAD;

5、如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中點。求證： PA ∥平面BDE

6．如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，D為AC的中點.求證：AB1//面BDC1；

7．正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點，求證： D1O//平面A1BC1;

8、在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB=求證：AE∥平面PBC；

9、在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.Ｍ是線段ＡＤ的中點，求證：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;

10、S是平行四邊形ABCD平面外一點，M、N分別是SA、BD上的點，且MN∥平面SDC11、如圖，三棱錐P?ABC中，PB?底面ABC，?BCA?90，PB=BC=CA，E為PC的中點，M為AB的中點，點F在PA上，且

?

DC，E為PD中點.AMSM

=

BNND，求證：

AF?2F

P

.求證：CM//平面BEF；

第五篇：高中立體幾何證明平行的專題

高中立體幾何證明平行的專題(基本方法)

一、利用三角形及一邊的平行線?a.利用中位線?

?b.利用對應線段成比例

（a）、利用中位線

例

1、如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中點。求證： PA ∥平面BDE

例

2、如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，D為AC的中點.求證AB1//平面BC1D

例

3、在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB=

練習

1、ABCD?A1B1C1D1是正四棱柱，E是棱BC的中點。求證：BD1//平面C1DE1DC，E為PD中點.求證：AE∥平面PBC；

2練習

2、在三棱柱ABC?A1B//平面ADC1； 1B1C1中，D為BC中點.求證：A

B

1B

C1

練習

3、如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形, BA?AD,CD?AD,CD=2AB, E為PC的中點,證明: EB//平面PAD;

練習

4、如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中點，試判斷A1B與平面ADC1的位置關系，并證明你的結論.（b)、利用對應線段成比例

例

4、如圖：S是平行四邊形ABCD平面外一點，M、N分別是SA、BD上的點，且

SDC

AMBN

=，求證：MN∥平面SMND

例

5、在正方體ABCD—A1B1C1D1中，P、Q分別是AD1、BD上的點，且AP=BQ，求證：PQ∥平面DCC1D1。

1A

A

二、利用平行四邊形的性質

例6．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，點E、F 分別為棱AB、PD的中點．求證：AF∥平面PCE；

例

7、如圖，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，過A作AE⊥CD，垂足為E，G、F分別為AD、CE的中點，現將△ADE沿AE折疊，求證：FG∥面BCD；

例

8、正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點，求證： D1O//平面A1BC1;

例

9、在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB=

DC，E為PD中點.求證：AE∥平面PBC

2練習

5、四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點，求證：MN∥平面

PAD；

練習

6、如圖，在正方體ABCD——A1B1C1D1中，O是底面ABCD對角線的交點.求證：C1O//平面AD1B1.練習

7、已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E、F分別是

AB、PD的中點．求證：AF//平面PEC

P

A

E

B

C

練習

8、在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別是CC1，AB的中點．求證：CN //平面AB1M．

C

1A1

M

B1

C

A

B

3利用平行線的傳遞性

例

10、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分別為AA1, CC1, AB的中點，M為BE的中點, AC⊥BE.求證：C1D∥平面B1FM.F

A

1D

A

練習

9、三棱柱ABC—A1B1C1中，若D為BB1上一點，M為AB的中點，N為BC的中點.求證：MN∥平面A1C1D；

4利用面面平行

例

11、如圖，三棱錐P?ABC中，E為PC的中點，M為AB的中點，點F在PA上，且AF?2FP.求證：CM//平面BEF；