第一篇：立體幾何中平行與垂直的證明

立體幾何中平行與垂直的證明

姓名

2.掌握正確的判定和證明平行與垂直的方法.D

1【學習目標】1.通過學習更進一步掌握空間中線面的位置關系;

例1．已知正方體ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點．

求證：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．【反思與小結】1.證明線面平行的方法：2.證明線面垂直的方法：

AD

C1

BC【變式一】如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中,AD?AA1?1,AB?1，點E在棱AB上移動。求證：D1E⊥A1D；

【反思與小結】1．證明線線垂直的方法：

1． 談談對“點E在棱AB上移動”轉化的動態思考 2． 比較正方體、正四棱柱、長方體

【變式二A】如圖平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩

形，且AF?

D

1A

E

B

C

C

AD?2,G是EF的中點，2（1）求證平面AGC⊥平面BGC；（2）求空間四邊形AGBC的體積。

反思與小結1．證明面面垂直的方法：2．如果把【變式二A】的圖復原有什么新的認識？ 【變式二B】.如圖，在直三棱柱(側棱與底面垂直的三棱柱)ABC?A1B1C1中，AB?8，AC?6，BC

（Ⅰ）求證：

?10，D是BC邊的中點.AB?A1C；（Ⅱ）求證：AC1∥ 面AB1D；

【反思與小結】和前面證明線線垂直、線面平行比較有什么新的認識？ 【變式三】如圖組合體中，三棱柱ABC?A1B1C1的側面ABB1A1 是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A、B重合一個點.（Ⅰ）求證：無論點C如何運動，平面A1BC?平面A1AC；

（Ⅱ）當點C是弧AB的中點時，求四棱錐A1?BCC1B1與圓柱的體積比．

【反思與小結】

1．觀察兩個圖之間的變化聯系，寫出感受。

2．和【變式一】進行比較，談談你把握動態問題的新體會

【變式四】如圖，四邊形ABCD

為矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F 為CE上的點，且BF⊥平面ACE．

（1）求證：AE⊥BE；

（2）設M在線段AB上，且滿足AM＝2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面DAE.【反思與小結】1．和前面兩個動態問題比較，解答本題的思路和方法有什么不同？ _P【變式五】如圖5所示，在三棱錐P?ABC中，PA?平面ABC，AB?BC?CA?3，M為AB的中點，四點P、A、M、C都在球O的球面上。

（1）證明：平面PAB?平面PCM；（2）證明：線段PC的中點為球O的球心；

【反思與小結】1．探討球與正方體、長方體等與球體之間的關系。

2．結合前面幾組圖形的分割變化規律，說明正方體、正四棱

柱、長方體、直三棱柱、四棱錐、三棱錐的變化聯系。

3．總結立幾中證明“平行與垂直”的思路和方法

課后練習

1．如圖所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D為AC的中點。（I）求證：B1C//平面A1BD；

（II）求證：B1C1⊥平面ABB1A

（III）設E是CC1上一點，試確定E的位置，使平面A1BD⊥平面BDE，并說明理由。

2.如圖，已知AB?平面ACD，DE?平面ACD，三角形ACD

為等邊三角形，AD?DE?2AB，F為CD的中點

（1）求證：AF//平面BCE；

（2）求證：平面BCE?平面CDE；

P1． 如圖，四棱錐P?ABCD中，PA?底面ABCD，AB?AD，AC?CD，?ABC?60?，PA?AB?BC，E是PC的中點．（1）求證：CD?AE；

A

D（2）求證：PD?面ABE．

2． 如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=_A_M_B_C1AD.2B

（I）求證：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一點E，使CE∥平面PAB？若

存在，請確定E點的位置；若不存在，請說明理由.5.如圖，在四棱錐S?ABCD中，SA?AB?

2，SB?SD?底面ABCD是菱形，且?ABC?60?，E為CD的中點．

（1）證明：CD?平面SAE；

（2）側棱SB上是否存在點F，使得CF//平面SAE？并證明你的結論． D【課后記】1．設計思路（1）兩課時； C（2）認識棱柱與棱錐之間的內在聯系；

（3）掌握探尋幾何證明的思路和方法；

（4）強調書寫的規范性

2．實際效果：

（1）用時兩節半課；

（2）平行掌握的比較好，但垂直問題需要繼續加強。尤其是面面垂直問題轉化為線面垂直后便不知所措。

第二篇：立體幾何中的向量方法----證明平行與垂直練習題

§8.7 立體幾何中的向量方法（Ⅰ）----證明平行與垂直

一、選擇題

1．若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，則()．

A．l1∥l2B．l1⊥l

2C．l1與l2相交但不垂直D．以上均不正確

2．直線l1，l2相互垂直，則下列向量可能是這兩條直線的方向向量的是()

A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)

B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)

C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)

D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)

35?15???3．已知a＝?1，－，b＝?－3，λ，－滿足a∥b，則λ等于()． 22?2???

2992A.B.C．－D．－ 322

34．若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是()．

A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)

B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)

C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)

D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)

5．若平面α，β平行，則下面可以是這兩個平面的法向量的是()

A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)

B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)

C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)

D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)

6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實數λ等于()．

62636065A.B.C.D.7777

7．已知平面α內有一個點A(2，－1,2)，α的一個法向量為n＝(3,1,2)，則下列點P中，在平面α內的是()

A．(1，－1,1)3??B.?1，3，2??

??

C.?1，－3，2??

二、填空題

??

D.?－1，3，－

2??

8．兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，則

l1與l2的位置關系是_______．

9．平面α的一個法向量n＝(0,1，－1)，如果直線l⊥平面α，則直線l的單位方向向量是s＝________.→

＝0的_______．

→

12．已知→AB＝(1,5，－2)，→BC＝(3,1，z)，若→AB⊥→BC，→BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實數x，y，z分別為________．

三、解答題

13．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：

→

11．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，則平面ABC的單位法向量是________．

→

→

→

→

→

10．已知點A，B，C∈平面α，點P?α，則AP·AB＝0，且AP·AC＝0是AP·BC

a，b，c.14.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點．求證：

MN∥平面A1BD.證明 法一 如圖所示，以D為原點，DA、DC、DD1所在直

線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，???1?

則M?0，1，N?，1，1?，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，2???2?→

1??

1于是MN＝?，0，2??

2設平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． ?x＋z＝0，則n·DA1＝0，且n·DB＝0，得?

?x＋y＝0.→

→

取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． →

1??1

又MN·n＝?，0，·(1，－1，－1)＝0，2??2→

∴MN⊥n，又MN?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.15．如圖，已知ABCDA1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA1上，點F在CC1上，且AE＝FC1＝

1.(1)求證：E，B，F，D1四點共面；

(2)若點G在BC上，BG＝M在BB1上，GM⊥BF，垂足為H，求證：EM⊥面

BCC1B1.→→

證明(1)建立如圖所示的坐標系，則BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

→→

→→→→

所以BD1＝BE＋BF，故BD1、BE、BF共面． 又它們有公共點B，所以E、B、F、D1四點共面．(2)如圖，設M(0,0，z)，→

→→

2??

則GM＝?0，－，z?，而BF＝(0,3,2)，3??

→→

由題設得GM·BF＝－×3＋z·2＝0，得z＝1.→

因為M(0,0,1)，E(3,0,1)，所以ME＝(3,0,0)． →

→

又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→

所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，從而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.16．如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是線段EF的中點．

求證：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，設AC∩BD＝N，連接NE.則點N、E的坐標分別為 ?22?

?，0?、(0,0,1)．

2?2?→?22?∴NE＝?－，－1?.2?2?

?2?

2又點A、M的坐標分別是2，2，0)、?，1?

2?2

?

→

?22?∴AM＝?－，－1?.2?2?

→→

∴NE＝AM且NE與AM不共線．∴NE∥AM.又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.?22?

(2)由(1)知AM＝?－，－1?，2?2?

→

∵D2，0,0)，F(2，2，1)，∴DF＝(0，2，1)→→

∴AM·DF＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.→

第三篇：8.7 立體幾何中的向量方法Ⅰ——證明平行與垂直

§8.7 立體幾何中的向量方法Ⅰ——證明

平行與垂直

(時間：45分鐘 滿分：100分)

一、選擇題(每小題7分，共35分)

????????1.已知空間三點A（0,2,3），B（-2,1,6），C（1，-1,5）若a

a分別與AB,AC垂

直，則向量a為??

A.?1，1，1?

B.?－1，－1，－1?

C.?1，1，1?或?－1，－1，－1?

D.?1，－1，1?或?－1，1，－1?,2.已知a＝?1，1，1?，b＝?0，2，－1?，c＝ma＋nb＋?4，－4，1?.若c與a及b都垂直，則m，n的值分別為??,A.－1，2B.1，－2C.1，2D.－1，－

23.已知a＝?1,?,?，b＝??3,?,?

A??35?22???15??滿足a∥b，則λ等于?? 2?2992.B.C.－D.－ 3223????????????????????4.已知AB＝?1，5，－2?，BC＝?3，1，z?，若AB⊥BC，BP＝?x－1，y，－3?，且BP⊥平面ABC，則實數x，y，z分別為???A.33154015，－，4B.，－，4 77774040，－2，4D.4，－15 77C.5.若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是??,A.a＝?1，0，0?，n＝?－2，0，0?

B.a＝?1，3，5?，n＝?1，0，1?

C.a＝?0，2，1?，n＝?－1，0，－1?

D.a＝?1，－1，3?，n＝?0，3，1?

二、填空題?每小題7分，共21分?

6.設a＝?1，2，0?，b＝?1，0，1?，則“c＝(,?,?的條件.7.若|a|，b＝?1，2，－2?，c＝?2，3，6?，且a⊥b，a⊥c，則a＝.,8.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是棱BC、DD1上的點，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值為

三、解答題?共44分?

9.?14分?已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為BB1、C1D1的中點，建立適當的坐標系，求平面AMN的一個法向量

10．(15分)如圖，已知ABCD—A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA

1上，點F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求證：E，B，F，D1四點共面；

2(2)若點G在BC上，BG＝，點M在BB1上，GM⊥BF，垂足為H，求證：

3EM⊥面BCC1B1.11．(15分)如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB2，AF

＝1，M是線段EF的中點．

求證：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.答案

1.C2.A3.B4.B5.D

6.充分不必要7.??23132)”是“c⊥a，c⊥b且c為單位向量”31??181??18,2,?或?，?2,??8.1 5??55??

5.9.解 以D為原點，DA、DC、DD1所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系?如圖所示?.,設

正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，則A?1，0，0?，M(1，1，11)，N(0，1)).∴2

2??????1??????1?AM??1,0,?,AN??0，1?設平面AMN的一個法向量為2???2?

n＝?x，y，z?,?????1?n?AM?y?z?0??2? ?????n?AN??x?1y?z?0??2

令y＝2，∴x＝－3，z＝－4.∴n＝(－3,2，－4)．

∴(－3,2，－4)為平面AMN的一個法向量．

????10.證明 建立如圖所示的坐標系，則BE＝(3,0,1)，????→BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

?????????????→???→所以BD1=BE+BF，故BD1，BE，BF共面．

又它們有公共點B，所以E、B、F、D1四點共面．

(2)如圖，設M(0,0，z)，?????2→0，－z?，而BF＝(0，3，2)，GM＝?3??

得z＝1.?????→2由題設得GM?BF=??3?z?2?0，3????因為M(0,0，1)，E（3,0,1），所以ME＝(3,0,0)．

→→又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，從而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.11.證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，設AC∩BD＝N，連接NE.則點N、E的坐標分別為 ?22，0?、(0,0,1)． 2?2?

?????22∴NE＝－1?.2?2?

又點A、M的坐標分別是，0)、?22?22→，AM＝?－，1?.，1，22?2??2?????→∴NE＝AM且NE與AM不共線．∴NE∥AM.又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.????22?→?(2)由（1）知AM＝1，∵D(2，0,0)，F22，1)，DF＝(0，2，2?2?

1)．

→→→→AM·DF＝0.∴AM⊥DF.→→同理AM⊥BF，又DF∩BF

＝

F，∴AM⊥平面BDF.

第四篇：證明平行與垂直

§9.8 立體幾何中的向量方法Ⅰ——證明

平行與垂直

(時間：45分鐘 滿分：100分)

一、選擇題(每小題7分，共35分)

????????1.已知空間三點A（0,2,3），B（-2,1,6），C（1，-1,5）若a

a分別與AB,AC垂

直，則向量a為??

A.?1，1，1?

B.?－1，－1，－1?

C.?1，1，1?或?－1，－1，－1?

D.?1，－1，1?或?－1，1，－1?,2.已知a＝?1，1，1?，b＝?0，2，－1?，c＝ma＋nb＋?4，－4，1?.若c與a及b都垂直，則m，n的值分別為??,A.－1，2B.1，－2C.1，2D.－1，－

23.已知a＝?1,?,?，b＝??3,?,?

A??35?22???15??滿足a∥b，則λ等于?? 2?2992.B.C.－D.－ 3???2?23????????????????4.已知AB＝?1，5，－2?，BC＝?3，1，z?，若AB⊥BC，BP＝?x－1，y，－3?，且BP⊥平面ABC，則實數x，y，z分別為???A.15401533，－，4B.，－，4 77774040，－2，4D.4，－15 77C.5.若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是??,A.a＝?1，0，0?，n＝?－2，0，0?

B.a＝?1，3，5?，n＝?1，0，1?

C.a＝?0，2，1?，n＝?－1，0，－1?

D.a＝?1，－1，3?，n＝?0，3，1?

二、填空題?每小題6分，共24分?

6.設a＝?1，2，0?，b＝?1，0，1?，則“c＝(的條件.7.若|a|

b＝?1，2，－2?，c＝?2，3，6?，且a⊥b，a⊥c，則a＝.,8.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是棱BC、DD1上的點，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值為

212,?,?)”是“c⊥a，c⊥b且c為單位向量”33

3?????9.設A是空間任一點，n為空間內任一非零向量，則適合條件AM·n=0的點M的軌跡

是.三、解答題?共41分?

10.（13分）已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為BB1、C1D1的中點，建立適當的坐標系，求平面AMN的一個法向量.

11．(14分)如圖，已知ABCD—A1B1C1D1是棱長為3的正

方體，點E在AA1上，點F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求證：E，B，F，D1四點共面；

2(2)若點G在BC上，BG＝，點M在BB1上，GM⊥BF，3垂足為H，求證：EM⊥面BCC1B1.12．(14分)如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平

面互相垂直，AB2，AF＝1，M是線段EF的中點．

求證：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.答案

1.C2.A3.B4.B5.D

6.充分不必要7.??1??181??18,2,?或?，?2,??8.1 5??55??

5.9.過A點且以n為法向量的平面

10.解 以D為原點，DA、DC、DD1所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系?如圖所示?.,設正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，則A?1，0，0?，M(1，1，11)，N(0，1)).22??????1??????1?∴AM??1,0,?,AN??0，1?設平面AMN的一個法向量為n＝?x，y，z?, 2???2?

?????1?n?AM?y?z?0??2? ????1?n?AN??x?y?z?0??

2令y＝2，∴x＝－3，z＝－4.∴n＝(－3,2，－4)．

∴(－3,2，－4)為平面AMN的一個法向量．

????11.證明 建立如圖所示的坐標系，則BE＝(3,0,1)，????→BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

?????????????→???→所以BD1=BE+BF，故BD1，BE，BF共面．

又它們有公共點B，所以E、B、F、D1四點共面．

(2)如圖，設M(0,0，z)，?????2→0，－z?，而BF＝(0，3，2)，GM＝?3??

得z＝1.?????→2由題設得GM?BF=??3?z?2?0，3????因為M(0,0，1)，E（3,0,1），所以ME＝(3,0,0)．

→→又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，從而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，設AC∩BD＝N，連接NE.則點N、E的坐標分別為 ?，0?、(0,0,1)．

2?2?

?????∴NE＝－1?.2?2?

又點A、M的坐標分別是2，2，0)、?22?22→，AM＝?－，1?.，1，22?2??2?????→∴NE＝AM且NE與AM不共線．∴NE∥AM.又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.22→(2)由（1）知AM＝?1?，∵D(2，0,0)，F2，2，1)，2?2?

????DF＝(0，2，1)．

→→→→AM·DF＝0.∴AM⊥DF.→→同理AM⊥BF，又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.

第五篇：高一立體幾何平行垂直證明基礎練習

高一垂直證明基礎練習專項

1、點線面位置關系判定問題

解題方法與技巧：在判定點線面的位置關系時，通常有兩個切入點（1）集合：點、線點、面的位置關系從集合的從屬關系來判定；線、面都是點集，所以在考慮線面關系時從集合與集合的包含關系或者集合與集合的交、并、補關系來判定；（2）幾何：把集合與幾何關系結合來判定線線，線面，面面關系

例1、設是三個不重合的平面，l是直線，給出下列命題

①若，則；

②若l上兩點到的距離相等，則；

③若

④若

其中正確的命題是

（）

A．①②

B．②③

C．②④

D．③④

解析：

①由面面垂直關系已知不成立，可能垂直也可能相交平行。錯誤；②由點到面距離易知直線還可能和平面相交；③因為所以在平面β內一定有一直線垂直α所以正確④根據平行關系易知正確

答案選D

練習1、設，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是（）

（A）若，則

（B）若，則

（C）若，則

（D）若，則

練習2、給定下列四個命題：

（）

①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；

②若一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；

③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；.④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.其中，為真命題的是

A．①和②

B．②和③

C．③和④

D．②和④

練習3.（2009浙江卷文）設是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（）

A．若，則

B．若，則

C．若，則

D．若，則

練習4．順次連接空間四邊形各邊中點所成的四邊形必定是（）

A、平行四邊形

B、菱形

C、正方形

D、梯形

練習題答案：練習1：B；練習2：

D；練習3：

C；練習4：

A；

2、空間中線面的平行垂直證明

例1：如圖：四棱錐—中，底面是平行四邊形，為側棱的中點，證明：∥平面

解析：

證明PC平行于面EBD，只需在面EBD內找一條直線和已知直線平行即可

E為中點，首先考慮構造等腰三角形中位線，取AC中點O連接EO即可

證明：取AC的中點O,連接EO，例2：三棱柱—中，為的中點，為的中點，為的中點，證明：平面∥平面

解析：面面平行的證明定理，證明兩平面內兩組相交直線平行，即把面面

平行問題轉化為線線平行問題，按解決線線平行的思路即可解決問題

證明：連接BC1,EF

分別為BC、B1C1、BB1、CC1的中點，例3：如圖：四棱錐—中，⊥平面，底面是矩形，為的中點，⊥，證明：⊥

解析：線線垂直的證明分同平面直線垂直證明和異平面垂直證明，在處理異平面垂直證

明問題時，優先考慮證明一直線垂直于另一直線所在平面，轉化為線面垂直證明問題

即證明PD垂直于面BEF即可

證明：點

例4：如圖：四棱錐—中，⊥平面，底面是矩形，證明：平面⊥平面

練習1：如圖：四棱錐—中，底面是平行四邊形，為側棱的中點，證明：∥平面

練習2：如圖：三棱柱—中，為的中點，證明：∥平面

練習3：如圖：三棱柱—中，為的中點，證明：∥平面

練習4：如圖：四棱錐—中，底面是平行四邊形，、分別為、的中點，證明：∥平面

練習5：如圖：三棱柱—中，、分別為、的中點，證明：∥平面

練習6：如圖：四棱錐—中，底面是平行四邊形，、分別為、的中點，證明：∥平面

練習7：如圖：三棱柱—中，為的中點，為的中點，證明：∥平面

練習8：如圖：四棱錐—中，⊥平面，底面是梯形，∥，，為的中點，證明：⊥

練習9：如圖：直三棱柱—中，，、分別為、的中點，為的中點，證明：⊥

練習10：如圖：四棱錐—中，⊥平面，⊥，，⊥，⊥，為的中點，證明：⊥

練習11：如圖：四棱錐—中，底面是矩形，平面⊥平面，證明：平面⊥平面

練習12：如圖：五面體中，是正方形，⊥平面，∥，證明：平面⊥平面

練習13：如圖：四棱錐—中，⊥平面，是菱形，為的中點，證明：平面⊥平面

練習14：如圖：四棱錐—中，平面⊥平面，，證明：平面⊥平面