第一篇：2013屆高三數學專題——立體幾何(二)線面平行與垂直

2013屆高三數學專題——立體幾何

（二）線面平行與垂直

一、定理內容（數學語言）

（1）證明線面平行

（2）證明面面平行

（3）證明線面垂直

（4）證明面面垂直

二、定理內容（文字語言與數學圖形）

（1）證明線面平行：

（2）證明面面平行：

（3）證明線面垂直：

（4）證明面面垂直：

三、典型例題

1．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PD?底面ABCD，M、N 分別為PA、BC的中點，且PD?AD．（Ⅰ）求證：MN∥平面PCD；（Ⅱ）求證：AC⊥平面PBD．

M

N

A

B

C

2．在三棱錐P?ABC中，側棱PA?底面ABC，AB?BC，E、F分別是棱BC、PC 的中點．

（Ⅰ）證明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）證明：EF?BC．

3．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?AC．

F

P

A

E

B

C

?BC1；（Ⅰ）若AB?AC，求證：AC

1?BC1，求證：AB?AC．（Ⅱ）若AC1

B

4．在三棱錐P?ABC中，平面PAB?平面ABC，AB?BC，AP?PB，求證：平面PAC?平面PBC．

C

B

5．如圖所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?BB1,AC1?平面A1BD，D為AC的中點．

（Ⅰ）求證：B1C//平面A1BD；（Ⅱ）求證：B1C1?平面ABB1A1；

（Ⅲ）設E是CC1上一點，試確定E的位置使

平面A1BD?平面BDE，并說明理由．

D

A

C

AB1

C1

?

6．三棱柱ABC?A1B1C1中，側棱與底面垂直，?ABC?90，AB?BC?BB1?2，M,N分別是AB，AC1的中點．

（Ⅰ）求證：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求證：MN?平面A1B1C；

（Ⅲ）求三棱錐M?A1B1C的體積．

B

M

A

CN

A1

B1

C1

四、練習

1．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中,AC?3,BC?4,AB?5,AA1?4．（Ⅰ）求證AC?BC1；

（Ⅱ）在AB上是否存在點D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，試給出證明；

若不存在，請說明理由．

CC

1A1

B1

A

B

2．在三棱錐P?ABC中，?PAC和?

PBCAB?2，O是AB中點.（Ⅰ）在棱PA上求一點M，使得OM∥平面

（Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面ABC．

B

．如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，AB?AD?CA?CB?CD?BD?2．

（Ⅰ）求證：AO?平面BCD；

（Ⅱ）在AC上是否存在點F，使AO∥面DEF？若存在，找出點F的位置；

若不存在，說明理由．

B

五、模擬試題與真題

1．如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的側棱長和底面邊長均為2，D是BC的中點．（Ⅰ）求證：AD?平面B1BCC1；（Ⅱ）求證：A1B∥平面ADC1；（Ⅲ）求三棱錐C1?ADB1的體積．

2．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，?BAD?60，Q為AD的 中點，PA?PD?AD?2．（Ⅰ）求證：AD?平面PQB；（Ⅱ）點M在線段PC上，PM?tPC，試確定t的值，使PA//平面MQB．

3．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，ACIBD=O.（Ⅰ）若AC?PD，求證：AC?平面PBD；（Ⅱ）若平面PAC^平面ABCD，求證：PB=PD；

（Ⅲ）在棱PC上是否存在點M（異于點C）使得BM∥平面PAD?

PPM

若存在，求的值；若不存在，說明理由．

?

B

C

PC

B

A

O

C

4．如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，?DAB??DBF?60?，且FA?FC．

（Ⅰ）求證：AC?平面BDEF；（Ⅱ）求證：FC∥平面EAD．

5．四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，側面PAD?底面ABCD，?BCD?60?，PA?PD?E是BC中點，點Q在側棱PC上．

（Ⅰ）求證：AD?PB；（Ⅱ）若

6．已知菱形ABCD中，AB=4，?BAD?60（如圖1所示），將菱形ABCD沿對角線BD翻折，使點C翻折到點C1的位置（如圖2所示），點E，F，M分別是AB，DC1，BC1的中點．（Ⅰ）證明：BD∥平面EMF；（Ⅱ）證明：AC1?BD；

（Ⅲ）當EF?

AB時，求線段AC1的長．

?

PQ

??，當PA∥平面DEQ時，求?的值． PPC

Q

CE

A

B

DC

1FM

A

圖1

BAE

圖2

B

7．如圖1，在Rt?ABC中，?C?90?，D，E分別為

AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將?ADE

沿DE折起到?A1DE的位置，使A1F?CD，如圖2．（Ⅰ）求證：DE//平面A1CB；（Ⅱ）求證：A1F?BE；

A1

DFC

圖1

B

C

F

B

圖2

E

?⊥平面DEQ？（Ⅲ）線段A1B上是否存在點Q，使AC1

說明理由．

第二篇：專題二：立體幾何---線面垂直、面面垂直匯總

專題二：立體幾何---線面垂直、面面垂直

一、知識點

（1）線面垂直性質定理

（2）線面垂直判定定理

（3）面面垂直性質定理

（2）面面垂直判定定理

線面垂直的證明中的找線技巧

通過計算，運用勾股定理尋求線線垂直

M為CC1 的中點，1．如圖1，在正方體ABCD?AAC交BD于點O，求證：AO?1BC11D1中，1平面MBD．

證明：連結MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A?AC?A，∴DB⊥平面A?平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1．

1323a，MO2?a2． 2492222AM?a．∵AO

在Rt△AC中，∴M?MO2?AM1111142設正方體棱長為a，則A1O?A1O?OM． ∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

評注：在證明垂直關系時，有時可以利用棱長、角度大小等數據，通過計算來證明．

利用面面垂直尋求線面垂直

2．如圖2，P是△ABC所在平面外的一點，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求證：BC⊥平面PAC．

證明：在平面PAC內作AD⊥PC交PC于D．

因為平面PAC⊥平面PBC，且兩平面交于PC，AD?平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性質，得AD⊥平面PBC．

又∵BC?平面PBC，∴AD⊥BC．

∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC．

∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

評注：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應將兩條直線中的一條納入一個平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直．在空間圖形中，高一級的垂直關系中蘊含著低一級的垂直關系，通過本題可以看到，面面垂直?線面垂直?線線垂直．

一般來說，線線垂直或面面垂直都可轉化為線面垂直來分析解決，其關系為：線線垂直判定判定????線面垂直???????面面垂直．這三者之間的關系非常密切，可以互相轉化，從前面?????性質性質

推出后面是判定定理，而從后面推出前面是性質定理．同學們應當學會靈活應用這些定理證明問題．下面舉例說明．

3．如圖１所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于E，F，G．求證：AE?SB，AG?SD．

證明：∵SA?平面ABCD，B?BC，C?AE．

∴SA?BC．∵A∴BC?平面SAB．又∵AE?平面SAB，∴B∵SC?平面AEFG，∴SC?AE．∴AE?平面SBC．∴AE?SB．同理可證AG?SD． 評注：本題欲證線線垂直，可轉化為證線面垂直，在線線垂直與線面垂直的轉化中，平面起到了關鍵作用，同學們應多注意考慮線和線所在平面的特征，從而順利實現證明所需要的轉化．

4．如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．

證明：取AB的中點Ｆ，連結CF，DF．

∵AC?BC，∴CF?AB．

∵AD?BD，∴DF?AB．

又CF?DF?F，∴AB?平面CDF．

∵CD?平面CDF，∴CD?AB．

又CD?BE，BE?AB?B，∴CD?平面ABE，CD?AH．

∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E，∴ AH?平面BCD．

評注：本題在運用判定定理證明線面垂直時，將問題轉化為證明線線垂直；而證明線線垂直時，又轉化為證明線面垂直．如此反復，直到證得結論．

5．如圖３，AB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點，PA?平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點，求證：平面AEF⊥平面PBC．

證明：∵AB是圓Ｏ的直徑，∴AC?BC． ∵PA?平面ABC，BC?平面ABC，∴PA?BC．∴BC?平面APC． ∵BC?平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．

∵AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

評注：證明兩個平面垂直時，一般可先從現有的直線中尋找平面的垂線，即證線面垂直，而證線面垂直則需從已知條件出發尋找線線垂直的關系．

10．如圖, 在空間四邊形SABC中, SA?平面ABC, ?ABC = 90?, AN?SB于N, AM?SC于M。求證: ①AN?BC;②SC?平面ANM 分析: ①要證AN?BC, 轉證, BC?平面SAB。

②要證SC?平面ANM, 轉證, SC垂直于平面ANM內的兩條相交直線, 即證SC?AM, SC?AN。要證SC?AN, 轉證AN?平面SBC, 就可以了。證明: ①∵SA?平面ABC

∴SA?BC

又∵BC?AB, 且AB?SA = A

∴BC?平面SAB ∵AN?平面SAB ∴AN?BC

②∵AN?BC, AN?SB, 且SB?BC = B ∴AN?平面SBC ∵SCC平面SBC ∴AN?SC

又∵AM?SC, 且AM?AN = A ∴SC?平面ANM ［例2］如圖9—40，在三棱錐S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．

圖9—40（1）求證：AB⊥BC；（1）【證明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影為SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．

［例3］如圖9—41，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點．

求證：平面MND⊥平面PCD 【證明】取PD中點E，連結EN，EA，則EN AM，∴四邊形ENMA是平行四邊形，∴EA∥MN．

∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，從而MN⊥平面PCD，∵MN?平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．

【注】 證明面面垂直通常是先證明線面垂直，本題中要證MN⊥平面PCD較困難，轉化為證明AE⊥平面PCD就較簡單了．另外，在本題中，當AB的長度變化時，可求異面直線PC與AD所成角的范圍．

12CD ［例4］如圖9—42，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分別是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中點．

圖9—42 求證：平面MNF⊥平面ENF．

【證明】∵M、N、E是中點，∴EB1?B1N?NC1?C1M∴?ENB1??MNC1?45? ∴?MNE?90?即MN⊥EN，又NF⊥平面A1C1，MN?平面A1C1∴MN⊥NF，從而MN⊥平面ENF．∵MN ?平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF．

4．如圖9—45，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形，PA⊥底面ABCD，E為AB的中點，且PA=AB．

圖9—45（1）求證：平面PCE⊥平面PCD；（2）求點A到平面PCE的距離．（1）【證明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又∵四邊形ABCD為矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA為二面角P—CD—B的平面角，∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜邊PD的中點F，則AF⊥PD，∵AF ?面PAD ∴CD⊥AF，又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中點G，連GF、AG、EG，則GF 又AE

12CD12CD，∴GF AE∴四邊形AGEF為平行四邊形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG ?平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．（2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，過F作FH⊥PC于H，則FH⊥平面PEC ∴FH為F到平面PEC的距離，即為A到平面PEC的距離．在△PFH與 △PCD中，∠P為公共角，FHPF?PC，設AD=2，∴PF=2，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴CDPC=PD?CD?8?4?23，22266?2?3∴A到平面PEC的距離為3． ∴FH=23

【拓展練習】

一、備選題

1．如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，PA⊥平面ABC．（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圓周上一點，且與C分居直徑AB的兩側，試寫出圖中所有互相垂直的各對平面．

（1）【證明】∵C是AB為直徑的圓O的圓周上一點，AB是圓O的直徑 ∴BC⊥AC；

又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA，從而BC⊥平面PAC． ∵BC ?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．（2）【解】平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD．

2．ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面邊長為a，D，E分別是BB′，CC′上的一點，1BD＝2a，EC＝a．

（1）求證：平面ADE⊥平面ACC′A′；（2）求截面△ADE的面積．

（1）【證明】分別取A′C′、AC的中點M、N，連結MN，則MN∥A′A∥B′B，∴B′、M、N、B共面，∵M為A′C′中點，B′C′=B′A′，∴B′M⊥A′C′，又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′

∴B′M⊥平面A′ACC′． 設MN交AE于P，a∵CE＝AC，∴PN＝NA＝2．

1又DB＝2a，∴PN＝BD．

∵PN∥BD，∴PNBD是矩形，于是PD∥BN，BN∥B′M，∴PD∥B′M．

∵B′M⊥平面ACC′A′，∴PD⊥平面ACC′A′，而PD?平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACC′A′．（2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′，3∴PD⊥AE，而PD＝B′M＝2a，AE＝2a．

1∴S△ADE＝2×AE×PD 13622a?a?a224＝×．

二、練習題

第三篇：立體幾何線面平行問題

線線問題及線面平行問題

一、知識點 1 1）相交——有且只有一個公共點；（2）平行——在同一平面內，沒有公共點；（3）異面——不在任何一個平面內，沒有公共點； ．．

2.公理4 ：推理模式：a//b,b//c?a//c．

3.等角定理：4.等角定理的推論:若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.5.空間兩條異面直線的畫法

6．異面直線定理：連結平面內一點與平面外一點的直線，b

a

1AA

推理模式：A??,B??,l??,B?l?AB與l

7．異面直線所成的角：已知兩條異面直線a,b，經過空間任一點O作直線a?//a,b?//b，a?,b?所成的角的大小與點O的選擇無關，把a?,b?所成的銳角（或直角）叫異面直線a,b所成的角（或夾角）．為了簡便，點O(0,?

28．異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直．兩條異面直線a,b 垂直，記作a?b．

9．求異面直線所成的角的方法：（1）通過平移，在一條直線上找一點，過該點做另一直線的平行線；

（210．兩條異面直線的公垂線、距離：和兩條異面直線都垂直相交．．．．

異面直線的的定義要注意“相交

11．異面直線間的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段垂線段）的長度，叫做兩條異面直線間的距離．

12．直線和平面的位置關系（1）直線在平面內（無數個公共a點）；（2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）；（3）直

?線和平面平行（沒有公共點）——用兩分法進行兩次分

類．它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為a??，a???A，a//?． a?13．線面平行的判定定理：如果平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．推理模式：l??,m??,l//m?l//?．

14.線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這

相交，那么這條直線和交線平行．推理模式：l//?,l??,????m?l//m．

?lm個平面?

二、基本題型

1．判斷題（對的打“√”，錯的打“×”）

（1）垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條（）

（2）兩線段AB、CD不在同一平面內，如果AC=BD，AD=BC，則AB⊥CD（）（3）在正方體中，相鄰兩側面的一對異面的對角線所成的角為60o（）（4）四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對邊垂直（）

2．右圖是正方體平面展開圖，在這個正方體中

C

①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60o角； ④DM與BN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是（）（A）①②③（B）②④（C）③④（DF

3．已知空間四邊形ABCD.(1)求證：對角線AC與BD是異面直線;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點,試判斷四邊形EFGH的形狀;(3)若AB＝

BC＝CD＝DA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.4．完成下列證明，已知直線a、b、c不共面，它們相交于點P，A?a，D?a，B?b，E?c求證：BD和AE證明：假設__ 共面于?，則點A、E、B、D都在平面__?A?a，D?a，∴__?γ.?P?a，∴P?__.?P?b，B?b，P?c，E?c∴__??，__??，這與____矛 ∴BD、E,F,G,H分別是空間四邊形四條邊AB,BC,CD,DA的中點，（1）求證四邊形EFGH是

2）若AC⊥BD時，求證：EFGH為矩形；（3）若BD=2，AC=6，求EG

?HF

；（4）

若AC、BD成30o角，AC=6，BD=4，求四邊形EFGH的面積；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC與BD間的距離.6 間四邊形ABCD中，AD?BC?2，E,F分別是AB,CD的中點，EF?AD,BC7.在正方體ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B與B1D1所成角;(2)AC與BD1所成角.8．在長方體ABCD?A?B?C?D中，已知AB=a，BC=b，AA?=c(a＞b)，求異面直線D?B與AC

9．如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別

是AB、PC1）求證：MN//平面PAD；（2）若MN?BC?4，PA? 求異面

直線PA與MN10．如圖,正方形ABCD與ABEF不在同一平面內,M、N分別在AC、BF上，且AM?FN求證：MN//平面CBE

參考答案：

1.（1）×（2）×（3）√（4）×2.C

3.證明：(1)∵ABCD是空間四邊形,∴A點不在平面BCD上,而C?平面BCD, ∴AC過平面BCD外一點A與平面BCD內一點C, 又∵BD?平面BCD,且C?BD.∴AC與BD是異面直線.(2)解如圖,∵E,F分別為AB,BC的中點,∴EF//AC,且EF=同理HG//AC,且HG=

212

AC.AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四邊形.又∵F,G分別為BC,CD的中點,∴FG//BD,∴∠EFG是異面直線AC與BD所成的角.o

∵AC⊥BD,∴∠EFG=90.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中點E,AC中點F,連EF,則EF即為所求.4.答案：假設BD、AE共面于?，則點A、E、B、D都在平面 ? ∵A?a，D?a，∴ a ??.∵P?a，P? ?.∵P?b，B?b，P?c，E?c.∴ b ??，c ??，這與a、b、c∴BD、AE5.證明（1）：連結AC,BD，∵E,F是?ABC的邊AB,BC上的中點，∴EF//AC，同理，HG//AC，∴EF//HG，同理，EH//FG，所以，四邊形EFGH證明（2）：由（1）四邊形EFGH∵EF//AC，EH//BD，∴由AC⊥BD得，EF?EH，∴EFGH為矩形.解（3）：由（1）四邊形EFGH∵BD=2，AC=6，∴EF?

2AC?3,EH?

BD?

1∴由平行四邊形的對角線的性質 EG?HF?2(EF

?EH)?20.B

D解（4）：由（1）四邊形EFGH∵BD=4，AC=6，∴EF?

又∵EF//AC，EH//BD，AC、BD成30o角，∴EF、EH成30o角，AC?3,EH?

BD?

2∴四邊形EFGH的面積 S?EF?EHsin30

?3.解（5）：分別取AC與BD的中點M、N,連接MN、MB、MD、NA、NC，∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝3 ∴MN?AC,MN?BD，∴MN是AC與BD的公垂線段 且MN?

MB

?NB

?2∴AC與BD間的距離為2.6.解：取BD中點G，連結EG,FG,EF，∵E,F分別是AB,CD的中點，∴EG//AD,FG//BC,且EG?

2AD?1,FG?

BC?1，∴異面直線AD,BC所成的角即為EG,FG所成的角，EG?FG?EF

2EG?FG

在?EGF中，cos?EGF???

?，G

F

D

∴?EGF?120，異面直線AD,BC所成的角為60．

7.解(1)如圖,連結BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1為平行四邊形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的對角線.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60,∵∠A1BD是銳角,∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角.∴A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點E,連EO,EA,EC.∵O為BD中點,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中點,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.又∴∠EOA是異面直線AC與BD1所成角,∴AC與BD1成角90.8.解(1)如圖,連結BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1為平行四邊形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的對角線.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形, ∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是銳角,∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角.∴A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點E,連EO,EA,EC.∵O為BD中點,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.o

在等腰△EAC中,∵O是AC的中點,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90.又∴∠EOA是異面直線AC與BD1所成角,∴AC與BD成角90o.9.略證（1）取PD的中點H，連接AH，?NH//DC,NH?

12DC

o

o

?

C

?NH//AM,NH?AM?AMNH為平行四邊形 ?MN//AH,MN?PAD,AH?PAD?MN//PAD

解(2): 連接AC并取其中點為O，連接OM、ON，則OM平行且等于BC的一半，ON平行且等

于PA的一半，所以?ONM就是異面直線PA與MN所成的角，由

MN?BC?

4，PA?OM=2，ON=

所以?ONM?300，即異面直線PA與MN成30010.略證：作MT//AB,NH//AB分別交BC、BE于T、H點

AM?FN??CMT≌BNH?MT?NH

從而有MNHT為平行四邊形?MN//TH?MN//CBE

E

第四篇：2012高一數學必修二立體幾何的線面垂直

2012必修二立體幾何的線面垂直

1．如圖，四面體ABCD中，AD?平面BCD，E、F分別為AD、AC的中點，BC?CD． 求證：（1）EF//平面BCD（2）BC?平面ACD．

2.如圖，P為?ABC所在平面外一點，PA?平面ABC，?ABC?90?，AE?PB于E，AF?PC于F PF求證：（1）BC?平面PAB；

（2）AE?平面PBC；

（3）PC?平面AEF．

BAEC3、如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）求證：AC⊥平面B1D1DB;（2）求證：BD1⊥平面ACB1（3）求三棱錐B-ACB1體積．

D

1A

D

C

B

C1

A1

B14、已知正方體ABCD?A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點.求證：（１）C1O∥面AB1D

1DABBC1

?面AB1D1．（2）AC1

C

?

5．如圖，在三棱錐P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90，AP?BP?AB，PC?AC．求證：PC?AB；

P

A B

C

6.如圖，在三棱錐S-ABC中，?SAB??SAC??ACB?90?，證明SC⊥BC

7.如圖9-29，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點． 求證：MN⊥AB．

8.如圖：在斜邊為AB的Rt△ABC中，過點A作PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，（１）求證：BC⊥平面PAC；（２）求證：PB⊥平面AEF.PE

F

A

B

C2

9.如圖：PA⊥平面PBC，AB＝AC，M是BC的中點，求證：BC⊥PM.P

A

B

第五篇：立體幾何中線面平行垂直性質判定2012

2012考前集訓高頻考點立體幾何考綱解讀

必須掌握空間中線面平行、垂直的有關性質與判定定理

判定定理

1.如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，則這條直線與這個平面平行.即若a??,b??,a//b,則a//?.2.如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行，即若a,b??,a?b?p,a//?,b//?,則?//?.3.如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.即若m??,n??,m?n?B,l?m,l?n,則l??.4.如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直，即若l??,l??,則???.性質定理

1.如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行，即若a//?,a??,????b,則a//b.2.兩平行平面與同一個平面相交，那么兩條交線平行，即若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,則a//b

3.垂直于同一平面的兩直線平行，即若a??,b??,則a//b

4.如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面，即若???，????a,l??,l?a,則l??.必須掌握常見幾何體的表面積及體積公式：

V柱體?Sh(S為底面積,h為柱體高)

V錐體?V臺體

V球體1Sh(S為底面積,h為柱體高)31?(S'?S'S?S)h(S',S分別為上,下底面積,h為臺體高)34??R3(R為球體半徑)

31.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.若Ｍ是線段ＡＤ的中點，求證：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;

【解析】連結AF,因為EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，EF∩ＦＧ=F,所以平面EFG∥平面ABCD,又易證

?EFG∽?ABC, 所以

FGEF111??,即FG?BC,即FG?AD,又M為

AD BCAB222-1-的中點,所以AM?1AD,又因為ＦＧ∥ＢＣ∥ＡD，所以ＦＧ∥ＡM,所以四邊形AMGF是平行四邊形,故

2GM∥FA,又因為ＧＭ?平面ＡＢＦＥ,FA?平面ＡＢＦＥ,所以ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ.2．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延長A1C1至點P，使C1P＝A1C1，連接AP交棱CC1于D．求證：PB1∥平面BDA1；

本小題主要考查直三棱柱的性質、線面關系、二面角等基本知識，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應用向量知識解決問題的能力．

解：連結AB1與BA1交于點O，連結OD，∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O，∴OD∥PB1，又OD?面BDA1，PB1?面BDA1，∴PB1∥平面BDA1．

3.如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，CE∥AB。

（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；

（Ⅱ）若PA＝AB＝1，AD＝3，CD2，∠CDA＝45°，求四棱錐P－ABCD的體積

D

C

分析：本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系，幾何體的體積等基礎知識；考查空間想象能

力，推理論證能力，運算求解能力；考查數形結合思想，化歸與轉化思想，滿分12分

（I）證明：因為PA?平面ABCD，CE?平面ABCD，所以PA?CE.，因為AB?AD,CE//AB,所以CE?AD.又PA?AD?A,所以CE?平面PAD。

（II）由（I）可知CE?AD，在Rt?ECD中，DE=CD?cos45??1,CE?CD?sin45??1,又因為AB?CE?1,AB//CE，所以四邊形ABCE為矩形，所以S四邊形ABCD?S矩形ADCE?S?ECD?AB?AE?

又PA?平面ABCD，PA=1，所以V四邊形P?ABCD?P115CE?DE?1?2??1?1?.2221155S四邊形ABCD?PA???1?.3326

4.如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點

求證：（1）直線EF//平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面

PAD.-2-

(第16題圖)

答案：（1）因為E、F分別是AP、AD的中點，?EF?PD,又?PD?面PCD,EF?面PCD

?直線EF//平面PCD

（2）連接BD?AB=AD,?BAD=60?,?ABD為正三角形

F是AD的中點，?BF?AD,又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD?面ABCD＝AD,?BF?面PAD,BF?面BEF

所以，平面BEF⊥平面PAD.5．如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=1PD． 2

（I）證明：PQ⊥平面DCQ；

（II）求棱錐Q—ABCD的的體積與棱錐P—DCQ的體積的比值．

解：（I）由條件知PDAQ為直角梯形

因為QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD.又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ

⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得，則PQ⊥QD 所以PQ⊥平面DCQ.………………6分

（II）設AB=a.由題設知AQ為棱錐Q—ABCD的高，所以棱錐Q—ABCD的體積V1?

由（I）知PQ為棱錐P—DCQ的高，而，△DCQ的面積為

所以棱錐P—DCQ的體積為V2?13a.32，213a.3

故棱錐Q—ABCD的體積與棱錐P—DCQ的體積的比值為1.…………12分

ABCD，底面ABCD是平行四邊形，6．山東文如圖，在四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，D1D?平面

AB=2AD，AD=A1B1，?BAD=60°

（Ⅰ）證明：AA1?BD；

（Ⅱ）證明：CC1∥平面A1BD．

（I）證法一：

因為D1D?平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以D1D?BD，又因為AB=2AD，?BAD?60?，在?ABD中，由余弦定理得

BD2?AD2?AB2?2AD?ABcos60??3AD2，所以AD2?BD2?AB2，因此AD?BD，又AD?D1D?D,所以BD?平面ADD1A1?平面ADD1A1，故AA1?BD.1.又AA

證法二：

因為D1D?平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以BD?D1D.，取AB的中點G，連接DG，在?ABD中，由AB=2AD得AG=AD，又?BAD?60?，所以?ADG為等邊三角形。

因此GD=GB，故?DBG??GDB，又?AGD?60?，所以?GDB=30?,故?ADB=?ADG+?GDB=60?+30?=90?,所以BD?AD.又AD?D1D?D,所以BD?平面ADD1A1，又AA1?平面ADD1A1，故AA1?BD.（II）連接AC，A1C1，設AC?BD?E，連接EA1

因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以EC?1AC.2

由棱臺定義及AB=2AD=2A1B1知A1C1//EC且A1C1=EC，所以邊四形A1ECC1為平行四邊形，因此CC1//EA1，又因為EA1?平面A1BD，CC1?平面A1BD，所以CC1//平面A1BD。

7.如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90，（1）證明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；

（2）設BD=1，求三棱錐D—ＡＢＣ的表面積。

【分析】（1）確定圖形在折起前后的不變性質，如角的大小不變，線段長度不變，線線關系不變，再由面面垂直的判定定理進行推理證明；（2）充分利用垂直所得的直角三角形，根據直角三角形的面積公式計算．

【解】（1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ邊上的高，∴ 當Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，又DB?ＤＣ＝Ｄ，∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD

∴平面ABD⊥平面BDC．

（2）由（1）知，DA?DB,DB?DC,DC?DA,?DB=DA=DC=1，平面BDC.?

111S?DAM?S?

DBC?S?DCA??1?1?,S?

ABC?sin60?? 2222

13S??3?? ∴三棱錐D

—ＡＢＣ的表面積是222

8.在四面體ABCD中，平面ABC?平面ACD，AB?BC，AD?CD，?CAD????。若AD??，AB??BC，求四面體ABCD的體積；

解：如答（19）圖1，設F為AC的中點，由于AD=CD，所以

DF⊥AC.故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°

在Rt△ABC中，因

AC=2AF=

AB=2BC，由勾股定理易知

BC?； AB?故四面體ABCD的體積

1114V??S?ABC?DF???.3325

9.如圖，在四面體的體積;中，平面平面，,.求四面體

解法一：如答（20）圖1，過D作DF⊥AC垂足為F，故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF

是四面體ABCD的面ABC上的高，設G為邊CD的中點，則由AC=AD，知AG⊥CD，從而

AG???2A

C

B11AG?CD由AC?DF?CD?AG得DF??22AC由

Rt?ABC中,AB??S?ABC?1AB?BC? 2故四面體ABCD的體積V?

1?S?ABC?DF?

38-5-