第一篇：立體幾何(線、面平行、垂直的有關(guān)結(jié)論)必修2 立體幾何線面關(guān)系的判定與性質(zhì)

立體幾何（線面平行、垂直的有關(guān)結(jié)論）

空間中線面平行、垂直關(guān)系有關(guān)的定理：

1、【線面平行的判定】平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線和這個(gè)平面平行。

2、【線面平行的性質(zhì)】如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行。

3、如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

4、如果兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面。

5、如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面平行。

6、如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

7、一條直線與兩條平行直線中的一條直線相垂直，則這條直線也與另一條直線垂直。

8、與同一條直線都垂直的兩條直線相互平行。（）

9、與同一個(gè)平面都垂直的兩條直線相互平行。

10、兩條平行直線中的一條直線與一個(gè)平面相垂直，則另一條直線也垂直于這個(gè)平面。

11、兩條相互垂直的直線中的一條平行于一個(gè)平面，則另一條直線垂直于這個(gè)平面。（）

12、兩條相互垂直的直線中的一條垂直于以個(gè)平面，則另一條直線平行于這個(gè)平面。（）

13、平面外的兩條相互垂直的直線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條直線平行于這個(gè)平面。

14、一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么該直線也垂直于另一個(gè)平面。

15、如果兩個(gè)平面垂直于同一條直線，那么這兩個(gè)平面平行。

16、兩個(gè)平面都與另一個(gè)平面相垂直，則這兩個(gè)平面平行。（）

17、一個(gè)平面垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面，則此平面也垂直于另一個(gè)平面。

18、如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直。

19、如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線。

20、如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直。

21、如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

【知識(shí)歸納】： 【典型例題】： 【高考小題】：

第二篇：立體幾何中線面平行垂直性質(zhì)判定2012

2012考前集訓(xùn)高頻考點(diǎn)立體幾何考綱解讀

必須掌握空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理

判定定理

1.如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個(gè)平面平行.即若a??,b??,a//b,則a//?.2.如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，即若a,b??,a?b?p,a//?,b//?,則?//?.3.如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.即若m??,n??,m?n?B,l?m,l?n,則l??.4.如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即若l??,l??,則???.性質(zhì)定理

1.如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行，即若a//?,a??,????b,則a//b.2.兩平行平面與同一個(gè)平面相交，那么兩條交線平行，即若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,則a//b

3.垂直于同一平面的兩直線平行，即若a??,b??,則a//b

4.如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面，即若???，????a,l??,l?a,則l??.必須掌握常見幾何體的表面積及體積公式：

V柱體?Sh(S為底面積,h為柱體高)

V錐體?V臺(tái)體

V球體1Sh(S為底面積,h為柱體高)31?(S'?S'S?S)h(S',S分別為上,下底面積,h為臺(tái)體高)34??R3(R為球體半徑)

31.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.若Ｍ是線段ＡＤ的中點(diǎn)，求證：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;

【解析】連結(jié)AF,因?yàn)镋F∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，EF∩ＦＧ=F,所以平面EFG∥平面ABCD,又易證

?EFG∽?ABC, 所以

FGEF111??,即FG?BC,即FG?AD,又M為

AD BCAB222-1-的中點(diǎn),所以AM?1AD,又因?yàn)椋疲恰危拢谩危罝，所以ＦＧ∥ＡM,所以四邊形AMGF是平行四邊形,故

2GM∥FA,又因?yàn)椋牵?平面ＡＢＦＥ,FA?平面ＡＢＦＥ,所以ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ.2．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延長(zhǎng)A1C1至點(diǎn)P，使C1P＝A1C1，連接AP交棱CC1于D．求證：PB1∥平面BDA1；

本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、線面關(guān)系、二面角等基本知識(shí)，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決問(wèn)題的能力．

解：連結(jié)AB1與BA1交于點(diǎn)O，連結(jié)OD，∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O，∴OD∥PB1，又OD?面BDA1，PB1?面BDA1，∴PB1∥平面BDA1．

3.如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點(diǎn)E在線段AD上，CE∥AB。

（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；

（Ⅱ）若PA＝AB＝1，AD＝3，CD2，∠CDA＝45°，求四棱錐P－ABCD的體積

D

C

分析：本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，幾何體的體積等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能

力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分12分

（I）證明：因?yàn)镻A?平面ABCD，CE?平面ABCD，所以PA?CE.，因?yàn)锳B?AD,CE//AB,所以CE?AD.又PA?AD?A,所以CE?平面PAD。

（II）由（I）可知CE?AD，在Rt?ECD中，DE=CD?cos45??1,CE?CD?sin45??1,又因?yàn)锳B?CE?1,AB//CE，所以四邊形ABCE為矩形，所以S四邊形ABCD?S矩形ADCE?S?ECD?AB?AE?

又PA?平面ABCD，PA=1，所以V四邊形P?ABCD?P115CE?DE?1?2??1?1?.2221155S四邊形ABCD?PA???1?.3326

4.如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)

求證：（1）直線EF//平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面

PAD.-2-

(第16題圖)

答案：（1）因?yàn)镋、F分別是AP、AD的中點(diǎn)，?EF?PD,又?PD?面PCD,EF?面PCD

?直線EF//平面PCD

（2）連接BD?AB=AD,?BAD=60?,?ABD為正三角形

F是AD的中點(diǎn)，?BF?AD,又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD?面ABCD＝AD,?BF?面PAD,BF?面BEF

所以，平面BEF⊥平面PAD.5．如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=1PD． 2

（I）證明：PQ⊥平面DCQ；

（II）求棱錐Q—ABCD的的體積與棱錐P—DCQ的體積的比值．

解：（I）由條件知PDAQ為直角梯形

因?yàn)镼A⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD.又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ

⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得，則PQ⊥QD 所以PQ⊥平面DCQ.………………6分

（II）設(shè)AB=a.由題設(shè)知AQ為棱錐Q—ABCD的高，所以棱錐Q—ABCD的體積V1?

由（I）知PQ為棱錐P—DCQ的高，而，△DCQ的面積為

所以棱錐P—DCQ的體積為V2?13a.32，213a.3

故棱錐Q—ABCD的體積與棱錐P—DCQ的體積的比值為1.…………12分

ABCD，底面ABCD是平行四邊形，6．山東文如圖，在四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，D1D?平面

AB=2AD，AD=A1B1，?BAD=60°

（Ⅰ）證明：AA1?BD；

（Ⅱ）證明：CC1∥平面A1BD．

（I）證法一：

因?yàn)镈1D?平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以D1D?BD，又因?yàn)锳B=2AD，?BAD?60?，在?ABD中，由余弦定理得

BD2?AD2?AB2?2AD?ABcos60??3AD2，所以AD2?BD2?AB2，因此AD?BD，又AD?D1D?D,所以BD?平面ADD1A1?平面ADD1A1，故AA1?BD.1.又AA

證法二：

因?yàn)镈1D?平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以BD?D1D.，取AB的中點(diǎn)G，連接DG，在?ABD中，由AB=2AD得AG=AD，又?BAD?60?，所以?ADG為等邊三角形。

因此GD=GB，故?DBG??GDB，又?AGD?60?，所以?GDB=30?,故?ADB=?ADG+?GDB=60?+30?=90?,所以BD?AD.又AD?D1D?D,所以BD?平面ADD1A1，又AA1?平面ADD1A1，故AA1?BD.（II）連接AC，A1C1，設(shè)AC?BD?E，連接EA1

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以EC?1AC.2

由棱臺(tái)定義及AB=2AD=2A1B1知A1C1//EC且A1C1=EC，所以邊四形A1ECC1為平行四邊形，因此CC1//EA1，又因?yàn)镋A1?平面A1BD，CC1?平面A1BD，所以CC1//平面A1BD。

7.如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90，（1）證明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；

（2）設(shè)BD=1，求三棱錐D—ＡＢＣ的表面積。

【分析】（1）確定圖形在折起前后的不變性質(zhì)，如角的大小不變，線段長(zhǎng)度不變，線線關(guān)系不變，再由面面垂直的判定定理進(jìn)行推理證明；（2）充分利用垂直所得的直角三角形，根據(jù)直角三角形的面積公式計(jì)算．

【解】（1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ邊上的高，∴ 當(dāng)Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，又DB?ＤＣ＝Ｄ，∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD

∴平面ABD⊥平面BDC．

（2）由（1）知，DA?DB,DB?DC,DC?DA,?DB=DA=DC=1，平面BDC.?

111S?DAM?S?

DBC?S?DCA??1?1?,S?

ABC?sin60?? 2222

13S??3?? ∴三棱錐D

—ＡＢＣ的表面積是222

8.在四面體ABCD中，平面ABC?平面ACD，AB?BC，AD?CD，?CAD????。若AD??，AB??BC，求四面體ABCD的體積；

解：如答（19）圖1，設(shè)F為AC的中點(diǎn)，由于AD=CD，所以

DF⊥AC.故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°

在Rt△ABC中，因

AC=2AF=

AB=2BC，由勾股定理易知

BC?； AB?故四面體ABCD的體積

1114V??S?ABC?DF???.3325

9.如圖，在四面體的體積;中，平面平面，,.求四面體

解法一：如答（20）圖1，過(guò)D作DF⊥AC垂足為F，故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF

是四面體ABCD的面ABC上的高，設(shè)G為邊CD的中點(diǎn)，則由AC=AD，知AG⊥CD，從而

AG???2A

C

B11AG?CD由AC?DF?CD?AG得DF??22AC由

Rt?ABC中,AB??S?ABC?1AB?BC? 2故四面體ABCD的體積V?

1?S?ABC?DF?

38-5-

第三篇：線線平行垂直,線面平行垂直,面面平行垂直判定與性質(zhì)

1.線線平行

判定：a用向量，方向向量平行b一條直線平行于另一個(gè)平面，則它平行于它所在平面與那個(gè)平面的交線。C若一平面與兩平行平面相交，則兩交線平行。D同時(shí)與一平面垂直的兩直線平行。E同時(shí)平行于一條直線的兩直線平行。

性質(zhì)：貌似沒(méi)啥性質(zhì)，一般是證明線面關(guān)系的時(shí)候先證明線線關(guān)系。

2.線線垂直

判定：a向量，方向向量垂直b直線垂直于平面，則直線與平面中的任意直線都垂直c第一條直線與第二條直線平行，第一條垂直于第三條，則第二條也垂直于第三條d把兩直線放在一個(gè)平面中，利用平面幾何各種判定方法，如等腰三角形的底和高等。E（重點(diǎn)）三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線，如果和過(guò)平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直，那么它就和這條斜線垂直。三垂線逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和過(guò)平面的一條斜線垂直，那么它也垂直于斜線在平面內(nèi)的射影。（這個(gè)比較重要，記不住的話找一下例題，多看看圖就好了）性質(zhì)：貌似也沒(méi)什么性質(zhì)，一般也是要證明線面關(guān)系的時(shí)候用到它。注意：第一條直線垂直于第二條直線，第一條直線垂直于第三條直線，則第二條直線與第三條直線可垂直可平行也可普通相交。

3,線面平行

判定：a面外一條線與面內(nèi)一條線平行。（常用）b空間向量法，證明線一平行向量與面內(nèi)一向量（x1x2-y1y2=0）（常用）c面外一直線上不同兩點(diǎn)到面的距離相等d證明線面無(wú)交點(diǎn)（定義）e反證法（線與面相交，再推翻）

性質(zhì)：平面外一條直線與此平面平行，則過(guò)這條直線的任意平面與此平面的交線與該直線平行。

4.線面垂直

判定:a一條線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直,那么這條直線和這個(gè)平面垂直b兩個(gè)平面垂直,其中一個(gè)平面內(nèi)的直線垂直兩平面的交線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直c直線的方向向量與平面的法向量平行

性質(zhì)：如果兩條直線同時(shí)垂直一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

5.面面平行

判定a一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行。（常用）b如果兩平面同時(shí)垂直于一條直線，則兩平面平行（大題一般不用）

性質(zhì)：a兩個(gè)平面平行，在一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另外一個(gè)平面b兩個(gè)平面平行，和一個(gè)平面垂直的直線必垂直于另外一個(gè)平面c兩個(gè)平行平面，分別和第三個(gè)平面相交，交線平行d平行平面所截的線段對(duì)應(yīng)成比例（這個(gè)是推論，不好描述，書上或練習(xí)冊(cè)上應(yīng)該有類似的題）

6.面面垂直

判定：一個(gè)面如果過(guò)另外一個(gè)面的垂線，那么這兩個(gè)面相互垂直

性質(zhì)：a如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。b如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)。C如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面。D三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直。

第四篇：2013屆高三數(shù)學(xué)專題——立體幾何(二)線面平行與垂直

2013屆高三數(shù)學(xué)專題——立體幾何

（二）線面平行與垂直

一、定理內(nèi)容（數(shù)學(xué)語(yǔ)言）

（1）證明線面平行

（2）證明面面平行

（3）證明線面垂直

（4）證明面面垂直

二、定理內(nèi)容（文字語(yǔ)言與數(shù)學(xué)圖形）

（1）證明線面平行：

（2）證明面面平行：

（3）證明線面垂直：

（4）證明面面垂直：

三、典型例題

1．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PD?底面ABCD，M、N 分別為PA、BC的中點(diǎn)，且PD?AD．（Ⅰ）求證：MN∥平面PCD；（Ⅱ）求證：AC⊥平面PBD．

M

N

A

B

C

2．在三棱錐P?ABC中，側(cè)棱PA?底面ABC，AB?BC，E、F分別是棱BC、PC 的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）證明：EF?BC．

3．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?AC．

F

P

A

E

B

C

?BC1；（Ⅰ）若AB?AC，求證：AC

1?BC1，求證：AB?AC．（Ⅱ）若AC1

B

4．在三棱錐P?ABC中，平面PAB?平面ABC，AB?BC，AP?PB，求證：平面PAC?平面PBC．

C

B

5．如圖所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?BB1,AC1?平面A1BD，D為AC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：B1C//平面A1BD；（Ⅱ）求證：B1C1?平面ABB1A1；

（Ⅲ）設(shè)E是CC1上一點(diǎn)，試確定E的位置使

平面A1BD?平面BDE，并說(shuō)明理由．

D

A

C

AB1

C1

?

6．三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)棱與底面垂直，?ABC?90，AB?BC?BB1?2，M,N分別是AB，AC1的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求證：MN?平面A1B1C；

（Ⅲ）求三棱錐M?A1B1C的體積．

B

M

A

CN

A1

B1

C1

四、練習(xí)

1．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中,AC?3,BC?4,AB?5,AA1?4．（Ⅰ）求證AC?BC1；

（Ⅱ）在AB上是否存在點(diǎn)D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，試給出證明；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

CC

1A1

B1

A

B

2．在三棱錐P?ABC中，?PAC和?

PBCAB?2，O是AB中點(diǎn).（Ⅰ）在棱PA上求一點(diǎn)M，使得OM∥平面

（Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面ABC．

B

．如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，AB?AD?CA?CB?CD?BD?2．

（Ⅰ）求證：AO?平面BCD；

（Ⅱ）在AC上是否存在點(diǎn)F，使AO∥面DEF？若存在，找出點(diǎn)F的位置；

若不存在，說(shuō)明理由．

B

五、模擬試題與真題

1．如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2，D是BC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AD?平面B1BCC1；（Ⅱ）求證：A1B∥平面ADC1；（Ⅲ）求三棱錐C1?ADB1的體積．

2．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，?BAD?60，Q為AD的 中點(diǎn)，PA?PD?AD?2．（Ⅰ）求證：AD?平面PQB；（Ⅱ）點(diǎn)M在線段PC上，PM?tPC，試確定t的值，使PA//平面MQB．

3．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，ACIBD=O.（Ⅰ）若AC?PD，求證：AC?平面PBD；（Ⅱ）若平面PAC^平面ABCD，求證：PB=PD；

（Ⅲ）在棱PC上是否存在點(diǎn)M（異于點(diǎn)C）使得BM∥平面PAD?

PPM

若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．

?

B

C

PC

B

A

O

C

4．如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，?DAB??DBF?60?，且FA?FC．

（Ⅰ）求證：AC?平面BDEF；（Ⅱ）求證：FC∥平面EAD．

5．四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)面PAD?底面ABCD，?BCD?60?，PA?PD?E是BC中點(diǎn)，點(diǎn)Q在側(cè)棱PC上．

（Ⅰ）求證：AD?PB；（Ⅱ）若

6．已知菱形ABCD中，AB=4，?BAD?60（如圖1所示），將菱形ABCD沿對(duì)角線BD翻折，使點(diǎn)C翻折到點(diǎn)C1的位置（如圖2所示），點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別是AB，DC1，BC1的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：BD∥平面EMF；（Ⅱ）證明：AC1?BD；

（Ⅲ）當(dāng)EF?

AB時(shí)，求線段AC1的長(zhǎng)．

?

PQ

??，當(dāng)PA∥平面DEQ時(shí)，求?的值． PPC

Q

CE

A

B

DC

1FM

A

圖1

BAE

圖2

B

7．如圖1，在Rt?ABC中，?C?90?，D，E分別為

AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將?ADE

沿DE折起到?A1DE的位置，使A1F?CD，如圖2．（Ⅰ）求證：DE//平面A1CB；（Ⅱ）求證：A1F?BE；

A1

DFC

圖1

B

C

F

B

圖2

E

?⊥平面DEQ？（Ⅲ）線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使AC1

說(shuō)明理由．

第五篇：線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)

清新縣濱江中學(xué)2012屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)資料2011-12-

31空間中的垂直關(guān)系

1．判斷線線垂直的方法：所成的角是，兩直線垂直；

垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條。

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的，那么它也和這條斜線垂直。三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直

PO??,O????推理模式： PA???A??a?AO。

a??,a?AP??

2．線面垂直

定義：如果一條直線l和一個(gè)平面α相交，并且和平面α內(nèi)的任意一條直線都，我們就說(shuō)直線l和平面αl叫做平面的垂線，平面α叫做直線l的垂面,直線與平面的交點(diǎn)叫做垂足。直線l與平面α垂直記作：。

直線與平面垂直的判定定理：如果，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。

推理模式：

直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線。

3．面面垂直

兩個(gè)平面垂直的定義：相交成的兩個(gè)平面叫做互相垂直的平面。兩平面垂直的判定定理：（線面垂直?面面垂直）

如果，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

推理模式：

兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直?線面垂直）

若兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的的直線垂直于另一個(gè)平面。

課后練習(xí)

1、（2008上海，13）給定空間中的直線l及平面?，條件“直線l與平面?內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面?垂直”的（）條件

A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要

2、已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線l是異面直線AB1 和A1D的公垂線，則直線l與直線BD1的關(guān)系為（）

A．l⊥BD1B．l∥BD1C．l與BD1 相交D．不確定

1、如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)

(1)求證：CD⊥AE；

(2)求證：PD⊥面ABE.2、如圖，棱柱ABC?A1B1C1BCC1B1的側(cè)面是菱形，B1C?A1B

證明：平面AB1C?平面A1BC13、如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形。?DAB?60,AB?2AD,PD?? 底面ABCD，證

明：PA?BD4、如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點(diǎn)

（Ⅰ）求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值；

（Ⅱ）證明：平面ABM⊥平面A1B1M

面面垂直的性質(zhì)

1、S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求證AB⊥BC.S

A C2、在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 證明:AB⊥平面VAD

V D

C B3、如圖，平行四邊形ABCD中，?DAB?60?，AB?2,AD?4將

沿BD折起到?EBD的位置，使平面EDB?平面ABD 求證：AB?DE4、如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn) 求證：（1）直線EF‖平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

(第4題

圖)

?CBD

5．如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝2，D 是A1B1 中點(diǎn)．（1）求證C1D ⊥平面A1B ；（2）當(dāng)點(diǎn)F 在BB1 上什么位置時(shí)，會(huì)使得AB1 ⊥平面C1DF ？并證明你的結(jié)論