第一篇：1.2《點線面之間的位置關系--線面垂直的判定和性質2》教案(蘇教版必修2)

第17課時 直線與平面垂直的判定和性質

（二）教學目標：

使學生掌握直線和平面垂直的性質，點到面的距離，線到面的距離；對學生進行轉化思想滲透，培養學生空間想象能力；使學生從問題解決過程，認識事物的發展、變化、規律。

教學重點：

直線和平面垂直的性質。

教學難點：

性質定理的證明、等價轉化思想的滲透。

教學過程：

1．復習回顧：

1.判定直線和平面垂直的方法有幾種？ ［生］定義，例1的結論、判定定理.2.各判定方法在何種條件或情形下方可熟練運用？

［生］若能確定直線和平面內任意一線垂直，則運用定義說明.若能說明所證直線和平面的一條垂線平行，則可運用例題結論說明之.若能說明直線和平面內兩相交線垂直，則運用判定定理去完成判定.2．講授新課：

［師］直線和平面是否垂直的判定方法上節課已研究過，這節課我們來共同探討：直線和平面如果垂直，則其應具備的性質是什么？

下面先思考一個問題：

例1：已知:a⊥α，b⊥α.求證：b∥a.［師］此問題是在a⊥α，b⊥α的條件下，研究a和b是否平行，若從正面去證明b∥a，則較困難，而利用反證法來完成此題，相對要容易，但難在輔助線b′的做出，這也是立體幾何開始這部分較難的一個證明.在師的指導下，學生嘗試證明，待后給出過程.證明：假定b不平行于a，設b∩α＝O，b′是經過點O與

直線a平行的直線

∵a∥b′，a⊥α

∴b′⊥α

即經過同一點O的兩條直線b、b′都垂直于平面α，而這是不可能的，因此，b∥a.有了上述證明，師生可共同得到結論：

直線和平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行，也可簡記為線面垂直、線線平行.［師］下面給出點到面的距離.從平面外一點引這個平面的垂線，這個點和垂足間距離叫做這個點到這個平面的距離.應明白，點到面的距離是一線段.A．a∥β，b∥β

B．a⊥β,b⊥β C．a⊥c，b⊥c

D．a與c，b與c所成角相等 2）平面α外的點A到平面α內各點的線段中，以OA最短，那么OAα的關系是

（）A.B.C.在α內

D.不確定 3關系是

（）A.B.C.平行或相交

D.一定垂直 4）矩形ABEF和矩形EFCD不共面，已知EF＝4，BD＝5，求平行直線AB與CD之間的距離.解答：

1.排除法找滿足題意的選擇支B

［對于選擇支A，平行于同一面的兩線可能相交，也 可能異面，故不一定推出a∥b，排除A.對于選擇支C，因垂直于同一線的兩線可能異面、故排除C.對于選擇支D，若a、b、c三線能圍成三角形.且a與c、b與c成角相等，則a與b不平行，排除D，故選B.而B利用性質定理可驗證其正確.］ 2.此題也可用排除法找到正確選擇支B ［滿足題目的線段，其一個端點在平面外，故A、C應排除，因該線不會和平面又平行，也不會在平面α內，而滿足OA最短的線只有一條，故應選B，或依平面外一點和平面內各點的連線垂線段最短，從而選B.］

3.利用分類討論找選擇支C ［平面外的直線上有兩點到這個平面的距離相等，這條直線和這個平面的位置取決于點與平面的關系，與這兩點在平面的同側時，直線和平面平行，當這兩點在平面的異側時，直線和平面相交.］

4.［此題的解決主要是充分利用直線和平面垂直判定及平行線間的距離完成.］ 解：因ABEF及EFCD都是矩形，故應有

EF⊥BE，EF⊥CE，而BE∩CE＝E

故EF⊥面BEC 而AB∥EF，CD∥EF

則AB⊥面BEC，CD⊥面BEC BC?面BEC

那么

AB⊥BC，CD⊥BC BC就是AB與CD間的距離

BC2＝BD2－CD2＝25－16＝9

即BC＝3.4．課時小結：

1.能正確利用性質定理解題.2..5．課后作業：

課本P38

習題第5，7，8，9題.-

第二篇：立體幾何(線、面平行、垂直的有關結論)必修2 立體幾何線面關系的判定與性質

立體幾何（線面平行、垂直的有關結論）

空間中線面平行、垂直關系有關的定理：

1、【線面平行的判定】平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，則這條直線和這個平面平行。

2、【線面平行的性質】如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行。

3、如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

4、如果兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面。

5、如果一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，那么這兩個平面平行。

6、如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

7、一條直線與兩條平行直線中的一條直線相垂直，則這條直線也與另一條直線垂直。

8、與同一條直線都垂直的兩條直線相互平行。（）

9、與同一個平面都垂直的兩條直線相互平行。

10、兩條平行直線中的一條直線與一個平面相垂直，則另一條直線也垂直于這個平面。

11、兩條相互垂直的直線中的一條平行于一個平面，則另一條直線垂直于這個平面。（）

12、兩條相互垂直的直線中的一條垂直于以個平面，則另一條直線平行于這個平面。（）

13、平面外的兩條相互垂直的直線中的一條垂直于一個平面，則另一條直線平行于這個平面。

14、一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么該直線也垂直于另一個平面。

15、如果兩個平面垂直于同一條直線，那么這兩個平面平行。

16、兩個平面都與另一個平面相垂直，則這兩個平面平行。（）

17、一個平面垂直于兩平行平面中的一個平面，則此平面也垂直于另一個平面。

18、如果一條直線與平面內的兩條相交直線都垂直，則這條直線與這個平面垂直。

19、如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于該平面內的任意一條直線。

20、如果一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直。

21、如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

【知識歸納】： 【典型例題】： 【高考小題】：

第三篇：線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定_經典試題 2

線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定

1、如圖，在四棱錐P－ABCD中，2、如圖，棱柱 PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，ABC?A1B1C1的側面 BCC1B1是菱形，B1C?A1B ∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．證明：平面AB1C?平面A1BC

1；

(1)求證：CD⊥AE；

(2)求證：PD⊥面ABE.3、如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四

邊形。?DAB?60,AB?2AD,PD? 底面ABCD，證明：PA?BD4、如圖所示，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點 ?

（Ⅰ）求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值；

（Ⅱ）證明：平面ABM⊥平面A1B1M

1面面垂直的性質

1、S是△ABC所在平面外一點，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求證AB⊥BC.S

A

C2、在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 證明:AB⊥平面VAD

V

D C

B3、如圖，平行四邊形ABCD中，?DAB?60，AB?2,AD?4將

?

?CBD沿BD折起到?EBD的位置，使平面EDB?平面ABD 求證：AB?DE4、如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點 求證：（1）直線EF‖平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

(第16題圖)

空間線面角的求法

1.正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD

1所成角的余弦值為

（A）

2（B（C）（D 3

32.已知三棱錐S?

ABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為

（A）

3(B)(C)(D)444

4A3.如圖，在正方體AC1中，求面對角線A1B與對角面BB1D1D所成的14.如圖，已知AP⊥BP，PA⊥PC，∠ABP=∠ACP=60o，PB=PC=2BC，D是BC中點，求AD與平面PBC所成角的余

弦值.A

C

5.已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA

＝AC＝AB，2N為AB上一點，AB＝4AN，M，S分別為PB、BC的中點．

(1)證明：CM⊥SN；

(2)求SN與平面CMN所成角的大?。?/p>

6.如圖，在五棱錐P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．

(1)求證：平面PCD⊥平面PAC；(2)求直線PB與平面PCD所成角的大小；(3)求四棱錐P-ACDE的體積．

7..如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分別為CD，PB的中點．

(1)求證：EF⊥平面PAB；

(2)設AB＝2BC，求AC與平面AEF所成角的正弦值．

8.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝3，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．

(1)點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系.并說明理由；

(2)證明：無論點E在BC邊的何處，都有PE⊥AF；(3)當BE等于何值時，PA與平面PDE所成角的大小為45°？

第四篇：人教A版必修2線面垂直、面面垂直習題

例2已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O

PBC上任意一點，過A點作AE⊥PC于點E，求證：AE⊥平面

證明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC

而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC

又∵AE在平面PAC內，∴BC⊥AE

∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC

例4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CD的中點

（1）求證：AD⊥D1F；（2）求AE與D1F所成的角；（3）證明平面AED⊥平面A1FD

1分析：涉及正方體中一些特殊的點、線、面的問題，建立空間直角坐標系來解，不僅容易找到解題方向，而且坐標也簡單，此時“垂直”問題轉化為“兩向量數量積為0”的問題，當然也可用其它的證法

證明：建立空間直角坐標系如圖，并設AB=2，則A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)

D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)

?????????(1)AD?(0,2,0),D1F?(1,0?, 2)?????????? AD?D1F=0×1+2×1+0×(-2)=0, ?AD⊥D1F ??????????????????（2）AE=（2，0，1）D1F=（1，0，-2），|AE|?，|D1F|?設AE與D1F的夾角為θ，則

cosθ1?2?1?0?0?1?(?2)

?0

所以，直線AE與D1F所成的角為90°

（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A，?D1F⊥平面AED，∵D1F?平面A1FD1M

?平面AED⊥平面A1FD

1例5如圖，已知AB是圓O的直徑，PA垂直于?O所在的平面，C是圓周上不同于A,B的任一點，求證：平面PAC?平面PBC．

分析：根據“面面垂直”的判定定理，要證明兩平面互相垂直，只要在其中一個平面中尋找一條與另一平面垂直的直線即可 解：∵AB是圓O的直徑，∴AC?BC，又∵PA垂直于?O所在的平面，∴PA?BC，∴BC?平面PAC，又BC在平面PBC中，所以，平面PAC?平面PBC．

點評：由于平面PAC與平面PBC相交于PC，所以如果平

面PAC?平面PBC，則在平面PBC中，垂直于PC的直線一定垂直于平面PAC，這是尋找兩個平面的垂線的常用方法

1“直線l垂直于平面α內的無數條直線”是“l⊥α”的A充分條件B必要條件

C充要條件D既不充分又不必要條件

答案：B

2給出下列命題，其中正確的兩個命題是

①直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行②夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行于這兩個平面③直線m⊥平面α，直線n⊥m，則n∥α④a、b是異面直線，則存在唯一的平面α，使它與a、b都平行且與a、b距離相等

A①②B②③C③④D②④

解析：①錯誤如果這兩點在該平面的異側，則直線與平面相交②正確如下圖，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈

β且E、F分別為AB、CD的中點，過C作CG∥AB交平面β于G，連結BG、GD 設H是CG的中點，則EH∥BG，HF∥GD

∴EH∥平面β，HF∥平面β ∴平面EHF∥平面β∥平面α ∴EF∥α，EF∥β

③錯誤直線n可能在平面α內

④正確如右上圖，設AB是異面直線a、b的公垂線段，E為AB的中點，過E作a′∥a，b′∥b，則a′、b′確定的平面即為與a、b都平行且與a、b距離相等的平面，并且它是唯一確定的答案：D

4在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M為CC1的中點，AC交BD于點O，求證：A1O⊥平面MBD

證明：連結MO

∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC

1又A1O?平面A1ACC1，∴A1O⊥DB

在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=22，tan∠MOC=，2

2∴∠AA1O=∠MOC，則∠A1OA+∠MOC=90°∴A1O⊥OM

∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面MBD

11在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又側棱PA⊥底面ABCD

（1）當a為何值時，BD⊥平面PAC?試證明你的結論

（1）解：當a=2時，ABCD為正方形，則BD⊥AC

又∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA∴BD⊥平面PAC

故當a=2時，BD⊥平面PAC

2.若m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平B面，則下列命題中的真命題是()

A.若m?β，α⊥β，則m⊥α

B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥β

C.若m⊥β，m∥α，則α⊥β

D.若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ

解析：兩平面垂直并不能得到一個平面內的任一直線都與另一平面垂直，故A為假命題；以三棱柱的側面和側棱為例知B為假命題；若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ或β∥γ，故D為假命題；若m∥α，則α中必存在直線l與m平行，又m⊥β，∴l⊥β，故α⊥β，故選C.答案：C1、給出以下四個命題：

（1）如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行；

（2）如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面；

（3）如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行；

（4）如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

其中真命題的個數是（）A、4B、3C、2D、12、設?、?、?為平面，m、n、l為直線，則m??的一個充分條件是（）

?,????l,m?lB． ????m,???,???

C． ???,???,m??D． n??,n??,m?? A、??

3、m、n是空間兩條不同直線，?、?是空間不同平面，下面有四個命題：

①m??,n//?,?//?,則m?n②m?n,?//?,m??,則n//?

③m?n,?//?,m//?,則n??④m??,m//n,?//?,則n??

其中真命題的編號是________（寫出所有真命題的編號）。

4、已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，垂足為A，連PB，PC，PD，AC，BD，則互相垂直的平面

有對。

三、例題講解：

例

1、如圖，已知PA⊥三角形ABC所在平面，∠ACB=900 ,AM⊥PC，AN⊥PB

（1）求證：PC⊥BC

（2）求證BC⊥平面PCA

（3）求證AMN⊥平面PCD。

1、設?,?,?為兩兩不重合的平面，l,m,n為兩兩不重合的直線，給出下列四個命題： ①若???,???,則?∥?；②若m??,n??,m∥?,n∥?,則?∥?；

??,則l∥?；④若????l,????m,????n,l∥?,則m∥n.⑤若?//?,m??,n??,則m//n⑥若m??,n??,m//n,則?//?

⑦若,m//?,n//?,m??,n??,則?//? ③若?∥?,l

其中真命題的個數是

（A）1（B）2（C）3（D）

42、在正四面體P－ABC中，D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論中不成立．．．的是（）（A）BC//平面PDF（B）DF⊥平面PA E

（C）平面PDF⊥平面ABC（D）平面PAE⊥平面 ABC3、如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點，現

在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三點重合，重合后的點記為P，那么在四面體P-DEF

中，必有（）

A、DP⊥平面PEFB、DM⊥平面PEF

C、PM⊥平面DEFD、PF⊥平面DEF4、已知P是△ABC所在平面?外一點，O是點P在平面?內的射影

（1）若P到△ABC的三個頂點的距離相等，則O是△ABC的；

（2）若PA、PB、PC與平面?所成的角相等，則O是△ABC的；

（3）若P到△ABC三邊距離相等，且O在△ABC的內部，則O是△ABC的；

（4）若平面PAB、PBC、PCA與平面?所成的角相等，且O在△ABC的內部，則O是△ABC的；

（5）若PA、PB、PC兩兩垂直，則O是△ABC的；

（6）若PA⊥BC，PB⊥AC，則O是△ABC的；

5．等邊三角形ABC的邊長為1，BC上的高為AD，沿高AD折成直二面角，則A到BC的距離是（）A．2B．2C．D． 22

4AB，BB1，B1C1例

1、（1）如圖，在正方體ABCD?A1BC11D1中，E,FG,H分別為AA1，的中點，則異面直線EF與GH所成的角等于（）

（2）如圖,正棱柱ABCD?A1BC11D1中,AA1?2AB,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為___

(3)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA=90，點D1、F1分別是A1B1和A1C1的中點，若BC=CA=CC1，求BD1與AF1所成的角的余弦值_________。

（4）在正四面體A-BCD中，異面直線AB與CD所成角的大小是

_______.A

1?

例

2、在正四棱柱ABCD?A1BC11D1中，AB?2BB1?2，P為B1C1的中點．

1、求異面直線AC與BP所成的角；

2、求點B到平面APC的距離．

例

3、在正三棱錐S—ABC中，D為AB的中點，且SD與BC所成的角為45，則SD與底面所成的角的正弦值為（）?

A、123B、C、D、323

31．（全國Ⅰ?理?7題）如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為（）

4123

A．5B．5C．5D．

5ABC內的5（全國一11）已知三棱柱ABC?A1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面

射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于（）

A．1

23B

．3C

D．3 答案：C6、（福建卷6)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為

答案：D

第五篇：數學必修2第二章線面平行、面面平行的判定及性質練習

2.2線面平行、面面平行的判定

例題解析:

例1.如圖，ABCD是平行四邊形，S是平面ABCD外一點，M為SC的中點.求證：SA∥平面MDB.例2.正方形ABCD交正方形ABEF于AB，M、N

求證：MN//平面BCE

例3.已知ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH、例4.如圖，在空間四邊形ABCD中，P、Q分別是△ABC和△BCD的重心.求證：PQ∥平面ACD.例5.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ∥平面PAO?

鞏固練習：

1.若l//?，A??，則下列說法正確的是（）

A.過A在平面?內可作無數條直線與l平行B.過A在平面?內僅可作一條直線與l平行 C.過A在平面?內可作兩條直線與l平行D.與A的位置有關

2.若直線a∥直線b，且a∥平面?，則b與a的位置關系是（）

A、一定平行B、不平行C、平行或相交D、平行或在平面內 3.如圖在四面體中，若直線EF

和GH

相交，則它們的交點一定（）.A.在直線DB上B.在直線AB上

C.在直線CB上D.都不對

4.一條直線若同時平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線（A．異面B．相交C．平行D．不確定

5.已知平面?、β和直線m，給出條件：①m∥?；②m⊥?；③m??；④?⊥β；⑤?∥β.為使m∥β，應選擇下面四個選項中的()

A．①④B．①⑤C．②⑤D．③⑤ 6.若直線l與平面α的一條平行線平行，則l和?的位置關系是()

A.l??B.l//?C.l??或l//?D.l和?相交

7若直線a在平面?內，直線a,b是異面直線，則直線b和?平面的位置關系是()A．相交B.平行C.相交或平行D.相交且垂直

8.若直線l上有兩點P、Q到平面?的距離相等，則直線l與平面?的位置關系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.平行、相交或在平面?內 9.下列命題正確的個數是()

(1)若直線l上有無數個點不在α內，則l∥?

(2)若直線l與平面α平行，l與平面?內的任意一直線平行

(3)兩條平行線中的一條直線與平面平行，那么另一條也與這個平面平行(4)若一直線a和平面?內一直線b平行，則a∥? A.0個B.1個C.2個D.3個

10.如圖，在四棱錐P?ABCD中，ABCD是平行四邊形，M，N

是AB，PC的中點．求證：MN//平面PAD．

11.如圖,S是平行四邊形ABCD平面外一點，M,N分別是SA,BD上的點，且求證：MN//平面SBC

12.如圖A?、B?、C?分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心.求證：面A?B?C?∥面ABC.AMSM=

BNND,13.如圖，空間四邊形ABCD的對棱AD、BC成60o的角，且AD?BC?2，平行于AD與BC的截面分別交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H．（１）求證：四邊形EGFH為平行四邊形；

（２）E在AB的何處時截面EGFH