第一篇：蘇教版高中數學必修2教案立體幾何初步第26課時 兩個平面垂直的判定和性質習題課(二)

第26課時 兩個平面垂直的判定和性質習題課

（二）教學目標：

通過本節(jié)教學提高學生解決問題能力；進一步提高學生認知圖形能力、空間想象能力；從多角度解答問題過程中，感悟等價轉化思想運用；創(chuàng)新精神，實踐能力在數學中的體現、滲透。

教學重點：

兩個平面所成二面角的棱尋求、角的求解。

教學難點：

找求問題解決的突破口，轉化思想滲透。

教學過程：

1．復習回顧：

1）二面角的平面角找法依據.2）三垂線定理及逆定理.2．講授新課：

［師］前面研究了如何找一個二面角的平面角，解決的途徑有定義法、三垂線法、垂面法，除此外又給了面積射影法求二面角.本節(jié)主要研究無棱二面角的求解思路、方法.近幾年的高考試題涉及無棱二面角問題的題目也較突出.找無棱二面角的棱依位置可分二類，例1：如圖，在所給空間圖形中ABCD是正方形，PD⊥面ABCD，PD=AD.求平面PAD和面PBC所成二面角的大小.［師］面PAD和面PBC圖中只給出一個公共點，那么怎樣找棱呢？請思考.［生］作線在面內進行，BC∥AD則經BC的平面與 面PAD的交線應平行，由此想到經P作BC或AD平行線，找到棱后的主要問題就是找平面角.解法如下：

解：經P在面PAD內作PE∥AD，AE⊥面ABCD，兩線相交于E，連BE ∵BC∥AD 則BC∥面PAD

∴面PBC∩面PAD＝PE ∴BC∥PE

因PD⊥面ABCD，BC⊥CD 那么BC⊥PC，BC⊥面PDC 即有PE⊥面PDC PE⊥PD，PE⊥PC

∠CPD就是所求二面角的平面角 因PD＝AD，而AD＝DC

⊥面AC1，E∈BB1，AA1＝A1B1，求面A1EC與面ABC所成二面角的大小.［師］此題顯然依上述方法去找平行線已不可能.由圖B1C1與CE不平行.但與前兩個問題的相同點還是兩面從圖形看到的只有一個公共點，依公理我們只有去找另一公共點，觀察圖我們可看到CE與B1C1是同一平面內線，突破口就選在面B1C1CB內，找到點后，二面角的棱也就找到.請同學思考并表述過程.解：∵A1是平面A1EC與平面A1B1C1的一個公共點，∴只需找到另一個公共點，即可.因AA1＝A1B1＝A1C1，連AC1 則AC1⊥A1C，AC1∩A1C＝O 取BB1的中點E，連EO

因面ABC是正三角形，則經B作BG⊥AC有 BG⊥面AC1，OE∥BG ∴OE⊥面AC1

因面A1EC⊥面AC1，故E是BB1中點

1那么EB1∥

CC1

＝2∴CE與B1C1延長后必交于一點F，即F為面A1EC，面A1B1C1的另一個公共點

連A1F，則A1F為面A1EC與面A1B1C1所成二面角的棱 因FB1＝B1C1＝A1B1，∠A1B1F＝120° ∴∠FA1B1＝30°

那么∠C1A1F＝90°即A1C1⊥A1F 那么CA1⊥A1F（三垂線定理）

∠CAC1為面A1EC與面A1B1C1所成二面角的平面角.∠CA1C1＝45°，因AA1∥ BB1∥ CC1

＝＝而面ABC∥面A1B1C1

∴面A1EC與面ABC所成二面角大小為45°.［師］找公共點F是解此題關鍵，例1、2是通過公共點作棱，例3是通過再找公共點而得棱.因題條件不同而采用不同作法.例1、2找棱的方法不妨叫“作平行線”，例3的方法叫“找公共點”.［師］問題的解決不一定就一種思路，一條途徑，只要多去想條件涉及到的知識點，解決方法總會找到，“柳暗花明又一村”的境界一定能達到.3．課時小結：

依圖形結構，對兩類問題（例1、2為一類，例3為一類）分別用“作平行線”法及“找公共點”法完成，但一切問題都不是絕對的。4．課后作業(yè)：

第二篇：蘇教版高中數學必修2教案立體幾何初步第21課時兩個平面平行的判定和性質

第21課時兩個平面平行的判定和性質

教學目標：

使學生掌握兩個平面的位置關系，兩個平面平行的判定方法及性質，并利用性質證明問題；注意等價轉化思想在解決問題中的運用，通過問題解決、提高空間想象能力；通過問題的證明，尋求事物的統一性，了解事物之間可以相互轉化，通過證明問題、樹立創(chuàng)新意識。

教學重點：

兩個平面的位置關系，兩個平面平行的判定和性質。

教學難點：

判定定理、例題的證明，性質定理的正確運用。

教學過程：

1．復習回顧：

師生共同復習回顧，線面垂直定義，判定定理.性質定理歸納小結線面距離問題求解方法，以及利用三垂線定理及其逆定理解決問題.立體幾何的問題解決：一是如何將立體幾何問題轉化成平面幾何問題，二是數學思想方法怎樣得到充分利用、滲透，這些都需在實踐中進一步體會.下面繼續(xù)研究面面位置關系.2．講授新課：

1.兩個平面的位置關系

除教材上例子外，我們以所在教室為例，觀察面與面之間關系.［師］觀察教室前后兩個面，左、右兩個面及上下兩個面都是平行的，而其相鄰兩個面是相交的.［師］打開教材一個是豎直放在桌上，其間有許多個面，它們共同點是都經過一條直線.觀察教室的門與其所在墻面關系，隨著門的開啟，門所在面與墻面始終有一條公共線.結合生觀察教室的結論、引導其尋找平面公共點，然后給出定義.定義：如果兩個平面沒有公共點，我們就說這兩個平面互相平行.如果兩個平面有公共點，它們相交于一條公共直線.兩個平面的位置關系只有兩種：

（1）兩個平面平行——沒有公共點；

（2）兩個平面相交——有一條公共直線.［師］兩個平面平行，如平面α和平面β平行，記作α∥β

2.兩個平面平行的判定

判定兩個平面平行可依定義，看它們的公共點如何.［師］由兩個平面平行的定義可知：其中一個平面內的所有直線一定都和另一個平面平行.這是因為在這些直線中，如果有一條直線和另一平面有公共點，這點也必是這兩

個平面的公共點，那么這兩個平面就不可能平行了.另一方面，若一個平面內所有直線都和另一個平面平行，那么這兩個平面平行，否則，這兩個平面有公共點，那么在一個平面內通過這點的直線就不可能平行于另一個平面.由此將判定兩個平面平行的問題轉化為一個平面內的直線與另一個平面平行的問題，但事實上判定兩個平面平行的條件不需要一個平面內的所有直線都平行于另一平面，到底要多少條直線（且直線與直線應具備什么位置關系）與另一面平

行，才能判定兩個平面平行呢？

下面我們共同學習定理.兩個平面平行的判定定理：

如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩

個平面平行.［師］以上是兩個平面平行的文字語言，另外定理的符號語言為：

若a?α，b?α，a∩b=A,且a∥α,b∥β，則α∥β.利用判定定理證明兩個平面平行，必須具備：

①有兩條直線平行于另一個平面，②這兩條直線必須相交.［師］再從轉化的角度認識該定理就是：線線相交、線面平行面面平行.［生］在判斷一個平面是否水平時，把水準器在這個平面內交叉地放兩次，如果水準器的氣泡都是居中的，就可以判定這個平面和水平面平行，實質上正是利用了面面平行的判定定理.例1：求證：垂直于同一直線的兩個平面平行

已知：α⊥AA′,β⊥AA′

求證：α∥β.分析：要證兩個平面平行，需設法證明一面內有兩相交線

與另一面平行，那么由題如何找出這兩條線成為關鍵.如果這樣的線能找到問題也就解決啦.誘導學生思考怎樣找線.［生］通過作圖完成找線，利用轉化解決問題、證明如下：

證明：設經過AA′的兩個平面γ、θ分別與平面α、β相交于直線a、a′和b、b′

∵AA′⊥α，AA′⊥β

∴AA′⊥a,AA′⊥a′

又a?γ,a′?γ∴a∥a′,于是a′∥a

同理可證b′∥a又a′∩b′=A′∴α∥β.［師］這是一個重要的結論，主要用來判斷空間的直線與平面具備條件：兩個平面垂直于同一直線，則應有：這兩個平面平行.用符號語言就可以表示為：

l⊥α，l⊥β?α∥β.此題也告訴我們，空間的兩個平面平行，其判定方法：1°定義.2°判定定理.3°例1結論

.［師］請同學思考：兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線與另一面具有什么關系？

［生］通過作圖可以發(fā)現，若平面α和平面β平行，則兩面無公共點，那么也就意味著平面α內任一直線a和平面β也無公共點，即直線a和平面β平行.用式子可表示為：α∥β，a?α?a∥β

用語言表述就是：

如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線平行于另一個平面.［師］歸納總結.此結論在以后的解決問題過程中可直接運用，既是面面平行的性質定理，又是線面平行的判定定理.［師］如圖，設α∥β，α∩γ＝a,β∩γ＝b，我們研究兩條交線a、b的位置關系.［生］觀察、分析可發(fā)現

因為α∥β，所以a、b沒有公共點，而a、b又同在平面γ內，于是有a∥b

［師］下面給出兩個平面平行的性質定理.兩個平面平行的性質定理：

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.已知：α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b

求證：a∥b.分析：師生共同活動

通過前面的學習，我們知道判定兩線平行的途徑有：

（1）利用定義：在同一平面內沒有公共點的兩條直線平行.（2）運用公理：證明這兩直線平行于同一直線.（3）依據性質定理：線面平行的性質定理，如果一條直線平行于一個平面、經過這條直線的平面與已知平面相交，那么這條直線和交線平行，線面垂直的性質定理，垂直于同一平面的兩條直線平行.而題目中證明a∥b，a、b又同在平面γ內，且分別在兩個平行平面內，因此本題的證明可利用方法（1）.證明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β沒有公共點

又a?α，b?β

∴直線a、b沒有公共點

又∵α∩γ＝a，β∩γ＝b

∴a?γ，b?γ

∴a∥b.［師］同學們接下來研究兩個平行平面內的所有直線是否都平

行.已知兩個平面平行，依據性質定理：

一個平面內的任何直線都平行另一平面

.依據性質定理：若有第三個平面和兩個平行平面相交，那么它們的交線平行，但是，能不能說兩個平行平面內的所有直線都是互相平行的呢？如上圖，α∥β，a?α，b?β，可以看出：只有當a、b確定平面時，依據性質定理，a與b才平行，否則就不平行，直線a與b能相交嗎？

［生］不能.這是因為，若a∩b=A∵a?α,∴A∈α

又b?β，∴A∈β∴α與β必相交

因此a、b不可能相交.由此在兩個平行平面內的直線，它們可能是平行直線，也可能是異面直線.師引導學生得出結論：兩個平行平面的判定定理與性質定理的作用，要害都集中在“平行”二字上，判定定理解決的問題是；在什么樣的條件下兩個平面平行，性質定理說明的問題是；在什么樣的條件下兩條直線平行，前者給出了判定兩個平面平行的一種方法；后者給出了判定兩條直線平行的一種方法.［師］下面以例題說明性質定理在解決問題時作用.例2：求證：如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面.已知:α∥β，l⊥α，l∩α＝A

求證：l⊥β.［設法創(chuàng)造條件，找到平面γ，使之與平面α和平面β相交，使

之可利用性質定理解決問題.］

證明：在平面β內任取一條直線b，平面γ是經過點A與直線b的平面，設γ∩α＝a

因為b是平面α內任意一條直線，所以根據直線與平面垂直的定義，可知l⊥β.［師］上述例2所證明的命題用符號表示就是α∥β,l⊥α?l⊥β.用轉化的思想可解釋為

面面平行、線面垂直線面垂直

這是一個關于兩個平面平行的性質的一個命題，可以用來判斷直線與平面垂直.4.兩個平行平面的距離

［師］由線面距離，進一步研究面面距離，請同學歸納表述.［生］（1）兩個平行平面的公垂線、公垂線段的定義：

和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩個平行平面的公垂線，它夾在這兩平面間的部分，叫做這兩個平行平面的公垂線段.α∥β

如果AA′,BB′都是它們的公垂線段

那么AA′∥ΒΒ′

依兩個平面平行的性質定理

有A′B′∥AB

那么四邊形ABB′A′是平行四邊形，AA′＝BB′

由此我們得到，兩個平面平行，這兩個平面的公垂線段都相等.（2）兩個平行平面的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度叫做兩個平行平面的距離.3．課堂練習：

課本P41練習1，2，3，44．課時小結：

本節(jié)課主要研究如何證明兩個平面平行？其途徑可以選擇從公共點的角度考慮.但要說明兩面沒有公共點，是比較困難的，而要用定理判定的話，關鍵是線應具備“相交”“平行”要求.例1也可作為結論直接運用；兩個平面平行，即面面平行，可得，其中一面內的線平行于另一個平面，即線面平行；兩個平面平行，即面面平行，可得，兩個平面與第三平面相交，交線平行，即線線平行；求面與面距離可轉化為線面距離，進而轉化為點面距離。

5．課后作業(yè)：

課本P47習題1、2、3、4、5.

第三篇：100測評網高中數學立體幾何同步練習§9.6兩個平面垂直的判定和性質(三)

歡迎登錄100測評網進行學習檢測，有效提高學習成績.§9.6兩個平面垂直的判定和性質

（三）1．選擇題

（1）不能肯定兩個平面一定垂直的情況是（）

（A）兩個平面相交，所成二面角是直二面角.（B）一個平面經過另一個平面的一條垂線.（C）一個平面垂直于另一個平面內的一條直線.（D）平面?內的直線a與平面?內的直線b是垂直的.（2）下列命題正確的是（）

（A）平面?內的一條直線和平面?內的無數條直線垂直，則平面?⊥平面?.（B）過平面?外一點P有且只有一個平面?和平面?垂直.（C）直線l∥平面?，l⊥平面?，則?⊥?

（D）垂直于同一平面的兩個平面平行.2．填空題

（1）過平面?外一條直線的平面?和平面?都垂直，則平面?的個數可以是（2）平面?平面?，?∩?=l，點P∈?，點Q∈l，那么PQ⊥l是PQ⊥?的條件.（3）平面?⊥平面?，a??，b??，且b∥?，a⊥b，則a和?的位置關系是.3．在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，E為BC中點，把⊿ABE和⊿CDE分別沿AE、DE折起使B與C重合于點P，（1）求證：平面PDE⊥平面PAD；（2）求二面角P-AD-E的P 大小.4．試證垂直于同一平面的兩個平面的交線垂直于這個平面.5．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中（正三棱柱室底面為正三角形，側棱與底面垂直的三

C 棱柱），E∈BB1，且BE=EB1，求證：截面A1EC⊥側面AC1.A

E

C1 A本卷由《100測評網》整理上傳，專注于中小學生學業(yè)檢測、練習與提升.

第四篇：蘇教版高中數學必修2教案立體幾何初步第16課時直線與平面垂直的判定(一)

第16課時直線與平面垂直的判定與性質

（一）教學目標：

使學生能夠利用等價轉化的思想證明立體幾何問題，提高學生邏輯思維能力，培養(yǎng)學生由圖形想象出位置關系的能力；利用所學知識解釋生活現象，激發(fā)學生學習數學積極性，能辯證地看待問題，學會分析事物間關系，進而選擇解決問題途徑。教學重點：

直線和平面垂直的判定。

教學難點：

判定定理的證明。

教學過程：

1．復習回顧：

［師］直線和平面平行的判定方法有幾種？

［生］可利用定義判斷，也可依判定定理判斷.2．講授新課：

1.直線和平面垂直的定義

［師］該章的章圖說明旗桿與其影子之間構成的幾何圖形，請同學思考，隨著時間的變化，影子在移動，這是變的一面，那么不變的一面是什么呢？

［討論、觀察片刻，提醒學生從位置關系去分析，師可用電

筒照射一桿，讓學生得出結論］進而提醒學生觀察右圖。

［生］由圖形可知，旗桿與地面內任意一條徑B的直線垂直

（若先回答射影，可引導其抽象為直線）

師進一步提出：那么旗桿所在線與平面內不經過B點的線

位置如何呢？依據是什么？

［生］垂直.依據是異面直線垂直定義.生在師的誘導下，嘗試地給出直線和平面垂直的定義：

如果一條直線l和平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l和平面α互相垂直.可記作l⊥α

其中直線l叫平面α的垂線.平面α叫直線l的垂面.［師］“任意一條直線”，說明直線l必須和平面內的所有直線都具有垂直關系.不能理解成無數條線，必須是全部.同學可找一反例說明.［生］當一條直線和一平面內一組平行線垂直時，該直線不一定和平面垂直.（可舉教材中每一行字看成平行線，當鋼筆與其垂直時，不一定鋼筆就與教材所在面垂直）［師］若l∥α或l?α，則l此時不會和α內任意一條直線垂直，由此，當l與α具有l(wèi)⊥α關系時，直線l一定和α相交.直線和平面垂直時，它們惟一的公共點，即交點叫垂足.師進一步給出直線與平面垂直時，直觀圖的畫法

.（師生共同規(guī)范地畫出直線與平面垂直關系）

畫直線與水平平面垂直時，要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的橫邊垂直 l⊥α點P是垂足

讓學生觀察投影片中所給四個圖形，能得出什么結論.經師誘導，生得到結論.［生］圖（1）、（2）說明經過空間一點P作α的垂線只有一條，圖（3）、（4）說明，經過空間一點P作l的垂面只有一個.除定義外，直線和平面垂直的判定還有什么方法呢？

2.直線和平面垂直的判定

例1：求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.已知：a∥b，a⊥α

求證：b⊥α

分析：要證b⊥α，需證b與α內任意一條直線m垂直.運用等價轉化思想證明與b平行的線a垂直于m，則

需依題設直線m存在.進而運用線垂直于面

線垂直于面內線完成證明.學生依圖，及分析寫出證明過程

證明：設m是α內的任意一條直線

［此結論可以直接利用，判定直線和平面垂直］

給出判定定理，學生思考證明途徑.直線和平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么

這條直線垂直于這個平面.已知：m?α，n?α，m∩n=B，l⊥m，l⊥n.求證：l⊥α.分析：此定理要證明，需達到l⊥α關系.而由定義知只要能設法證明l垂直于α內任一條直線

即可，不妨設此線為g，則需證l⊥g就可以.證明l⊥g較困難，同學可考慮線段垂直平分線性質.學生先思考，如何先確定線位置

.由于已知條件中有m∩n=B,所以可先從l、g都通過點B的情況證起，然后再推廣到其他情形，也可看成是分類討論思想滲透.證明過程學生可先表述，然后共同整理.證明：設g是平面α內任一直線.（1）當l、g都通過點B時，在l上點B的兩側分別取點A、A′，使AB=A′B，則由已知條件推出m、n都是線段AA′的垂直平分線.1°g與m（或n）重合那么依l⊥m（或l⊥n）可推出l⊥g.2°g與m（或n）不重合，那么在α內任作一線CD

m∩CD=C,n∩CD=D,g∩CD=E

連結AC、A′C、AD、A′D、AE、A′E.∵AC=A′C，AD=A′D，CD=CD，∴△ACD≌△A′CD,得∠ACE=∠A′CE

即△ACE≌△A′CE,那么AE=A′E

∴g是AA′的垂直平分線，于是l⊥g

（2）當l、g不都通過點B時

過點B作l′、g′，使l′∥l，g′∥g

同理可證l′⊥g′，因而l⊥g

綜上所述，無論l、g是否通過點B，總有l(wèi)⊥g.由于g是平面α內任一直線，因而得l⊥α

［l、g不都通過點B，可解釋為：l、g之一過點B，l、g都不過點B］

［師］對于判定定理注意二點.一是判定定理的條件中，“平面內的兩條相交直線”是關鍵性詞語，一定要記準、用對.二是要判斷一條已知直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點，這是無關緊要的.3．課堂練習：

1.判斷題

（1）l⊥α?l與α相交（）

（2）m?α，n?α，l⊥m，l⊥n?l⊥α（）

（3）l∥m，m∥n，l⊥α?n⊥α（）

解：（1）√若不相交，則應有l(wèi)∥α，或l?α.（2）×m、n若是兩條平行直線，則命題結論不一定正確.（3）√由例題結論可推得.2.已知三條共點直線兩兩垂直，求證：其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面.已知：m、l確定平面α，m⊥n,l⊥n，m∩l=o

求證：n⊥α.證明：因

3.求證：平面外一點與這個平面內各點連結而成的線段中，垂直于平面的線段最短.［連結平面α內的兩點，Q和R，設PQ⊥α，則∠PQR=90°，在Rt△PQR中，PQ＜PR.4．課時小結：

1.定義中的“任何一條直線”這一詞語，它與“所有直線”是同義語、定義是說這條直線和平面內所有直線垂直.2.和平面垂直的直線是直線和平面相交的一種特殊形式.3.注意兩個結論：

過一點有且只有一條直線和已知平面垂直.過一點有且只有一個平面和已知直線垂直.4.判定直線和平面是否垂直，本節(jié)課給出了三種方法：

（1）定義強調“任何一條直線”；

（2）例1的結論符合“兩條平行線中一條垂直于平面”特征；

（3）判定定理必須是“兩條相交直線”.5．課后作業(yè)：

預習：

（1）性質定理主要是講什么？條件、結論各是什么？

（2）直線到平面距離如何轉化為點到平面距離？

第五篇：100測評網高中數學立體幾何同步練習§9.5兩個平面平行的判定和性質(二)

歡迎登錄100測評網進行學習檢測，有效提高學習成績.§9.5兩個平面平行的判定和性質

（二）1．選擇題

（1）a∥?，b∥?，a∥b，則?與?的位置關系是（）

（A）平行（B）相交（C）平行或相交（D）一定垂直

（2）以下命題中正確的是（）

（A）在一個平面內有兩個點，到另一個平面的距離都是d（d＞0），則這兩個平面平行

（B）在一平面內有不共線的三個點，到另一個平面的距離都是d（d＞0），則這兩個平面

平行

（C）在一平面內有無數個點，到另一個平面的距離都是d（d＞0），則這兩個平面平行

（D）在一平面內的任意一點，到另一個平面的距離都是d（d＞0），則這兩個平面平行

（3）已知直線a，b，平面?，?，①a??，b??，a∥b；

②a??，b??，a∥?，b∥?；

③a⊥?，b⊥?；

④a∥b，a⊥?，b⊥?.以上條件中能推出?∥?的是（）

（A）①②（B）②③（C）①④（D）③④

2．填空題

（1）當?∥?時l⊥?，則l與?的關系是；

（2）當?∥?，?∥?，則?與?的關系是

（3）a，b是異面直線，l是它們的公垂線，?∥?，則l與?的關系是3．已知?∥?，a??，b??，且a，b是異面直線，A∈?，B∈?，AB=12cm，若AB與?成60?，求a，b之間的距離.4．a，b是異面直線.（1）求證：過a，b分別有平面?，?，使?∥?.（2）求證：a，b之間的距離等于?，?之間的距離.本卷由《100測評網》整理上傳，專注于中小學生學業(yè)檢測、練習與提升.