第一篇：立體幾何中線面平行垂直性質(zhì)判定2012

2012考前集訓(xùn)高頻考點(diǎn)立體幾何考綱解讀

必須掌握空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理

判定定理

1.如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個(gè)平面平行.即若a??,b??,a//b,則a//?.2.如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，即若a,b??,a?b?p,a//?,b//?,則?//?.3.如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.即若m??,n??,m?n?B,l?m,l?n,則l??.4.如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即若l??,l??,則???.性質(zhì)定理

1.如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行，即若a//?,a??,????b,則a//b.2.兩平行平面與同一個(gè)平面相交，那么兩條交線平行，即若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,則a//b

3.垂直于同一平面的兩直線平行，即若a??,b??,則a//b

4.如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面，即若???，????a,l??,l?a,則l??.必須掌握常見幾何體的表面積及體積公式：

V柱體?Sh(S為底面積,h為柱體高)

V錐體?V臺(tái)體

V球體1Sh(S為底面積,h為柱體高)31?(S'?S'S?S)h(S',S分別為上,下底面積,h為臺(tái)體高)34??R3(R為球體半徑)

31.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.若Ｍ是線段ＡＤ的中點(diǎn)，求證：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;

【解析】連結(jié)AF,因?yàn)镋F∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，EF∩ＦＧ=F,所以平面EFG∥平面ABCD,又易證

?EFG∽?ABC, 所以

FGEF111??,即FG?BC,即FG?AD,又M為

AD BCAB222-1-的中點(diǎn),所以AM?1AD,又因?yàn)椋疲恰危拢谩危罝，所以ＦＧ∥ＡM,所以四邊形AMGF是平行四邊形,故

2GM∥FA,又因?yàn)椋牵?平面ＡＢＦＥ,FA?平面ＡＢＦＥ,所以ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ.2．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延長(zhǎng)A1C1至點(diǎn)P，使C1P＝A1C1，連接AP交棱CC1于D．求證：PB1∥平面BDA1；

本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、線面關(guān)系、二面角等基本知識(shí)，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決問題的能力．

解：連結(jié)AB1與BA1交于點(diǎn)O，連結(jié)OD，∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O，∴OD∥PB1，又OD?面BDA1，PB1?面BDA1，∴PB1∥平面BDA1．

3.如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點(diǎn)E在線段AD上，CE∥AB。

（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；

（Ⅱ）若PA＝AB＝1，AD＝3，CD2，∠CDA＝45°，求四棱錐P－ABCD的體積

D

C

分析：本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，幾何體的體積等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能

力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分12分

（I）證明：因?yàn)镻A?平面ABCD，CE?平面ABCD，所以PA?CE.，因?yàn)锳B?AD,CE//AB,所以CE?AD.又PA?AD?A,所以CE?平面PAD。

（II）由（I）可知CE?AD，在Rt?ECD中，DE=CD?cos45??1,CE?CD?sin45??1,又因?yàn)锳B?CE?1,AB//CE，所以四邊形ABCE為矩形，所以S四邊形ABCD?S矩形ADCE?S?ECD?AB?AE?

又PA?平面ABCD，PA=1，所以V四邊形P?ABCD?P115CE?DE?1?2??1?1?.2221155S四邊形ABCD?PA???1?.3326

4.如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)

求證：（1）直線EF//平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面

PAD.-2-

(第16題圖)

答案：（1）因?yàn)镋、F分別是AP、AD的中點(diǎn)，?EF?PD,又?PD?面PCD,EF?面PCD

?直線EF//平面PCD

（2）連接BD?AB=AD,?BAD=60?,?ABD為正三角形

F是AD的中點(diǎn)，?BF?AD,又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD?面ABCD＝AD,?BF?面PAD,BF?面BEF

所以，平面BEF⊥平面PAD.5．如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=1PD． 2

（I）證明：PQ⊥平面DCQ；

（II）求棱錐Q—ABCD的的體積與棱錐P—DCQ的體積的比值．

解：（I）由條件知PDAQ為直角梯形

因?yàn)镼A⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD.又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ

⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得，則PQ⊥QD 所以PQ⊥平面DCQ.………………6分

（II）設(shè)AB=a.由題設(shè)知AQ為棱錐Q—ABCD的高，所以棱錐Q—ABCD的體積V1?

由（I）知PQ為棱錐P—DCQ的高，而，△DCQ的面積為

所以棱錐P—DCQ的體積為V2?13a.32，213a.3

故棱錐Q—ABCD的體積與棱錐P—DCQ的體積的比值為1.…………12分

ABCD，底面ABCD是平行四邊形，6．山東文如圖，在四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，D1D?平面

AB=2AD，AD=A1B1，?BAD=60°

（Ⅰ）證明：AA1?BD；

（Ⅱ）證明：CC1∥平面A1BD．

（I）證法一：

因?yàn)镈1D?平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以D1D?BD，又因?yàn)锳B=2AD，?BAD?60?，在?ABD中，由余弦定理得

BD2?AD2?AB2?2AD?ABcos60??3AD2，所以AD2?BD2?AB2，因此AD?BD，又AD?D1D?D,所以BD?平面ADD1A1?平面ADD1A1，故AA1?BD.1.又AA

證法二：

因?yàn)镈1D?平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以BD?D1D.，取AB的中點(diǎn)G，連接DG，在?ABD中，由AB=2AD得AG=AD，又?BAD?60?，所以?ADG為等邊三角形。

因此GD=GB，故?DBG??GDB，又?AGD?60?，所以?GDB=30?,故?ADB=?ADG+?GDB=60?+30?=90?,所以BD?AD.又AD?D1D?D,所以BD?平面ADD1A1，又AA1?平面ADD1A1，故AA1?BD.（II）連接AC，A1C1，設(shè)AC?BD?E，連接EA1

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以EC?1AC.2

由棱臺(tái)定義及AB=2AD=2A1B1知A1C1//EC且A1C1=EC，所以邊四形A1ECC1為平行四邊形，因此CC1//EA1，又因?yàn)镋A1?平面A1BD，CC1?平面A1BD，所以CC1//平面A1BD。

7.如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90，（1）證明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；

（2）設(shè)BD=1，求三棱錐D—ＡＢＣ的表面積。

【分析】（1）確定圖形在折起前后的不變性質(zhì)，如角的大小不變，線段長(zhǎng)度不變，線線關(guān)系不變，再由面面垂直的判定定理進(jìn)行推理證明；（2）充分利用垂直所得的直角三角形，根據(jù)直角三角形的面積公式計(jì)算．

【解】（1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ邊上的高，∴ 當(dāng)Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，又DB?ＤＣ＝Ｄ，∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD

∴平面ABD⊥平面BDC．

（2）由（1）知，DA?DB,DB?DC,DC?DA,?DB=DA=DC=1，平面BDC.?

111S?DAM?S?

DBC?S?DCA??1?1?,S?

ABC?sin60?? 2222

13S??3?? ∴三棱錐D

—ＡＢＣ的表面積是222

8.在四面體ABCD中，平面ABC?平面ACD，AB?BC，AD?CD，?CAD????。若AD??，AB??BC，求四面體ABCD的體積；

解：如答（19）圖1，設(shè)F為AC的中點(diǎn)，由于AD=CD，所以

DF⊥AC.故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°

在Rt△ABC中，因

AC=2AF=

AB=2BC，由勾股定理易知

BC?； AB?故四面體ABCD的體積

1114V??S?ABC?DF???.3325

9.如圖，在四面體的體積;中，平面平面，,.求四面體

解法一：如答（20）圖1，過D作DF⊥AC垂足為F，故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF

是四面體ABCD的面ABC上的高，設(shè)G為邊CD的中點(diǎn)，則由AC=AD，知AG⊥CD，從而

AG???2A

C

B11AG?CD由AC?DF?CD?AG得DF??22AC由

Rt?ABC中,AB??S?ABC?1AB?BC? 2故四面體ABCD的體積V?

1?S?ABC?DF?

38-5-

第二篇：線線平行垂直,線面平行垂直,面面平行垂直判定與性質(zhì)

1.線線平行

判定：a用向量，方向向量平行b一條直線平行于另一個(gè)平面，則它平行于它所在平面與那個(gè)平面的交線。C若一平面與兩平行平面相交，則兩交線平行。D同時(shí)與一平面垂直的兩直線平行。E同時(shí)平行于一條直線的兩直線平行。

性質(zhì)：貌似沒啥性質(zhì)，一般是證明線面關(guān)系的時(shí)候先證明線線關(guān)系。

2.線線垂直

判定：a向量，方向向量垂直b直線垂直于平面，則直線與平面中的任意直線都垂直c第一條直線與第二條直線平行，第一條垂直于第三條，則第二條也垂直于第三條d把兩直線放在一個(gè)平面中，利用平面幾何各種判定方法，如等腰三角形的底和高等。E（重點(diǎn)）三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線，如果和過平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直，那么它就和這條斜線垂直。三垂線逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和過平面的一條斜線垂直，那么它也垂直于斜線在平面內(nèi)的射影。（這個(gè)比較重要，記不住的話找一下例題，多看看圖就好了）性質(zhì)：貌似也沒什么性質(zhì)，一般也是要證明線面關(guān)系的時(shí)候用到它。注意：第一條直線垂直于第二條直線，第一條直線垂直于第三條直線，則第二條直線與第三條直線可垂直可平行也可普通相交。

3,線面平行

判定：a面外一條線與面內(nèi)一條線平行。（常用）b空間向量法，證明線一平行向量與面內(nèi)一向量（x1x2-y1y2=0）（常用）c面外一直線上不同兩點(diǎn)到面的距離相等d證明線面無(wú)交點(diǎn)（定義）e反證法（線與面相交，再推翻）

性質(zhì)：平面外一條直線與此平面平行，則過這條直線的任意平面與此平面的交線與該直線平行。

4.線面垂直

判定:a一條線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直,那么這條直線和這個(gè)平面垂直b兩個(gè)平面垂直,其中一個(gè)平面內(nèi)的直線垂直兩平面的交線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直c直線的方向向量與平面的法向量平行

性質(zhì)：如果兩條直線同時(shí)垂直一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

5.面面平行

判定a一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行。（常用）b如果兩平面同時(shí)垂直于一條直線，則兩平面平行（大題一般不用）

性質(zhì)：a兩個(gè)平面平行，在一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另外一個(gè)平面b兩個(gè)平面平行，和一個(gè)平面垂直的直線必垂直于另外一個(gè)平面c兩個(gè)平行平面，分別和第三個(gè)平面相交，交線平行d平行平面所截的線段對(duì)應(yīng)成比例（這個(gè)是推論，不好描述，書上或練習(xí)冊(cè)上應(yīng)該有類似的題）

6.面面垂直

判定：一個(gè)面如果過另外一個(gè)面的垂線，那么這兩個(gè)面相互垂直

性質(zhì)：a如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。b如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)。C如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面。D三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直。

第三篇：線面平行的判定與性質(zhì)

線面平行的判定與性質(zhì)

[基礎(chǔ)練習(xí)]

1．下列命題正確的是（）

A 一直線與平面平行，則它與平面內(nèi)任一直線平行

B 一直線與平面平行，則平面內(nèi)有且只有一個(gè)直線與已知直線平行

C 一直線與平面平行，則平面內(nèi)有無(wú)數(shù)直線與已知直線平行，它們?cè)谄矫鎯?nèi)彼此平行

D 一直線與平面平行，則平面內(nèi)任意直線都與已知直線異面

2．若直線l與平面α的一條平行線平行，則l和α的位置關(guān)系是()

Al??B l//?C l??或l//?D l和?相交

3．若直線a在平面α內(nèi)，直線a,b是異面直線，則直線b和α平面的位置關(guān)系是()

A．相交B。平行C。相交或平行D。相交且垂直

4．下列各命題：

（1）經(jīng)過兩條平行直線中一條直線的平面必平行于另一條直線；

（2）若一條直線平行于兩相交平面，則這條直線和交線平行；

（3）空間四邊形中三條邊的中點(diǎn)所確定平面和這個(gè)空間四邊形的兩條對(duì)角線都平行。

其中假命題的個(gè)數(shù)為()

A0B 1C 2D

35．E、F、G分別是四面體ABCD的棱BC、CD、DA的中點(diǎn)，則此四面體中與過E、F、G的截面平

行的棱的條數(shù)是（）

A．0B 1C 2D

36．直線與平面平行的充要條件是

A．直線與平面內(nèi)的一條直線平行B。直線與平面內(nèi)的兩條直線不相交

C．直線與平面內(nèi)的任一直線都不相交D。直線與平行內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行

7．若直線上有兩點(diǎn)P、Q到平面α的距離相等，則直線l與平面α的位置關(guān)系是()

A平行B相交C平行或相交D 或平行、或相交、或在內(nèi)

8．a(chǎn),b為兩異面直線，下列結(jié)論正確的是()

A 過不在a,b上的任何一點(diǎn)，可作一個(gè)平面與a,b都平行

B 過不在a,b上的任一點(diǎn)，可作一直線與a,b都相交

C 過不在a,b上任一點(diǎn)，可作一直線與a,b都平行

D 過a可以并且只可以作一個(gè)平面與b平行

9．判斷下列命題是否正確：

(1)過平面外一點(diǎn)可作無(wú)數(shù)條直線與這個(gè)平面平行()

(2)若直線l??，則l不可能與α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線相交()

(3)若直線l與平面α不平行，則l與α內(nèi)任一直線都不平行()

(4)經(jīng)過兩條平行線中一條直線的平面平行于另一條直線()

(5)若平面α內(nèi)有一條直線和直線l異面，則l??()

10．過直線外一點(diǎn)和這條直線平行的平面有個(gè)。

11．直線a//b，a//平面α，則b與平面α的位置關(guān)系是。

12．A是兩異面直線a,b外一點(diǎn)，過A最多可作個(gè)平面同時(shí)與a,b平行。

13．A、B兩點(diǎn)到平面α的距離分別是3、5，M是的AB中點(diǎn)，則M到平面α的距離是。

14．P為平行四邊形ABCD外一點(diǎn)，E是PA的中點(diǎn)，O是AC和BD的交點(diǎn)，求證：OE//平面PBC。

15．求證：如果一條直線和兩相交平面平行，那么這條直線就和它們的交線平行。

[深化練習(xí)]

16．ABCD是空間四邊形，E、F、G、H分別是四邊上的點(diǎn)，它們共面，并且AC//平面EFGH，BD//平面EFGH，AC=m,BD=n當(dāng)EFGH為菱形時(shí)，AE：EB=.17.用平行于四面體ABCD的一組對(duì)棱AB、CD的平面截此四面體

(1)求證：所得截面MNPQ是平行四邊形；

(2)如果AB=CD=a，求證：四邊形MNPQ的周長(zhǎng)為定值。

C

18．已知P、Q是單位正方體ABCD-A1B1C1D1的面AA1D1D、面A1B1C1D1中心。

（1）求線段PQ的長(zhǎng)；

（2）證明：PQ//平面AA1B1B。

DD

[參考答案]

1—8 CCCBCCDD9 無(wú)數(shù)多 11.b//?或b?? 12.一個(gè) 13.4cm或1cm16.m:n17.(1)略(2)2a18.(1)2

第四篇：立體幾何(線、面平行、垂直的有關(guān)結(jié)論)必修2 立體幾何線面關(guān)系的判定與性質(zhì)

立體幾何（線面平行、垂直的有關(guān)結(jié)論）

空間中線面平行、垂直關(guān)系有關(guān)的定理：

1、【線面平行的判定】平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線和這個(gè)平面平行。

2、【線面平行的性質(zhì)】如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行。

3、如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

4、如果兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面。

5、如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面平行。

6、如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

7、一條直線與兩條平行直線中的一條直線相垂直，則這條直線也與另一條直線垂直。

8、與同一條直線都垂直的兩條直線相互平行。（）

9、與同一個(gè)平面都垂直的兩條直線相互平行。

10、兩條平行直線中的一條直線與一個(gè)平面相垂直，則另一條直線也垂直于這個(gè)平面。

11、兩條相互垂直的直線中的一條平行于一個(gè)平面，則另一條直線垂直于這個(gè)平面。（）

12、兩條相互垂直的直線中的一條垂直于以個(gè)平面，則另一條直線平行于這個(gè)平面。（）

13、平面外的兩條相互垂直的直線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條直線平行于這個(gè)平面。

14、一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么該直線也垂直于另一個(gè)平面。

15、如果兩個(gè)平面垂直于同一條直線，那么這兩個(gè)平面平行。

16、兩個(gè)平面都與另一個(gè)平面相垂直，則這兩個(gè)平面平行。（）

17、一個(gè)平面垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面，則此平面也垂直于另一個(gè)平面。

18、如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直。

19、如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線。

20、如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直。

21、如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

【知識(shí)歸納】： 【典型例題】： 【高考小題】：

第五篇：立體幾何線面平行問題

線線問題及線面平行問題

一、知識(shí)點(diǎn) 1 1）相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）平行——在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；（3）異面——不在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)； ．．

2.公理4 ：推理模式：a//b,b//c?a//c．

3.等角定理：4.等角定理的推論:若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.5.空間兩條異面直線的畫法

6．異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，b

a

1AA

推理模式：A??,B??,l??,B?l?AB與l

7．異面直線所成的角：已知兩條異面直線a,b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a?//a,b?//b，a?,b?所成的角的大小與點(diǎn)O的選擇無(wú)關(guān)，把a(bǔ)?,b?所成的銳角（或直角）叫異面直線a,b所成的角（或夾角）．為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O(0,?

28．異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直．兩條異面直線a,b 垂直，記作a?b．

9．求異面直線所成的角的方法：（1）通過平移，在一條直線上找一點(diǎn)，過該點(diǎn)做另一直線的平行線；

（210．兩條異面直線的公垂線、距離：和兩條異面直線都垂直相交．．．．

異面直線的的定義要注意“相交

11．異面直線間的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段垂線段）的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線間的距離．

12．直線和平面的位置關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)（無(wú)數(shù)個(gè)公共a點(diǎn)）；（2）直線和平面相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）；（3）直

?線和平面平行（沒有公共點(diǎn)）——用兩分法進(jìn)行兩次分

類．它們的圖形分別可表示為如下，符號(hào)分別可表示為a??，a???A，a//?． a?13．線面平行的判定定理：如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．推理模式：l??,m??,l//m?l//?．

14.線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這

相交，那么這條直線和交線平行．推理模式：l//?,l??,????m?l//m．

?lm個(gè)平面?

二、基本題型

1．判斷題（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）

（1）垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條（）

（2）兩線段AB、CD不在同一平面內(nèi)，如果AC=BD，AD=BC，則AB⊥CD（）（3）在正方體中，相鄰兩側(cè)面的一對(duì)異面的對(duì)角線所成的角為60o（）（4）四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對(duì)邊垂直（）

2．右圖是正方體平面展開圖，在這個(gè)正方體中

C

①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60o角； ④DM與BN垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（）（A）①②③（B）②④（C）③④（DF

3．已知空間四邊形ABCD.(1)求證：對(duì)角線AC與BD是異面直線;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),試判斷四邊形EFGH的形狀;(3)若AB＝

BC＝CD＝DA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.4．完成下列證明，已知直線a、b、c不共面，它們相交于點(diǎn)P，A?a，D?a，B?b，E?c求證：BD和AE證明：假設(shè)__ 共面于?，則點(diǎn)A、E、B、D都在平面__?A?a，D?a，∴__?γ.?P?a，∴P?__.?P?b，B?b，P?c，E?c∴__??，__??，這與____矛 ∴BD、E,F,G,H分別是空間四邊形四條邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，（1）求證四邊形EFGH是

2）若AC⊥BD時(shí)，求證：EFGH為矩形；（3）若BD=2，AC=6，求EG

?HF

；（4）

若AC、BD成30o角，AC=6，BD=4，求四邊形EFGH的面積；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC與BD間的距離.6 間四邊形ABCD中，AD?BC?2，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，EF?AD,BC7.在正方體ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B與B1D1所成角;(2)AC與BD1所成角.8．在長(zhǎng)方體ABCD?A?B?C?D中，已知AB=a，BC=b，AA?=c(a＞b)，求異面直線D?B與AC

9．如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別

是AB、PC1）求證：MN//平面PAD；（2）若MN?BC?4，PA? 求異面

直線PA與MN10．如圖,正方形ABCD與ABEF不在同一平面內(nèi),M、N分別在AC、BF上，且AM?FN求證：MN//平面CBE

參考答案：

1.（1）×（2）×（3）√（4）×2.C

3.證明：(1)∵ABCD是空間四邊形,∴A點(diǎn)不在平面BCD上,而C?平面BCD, ∴AC過平面BCD外一點(diǎn)A與平面BCD內(nèi)一點(diǎn)C, 又∵BD?平面BCD,且C?BD.∴AC與BD是異面直線.(2)解如圖,∵E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),∴EF//AC,且EF=同理HG//AC,且HG=

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AC.AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四邊形.又∵F,G分別為BC,CD的中點(diǎn),∴FG//BD,∴∠EFG是異面直線AC與BD所成的角.o

∵AC⊥BD,∴∠EFG=90.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,連EF,則EF即為所求.4.答案：假設(shè)BD、AE共面于?，則點(diǎn)A、E、B、D都在平面 ? ∵A?a，D?a，∴ a ??.∵P?a，P? ?.∵P?b，B?b，P?c，E?c.∴ b ??，c ??，這與a、b、c∴BD、AE5.證明（1）：連結(jié)AC,BD，∵E,F是?ABC的邊AB,BC上的中點(diǎn)，∴EF//AC，同理，HG//AC，∴EF//HG，同理，EH//FG，所以，四邊形EFGH證明（2）：由（1）四邊形EFGH∵EF//AC，EH//BD，∴由AC⊥BD得，EF?EH，∴EFGH為矩形.解（3）：由（1）四邊形EFGH∵BD=2，AC=6，∴EF?

2AC?3,EH?

BD?

1∴由平行四邊形的對(duì)角線的性質(zhì) EG?HF?2(EF

?EH)?20.B

D解（4）：由（1）四邊形EFGH∵BD=4，AC=6，∴EF?

又∵EF//AC，EH//BD，AC、BD成30o角，∴EF、EH成30o角，AC?3,EH?

BD?

2∴四邊形EFGH的面積 S?EF?EHsin30

?3.解（5）：分別取AC與BD的中點(diǎn)M、N,連接MN、MB、MD、NA、NC，∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝3 ∴MN?AC,MN?BD，∴MN是AC與BD的公垂線段 且MN?

MB

?NB

?2∴AC與BD間的距離為2.6.解：取BD中點(diǎn)G，連結(jié)EG,FG,EF，∵E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，∴EG//AD,FG//BC,且EG?

2AD?1,FG?

BC?1，∴異面直線AD,BC所成的角即為EG,FG所成的角，EG?FG?EF

2EG?FG

在?EGF中，cos?EGF???

?，G

F

D

∴?EGF?120，異面直線AD,BC所成的角為60．

7.解(1)如圖,連結(jié)BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1為平行四邊形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的對(duì)角線.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60,∵∠A1BD是銳角,∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角.∴A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點(diǎn)E,連EO,EA,EC.∵O為BD中點(diǎn),∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中點(diǎn),∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.又∴∠EOA是異面直線AC與BD1所成角,∴AC與BD1成角90.8.解(1)如圖,連結(jié)BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1為平行四邊形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的對(duì)角線.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形, ∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是銳角,∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角.∴A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點(diǎn)E,連EO,EA,EC.∵O為BD中點(diǎn),∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.o

在等腰△EAC中,∵O是AC的中點(diǎn),∴EO⊥AC,∴∠EOA=90.又∴∠EOA是異面直線AC與BD1所成角,∴AC與BD成角90o.9.略證（1）取PD的中點(diǎn)H，連接AH，?NH//DC,NH?

12DC

o

o

?

C

?NH//AM,NH?AM?AMNH為平行四邊形 ?MN//AH,MN?PAD,AH?PAD?MN//PAD

解(2): 連接AC并取其中點(diǎn)為O，連接OM、ON，則OM平行且等于BC的一半，ON平行且等

于PA的一半，所以?ONM就是異面直線PA與MN所成的角，由

MN?BC?

4，PA?OM=2，ON=

所以?ONM?300，即異面直線PA與MN成30010.略證：作MT//AB,NH//AB分別交BC、BE于T、H點(diǎn)

AM?FN??CMT≌BNH?MT?NH

從而有MNHT為平行四邊形?MN//TH?MN//CBE

E