第一篇：立體幾何-8.7 立體幾何中的向量問題(Ⅰ)——平行與垂直(作業(yè))

響水二中高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)

作業(yè) 第八編 立體幾何 主備人 張靈芝 總第41期

班級 姓名 等第 §8.7 立體幾何中的向量問題（Ⅰ）——平行與垂直

一、填空題

1.若平面?、?的法向量分別為n1=（2，3，5），n2=(-3,1,-4),則?，?的位置關(guān)系是（用“平行”，“垂直”，“相交但不垂直”填空）.2.已知AB=（2，4，5），CD=（3，x，y），若AB∥CD，則x= ,y=.3.已知A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1），則平面ABC的一個單位法向量是（寫出一個即可）.4.已知AB=（1，5，-2），BC=（3，1，z），若AB⊥BC，BP=（x-1，y，-3），且BP⊥平面ABC，則實數(shù)x，y，z分別為.5.設(shè)點C（2a+1，a+1，2）在點P（2，0，0）、A（1，-3，2）、B（8，-1，4）確定的平面上，則a=.6.下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是.7.若A(0，2，1955)，B(1，-1，)，C(-2，1，)是平面?內(nèi)三點，設(shè)平面?的法向量a=(x,y,z),則888x∶y∶z=.8.若|a|=17,b=(1,2,-2),c=(2,3,6),且a⊥b,a⊥c,則a=.二、解答題

9.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為BB1、C1D1的中點，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求平面AMN的法向量.81

10.如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是線段EF的中點.求證：（1）AM∥平面BDE；（2）AM⊥平面BDF.11.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點.（1）求證：平面AED⊥平面A1FD1；

（2）在AE上求一點M，使得A1M⊥平面ADE.82 12.已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC⊥BC，D為AB的中點，AC=BC=BB1.求證：（1）BC1⊥AB1；（2）BC1∥平面CA1D.83

第二篇：立體幾何中的向量方法----證明平行與垂直練習(xí)題

§8.7 立體幾何中的向量方法（Ⅰ）----證明平行與垂直

一、選擇題

1．若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，則()．

A．l1∥l2B．l1⊥l

2C．l1與l2相交但不垂直D．以上均不正確

2．直線l1，l2相互垂直，則下列向量可能是這兩條直線的方向向量的是()

A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)

B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)

C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)

D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)

35?15???3．已知a＝?1，－，b＝?－3，λ，－滿足a∥b，則λ等于()． 22?2???

2992A.B.C．－D．－ 322

34．若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是()．

A．a(chǎn)＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)

B．a(chǎn)＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)

C．a(chǎn)＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)

D．a(chǎn)＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)

5．若平面α，β平行，則下面可以是這兩個平面的法向量的是()

A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)

B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)

C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)

D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)

6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實數(shù)λ等于()．

62636065A.B.C.D.7777

7．已知平面α內(nèi)有一個點A(2，－1,2)，α的一個法向量為n＝(3,1,2)，則下列點P中，在平面α內(nèi)的是()

A．(1，－1,1)3??B.?1，3，2??

??

C.?1，－3，2??

二、填空題

??

D.?－1，3，－

2??

8．兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，則

l1與l2的位置關(guān)系是_______．

9．平面α的一個法向量n＝(0,1，－1)，如果直線l⊥平面α，則直線l的單位方向向量是s＝________.→

＝0的_______．

→

12．已知→AB＝(1,5，－2)，→BC＝(3,1，z)，若→AB⊥→BC，→BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實數(shù)x，y，z分別為________．

三、解答題

13．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：

→

11．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，則平面ABC的單位法向量是________．

→

→

→

→

→

10．已知點A，B，C∈平面α，點P?α，則AP·AB＝0，且AP·AC＝0是AP·BC

a，b，c.14.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點．求證：

MN∥平面A1BD.證明 法一 如圖所示，以D為原點，DA、DC、DD1所在直

線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，???1?

則M?0，1，N?，1，1?，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，2???2?→

1??

1于是MN＝?，0，2??

2設(shè)平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． ?x＋z＝0，則n·DA1＝0，且n·DB＝0，得?

?x＋y＝0.→

→

取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． →

1??1

又MN·n＝?，0，·(1，－1，－1)＝0，2??2→

∴MN⊥n，又MN?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.15．如圖，已知ABCDA1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA1上，點F在CC1上，且AE＝FC1＝

1.(1)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點共面；

(2)若點G在BC上，BG＝M在BB1上，GM⊥BF，垂足為H，求證：EM⊥面

BCC1B1.→→

證明(1)建立如圖所示的坐標(biāo)系，則BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

→→

→→→→

所以BD1＝BE＋BF，故BD1、BE、BF共面． 又它們有公共點B，所以E、B、F、D1四點共面．(2)如圖，設(shè)M(0,0，z)，→

→→

2??

則GM＝?0，－，z?，而BF＝(0,3,2)，3??

→→

由題設(shè)得GM·BF＝－×3＋z·2＝0，得z＝1.→

因為M(0,0,1)，E(3,0,1)，所以ME＝(3,0,0)． →

→

又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→

所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，從而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.16．如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是線段EF的中點．

求證：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC∩BD＝N，連接NE.則點N、E的坐標(biāo)分別為 ?22?

?，0?、(0,0,1)．

2?2?→?22?∴NE＝?－，－1?.2?2?

?2?

2又點A、M的坐標(biāo)分別是2，2，0)、?，1?

2?2

?

→

?22?∴AM＝?－，－1?.2?2?

→→

∴NE＝AM且NE與AM不共線．∴NE∥AM.又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.?22?

(2)由(1)知AM＝?－，－1?，2?2?

→

∵D2，0,0)，F(xiàn)(2，2，1)，∴DF＝(0，2，1)→→

∴AM·DF＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.→

第三篇：8.7 立體幾何中的向量方法Ⅰ——證明平行與垂直

§8.7 立體幾何中的向量方法Ⅰ——證明

平行與垂直

(時間：45分鐘 滿分：100分)

一、選擇題(每小題7分，共35分)

????????1.已知空間三點A（0,2,3），B（-2,1,6），C（1，-1,5）若a

a分別與AB,AC垂

直，則向量a為??

A.?1，1，1?

B.?－1，－1，－1?

C.?1，1，1?或?－1，－1，－1?

D.?1，－1，1?或?－1，1，－1?,2.已知a＝?1，1，1?，b＝?0，2，－1?，c＝ma＋nb＋?4，－4，1?.若c與a及b都垂直，則m，n的值分別為??,A.－1，2B.1，－2C.1，2D.－1，－

23.已知a＝?1,?,?，b＝??3,?,?

A??35?22???15??滿足a∥b，則λ等于?? 2?2992.B.C.－D.－ 3223????????????????????4.已知AB＝?1，5，－2?，BC＝?3，1，z?，若AB⊥BC，BP＝?x－1，y，－3?，且BP⊥平面ABC，則實數(shù)x，y，z分別為???A.33154015，－，4B.，－，4 77774040，－2，4D.4，－15 77C.5.若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是??,A.a＝?1，0，0?，n＝?－2，0，0?

B.a＝?1，3，5?，n＝?1，0，1?

C.a＝?0，2，1?，n＝?－1，0，－1?

D.a＝?1，－1，3?，n＝?0，3，1?

二、填空題?每小題7分，共21分?

6.設(shè)a＝?1，2，0?，b＝?1，0，1?，則“c＝(,?,?的條件.7.若|a|，b＝?1，2，－2?，c＝?2，3，6?，且a⊥b，a⊥c，則a＝.,8.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是棱BC、DD1上的點，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值為

三、解答題?共44分?

9.?14分?已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為BB1、C1D1的中點，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求平面AMN的一個法向量

10．(15分)如圖，已知ABCD—A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA

1上，點F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點共面；

2(2)若點G在BC上，BG＝，點M在BB1上，GM⊥BF，垂足為H，求證：

3EM⊥面BCC1B1.11．(15分)如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB2，AF

＝1，M是線段EF的中點．

求證：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.答案

1.C2.A3.B4.B5.D

6.充分不必要7.??23132)”是“c⊥a，c⊥b且c為單位向量”31??181??18,2,?或?，?2,??8.1 5??55??

5.9.解 以D為原點，DA、DC、DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系?如圖所示?.,設(shè)

正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，則A?1，0，0?，M(1，1，11)，N(0，1)).∴2

2??????1??????1?AM??1,0,?,AN??0，1?設(shè)平面AMN的一個法向量為2???2?

n＝?x，y，z?,?????1?n?AM?y?z?0??2? ?????n?AN??x?1y?z?0??2

令y＝2，∴x＝－3，z＝－4.∴n＝(－3,2，－4)．

∴(－3,2，－4)為平面AMN的一個法向量．

????10.證明 建立如圖所示的坐標(biāo)系，則BE＝(3,0,1)，????→BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

?????????????→???→所以BD1=BE+BF，故BD1，BE，BF共面．

又它們有公共點B，所以E、B、F、D1四點共面．

(2)如圖，設(shè)M(0,0，z)，?????2→0，－z?，而BF＝(0，3，2)，GM＝?3??

得z＝1.?????→2由題設(shè)得GM?BF=??3?z?2?0，3????因為M(0,0，1)，E（3,0,1），所以ME＝(3,0,0)．

→→又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，從而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.11.證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC∩BD＝N，連接NE.則點N、E的坐標(biāo)分別為 ?22，0?、(0,0,1)． 2?2?

?????22∴NE＝－1?.2?2?

又點A、M的坐標(biāo)分別是，0)、?22?22→，AM＝?－，1?.，1，22?2??2?????→∴NE＝AM且NE與AM不共線．∴NE∥AM.又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，∴AM∥平面BDE.????22?→?(2)由（1）知AM＝1，∵D(2，0,0)，F(xiàn)22，1)，DF＝(0，2，2?2?

1)．

→→→→AM·DF＝0.∴AM⊥DF.→→同理AM⊥BF，又DF∩BF

＝

F，∴AM⊥平面BDF.

第四篇：45立體幾何中的向量方法(Ⅰ)——證明平行與垂直

第45課時立體幾何中的向量方法(Ⅰ)

——證明平行與垂直

編者：劉智娟審核：陳彩余 班級_________

學(xué)號_________

姓名_________第一部分 預(yù)習(xí)案

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解直線的方向向量與平面的法向量；能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直和平行關(guān)系

2.了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用

二、知識回顧

1．直線的方向向量與平面的法向量

(1)直線l上的向量e(e≠0)以及與e共線的向量叫做直線l的方向向量．

(2)如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面α，那么稱向量n垂直于平面α，記作n⊥α.此時，我們把向量n叫做平面α的法向量．

2．用向量證明空間中的平行關(guān)系

(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)? v1∥v

2(2)設(shè)直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個不共線向量v1和v2，則l∥α或l?α?存在兩個實數(shù)x，y，使＝xv1＋yv2

(3)設(shè)直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l∥α或l?α?⊥.(4)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1 ∥u2.3．用向量證明空間中的垂直關(guān)系

v2＝0.(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·

(2)設(shè)直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥α?∥

u2＝0.(3)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練

1．兩條不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2，0,2)，則l1與l2的位置關(guān)系是__________

→→→→→2．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實數(shù)x，y，z分別為______________．

b＝(2,0,4)，c＝(－4，3．已知＝(－2，－3,1)，－6,2)，則下列結(jié)論正確的序號是________． ①∥c，b∥c;②∥b，⊥c； ③∥，⊥;④以上都不對．

→→4．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，則平面ABC的單位法向量為____________．

5．若平面α、β的法向量分別為v1＝(2，－3,5)，v2＝(－3,1，－4)，則α、β的位置關(guān)系為____________．

第二部分探究案

探究一 利用空間向量證明平行問題

問題

1、如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點．

求證：PB∥平面EFG.探究二利用空間向量證明垂直問題

問題

2、如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．

求證：AB1⊥平面A1BD.探究三 利用空間向量解決探索性問題

問題

3、如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點．

(1)求證：B1E⊥AD1；

(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．

問題

4、如圖所示，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的2倍，P為側(cè)棱SD上的點．(1)求證：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由．

我的收獲

第三部分訓(xùn)練案見附頁

第五篇：立體幾何線面平行問題

線線問題及線面平行問題

一、知識點 1 1）相交——有且只有一個公共點；（2）平行——在同一平面內(nèi)，沒有公共點；（3）異面——不在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點； ．．

2.公理4 ：推理模式：a//b,b//c?a//c．

3.等角定理：4.等角定理的推論:若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.5.空間兩條異面直線的畫法

6．異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，b

a

1AA

推理模式：A??,B??,l??,B?l?AB與l

7．異面直線所成的角：已知兩條異面直線a,b，經(jīng)過空間任一點O作直線a?//a,b?//b，a?,b?所成的角的大小與點O的選擇無關(guān)，把a?,b?所成的銳角（或直角）叫異面直線a,b所成的角（或夾角）．為了簡便，點O(0,?

28．異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直．兩條異面直線a,b 垂直，記作a?b．

9．求異面直線所成的角的方法：（1）通過平移，在一條直線上找一點，過該點做另一直線的平行線；

（210．兩條異面直線的公垂線、距離：和兩條異面直線都垂直相交．．．．

異面直線的的定義要注意“相交

11．異面直線間的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段垂線段）的長度，叫做兩條異面直線間的距離．

12．直線和平面的位置關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個公共a點）；（2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）；（3）直

?線和平面平行（沒有公共點）——用兩分法進行兩次分

類．它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為a??，a???A，a//?． a?13．線面平行的判定定理：如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．推理模式：l??,m??,l//m?l//?．

14.線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這

相交，那么這條直線和交線平行．推理模式：l//?,l??,????m?l//m．

?lm個平面?

二、基本題型

1．判斷題（對的打“√”，錯的打“×”）

（1）垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條（）

（2）兩線段AB、CD不在同一平面內(nèi)，如果AC=BD，AD=BC，則AB⊥CD（）（3）在正方體中，相鄰兩側(cè)面的一對異面的對角線所成的角為60o（）（4）四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對邊垂直（）

2．右圖是正方體平面展開圖，在這個正方體中

C

①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60o角； ④DM與BN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是（）（A）①②③（B）②④（C）③④（DF

3．已知空間四邊形ABCD.(1)求證：對角線AC與BD是異面直線;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點,試判斷四邊形EFGH的形狀;(3)若AB＝

BC＝CD＝DA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.4．完成下列證明，已知直線a、b、c不共面，它們相交于點P，A?a，D?a，B?b，E?c求證：BD和AE證明：假設(shè)__ 共面于?，則點A、E、B、D都在平面__?A?a，D?a，∴__?γ.?P?a，∴P?__.?P?b，B?b，P?c，E?c∴__??，__??，這與____矛 ∴BD、E,F,G,H分別是空間四邊形四條邊AB,BC,CD,DA的中點，（1）求證四邊形EFGH是

2）若AC⊥BD時，求證：EFGH為矩形；（3）若BD=2，AC=6，求EG

?HF

；（4）

若AC、BD成30o角，AC=6，BD=4，求四邊形EFGH的面積；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC與BD間的距離.6 間四邊形ABCD中，AD?BC?2，E,F分別是AB,CD的中點，EF?AD,BC7.在正方體ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B與B1D1所成角;(2)AC與BD1所成角.8．在長方體ABCD?A?B?C?D中，已知AB=a，BC=b，AA?=c(a＞b)，求異面直線D?B與AC

9．如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別

是AB、PC1）求證：MN//平面PAD；（2）若MN?BC?4，PA? 求異面

直線PA與MN10．如圖,正方形ABCD與ABEF不在同一平面內(nèi),M、N分別在AC、BF上，且AM?FN求證：MN//平面CBE

參考答案：

1.（1）×（2）×（3）√（4）×2.C

3.證明：(1)∵ABCD是空間四邊形,∴A點不在平面BCD上,而C?平面BCD, ∴AC過平面BCD外一點A與平面BCD內(nèi)一點C, 又∵BD?平面BCD,且C?BD.∴AC與BD是異面直線.(2)解如圖,∵E,F分別為AB,BC的中點,∴EF//AC,且EF=同理HG//AC,且HG=

212

AC.AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四邊形.又∵F,G分別為BC,CD的中點,∴FG//BD,∴∠EFG是異面直線AC與BD所成的角.o

∵AC⊥BD,∴∠EFG=90.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中點E,AC中點F,連EF,則EF即為所求.4.答案：假設(shè)BD、AE共面于?，則點A、E、B、D都在平面 ? ∵A?a，D?a，∴ a ??.∵P?a，P? ?.∵P?b，B?b，P?c，E?c.∴ b ??，c ??，這與a、b、c∴BD、AE5.證明（1）：連結(jié)AC,BD，∵E,F是?ABC的邊AB,BC上的中點，∴EF//AC，同理，HG//AC，∴EF//HG，同理，EH//FG，所以，四邊形EFGH證明（2）：由（1）四邊形EFGH∵EF//AC，EH//BD，∴由AC⊥BD得，EF?EH，∴EFGH為矩形.解（3）：由（1）四邊形EFGH∵BD=2，AC=6，∴EF?

2AC?3,EH?

BD?

1∴由平行四邊形的對角線的性質(zhì) EG?HF?2(EF

?EH)?20.B

D解（4）：由（1）四邊形EFGH∵BD=4，AC=6，∴EF?

又∵EF//AC，EH//BD，AC、BD成30o角，∴EF、EH成30o角，AC?3,EH?

BD?

2∴四邊形EFGH的面積 S?EF?EHsin30

?3.解（5）：分別取AC與BD的中點M、N,連接MN、MB、MD、NA、NC，∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝3 ∴MN?AC,MN?BD，∴MN是AC與BD的公垂線段 且MN?

MB

?NB

?2∴AC與BD間的距離為2.6.解：取BD中點G，連結(jié)EG,FG,EF，∵E,F分別是AB,CD的中點，∴EG//AD,FG//BC,且EG?

2AD?1,FG?

BC?1，∴異面直線AD,BC所成的角即為EG,FG所成的角，EG?FG?EF

2EG?FG

在?EGF中，cos?EGF???

?，G

F

D

∴?EGF?120，異面直線AD,BC所成的角為60．

7.解(1)如圖,連結(jié)BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1為平行四邊形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的對角線.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60,∵∠A1BD是銳角,∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角.∴A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點E,連EO,EA,EC.∵O為BD中點,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中點,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.又∴∠EOA是異面直線AC與BD1所成角,∴AC與BD1成角90.8.解(1)如圖,連結(jié)BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1為平行四邊形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的對角線.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形, ∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是銳角,∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角.∴A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點E,連EO,EA,EC.∵O為BD中點,∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.o

在等腰△EAC中,∵O是AC的中點,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90.又∴∠EOA是異面直線AC與BD1所成角,∴AC與BD成角90o.9.略證（1）取PD的中點H，連接AH，?NH//DC,NH?

12DC

o

o

?

C

?NH//AM,NH?AM?AMNH為平行四邊形 ?MN//AH,MN?PAD,AH?PAD?MN//PAD

解(2): 連接AC并取其中點為O，連接OM、ON，則OM平行且等于BC的一半，ON平行且等

于PA的一半，所以?ONM就是異面直線PA與MN所成的角，由

MN?BC?

4，PA?OM=2，ON=

所以?ONM?300，即異面直線PA與MN成30010.略證：作MT//AB,NH//AB分別交BC、BE于T、H點

AM?FN??CMT≌BNH?MT?NH

從而有MNHT為平行四邊形?MN//TH?MN//CBE

E