第一篇：立體幾何中的向量方法的教學設計

《立體幾何中的向量方法》的教學設計

一、教材分析

本節課是坐標法與向量有效結合的典型范例，有利于培養學生利用向量解決立體幾何問題的能力。

二、教學目標

通過類比平面內的點、線的位置可以由向量來確定，引導學生理解空間內的點、線、面的位置也可以由向量來表示，并進一步探究用空間向量的運算來表示空間線、面的位置關系。從應用其證明空間線面的平行與垂直問題中體會直線的方向向量與平面的法向量在解決立體幾何中線面平行與垂直問題時的作用。從而樹立學好用好向量法解決立體幾何問題的興趣和信心。

三、教學重點、難點

由于建系求點坐標是向量方法中最大的障礙，所以把坐標法與向量法結合作為重點，而適當地建立空間直角坐標系及添加輔助線作為難點。

四、教學手段

用幾何畫板直觀展示圖形給學生立體感，通過問題鏈讓學生有效地進行數學思維。

五、教學流程

1、新課導入：

同學們，在前面的學習中，我們已經接觸過一些用空間向量的運算方法，所以這節課我們將使用一些用空間向量知識證明點、線、面的位置關系。

為了運用向量來解決立體幾何問題，首先要明確空間的點、線、面的位置是否可以用向量來確定？想一想平面內點、線的位置可以由向量來唯一確定嗎？你能利用類比的方法，相應地得出空間點、線、面的位置也可以由向量來唯一確定的結論嗎？

2、經典例題講解：

<例一> 已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，?C1CB??C1CD??BCD??,求證：CC1?BD.分析：題目是讓我們求證CC1?BD，我們可以利用向量垂直的方法來試著證明CC1.BD =0 <例二> 棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點，求證：A1E⊥平面DBC1。

分析：該題主要是考察學生是否可以根據已知題目給出的信息將建立空間直角坐標系，本題以D為坐標原點，DC所在的直線為x軸，連接BD以BD為y軸，Z軸則平行與CC1建立了D-XYZ的空間直角坐標系。接著根據平面法向量的性質來求證出結果。

六、練習

用向量的方法證明“平面與平面垂直的判定定理”。

七、總結

將空間向量的方法引入到立體幾何中，通常的方法不必添加繁雜的輔助線，只要建立適當的空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，利用向量運算解決立體幾何問題，這樣使問題坐標化、符號化、數量化，從而降低推理問題的思維難度。

第二篇：3.2立體幾何中的向量方法 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

（1）知識與技能：理解直線的方向向量和平面的法向量；會用向量及其運算表示線線、線面、面面間的位置關系.（2）過程與方法：在解決問題中，通過數形結合的思想方法，加深對相關知識的理解。

（3）情感態度與價值觀：開始體會把立方體幾何幾何轉化為向量問題優勢。

2.教學重點/難點

【教學重點】：平面的法向量.【教學難點】：用向量及其運算表示線線、線面、面面間的位置關系.3.教學用具

多媒體

4.標簽

3.2.1 直線的方向向量與平面的法向量

教學過程

課堂小結

1． 點、直線、平面的位置的向量表示。線線、線面、面面間的位置關系的向量表示。

第三篇：向量方法在立體幾何教學中的應用

轉自論文部落論文范文發表論文發表

向量方法在立體幾何教學中的應用

作者：王龍生

摘 要： 在江蘇省對口單招數學試卷中，立體幾何這一章的知識點每年都作為重點考查的內容.每年我校考生在立體幾何解答題上的得分情況都不太理想.向量是基本的數學概念之一，是溝通代數與幾何的工具之一，體現了數形結合的思想.根據向量的數形特性，可以將幾何圖形數量化，從而通過運算解決立體幾何中的平行、垂直等問題，能避免構圖和推理的復雜過程，有利于降低解題難度.關鍵詞： 向量 立體幾何教學 數形結合在江蘇省對口單招數學試卷中，立體幾何這一章的知識點每年都是重點考查的內容.每年我校考生在立體幾何解答題上的得分情況都不太理想.向量是基本的數學概念之一，是溝通代數與幾何的工具之一，體現了數形結合的思想.根據向量的數形特性，可以將幾何圖形數量化，從而通過運算解決立體幾何中的平行、垂直等問題，避免構圖和推理的復雜過程，有利于降低解題難度.一、將立體幾何中的平行問題轉化為向量平行來證明

二、將立體幾何中的垂直問題轉化為向量垂直來證明

由于立體幾何中的垂直問題圖形比較復雜，加上學生的空間感比較薄弱，因此學生很難解決.把立體幾何中的垂直問題轉化為向量垂直，其優越性非常明顯，具體體現在：兩個向量垂直的充要條件可以把“垂直”體現在一個等式中變為純粹的運算，所涉及的向量易于用坐標表示就足夠了.立體幾何中的線線、線面、面面垂直，都可以轉化為空間兩個向量的垂直問題解決.1.“線線垂直”化為“向量垂直”

華羅庚關于“數形結合”有一句名言：“數缺形時少直觀，形離數時難入微.”向量是基本的數學概念之一，是溝通代數與幾何的工具之一，體現了數形結合的思想.因此，充分掌握、運用好向量知識，可以提高學生的數形結合能力，培養學生發現問題的能力，幫助學生理清數形結合呈現的內在關系，把無形的解題思路形象化，有利于學生順利地、高效率地解決數學問題.利用向量方法研究立體幾何問題，能避免傳統幾何方法中繁瑣的推理及論證，有效提高學生解決立體幾何問題的能力.參考文獻：

[1]單招生—相約在高校，數學：基礎知識梳理.[2]單招零距離—數學：總復習方案.[3]呂林根，張紫霞，孫存金.立體幾何學習指導書.

第四篇：【教案】3.2立體幾何中的向量方法

3.2.2向量法解決空間角問題

（習題課）

（1）、三維目標

1．知識與能力：向量運算在幾何計算中的應用．培養學生的空間想象能力和運算能力。

2．過程與方法：掌握利用向量運算解幾何題的方法，并能解簡單的立體幾何問題． 3．情感目標

通過師生、生生的合作學習，增強學生團隊協作能力的培養，增強主動與他人合作交流的意識.（2）教學重點：向量運算在解決空間角中的應用．（3）教學難點：向量運算在解決空間角中的應用．21 新課導入設計

一、復習引入

1、兩條異面直線所成的角的定義及范圍？

2、直線與平面所成角的定義及范圍？

3、二面角定義及范圍？

（和學生一起回憶定義，并且通過直線的方向向量及平面的法向量復習線線角，線面角及面面角的公式）

二、習題展示：教師給出正方體這個載體，由學生在正方體中構造空間角，展示自編題目，并由學生解答完成。

1、展示線線角習題：

（設計意圖：使學生清楚如何將求兩條異面直線所成角轉化成求兩個向量所成角，并且會用cos?=|cos＜a,b＞|＝|a?b|解決問題，但要注意異面直線所成角的范圍與

a?b兩個向量所成角范圍的不同）

2、展示線面角習題；（設計意圖：使學生能將求線面角轉化為求線線角，即求斜線與平面的法向量所成的角，進而轉化為求兩個向量所成角，這里關注學生在講解過程中是否能講清楚線面角的正弦即是線線角的余弦，即sin??cosAB,n?ABnABn）

3、展示面面角習題；（設計意圖；使學生能將二面角的平面角轉化為線線角，即轉化為求平面的法向量所成的角，進而使問題又歸為

第五篇：空間向量方法解立體幾何教案

空間向量方法解立體幾何

【空間向量基本定理】

例1.已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點，且M分

數x、y、z的值。成定比2，N分PD成定比1，求滿足的實

分析;結合圖形，從向量

用、、出發，利用向量運算法則不斷進行分解，直到全部向量都表示出來，即可求出x、y、z的值。

如圖所示，取PC的中點E，連接NE，則

點評：選定空間不共面的三個向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的一項基本功，要結合已知和所求，觀察圖形，聯想相關的運算法則和公式等，就近表示所需向量。再對照目標，將不符合目標要求的向量當作新的所需向量，如此繼續下去，直到所有向量都符合目標要求為止，這就是向量的分解。有分解才有組合，組合是分解的表現形式。空間向量基本定理恰好說明，用空間三個不共面的向量組可以表示出空間任意一個向量，而且a,b,c的系數是惟一的。

【利用空間向量證明平行、垂直問題】

例2.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB于點F。

（1）證明：PA//平面EDB；

（2）證明：PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

點評：（1）證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．

（2）證明線面平行的方法：

①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；

②證明能夠在平面內找到一個向量與已知直線的方向向量共線；

③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內的兩個不共線向量是共面向量．

（3）證明面面平行的方法：

①轉化為線線平行、線面平行處理；

②證明這兩個平面的法向量是共線向量．

（4）證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直．

（5）證明線面垂直的方法：

①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；

②證明直線與平面內的兩個不共線的向量互相垂直．（6）證明面面垂直的方法：

①轉化為線線垂直、線面垂直處理；②證明兩個平面的法向量互相垂直． 【用空間向量求空間角】

例3.正方形ABCD—中，E、F分別是

（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。，的中點，求：

點評：（1）兩條異面直線所成的角可以借助這兩條直線的方向向量的夾角

求得，即。

（2）直線與平面所成的角主要可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即或

（3）二面角的大小可以通過該二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補角。

【用空間向量求距離】

例4.長方體ABCD—中，AB=4，AD=6，段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點，求：

（1）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直線PQ的距離；（3）M到平面AB1P的距離。，M是A1C1的中點，P在線

本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標系，運用向量坐標法來解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現，但是利用向量的數量積來求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問題必將成為高考命題的一個新的熱點。現列出幾類問題的解決方法。

（1）平面的法向量的求法：設，利用n與平面內的兩個向量a，b垂直，其數量積為零，列出兩個三元一次方程，聯立后取其一組解。

（2）線面角的求法：設n是平面

向量，則直線與平面的一個法向量，AB是平面的斜線l的一個方向

所成角為?則sin??

（3）二面角的求法：①AB，CD分別是二面角面直線，則二面角的大小為。的兩個面內與棱l垂直的異

②設分別是二面角的兩個平面的法向量，則

就是二面角的平面角或其補角。

（4）異面直線間距離的求法：向量，又C、D分別是

是兩條異面直線，n是。的公垂線段AB的方向

上的任意兩點，則

（5）點面距離的求法：設n是平面平面的距離為。的法向量，AB是平面的一條斜線，則點B到

（6）線面距、面面距均可轉化為點面距離再用（5）中方法求解。

練習：

?????1????2????

1.若等邊?ABC的邊長

為，平面內一點M滿足CM?CB?CA，則

????????MA?MB?_________

2．在空間直角坐標系中，已知點A（1，0，2），B(1，-3，1)，點M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標是________。3.（本小題滿分12分）

如圖，在五面體ABCDEF中，FA ?平面ABCD, AD//BC//FE，AB?AD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=

AD 2

(I)求異面直線BF與DE所成的角的大小；(II)證明平面AMD?平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。

4．（本題滿分15分）如圖，平面PAC?平面ABC，?ABC

是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E,F,O分別為PA，PB，AC的中點，AC?16，PA?PC?10．

（I）設G是OC的中點，證明：FG//平面BOE；

（II）證明：在?ABO內存在一點M，使FM?平面BOE，并求點M到OA，OB的距離．

5.如圖，四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，點E在棱PB上.（Ⅰ）求證：平面AEC?平面PDB；

（Ⅱ）當PD?且E為PB的中點時，求AE與

平面PDB所成的角的大小.