第一篇：2.5.1平面幾何中的向量方法(教學設計)

SCH高中數學（南極數學）同步教學設計（人教A版必修4第二章《平面向量》）

2.5.1平面幾何中的向量方法（教學設計）

[教學目標]

一、知識與能力：

1.運用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.二、過程與方法：

經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題；體會向量是一種處理幾何問題的工具；發展運算能力和解決實際問題的能力.三、情感、態度與價值觀：

培養對現實世界中的數學現象的好奇心，學習從數學角度發現和提出問題；樹立學科之間相互聯系、相互促進的辯證唯物主義觀點.[教學重點] 運用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.[教學難點]

運用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題

一、復習回顧 1． 向量的概念；

2． 向量的表示方法：幾何表示、字母表示； 3． 零向量、單位向量、平行向量的概念；

4． 在不改變長度和方向的前提下，向量可以在空間自由移動； 5． 相等向量：長度（模）相等且方向相同的向量； 6． 共線向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量.7． 要熟練地掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，并能做出已知兩個向量的和向量； 8． 要理解向量加法的交換律和結合律，能說出這兩個向量運算律的幾何意義； 9． 理解向量減法的意義；能作出兩個向量的差向量.10． 理解實數與向量的積的意義，能說出實數與一個向量的積這與個向量的模及方向間的關系； 11． 能說出實數與向量的積的三條運算律，并會運用它們進行計算； 12． 能表述一個向量與非零向量共線的充要條件； 13． 會表示與非零向量共線的向量，會判斷兩個向量共線.二、師生互動，新課講解

由于向量的線性運算和數量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖像的許多性質，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數量積表示出來.因此可用向量方法解決平面幾何中的一些問題.例1： 證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.SCH高中數學（南極數學）同步教學設計（人教A版必修4第二章《平面向量》）

證明：設四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，且AO?OC，BO?OD.AB?12AC?1112DB，DC?2DB?2AC,?AB?DC, 即AB?DC且AB//DC所以四邊形ABCD是平行四邊形，即對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.變式訓練1：已知DE是?ABC的中位線，用向量的方法證明：DE?12BC，且DE//BC.證明：易知AD?12AB,AE?12AC,所以DE?AE?AD?12?AC?AB??12BC.即DE?12BC，又D不在BC上，所以DE//BC.例2： 用向量方法證明：三角形三條高線交于一點.證明：設H是高線BE、CF的交點，且設AB?a,AC?b,AH?h則有BH?h?a,CH?h?b,BC?b?a,BH?AC,CH?AB,??h?a?·b??h?b?·a?0

化簡得，h·?b?a??0?AH?BC所以，三角形三條高線交于一點.變式訓練2：證明勾股定理，在Rt?ABC中，AC?BC，BC?a，AC?b，AB?c，則c2?b2?a2.證明：由AB?AC?CB，得BAB·AB?AC·AC?2AC CB?CBCB即|AB|2?|AC|2?0?|CB|2，故c2?b2?a2.CA

例3：（課本P109例1）已知平行四邊形ABCD的對角線為AC、BD.求證：|AC|2?|DB|2?2?|AB|2?|AD|2? 2

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證明：由|AC|2?AC?AB?AD2??2?|AB|2?|AD|2?2AB AD|DB|2?DB?AB?AD2,??2

?|AB|2?|AD|2?2AB AD得|AC|2?|DB|2?2|AB|2?|AD|2.??變式訓練3：用向量方法證明：對角線相等的平行四邊形是矩形.解：如圖，四邊形ABCD對角線AC、BD交于點O，AB?AO?OB,AD?AO?OD,?AB·AD?AO?OB·AO?OD2DOC????

A?AO?AO·OD?OB·AO?OB·OD?0?AB?AD,即AB?AD，?四邊形ABCD是矩形.B

三、課堂小結，鞏固反思：

向量是溝通數與形的十分有效的工具，利用向量處理平面幾何問題，最重要的是要先在平面圖形中尋找向量的“影子”，然后合理引入向量，并通過向量的運算，達到快捷解題的效果.四、課時必記：

五、分層作業： A組：

1、（課本P118復習參考題 A組：NO：5）

2、（課本P118復習參考題 A組：NO：6）

3、（課本P118復習參考題 A組：NO：7）

4、（課本P118復習參考題 A組：NO：8）

5、（課本P118復習參考題 A組：NO：9）B組：

1、（課本P113習題2.5 A組NO：1）

2、（課本P113習題2.5 A組NO：2）SCH高中數學（南極數學）同步教學設計（人教A版必修4第二章《平面向量》）

3、用向量方法證明：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.證明：如圖平行四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O，AB?AO?OB,BC?BO?OC|AB|2??AO?OB?2?|AO|2?2AO OB?OB2?|AO2?OB2

|BC|2??BO?OC?2?|BO|2?2BO OC?|OC|2?|BO|2?|OC|2,?|AB|?|BC|，?四邊形ABCD是菱形.C組：

DCOAB4

第二篇：2.5.1平面幾何中的向量方法(教案)

2.5 平面向量應用舉例 2.5.1 平面幾何中的向量方法

教學目標

1.通過平行四邊形這個幾何模型,歸納總結出用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”.2.明了平面幾何圖形中的有關性質,如平移、全等、相似、長度、夾角等可以由向量的線性運算及數量積表示.教學重點:用向量方法解決實際問題的基本方法;向量法解決幾何問題的“三步曲”.教學難點:如何將幾何等實際問題化歸為向量問題.教學過程 導入新課

前言：向量的概念和運算都有著明確的物理背景和幾何背景,當向量和平面坐標系結合后,向量的運算就完全可以轉化為代數運算.這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來了極大的方便.本節專門研究平面幾何中的向量方法.新知探究 提出問題

①平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型,如圖1,你能觀察、發現并猜想出平行四邊形對角線的長度與兩鄰邊長度之間有什么關系嗎？

②你能利用所學知識證明你的猜想嗎？能利用所學的向量方法證明嗎？試一試可用哪些方法? ③你能總結一下利用平面向量解決平面幾何問題的基本思路嗎？

圖1

圖2

證明:方法一:如圖2.作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,則Rt△ADF≌Rt△BCE.∴AD=BC,AF=BE.由于AC AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).方法二:如圖3.以AB所在直線為x軸,A為坐標原點建立直角坐標系.設B(a,0),D(b,c),則C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2, |BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2).用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”,即

(1)建立平面幾何與向量的聯系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉化為向量問題;(2)通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,如距離、夾角等問題;(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.應用示例

圖3

例1 如圖4, 解:如圖4, ABCD中,點E、F分別是AD、DC邊的中點,BE、BF分別與AC交于R、T兩點,你能發現AR、RT、TC之間的關系嗎? 設AB=a,AD=b,AR=r,AT=t,則AC=a+b.由于AR與AC共線,所以我們設r=n(a+b),n∈R.又因為EB=AB-AE=a-圖4

1b, 21b).2ER與EB共線,所以我們設ER=mEB=m(a-因為AR?AE?ER,所以r=即(n-m)a+(n+

111b+m(a-b).因此n(a+b)=b+m(a-b), 222m?1)b=0.由于向量a、b不共線,要使上式為0,必須 2?n?m?0,1?解得n=m=.?m?13n??0.?2?所以AR=變式訓練 111AC,同理TC=AC.于是RT=AC.所以AR=RT=TC.333

圖5

如圖5,AD、BE、CF是△ABC的三條高.求證:AD、BE、CF相交于一點.證明:設BE、CF相交于H,并設AB=b,AC=c,AH=h，則BH=h-b,CH=h-c,BC=c-b.因為BH⊥AC,CH⊥AB, 所以(h-b)·c=0,(h-c)·b=0, 即(h-b)·c=(h-c)·b.化簡得h·(c-b)=0.所以AH⊥BC.所以AH與AD共線, 即AD、BE、CF相交于一點H.課堂小結：用向量解決平面問題的三步曲：

課后作業：

1.有一邊長為1的正方形ABCD,設AB=a,BC=b,AC=c,則|a-b+c|=_______________.2.已知|a|=2,|b|=,則使λb-a與a垂直的λ=____________.2,a與b的夾角為45°3.在等邊△ABC中,AB=a,BC=b,CA=c,且|a|=1,則a·b+b·c+c·a=____________.4.已知四邊形ABCD滿足|AB|2+|BC|2=|AD|2+|DC|2,M為對角線AC的中點.求證:|MB|=|MD|.5.如圖6,已知AC為⊙O的一條直徑,∠ABC是圓周角.求證:∠ABC=90°.圖6

第三篇：立體幾何中的向量方法的教學設計

《立體幾何中的向量方法》的教學設計

一、教材分析

本節課是坐標法與向量有效結合的典型范例，有利于培養學生利用向量解決立體幾何問題的能力。

二、教學目標

通過類比平面內的點、線的位置可以由向量來確定，引導學生理解空間內的點、線、面的位置也可以由向量來表示，并進一步探究用空間向量的運算來表示空間線、面的位置關系。從應用其證明空間線面的平行與垂直問題中體會直線的方向向量與平面的法向量在解決立體幾何中線面平行與垂直問題時的作用。從而樹立學好用好向量法解決立體幾何問題的興趣和信心。

三、教學重點、難點

由于建系求點坐標是向量方法中最大的障礙，所以把坐標法與向量法結合作為重點，而適當地建立空間直角坐標系及添加輔助線作為難點。

四、教學手段

用幾何畫板直觀展示圖形給學生立體感，通過問題鏈讓學生有效地進行數學思維。

五、教學流程

1、新課導入：

同學們，在前面的學習中，我們已經接觸過一些用空間向量的運算方法，所以這節課我們將使用一些用空間向量知識證明點、線、面的位置關系。

為了運用向量來解決立體幾何問題，首先要明確空間的點、線、面的位置是否可以用向量來確定？想一想平面內點、線的位置可以由向量來唯一確定嗎？你能利用類比的方法，相應地得出空間點、線、面的位置也可以由向量來唯一確定的結論嗎？

2、經典例題講解：

<例一> 已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，?C1CB??C1CD??BCD??,求證：CC1?BD.分析：題目是讓我們求證CC1?BD，我們可以利用向量垂直的方法來試著證明CC1.BD =0 <例二> 棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點，求證：A1E⊥平面DBC1。

分析：該題主要是考察學生是否可以根據已知題目給出的信息將建立空間直角坐標系，本題以D為坐標原點，DC所在的直線為x軸，連接BD以BD為y軸，Z軸則平行與CC1建立了D-XYZ的空間直角坐標系。接著根據平面法向量的性質來求證出結果。

六、練習

用向量的方法證明“平面與平面垂直的判定定理”。

七、總結

將空間向量的方法引入到立體幾何中，通常的方法不必添加繁雜的輔助線，只要建立適當的空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，利用向量運算解決立體幾何問題，這樣使問題坐標化、符號化、數量化，從而降低推理問題的思維難度。

第四篇：3.2立體幾何中的向量方法 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

（1）知識與技能：理解直線的方向向量和平面的法向量；會用向量及其運算表示線線、線面、面面間的位置關系.（2）過程與方法：在解決問題中，通過數形結合的思想方法，加深對相關知識的理解。

（3）情感態度與價值觀：開始體會把立方體幾何幾何轉化為向量問題優勢。

2.教學重點/難點

【教學重點】：平面的法向量.【教學難點】：用向量及其運算表示線線、線面、面面間的位置關系.3.教學用具

多媒體

4.標簽

3.2.1 直線的方向向量與平面的法向量

教學過程

課堂小結

1． 點、直線、平面的位置的向量表示。線線、線面、面面間的位置關系的向量表示。

第五篇：5.1教學設計

5.1 《我們都是公民》 教學設計

一、目標要求 1.知識與能力：

使學生掌握法律所規定的“公民”身份的含義，了解自己所具有的中國公民身份，并懂得運用相關的法律規定去分析一些與公民身份有關的情境問題和簡單材料。使學生明白公民身份的基本內涵，即公民是受國家憲法和法律管轄和保護的個人，平等地享有法律規定的公民權利，同時也必須履行法律規定的公民義務。2.情感、態度與價值觀：

通過本課的自主學習和引導性教學，喚起和強化學生對自己中國公民身份的認同感和責任感。感悟公民與祖國的血肉聯系，從感情上熱愛自己的國家；從理性上理解：作為公民，個人與國家所具有的法律關系；初步養成公民的權利和義務相一致的理念和態度。

重視公民意識的自我形成和公民素質的自我提高，深化國家觀念，提高個人的公民道德水平和民主意識，養成關心家事、國事、天下事的良好習慣，增強法律觀念，養成學法、守法、護法的好習慣。

二、教學重點、難點

教學難點：公民身份的確認與公民身份的內涵。教學難點：如何培養學生的公民意識。

三、教學過程

（一）導入

在國際交往中，人們通常會問：你是哪個國家的人？這實際是在問：你是哪國公民？我們可以自豪地說：我是中國人，我是中國公民。那什么是公民？什么又是中國公民？公民與國籍有什么關系？公民身份又有哪些內涵？接下來我們就一起來探討這些問題的答案。討論：怎樣才算擁有一國公民資格？

（二）新課教學

一、公民身份的確認

1、活動：情境研討——誰說對了？

（1）安排學生判斷5個情境的圖文內容。（2）指導學生閱讀法律導航中的“公民身份的確認”內容，引導學生理解兩個文本框中的法律原文和國際上認定國籍的兩大慣例。（3）分組研討。（4）小組代表發言

2、教師總結分析：（1）什么是公民？ 公民是指具有一國國籍，并根據該國法律規定享有權利和承擔義務的人。分析：一是個人具有某國國籍就是該國公民；二是公民是按照國家法律規定享有權利和承擔義務的個人。

（2）公民與國籍補充材料：國籍的取得，不同的國家有不同的規定。取得國籍的方式主要有兩種：一種是因出生

在某國而取得某國國籍，這是取得國籍最普遍的方式；另一種是加入某國國籍，即通過婚姻關系、收養關系、自愿申請等方式而取得某果國籍。一般情況狹隘，一個人只有一個國籍，但也有雙重國籍或無國籍的人。我國不承認雙重國籍。在此基礎上得出：中華人民共和國公民就是指具有中華人民共和國國籍的人。

（3）辯一辯：他們屬于中國公民嗎？ A我國被附加剝奪政治權 利的罪犯 B我國未滿18周歲的在校學生 C美籍華人 D海外華僑 E在中國定居的人 二．公民身份的內涵

引導學生閱讀課本P4：“新聞回放”，設計情境問題：（1）你能說說當時受阻于國外機場時的情景和感受嗎？（2）你是怎樣想到向祖國求助的？（3）回到祖國你有什么感受？（4）這件事給你什么教益？

（5）以后有機會你還會選擇出國旅游嗎？

（6）你對其他準備出國旅游的同胞們有什么建議？ 小結：我們是中國公民，祖國是保護公民權利的強大后盾，所以我們要有“國家觀念”。

公民身份的內涵：

①公民是國家的成員。受國家法律保護

②享有憲法和法律規定的公民權利，履行憲法和法律規定的

公民義務。

③公民在法律上享有平等的權利。

④社會主義民主政治的根本和核心是人民當家作主。

知識點拓展：如何區分公民與人民？比較點公民人民內涵公民是法律概念，與之相對的概念是外國人人民是政治概念，與之相對的概念是敵人范圍上公民的范圍比人民廣泛，除包括人民外，還包括人民的敵人，指全體社會成員凡是人民都是公民，而公民不一定都是人民 三．樹立公民意識，做個合格公民

一：要樹立國家觀念；二：要培養堅定的公民意識和良好的公民道德；三：要增強法律意識，遵守國家法律。

思考問題：

1.為什么要樹立國家觀念？

2.為什么要培養良好的公民道德和民主意識？ 3.為什么要增強法律意識，遵守國家法律？

通過今天的學習，希望同學們都能樹立公民意識，提高公民素質，做個合格公民。

課本P7 “個案研討” ： 以“一個中學生的故事”為話題，說一段話。

要做一個合格公民，不僅要樹立國家觀念、民主觀念、道德觀念、權利義務相統一的觀念，還要將這些觀念外化為實實在在的行動。這個中學生以行動關心當地存在的社會問題，積極向有關部門反映、提出建議，就是好榜樣。

思考問題：在我們身邊有哪些公民責任需要擔負？（學生討論）

活動——創意方案 “我做合格小公民”。

以小組為單位，以“樹立公民意識，爭做合格小公民”為主題，起草一份行動方案，引導學生閱讀課本P9：閱讀與感悟 “康西瓦，永遠的忠誠”。四．結束語

維護國家利益和尊嚴是我們的公民責任，遵守國家法律是我們的公民責任，遵守社會公德也是我們的公民責任！

五、板書設計

5.1我們都是公民

一、公民身份的確認

1、什 么是公民

2、什么是中華人民共和國公民

二、公民的內涵

三、做一個好公民的基本要求

第一，要樹立國家觀念

第二，要培養良好的公民道德和民主意識

第三，要增強法律意識，遵守國家法律

六、練習反饋

材料一：北京學生梁帆，應聯合國兒童基金會的邀請，去荷蘭參加會議。一進會場，只見賓館門前的旗桿上，幾十面色彩繽紛的各國國旗迎風招展，但沒有看到我國的五星紅旗。他震驚了，立即找到會議的組織人員說：“一定要升起中華人民共和國的國旗，因為我在這兒！”梁帆的莊嚴申明受到了重視，五星紅旗終于飄揚在賓館門前的旗桿上。梁帆也受到了外國人的敬重，被譽為“合格的中華人民共和國的代表”。

材料二：河北大冶市年僅12歲的小學生黃某和同班4名同學私自到距學校200米的魚塘內游泳。黃某因體力不支，在水中掙扎。已上岸的4名同學看到后，其中一名哭著要喊救人，另一名同學卻制止說：“如果現在喊人，老師就會知道我們私自游泳。”結果黃某沉入水底，溺水身亡。事后，4名同學還將黃某的衣服藏在距魚塘300米遠的一塊南瓜地里，隨后一同返校，直到黃某的家人報案，警方才從水中打撈出黃某的尸體。

閱讀上述材料，思考：

（1）為什么梁帆被稱譽為“合格的中華人民共和國的代表”？

（2）材料二中這幾個同學的意識中缺少了什么？（3）你認為作為一個合格的中華人民共和國公民，應該怎樣樹立公民意識，提高公民素質？